理论力学@11动量矩定理

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理论力学-动量矩定理

理论力学-动量矩定理

§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1.对质心的动量矩
vi vC vir
LC MC mivi ri mivi
?
ri 'mivir
LC ri0 mivC ri mivir
z
ri mivC ( mir 'i ) vC 0
LC ri mivir
LO
(rC
r
')
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
4.组合法
已知:杆长为 l质量为 m,1 圆盘半径为 ,d质量为 . m2
2g
运动方程为
s v0
3R
2g
r
sin
2g
3R
r
t
例11-11 已知:如图所示均质圆环半径为r,质量为m,其上焊接 刚杆OA,杆长为r,质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。 求:放手瞬时,圆环的角加速度,地面的摩擦力及法向 约束力。
A O
解: 整体质心为C,其受力如图所示
解: (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g

dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
(2)由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy

理论力学11—动量矩定理

理论力学11—动量矩定理
Q
m v
y
O
r
x
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上,并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入,得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
11.2 动量矩定理
dr d ( mv ) F , v 因为 dt dt d M O (mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)

N FOy
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R

m2 g
11.2 动量矩定理

d ,有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv ) mvl ml

16第十一章 动量矩定理

16第十一章 动量矩定理

)


质点系对某 定轴的动量矩对 时间的一阶导数, 等于作用于质点 系上的外力对该 轴之矩的代数和。
Theoretical Mechanics
第十一章 动量矩定理
刘习军
五、动量矩守恒
n
当 M O (Fi(e)) 0 i 1
LO 常矢量

M x (F (e)) 0
Lx=常量
n
当 MC (Fi(e) ) 0 i 1
LC 常矢量

MCx (F (e) ) 0
LCx=常量
刘习军
外力系对通过质心的某轴力矩的代数和为零时, 则质点系对该轴的动量矩为一常数。
第十一章 动量矩定理 跳水运动员的姿态
刘习军
对质心动量矩守恒的应用
Theoretical Mechanics
Qdt v2r2 cos2 (Qdt v1r1 cos1)
v2
即 dLz Qdt(v2r2 cos2 v1r1 cos1)
dLz dt

Q(v2r2 cos2
v1r1 cos1)
Theoretical Mechanics
第十一章 动量矩定理
由动量矩定理
(c)
此式是质点系用相对于质心的相对速度所表示的相
对于质心的动量矩定理,它对于解决刚体的动力学问
题非常方便。它建立了质点系相对质心的动量矩与刚
体角速度之间的关系,由于对刚体来说其相对速度可
表示为 vri ri ,则动量矩为 LCr JCω 。
JC
dω dt

MC
F (e) i
(d)
刘习军
§11-2 刚体绕定轴的转动微分方程

【精品】理论力学11动量矩定理分析解析幻灯片

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0 Fox m2l amgFOy
FOymgm2lam 4g
§11-4 刚体对轴的转动惯量
一.定义: Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体,上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知,转动惯量不仅与 质量有关,而且与质量的分布有关;
ri
vi
mi
在国际单位制中,转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是:假想地将物体的质量集 中到一点处,并保持物体对轴的转动惯量不变,则该 点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体 对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量,加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0,则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R,质量 为m1,绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计,求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解:以系统为研究对象,受力如图。
由于SMO(F (e))=0,且系统初始静止,所以LO=0。
设重物A上升的速度为v,则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r

理论力学-动量矩定理

理论力学-动量矩定理

d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理,
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中,已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ,杆 长为l,圆盘直径为d。
ϕ
试求:钟摆作小摆动时的周期。 解:摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度,规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z

理论力学课后习题答案

理论力学课后习题答案

第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩,等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。

(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零,则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。

(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关,与内力无关。

(√)4. 质点系对某点动量矩守恒,则对过该点的任意轴也守恒。

(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中,以对质心轴的转动惯量为最大。

(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。

(√)8. 如图所示,固结在转盘上的均质杆AB ,对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+,式中m 为AB 杆的质量。

