理论力学

理论力学总复习一、填空题1. 谐振子的向心力运动平均动能与势能的关系：V T =2. 物体向上抛科氏力 向东 ，向下落科氏力 向西 。

3. α粒子运动轨道是 双曲线 ，地球运动轨道是 椭圆 。

4. 惯量主轴上与转动轴存在夹角时转动轴上附加压力很大。

【 动力反作用力与静力反作用力不相等 时转动轴上附加压力很大。

】5. 枪膛为什么有来复线？ 子弹运动不会在出壳方偏离的太远6. 转动参考系中，泊松定理的推广：G dtG d dt G ⨯+=ω*d 7. 经典力学分为： 牛顿力学 和 分析力学 。

8. 牛顿定律适用范围：宏观、低速、惯性系中 。

9. L —R —L 矢量及其意义： rr mk J P A -⨯= 、得出物体的运动轨迹： θcos 2A GM m L r += 。

10. 极坐标系和自然（本征）坐标系单位矢量：c o s s i n s i n c o s r e i j e i jθθθθθ→→→→→→=+=-+极坐标系：径向，横向 ； t r n r d d e e e e e e dr dr θθθθ==自然坐标系：切向+，法向- 。

11. 约束分类：约束方程中是否不显含时间t ⎩⎨⎧不稳定约束稳定约束 质点是否始终不能脱离约束⎩⎨⎧可解约束不可解约束 几何约束（完整约束）：只限制质点在空间的位置。

运动约束（微分约束）：除了限制质点的坐标，还要限制质点速度的投影。

不完整约束：①不能积分变为几何约束的微分约束。

②不能用等式表示的可解约束。

12.哈—雅方程：0),,,;,,,;(2121=∂∂⋯∂∂∂∂⋯+∂∂s s q S q S q S q q q t H t S 。

13.理想约束：01=⋅∑=n i i i r R δ 。

14.拉格朗日方程： （保守力系）0)(=-ααdq dL q d dL dt d 、 （基本形式）αααQ dq dT q d dT dt d =-)( 15.虚功原理： 01=⋅=∑=n i i i r F W δδ 。

16.哈密顿原理：积分形式：021=⎰t t Ldt δ。

哈密顿原理微分形式：静力学01=⋅∑=ni i i r F δ；动力学达朗贝尔—拉格朗日原理：0)(1=⋅-∑=n i i i i r d r m F 。

17.正则方程：ααααp H q q H p ∂∂=∂∂-= ， 。

18.广义坐标中的自由度s 与n 个质子和k 个几何约束的关系：s k n =-3 。

二、判断题19. 保守力等于势能的梯度。

（ × ）20. 虚位移是任意位移。

（ × ）21. 没外力距（外力距等于零）时，质点一定在某平面上运动。

（ √ ）22. 月球引起的潮汐比太阳引起的大。

（ √ ）23. 河岸右侧冲刷的厉害。

（ × ）24. 牛顿定律适用范围：宏观、低速、惯性系中。

25. 转动参考系中，泊松定理的推广：G dtG d dt G ⨯+=ω*d 26. 经典力学分为：牛顿力学和分析力学。

27. 径向加速度等于向心加速度。

（ × ）28. 转动惯量由刚体自身决定。

（ √ ）29. 惯性力不是真实力，因为没有力的作用效果。

（ × ）30. 正则方程中广义坐标αq 和广义动量αp 都是独立的。

（ √ ）三、名词解释 31. 密切平面答：过空间曲线上P 点的切线和P 点的邻近一点Q 可作一平面σ，当Q 点沿着曲线趋近于P 时，平面σ的极限位置π称为曲线在P 点的密切平面。

【附加：法线平面：是数学术语，是指过空间曲线的切点，且与切线垂直的平面，称为法平面。

即垂直于切线的平面。

】32. 柯尼希定理答：∑=∙∙'+=n i i i c r m r m T 1222121，质点组的动能为质心的动能与各质点对质心系运动时的动能。

33. 位力定理 答：∑=⋅-=n i i i r F T 121 叫做位力定理，其中∑=⋅n i i i r F 121 叫做均位力积，简称位力。

位力定理告诉我们：在很长时间间隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号等于作用在此质点组上力的位力。

位力定理具有统计性质。

34. 欧拉角答：当刚体作定点转动时，我们可选择这个定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴线所转过的角度。

这三个能够独立变化的角度叫做欧拉角。

欧拉角分为自转角、进动角和章动角。

35. 地球的岁差与章动答：岁差，在天文学中是指一个天体的自转轴指向因为重力作用导致在空间中缓慢且连续的变化。

例如，地球自转轴的方向逐渐漂移，追踪它摇摆的顶部，以大约26,000年的周期扫掠出一个圆锥（在占星学称为大年或柏拉图年）。

"岁差"这个名词通常只针对长期运动，其他在地轴准线上的变动——章动和极移规模要小了许多章动：月球绕地球旋转的轨道称为白道，由于白道对于黄道约5度倾斜，这使得月球产生的转矩的大小和方向不断变化，月球围绕地球公转导致地球在公转轨道上左右摇摆，18.6年在轨道上一个周期，振幅为9.21秒，这种现象称为章动。

