二次函数复习专题讲义

第1-3讲 二次函数全章综合提高

【知识清单】 ※一、网络框架

※二、清单梳理

1、一般的，形如2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如

22221

2,26,4,5963

y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a

不能为零，,b c 可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式）

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪

><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪

<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线

对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪

⎨⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

①一般式：2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数

②顶点式：2

()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k

③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系 ①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a

>时，开口方向向上；当0a <时，开

口方向向下。||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 ②c ：决定抛物线与

y 轴交点的位置。当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x

轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物

线过原点。反之，也成立。

③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b a -

>时，对称轴在y 轴右边；当02b

a

-<时，对称轴在y 轴左边；当02b

a

-

=（即当0b =时）对称轴为y 轴。反之，也成立。 ④特别：当1x

=时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。反之也成立。

4、二次函数2

()y a x h k =-+的图像可由抛物线2

y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当0h >时，抛物线2

y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2

y ax

=向左平移h -个单位，得到2

()y a x h =-；当0k

>时，抛物线2

()y a x h =-再向上平移k 个

单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的

图像。

5、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的关系：

①若抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与

x

轴有两个交点，则一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。

②若抛物线2(0)

=++≠与x轴有一个交点，则一元二次方程

y ax bx c a

20(0)

ax bx c a

++=≠有两个相等的实根（即一根）。

③若抛物线2(0)

=++≠与x轴无交点，则一元二次方程

y ax bx c a

20(0)

++=≠没有实根。

ax bx c a

6、二次函数2(0,,,)

y ax bx c a a b c

=++≠是常数的图像与性质

【考点解析】

考点一：二次函数的概念

【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）

2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =

23

.4D y x

=- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中2

81y x =+符合2

(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数和反比例函数，D 中右边23

4x

-不是整式，显然不是二次函数。 【答案】A

【例2】已知函数2

2

34(2)3(1)m m y m

m x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。

【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x 的最高次

数为2”。故有2220342

m m m m ⎧-≠⎪⎨-+=⎪⎩，解得0212m m m m ≠≠⎧⎨==⎩且或，综上所述，m 取1。

【答案】1 【针对训练】 1、若函数22

(2)m y m x

mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。

考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用

【例1】已知点()8,a 在二次函数2

ax y =的图象上，则a 的值是（）

2.A 2.-B .C 2± 2.±D

【解析】因为点()8,a 在二次函数2

ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2

ax y =中，可以得出3

a 8=，则可得2=a ，