山东省潍坊市昌乐二中2020-2021学年高二4月月考数学试题
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5．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）
A．180种B．160种C．120种D．38种
6．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
山东省潍坊市昌乐二中2020-2021学年高二4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ，其中 为虚数单位，则 =（）
A．-1B．1C．2D．3
2．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．则有（）
A．
B．
C．
D．
8． 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
二、多选题
9． 的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（）
A． B．展开式中含 项的系数是-32
（1）求函数 的解析式；
（2）若对于区间 上任意两个自变量 ， ，都有 ，求实数 的最小值.
21．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 时按 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：
15．已知函数 （ 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范围是______.
四、双空题
16．若 ，则 ______， ______.
五、解答题
17．设复数 ，试求实数 取何值时
（1） 是纯虚数；
（2） 是实数；
（3） 对应的点位于复平面的第二象限.
18． 的二项展开式中.
（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 ，求展开式中的常数项；
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．A
【分析】
求出 的导函数，令导函数大于0列出关于 的不等式，求出不等式的解集可得到 的范围，即为函数的单调增区间.
包裹重量（单位： ）
包裹件数
43
30
15
8
4
公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：
揽件数
天数
6
6
30
12
6
以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在 的概率；
（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？
（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
22．已知函数 .
（1） 时，求函数 的零点个数；
（2）当 时，若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
参考答案
1．B
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 ，再利用复数相等列方程求出 的值，从而可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，则 ，故选B.
合计
20
60
80
（1）根据以上数据，能否有 的把握认为“在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 ，求 的数学期望和方差.
参考公式与数据 对应 ， 对应 .
20．已知函数 ，在点 处的切线方程为 .
（2）若所有奇数项的二项式系数的和为 ，所有项的系数和为 ，且 ，求展开式中二项式系数最大的项.
19．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
3．已知随机变量 的分布列如图所示，则 （）
A． B． C． D．
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），
由最小二乘法求得回归直线方程 .由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．67B．68.2C．68D．67.2
A．①B．②C．③D．④
12．已知函数 ，给出下面四个命题：①函数 的最小值为 ；②函数 有两个零点；③若方程 有一解，则 ；④函数 的单调减区间为 .
则其中错误命题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
三、填空题
13．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是______.
14．已知四个函数：① ；② ；③ ；④ .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________
【详解】
因为函数 ，
所以wenku.baidu.com，
由 ，可得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是一道中档题.求函数单调区间的步骤是：求出 ，在定义域内，令 求得 的范围，可得函数 增区间，由 求得 的范围，可得函数 的减区间.
3．B
【解析】
C．展开式中含 项D．展开式中常数项为40
10．若满足 ，对任意正实数 ，下面不等式恒成立的是（）
A． B． C． D．
11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是 ；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为 ；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 ；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 .则其中正确命题的序号是（）
A．180种B．160种C．120种D．38种
6．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
山东省潍坊市昌乐二中2020-2021学年高二4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ，其中 为虚数单位，则 =（）
A．-1B．1C．2D．3
2．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．则有（）
A．
B．
C．
D．
8． 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
二、多选题
9． 的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（）
A． B．展开式中含 项的系数是-32
（1）求函数 的解析式；
（2）若对于区间 上任意两个自变量 ， ，都有 ，求实数 的最小值.
21．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 时按 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：
15．已知函数 （ 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范围是______.
四、双空题
16．若 ，则 ______， ______.
五、解答题
17．设复数 ，试求实数 取何值时
（1） 是纯虚数；
（2） 是实数；
（3） 对应的点位于复平面的第二象限.
18． 的二项展开式中.
（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 ，求展开式中的常数项；
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．A
【分析】
求出 的导函数，令导函数大于0列出关于 的不等式，求出不等式的解集可得到 的范围，即为函数的单调增区间.
包裹重量（单位： ）
包裹件数
43
30
15
8
4
公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：
揽件数
天数
6
6
30
12
6
以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在 的概率；
（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？
（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
22．已知函数 .
（1） 时，求函数 的零点个数；
（2）当 时，若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
参考答案
1．B
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 ，再利用复数相等列方程求出 的值，从而可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，则 ，故选B.
合计
20
60
80
（1）根据以上数据，能否有 的把握认为“在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 ，求 的数学期望和方差.
参考公式与数据 对应 ， 对应 .
20．已知函数 ，在点 处的切线方程为 .
（2）若所有奇数项的二项式系数的和为 ，所有项的系数和为 ，且 ，求展开式中二项式系数最大的项.
19．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
3．已知随机变量 的分布列如图所示，则 （）
A． B． C． D．
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），
由最小二乘法求得回归直线方程 .由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．67B．68.2C．68D．67.2
A．①B．②C．③D．④
12．已知函数 ，给出下面四个命题：①函数 的最小值为 ；②函数 有两个零点；③若方程 有一解，则 ；④函数 的单调减区间为 .
则其中错误命题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
三、填空题
13．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是______.
14．已知四个函数：① ；② ；③ ；④ .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________
【详解】
因为函数 ，
所以wenku.baidu.com，
由 ，可得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是一道中档题.求函数单调区间的步骤是：求出 ，在定义域内，令 求得 的范围，可得函数 增区间，由 求得 的范围，可得函数 的减区间.
3．B
【解析】
C．展开式中含 项D．展开式中常数项为40
10．若满足 ，对任意正实数 ，下面不等式恒成立的是（）
A． B． C． D．
11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是 ；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为 ；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 ；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 .则其中正确命题的序号是（）