线性代数学习指导第四章线性空间

第五章 线性空间

一、内容提要

⒈ 线性空间

定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,

且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.

线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.

设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成

数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标

定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．

注 向量组12,,

,n ααα是V 的一组基⇔12,,

,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V

中的任一向量α可由12,,

,n ααα线性表示.

向量组12,,

,s ααα生成的空间L (12,,

,s ααα)的一组基就是12,,

,s ααα的一个极大无

关组, 其维数就是向量组12,,

,s ααα的秩.

定义3 设12,,

,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若

1122n n x x x αααα=++

+

则称数12,,

,n x x x 为向量α 在基12,,

,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .

向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.

定义4 设12,,

,n ααα和12,,

,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且

（12,,

,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)

称C 为由基12,,,n ααα到基12,,

,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到

基12,,

,n βββ的基变换公式．

定理1 设12,,,n ααα和12,,

,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,n

ααα到基12,,

,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即

（12,,

,n βββ）=（12,,,n ααα）C

若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构

定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）

σ, 且σ具有如下性质：

,,(1) ()()()(2) ()()

V k P

k k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.

注 数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.

定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量

12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.

⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角

定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数

(1) (,)(,)

(2) (,)(,)

(3) (,)(,)(,)

k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0

这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.

当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=.

, , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作 即

,ααα=（）向量

α

α

是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．

βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.

柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.

定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为

()

,arccos

αβωαβ

=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）

若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．

5.向量组的正交化

一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,

,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,

,n ααα两两正交且都为单

位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.

向量组12,,

,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是

()01i

j i j

i j α

α≠⎧=⎨=⎩

,,, ,1,2,

,i j n =.

任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,

,m βββ, 且12,,

,m βββ与12,,

,m ααα等价.

取 11αβ=, ()

()12221

11βαβαβββ=-

,,,

()()()

()()

()121121

112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=-

--

-

（i = 3 , 4 , …, m ）

将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令

i

i

i ββη=

（i = 1 , 2 , … , m ） 则得到一个与原向量组12,,

,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.

6. 正交矩阵

定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若T

Q Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：

（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；