对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法

求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。

3.1 中心差分格式

时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[

2

1

11

1122h u u u v

h

u u a

u u n

j n j n j n

j n j n j

n j -+-+++-=-+-τ

（3）

若令 h

a

τ

λ=，2h v

τ

μ=，则（3）式可改写为

)2()(2

111111

n

j n j n j n j n j n j n j

u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）

从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1

+n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对

流扩散方程的显示格式。

假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1

+n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处

进行Taylor 展开：

)(),(),(211ττO t u t x u t x u u n

j

n j n j n j

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+==++

)(2),(),(3

22211

h O x u h x u h t x u t x u u n

j n

j n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++

)(2),(),(3

22211

h O x u h x u h t x u t x u u n

j

n

j n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--

代入(4)式，有 2

111

1122),(h

u u u v

h

u u a

u u t x T n

j n j n j n

j n j n j

n j n j -+-+++---+-=

τ

)()()(2222

h O v x u v h O a x u a O t u n

j n

j n

j ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n

j

n

j n

j ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ

)(2h O +=τ

显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为

)(2h O +τ。

对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。 令ikjh n n

j

e v u =，代入到（4）式

)2()(2

1

)1()1()1()1(1h j ik n ikjh n h j ik n h j ik n h j ik n ikjh

n ikjh

n e v e v e v e v e v e

v e

v -+-+++-+--=μλ整理得 n n v kh i kh v

]sin )cos 1(21[1

λμ---=+

所以该差分格式的增长因子为：

kh i kh k G sin )cos 1(21),(λμτ---= 其模的平方为

222)(sin )]cos 1(21[),(kh kh k G λμτ---=

2222)(s i n )c o s 1(4)c o s 1(41kh kh kh λμμ+-+--= )]cos 1()cos 1(44)[cos 1(122kh kh kh +-----=λμμ 由于0cos 1≥-kh ，所以1),(≤k G τ（即差分格式稳定）的充分条件为 0)c o s 1()c o s 1(4422≥+---kh kh λμμ 上式可以改写为

0242

c o s 1)

82(222≥-+--λμμλkh

注意到]1,0[)cos 1(2

1

∈-kh ，所以上面不等式满足的条件为

024)82(222≥-+-λμμλ， 0242≥-λμ。

由此得到差分格式（3）的稳定性限制为

22a

v

≤τ ， 212≤h v τ。

故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。根据Lax 等价定理，我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。

3.2 Samarskii 格式

设a >0，先对方程(1)作扰动，得到另一个对流扩散方程

]

7[

2

211x u v R x u a t u ∂∂+=∂∂+∂∂ （5） 其中 ha v

R 21

=

，当0→h 时，（5）式化为（1）式 对于（5）式，构造迎风格式

21

11

1211h

u u u v R h

u u a

u u n

j n j n j n

j n j n j

n j -+-++-+=-+-τ

（6） 差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的Samarskii 格式。

首先推导（6）的截断误差。设),(t x u 是对流扩散方程（1）式的充分光滑的解

2

1111),(),(2),(11

)

,(),()

,(),(h t x u t x u t x u v R h

t x u t x u a

t x u t x u T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-++-+-

-+-=

τ

令

2

111)

,(),(2),()

,(),(h t x u t x u t x u v

t x u t x u n j n j n j n j n j n

j

-+++---=

τ

α

用 Taylor 级数展开有

)()()(2

22h O x

u v t u n j n j n

j

++∂∂-∂∂=τα

再令 2

111),(),(2),()111

()

,(),(h t x u t x u t x u v R h t x u t x u a

n j n j n j n j n j n j

-+-+--+--=β 用 Taylor 级数展开有

)()(11)(2)(22222h O x

u v R x u ah t u a n

j n j n j n

j

+∂∂++

∂∂-∂∂=β )()(1)()(22222h O x u

v R R x u Rv x u a n j n j +∂∂++

∂∂-∂∂= )()(1)(2222h O x

u v R R x u a n

j n j +∂∂+-

∂∂=