(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时,动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式,而不需附加任何条件。

(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零,则刚体只能做平动;若所受外力的主矢等于零,刚体只能作绕质心的转动。

(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ,绕z 轴转动的回旋半径为ρ,则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关,而与系统的内力无关。

5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。

[理学]第十一章 动量矩定理

[理学]第十一章 动量矩定理

Lz M z (mv) MO (mvxy )
质点的动量对于 z 轴的动量矩是代数量。 由投影关系可知
M z (mv) [ MO (mv)]z
即质点的动量对于某点 O 的动量矩矢在通过该点的 z 轴
上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩
的单位为kg•m2/s。
11.1.2 质点系的动量矩
11.2.3 动量矩守恒定律
若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶 系的主矩)为零,则质点系的总动量矩保持不变。即如 果 MO (Fi e ) 0 ,则LO=常矢量。若作用在质点系上的外
i 1 n
力对某固定轴之矩的代数和等于零,如果
e m ( F z i )0,
则Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。
质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点O 的动量 矩的矢量和,或称为质点系动量对点O 的主矩,即
LO MO (mi vi )
i 1
n
质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩
的代数和,即
Lz M z (mi vi )
i 1
n
11.1.3 刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩
(1) 长为l,质量为m的均质直杆
z O
x dx l
x
均质直杆对过中点O的z 轴的转动惯量为
z x
Jz
l 2 l 2
m 1 2 x dx ml l 12
2
O l
x
dx
(2) 半径为r,质量为m的均质 薄圆环对中心轴的转动惯量为
mi
J O mi r 2 m r2
i 1
2
刚体对于任一轴z1的转动惯量,等于刚体对与此轴平 行的质心轴的转动惯量JzC,加上刚体的质量与z1轴到质 心轴zC的距离d平方的乘积。

理论力学:第11章 动量矩定理

理论力学:第11章 动量矩定理
对定点 O: LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C': LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律: ma F
易证:
dmO (mv )
dt

mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。


dmO (mv) mO (dS )
LH

P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin



1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g

(P

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
vC g
系统外力对 H 的力矩:
11-3
ΣmH
(F
(e)
)

m

P
r

b


Q
b

Q
sin
绳子剪断前为静力学问题,易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题,用质心运动定理求: MaC
F (e)
但需要先求出 aC ,用刚体定轴转动微分方程可求: Iz mz (F (e) )
11-5
解:I. 绳子剪断前,受力如图(a)。 W
由对称性: N A0 2
II. 绳子剪断瞬时,受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC , aC 只跟三个运动物体有关,并且有一个“轴”O,如图。 但其中的 N 如何处理?
事实上,滚子沿斜面法向是静平衡的, N = Q cosα。 解:① 求加速度 aC 。

《理论力学》第十一章 动量矩定理

《理论力学》第十一章 动量矩定理
面积速度定理: 质点在有心力作用下其面积速度守恒.
有心力:力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
MO(F) 0
M (mv) r mv 常矢量
(1) r与 v必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.
(2) r mv r m dr b 常量 即 r dr 常量
d
即: Jz dt M z (Fi )
或 Jz M z (F)
转动 微分

Jz
d2
dt 2

Mz(F)
方程
例11-4
已知:物理摆(复摆),m, JO , a 。 求:微小摆动的周期 。
解:
JO
d2
dt 2

mga sin
微小摆动时, sin
JO
d 2
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1.质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
)
d dt
MO
(mv )

MO
(F)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv )

M
x
(F)
d dt
M
y
(mv )

M

(F
)
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
--质点的动量矩定理

理论力学:第11章 动量矩定理

理论力学:第11章 动量矩定理

·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩,即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴,例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩,即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。

质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩,与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。

C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时,又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离,当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值,反之取负值, 11.1.2 质点系的动量矩定理(1)对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩,即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F(2)质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。