36. 转动惯量答：转动惯量是刚体绕轴转动时惯性的量度，用字母I 或J 表示。

在经典力学中，转动惯量通常以I 或J 表示，单位为 kg ·m ²。

对于一个质点，I = mr ²，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

37. 拉莫尔进动答：角动量J 的带点物体在空间绕着磁场B 的方向转，转动的角速度则为meB l 2-=ω，这项现象和陀螺高速转动时的进动现象相似，所以叫做拉莫尔进动。

38. 简正坐标答：简正坐标又叫做正则坐标，是用来描述和计算分子内部运动的一个坐标体系。

简正坐标是分子所有质量加权坐标的线性组合，每个质量加权坐标表征的是构成分子的一个原子在一个坐标方向上的振动特性。

因此每个简正坐标表征的是一套分子内部运动的组合，而这种组合一定是符合分子所属的对称性群的一个对称类的。

39. 勒让德变换答：由一组独立变数变为另一组独立变数的变换，在数学上叫做勒让德变换。

40. 正则变换答：由一组独立变数变为另一组独立变数的变换，在数学上叫做勒让德变换。

而满足正则方程的勒让德变换为正则变换。

41. 刘维尔定理答：保守力学体系在相宇中代表点的密度，在运动过程中保持不变，这就叫做刘维尔定理。

四、证明题和计算题1、【电子的运动】设电荷为—e 的电子，在电荷为Ze 的核力场中运动，Z 为原子序数，试用正则方程研究电子的运动。

解：2.一组质点只在保守内力作用下运动。

如x、y方向的两分动量矩为常数，则z 方向的分动量矩也必定是一个常数，试用泊松定理加以证明。

解：[Jx，Jy]=Jz3.试由哈密顿原理导出正则方程解：4.用正则变换法求平面谐振子的运动。

解：五、论述题1.力学与数学的关系（力学发展史）答：根据力学史四阶段：第一时期：古代力学，主要代表人物为阿基米德，主要研究的是静力学，天体圆运动，此时期的数学主要是欧式几何，常量的代数运算。

第二时期：牛顿力学，主要代表人物为牛顿，主要研究的是自由质点，尤其是引力下的质点运动，此时期的数学主要是解析几何，圆锥曲线，引入了微积分。

第三时期：分析力学，主要代表人物为拉格朗日，哈密顿，研究的是约束体系，此时的几何为黎曼几何（n维空间），引入了泛函（变分法）的计算方法。

第四时期：现代力学，主要代表人物为庞加莱，李雅普诺夫，研究的是动力稳定性，发展了拓朴学（微分），计算方面主要是同伦与外微分。

2.牛顿力学与分析力学的异同答：不同点：牛顿力学是从是从作用效果的角度去观察和总结出来的一套理论，注重所观察到的结果和现象；注重力和动量。

分析力学则更加深刻，它从内在的本质的角度去探究物体运动变化的原因，从一种更加抽象的角度去总结归纳力学概念，注重功和能量。

相同点：当然他们都是我们用来描述和解释力学现象的工具，同属于经典力学的范畴，可以说分析力学是在牛顿力学的基础之上发展起来的。

牛顿力学主要研究质点的自由运动，而分析力学主要研究质点系在收到约束之下的运动变化规律。

3.分析力学与量子力学的关系答：量子力学完全从分析力学中推出。

经典力学是相对论力学的基础，量子力学经常要借助相对论力学。

本质上说经典力学关注里的连续性，即物质的表象，量子力学注意到粒子的跳跃性以时间为单位判定物质存在，所以是物质的本质。

例如：(1)泊松方程⇒海森堡的矩阵力学 (2)H —J 方程⇒薛定谔的波动方程（1）根据泊松括号的法则：[uv,w]=[u,w]v+u[v,w]∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=s i ii i i CM q v p u p v q u v u 1)(],[ 2211221121212211221121212121],[],[],[],[],[],[],[v u v u u v u v v v u u v u v u u v v u v v u u v v u u +++=+=……………………①2211212122112211212122112121],[],[],[],[],[],[],[u v v u v v u u u v u v v u u v v v u u v u u v v v u u +++=+=……………………②],)[()](,[221111222211v u u v v u u v v u v u -=--②得①则i v u u v v u i u v v u v u QM },{)(1)(],[111111111111=-∝-∝ 于是得出： ij QM i i ij CM i i i p q p q δδ =⇒=},{],[ 所以经典力学量运动方程⇒=+∂∂=0],[H f t f dt df 海森堡运动方程0},{=+∂∂QM H f tf i （2）H —J 方程为0=+∂∂H tS ，一个粒子的S p V m p H ∇=+=22 所以一个粒子的H —J 方程为：02)(2=+∇+∂∂V mS t S 设粒子具有波动性，其波函数为)exp(iS A =φ， φφ)(tS i t ∂∂=∂∂ ，φφφk i i p i x S i x =∂∂=∂∂)( ……………………① φφφφ22222)(1)(S x S i x x k k k ∇-=∂∂=∂∂∂=∇ ……………………② 把①②式代入H —J 方程得薛定谔方程：φφφ)2[ˆ22V mt i H +∇-=∂∂=4.力学第一原理的几种形式与相互关系答：四种形式：（1）牛顿第二定律：F=ma（2）拉格朗日定理：0)(=-ααdq dL q d dL dt d ，（L=T —V ） （3）哈密顿正则方程：ααααααqd dL p V T L V T H p H q q H p -=-=+=∂∂=∂∂-=，，，其中， （4）哈密顿原理积分形式：021=⎰t t Ldt δ。