012 第十二章 动量矩定理

第12章 动量矩定理

通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。

在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质

心速度C v

总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。

§12-1 质点动量矩定理

例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。

图12-5

解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即

2

2

()

R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有

22

2

()()v R m mg

R h R h =++ 即

2

2

()

gR v R h =+ （b ）

将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度

17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为

7.5530.6468.199km/s A v =+=

卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有

A A

B B r v r v = 所以

4

63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r +=

⨯=⨯= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则

22

2

2

4

9.86370 6.306km/s 10gR v r ⨯=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ∆=-=

顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。

§12-2 质点系动量矩定理

例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211

2

O J m R =。

图12-8

解:以整个系统为研究对象，先进行运动分析。设在图示瞬时，物块的速度为v ，加速度为a ，由运动学关系，圆轮的角速度为/v R ω=， 因此系统的动量矩为

2

212121

122O O v L J m vR m R

m vR m m vR R ω⎛⎫⎛⎫=--=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

再进行受力分析。系统所受外力如图所示，其中1m g 、2m g 为主 动力，Ox F 、Oy F 为轴O 处的约束力。

根据动量矩定理

()()e O

O i dL m dt

=∑F 有

122

12d m m vR m gR dt

⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=- 即

1221

2

m m Ra m gR ⎛⎫

-+=- ⎪⎝⎭

得物块的加速度

2

12

22m a g m m =

+

例 2.高炉运送矿石的卷扬机如图所示。已知鼓轮为均质圆盘，半径为R ，重为P 。在铅垂平面内绕水平轴O 转动。小车和矿石总重为Q ，作用在鼓轮上的力矩为M ，轨道的倾角为α。绳的重量及各处 的摩擦忽略不计，求小车的加速度。均质圆盘对O 轴的转动惯量

2

12O P J R g

=

。

图12-9

解：研究对象：小车及鼓轮系统。

系统所受的外力有：力矩M ，重力P 、Q ，轴承反力O X 、O Y ，轨道的反力N ，这些力对转轴O 的矩为

()()sin cos e O O i M m M Q R Q l Nl αα==-+⋅-⋅-∑F 因为

cos N Q α=

所以

sin O M M Q R α=-+⋅

运动分析：设鼓轮绕O 轴转动的角速度为ω，小车作直线运动的速度为v ，显然v R ω=，则系统对转轴O 的动量矩为

O O Q

L J vR g

ω⎛

⎫

=-+ ⎪⎝

⎭

将2

12O P J R g

=

，v R ω=代入上式得

()1

22O L P Q Rv g

=-+ 由质点系动量矩定理 O

O dL M dt

= 得

()1

2sin 2d P Q Rv M Q R dt g α⎡⎤-+=-+⋅⎢⎥⎣⎦

可解得小车的加速度