即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。

(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零,则质点系对O 点的动量矩为一常矢量,即()0=e OM ,常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零,则质点系对该轴的动量矩为一常数,例如0)()(=∑e x M F ,L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ,则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中,常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理

JO
d 2
dt 2
mga
即:
d 2
dt 2
mga
JO
0
解: 令 2 mga
JO
——固有频率

2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中,
三根长度相等(l)的弹性线,等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie


drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 (rC

理论力学十一动量矩定理

理论力学十一动量矩定理

0 0

FNA FNB

FB FA

mg
(2) (3)
FA FNA f (4) FB FNB f (5)
, FA, FB , FNA , FNB
FB
FNB
未知量 , FA, FB , FNA , FNB
解得
FA
mgf 2 1 f 2
,
FB

mg f 1 f 2
Fn y
J z

Jz
d
dt

Jz
d 2
dt 2

Mz (F)
★ 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作 用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
Jz Mz (F)
ma F
1. 若 M z (Fi(e)) 0 const 2. 若 M z (Fi(e)) const const
解:在 d t 时间间隔内,水流 ABCD段的水流运动到abcd时, 所受的力以及他们对O轴之矩:
重力 —— 由于水轮机水平 放置,重力对O轴之矩等于0;
相邻水流的压力 —— 忽略 不计;
叶轮的反作用力矩 —— 与 水流对叶轮的驱动力矩大小 相等,方向相反。
ab dc
Mz
设共有 n 个叶片,
每相邻叶片间体积流量为 qV¢
x
质点系中所有质点对于点O的 动量矩的矢量和,称为质点系 对点O的动量矩。
[LO ]z Lz
定轴转动刚体对转轴的动量矩
z
Lz M z (mivi ) mivi ri
miri2 miri2
ri
vi
mi

令:

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时,可以用质量作为物体运动惯性的度量; 而当物体绕某轴转动时,转动惯性的大小不仅与质量有关,而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远,转动惯性 就越大,亦即,越不容易改变转动运动的状态。
2.规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环:
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影:得到质点对轴的动量矩定理: d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt (1)若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量; 两种特殊情况: (2)若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ,两轮的半径分别为 R1 、 2 ,传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 , 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2,转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴,轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分

M2
M1

解 :分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆:
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x

理论力学动量矩定律

理论力学动量矩定律

例11-3
已知:两小球质量皆为 m,初始角速度 。 0
求:剪断绳后, 角时的 .
第十二页,共四十三页。
解: 0 时,
L z12 m0 a a2 m2a 0
0时,
L z2 2 m (a lsi)n 2
Lz1 Lz2
(aal2sin0)2
第十三页,共四十三页。
§11-3 刚体(gāngtǐ)绕定轴的转动微分方程
证明
: (zhèngmíng)
JzCm i(x1 2y1 2)
Jz m ir2 m i(x2y2) m i[x 1 2 (y 1 d )2]
0 m i( x 1 2 y 1 2 ) 2 d m iy 1 d 2 m i
Jz JzC md2
第二十二页,共四十三页。
4.组合法
已知:杆长为 l质量为 m,1 圆盘半径为 ,d质量为 . m 2
(1) 刚体(gāngtǐ)平移LOM O(m vC) LzM z(m vC)
(2)
LJ 刚体(gāngtǐ)绕定轴转动z
z
L z M z ( m iv i) m iv ir i
m i r ir i m ir i2
Jz miri2 --转动惯量
第三页,共四十三页。
§11-2 动量矩定理(dìnglǐ)
主动力: 约束力:
F 1,F 2,
FN1,FN2
,F n
d
d t(Jz ) M z(F i) M z(F N i)
Mz(Fi)
即: Jz ddt Mz(Fi)
或 Jz M z(F)
转动 微分(wēi fēn)
方程

Jz
d2
dt2
Mz
(F)

哈尔滨工业大学理论力学第七版W第11章 动量矩定理

哈尔滨工业大学理论力学第七版W第11章 动量矩定理

m v C
e
d LC dt
r
d rC dt
C
Fi
e
ri ' Fi
由于
vC ,
d rC dt
m vC 0
rC
d dt
m v C
e
rC F i
e


rC Fi
d LC dt
rC Fi
r 'i Fi
e
投影式 L M (m v ) L z z i i O

z
* 刚体的动量矩 1.平动刚体
L r m v m r v r mv
O i i i i i C C
C
L z M z ( m vC )
平动刚体对固定点(轴)的动量矩, == 刚体质心的动量(具有刚体的质量)对 该点(轴)的动量矩。
2 2
FOy 2 mg ma C 1 y ma C 2 y
2 8 9 . 8 8 ( 20 . 75 0 . 25 20 . 75 0 . 5 )
32 . 3 N
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1.对质心的动量矩
LC
M m v r m v
z1
z
1
a
C
b
z
2
J
z1
z2
J
z2
J M (a b)
2
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J
z

M L 3
2
z
L
J
zc

M L 3
4M L 3
2
2

理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答

理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答

习 题11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动,其运动方程为:t b y t a x ωω2sin ,cos ==。

其中a 、b 和w 均为常量。

试求质点对坐标原点O 的动量矩。

t a xv x ωωsin -==& t b y v y ωω2cos 2==& x mv y mv L y x O +-=)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯=)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯=)cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯=)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=t mab ωω3cos 2=11-2 C 、D 两球质量均为m ,用长为2 l 的杆连接,并将其中点固定在轴AB 上,杆CD 与轴AB 的交角为θ,如图11-25所示。

如轴AB 以角速度w 转动,试求下列两种情况下,系统对AB 轴的动量矩。

(1)杆重忽略不计;(2)杆为均质杆,质量为2m 。

图11-25(1)θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。

各物体质量均为m 。

图11-26(a) ω231ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯= ω2245ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =11-4 如图11-27所示,均质三角形薄板的质量为m ,高为h ,试求对底边的转动惯量J x 。

理论力学第11章(动量矩定理)

理论力学第11章(动量矩定理)
线相连,使杆AC与BD均为铅垂,系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断,杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量,求这 时系统的角速度。
解:以系统为研究对象,系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力,这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒,即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数,等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和(外力系的主矩)。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影,得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数,等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和(外力系对同一轴的主矩)。
理论力学
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将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数, 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象,
受力分析如图示。
运动分析: v =r

《理论力学》第十一章 动量矩定理

《理论力学》第十一章 动量矩定理

LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
(二)质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成,其中第i个质点 的质量为mi,速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩:
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质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1)刚体平动
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例1:均质细长直杆长l,质量m1,与质量为m2,半径
为r,均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解:
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第十一章
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动量矩定理
§1 动量矩(表征物体转动的物理量)
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩(矢量):
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩: z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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·250·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩,即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴,例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为ωz z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩,即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。

质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩,与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。

Cv r L L m C C O ⨯+= 当刚体作平面运动时,又可表示为dmv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离,当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值,反之取负值,11.1.2 质点系的动量矩定理(1)对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩,即)(e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为·251·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F(2)质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。

即(e )C C M L =dt d 或 (e )C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。

(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零,则质点系对O 点的动量矩为一常矢量,即()0=e OM ,常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零,则质点系对该轴的动量矩为一常数,例如0)()(=∑e x M F ,L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ,则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中,常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。

11.1.4 刚体平面运动微分方程当刚体作平面运动时,联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理,可得到刚体平面运动微分方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑C c y c x c M I F ym F x m ϕ·252·上式称为刚体平面运动微分方程。

应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题。

11.2 基本要求1、能理解并熟练计算动量矩、力矩等各基本物理量。

2、会应用动量矩定理解决质点系动力学的两类问题,对刚体定轴转动的情况能熟练应用刚体绕定轴转动微分方程求解有关问题。

3、对刚体作平面运动情况,能正确列出系统运动微分方程和补充的运动学方程,并解决刚体平面运动的动力学两类问题4、能正确选择和综合应用动力学普遍定理求解质点和质点系的动力学两类问题。

11.3 重点讨论动量矩定理的应用在应用动量矩定理时,应注意以下几点:1.正确计算质点系的动量矩;2.质点系动量矩的变化率与外力矩有关,与内力无关。

所以,在分析问题时要明确研究对象,分清内力与外力;3.当对固定点的外力矩为零时,质点系对该点的动量矩守恒。

即()0=e O M 常矢量=O L或对某轴(如z 轴)的外力矩为零时,质点系对该轴的动量矩守恒。

即()0=e Z M 常数=z L4.当对质心的外力矩为零时,质点系对质心的动量矩守恒。

即()0=e C M 常矢量=C L或对过质心某轴(如z 轴)的外力矩为零时,质点系对该轴的动量矩守恒。

即()0=e Cz M 常数=Cz L普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用主要是指动量定理、动量矩定理、动能定理以及运动微分方程的综合应用。

普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。

在许多较为复杂的问题中,往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。

例如时常遇到这样一种类型的问题:已知作用于系统上的主动力,需求系统的运动及未知约束力。

这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点,考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系,在理想约束的情形下,应用动能定理常常可以做到。

由反映这些关系的方程求得系统的运动后,再应用相应的普遍定理,通常是应用动量定理或动量矩定理,以求出未知的约束力。

为了正确、灵活地运用普遍定理解决动力学问题,首先要正确理解各定理的内容、特点以及定理成立或应用的条件,准确掌握各定理所含物理量的计算方法。

其次,选择好研究对象,并进行运动分析和受力分析。

具体地说,一方面要弄清楚系统内各物体各作何种运动,有何特点,以便有利于写出对应的运动特征量,并为建立运动学的补充方程作准备;另一方面要注意分清约束力和主动力,作功的力和不作功的力,内力和外力,以便有利于写出对应的力的作用量,并为建立力的补充方程作准备。

然后,分析问题中各未知量和已知量之间有什么关系,选用合适的定理,准确地建立一定数量的动力学方程和补充方程,找到解决问题的办法。

上述三项,难点还是选用合适的定理。

不少工程问题,既需要求物体的运动规律,又需要求未知的约束力,是动力学两类基本问题(已知运动求力;已知力求运动)综合在一起的动力学问题。

一般说来,解决问题的简便方法,是先求运动、后求力。

在求运动时,往往希望所列的动力学方程中不包含未知的约束力。

此时,可首先考虑用动能定理。

动能定理反映了一个系统的动能随速度(角速度)大小变化与主动力所做功之间的关系,加上它是个标量方程,因此,对于具有一个自由度的系统的动力学问题,应用动能定理就比较方便。

质心运动定理描述了质心运动的变化规律与作用在其上所有外力主矢之间的关系,即反映某瞬时质心的加速度与外力主矢之间的关系,所以在已知质心加速度的情况下,应用质心运动定理求解约束力就方便了。

此外,根据质点系运动的具体条件,应用动量矩定理求运动或力、力矩也是很方便的。

在普遍定理中,还包含几个守恒定律,这些定律在解题中各有其独到之处,但是在选用守恒定律时,要特别注意到质点系的受力情形是否满足它所要求的条件。

对于各种动力学问题来说,究竟选用哪一个普遍定理求解,往往有较大的灵活性。

这是因为有的问题可用不同的定理求解,其中之一较为方便;有的问题则只能用某一定理或几个定理综合求解。

总之,动力学问题的类型众多,难点各异,难予更具体地定出几条固定的解题原则。

唯一需要的是,适当地多解一些题,在不断实践的过程中,勤于思考、善于分析、不断总结,逐步提高综合应用的能力。

·253··254·11.4 例题分析例11-1 水轮机受水流冲击而以匀角速度ω绕通过中心O 的铅垂轴(垂直于图示平面)转动。

设总流量为Q ,水的密度为ρ;水流入水轮机的流速为v 1,离开水轮机的流速为v 2,方向分别与轮缘切线间夹角为α1及α2,v 1和v 2均为绝对速度。

假设水流是稳定的,求水轮机对水流的约束力矩。

解:取两叶片之间的水流为研究对象。

作用在水流上的外力有重力和叶片对水流的约束力,其中重力平行于 z 轴,所以,外力矩只有叶片对水流的约束力矩M z 。

现在计算水流的动量矩的该变量。

设在t 瞬时,水流在ABCD 的位置,经过一段时间d t ,即t+ d t 瞬时,水流在abcd 位置,因为水流是稳定的,设动量矩的方向以逆时针的方向为正方向。

则111222cos d cos d )()(d αραρr v t Q r v t Q L L L L L L L L L ABab CDcd abCD ABab CDcd abCD ABCD abcd z ⋅+⋅-=-=+-+=-=即)cos cos (d d 111222ααρr v r v t Q L z +-= 将其代入动量矩定理式,得)cos cos (111222ααρr v r v Q M z +-=例11-2 已知刚体的质量为m ,质心到转轴O 的距离OC=a ,刚体绕水平轴O 作微幅摆动的周期为T ,求刚体相对于转轴的转动惯量。

解:建立刚体的转动微分方程式,以摆的平衡位置作为ϕ角的起点,逆时针方向为正,即ϕϕsin d d 22mga tI O -= 作微幅摆动时,ϕϕ≈sin ,上式简化为·255·0d d 22=+ϕϕg I ma t O微分方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αϕϕt I mga O sin 0 其中,0ϕ及α由运动的初始条件确定,而振动的周期为mga I T O π2=于是,可求得22π41mgaT I O = 例1-3 一飞轮由直流电动机带动,已知电动机产生的转矩M 0与其角速度的关系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ωωO O M M其中,1O M 表示电动机的启动转矩,ω1表示电动机无负载时的空转角速度,且1O M 与ω1都是已知常量。

飞轮上作用有不变的阻力矩M F ,飞轮对O 的转动惯量为I O ,求当M o >M F 时,飞轮的角速度与t 的关系。

解:飞轮的转动微分方程为()111111d d ωωωωωo F o F o o M M M M M t I --=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 令O F o I M M a -=1,11ωo o I M b = 则ωωb a t-=d d 分离变量后,积分t b b a b t d d 00⎰⎰=-ωωω()[]bt b a =--ωω0lnbt e a b a -=-ω 即·256· ()bt e b a --=1ω 可见,飞轮角速度逐渐增大,当∞→t 时,角速度达到最大值111ωωo F o m M M M b a -== 这是电动机的极限转速。

例11-4 卷扬机的传动轮系如图所示,设轴I 和Ⅱ各自转动部分对其轴的转动惯量分别为I 1和I 2,轴I 的齿轮C 上受主动力矩 M 的作用,卷筒提升的重力为mg 。

齿轮 A 、B 的节圆半径为r 1、r 2,两轮角加速度之比ε1:ε2= r 1:r 2 =i 12。

卷筒半径为 R ,不计轴承摩擦及绳的质量。

求重物的加速度。

解:本题有二根固定轴,所以必须拆开分别进行研究,分别以两轴及与其固连的齿轮为研究对象。

轴I 除受主动力矩M 和重力、轴承约束力外,还受有齿轮力 F t 及F n ,现假设ε1与M 的方向相同,如图所示。

轴 I 的转动方程为1τ11r F M I +-=-ε (a)再以轴Ⅱ和重物W 为研究对象,画出其受力图。

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