大学物理-电势

解： 平行板电容器内部的场强为 E
0
两板间的电势差
ΔV E dl Edl E dl
E ,dl
均匀场
方向一致
E
dl
d
Δ Ed
24
[例三]无限大均匀带电平面 场中电势分布.
电场分布
a o a x
E 0
0
(a x a) (x a , x a)
电荷无限分布，在有限远处选零势点.令Uo 0 ， 沿 x 轴方向积分。
x
r
er
q
rA
q0 A
2
dA qq0 dr 4πε0r 2
A qq0 rB dr 4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 ) 4πε0 rA rB
结论: A仅与q0的始末位 置有关，与路径无关.
B
rB
dr
dl
E
r
er
q
rA
q0 A
3
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E Ei
i
V Q 4πε0 x
dr x2 r2
r
R ox
Px
18
例2 真空中有一电荷为Q，半径为R的
均匀带电球面. 试求
（1）球面外两点间的电势差；
（2）球面内两点间的电势差；
（3）球面外任意点
的电势；
（4）球面内任意点 的电势.
o
A
R
rA
B
r
rB
19
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
Q
q
x2 R2
x
R，VP
q 4πε0 x
V
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
Байду номын сангаас
Px
o
x
17
通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面 的轴线上任意点的电势. dq 2πrdr
V 1 R 2πrdr ( x2 R2 x)
4πε0 0 x2 r 2 2ε0
x R
x2 R2 x R2 2x
rB
V (r) E dr
V (r) Q
4πε0r
E
dr
Q
r
R
4πε0 R
V
Q 4π 0 R
Q 4π0r
o
AB
R
rA
r
oR
r
rB
21
例3 “无限长”带电直导线的电势.
解 令 VB 0
VP
rB
E
dr
r
rB dr r 2 π ε0r
ln rB
2 π ε0 r
讨论：能否选 V 0?
§4 静电场的环路定理 电势 一、静电场力的功 电势能 二、静电场的环路定理 电势 三、电势的计算 四、等势面 电势梯度
1
一 静电场力所做的功
点电荷的电场
dA
q0E dl
qq0 4πε0r 2
er
dl
er dl dl cosθ dr
dA
qq0 4πε0r 2
dr
B
rB
dr
dl
E
Va E dl a E dl
讨论
a
a
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
10
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
V
W q
L2 MT
3I
1
3)电势是一个长程物理量
oBP
rB
r
r
22
例2 计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
解：
在球面上任取一电荷元 dq
则电荷元在球心的电势为 dV
dq
dq
Q oR
由电势叠加原理
4π 0 R
球面上电荷在球心的总电势
V
dV
Q
dq
Q 4π0R
Q
4π 0 R
思考：
•电量分布 均匀？
•圆环？
•圆弧？23
例3 平行板电容器两板间的电势差
电场力做正功，电势能减少.
7
AB q0E dl WpA WpB (WpB WpA )
令 EpB 0
WpA AB q0E dl
A EpA
B
EpB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
8
2.电势 如图示
b
E
点电荷在场中受力 f qE q
VA VB
11
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
VA VB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
20
（3）r R 令 rB V 0
Q 1 1
VA VB
（4）r R
()
4πε0
rA R
5
讨论
E dl 0
L
1）静电场的基本方程之一
静电场是保守场
2） 微分形式
E 0
3）表征静电场的性质有两个方程
qi
E dl 0
L
E dS i
S
0
6
三 电势能
静电场是保守场，
静电场力是保守力. 静电场力所做的功就 等于电荷电势能增量 的负值.
A EpA
B
EpB E
AAB WpA WpB (WpB WpA )
b b
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E dl
Wa
Wb
a
q
q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
反映了电场在a b两
点的性质
9
b
E dl Va Vb
a
称 a b两点电势差
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
势能零点
势能零点
（2）利用点电荷电势的叠加原理
V
1 4πε0
dq r
15
例1 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆
环上. 求环轴线上距环心为x处的点P的电势.
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
16
讨论
VP 4πε0
x
0，V0
q 4πε0 R
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
13
电荷连续分布时
dq dV
dq dV
4πε0r
VA
1 4πε0
dq r
dq
r
A
14
计算电势的方法
（1）利用
VA
E dl
AB
VB
势能零点
Va E dl a
已知在积分路径上 E的函数表达式
有限大带电体，选无限远处电势为零.
11
三、电势的计算
1.点电荷场电势公式
VP E dl
Q
rP
Edl
P
E dl
dl
r
dr
r
4π
Q
0
r
2
rˆ
dr
V Q
r
Q
4 0r
2 dr
球对称
标量
4π 0 r
正负
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电势的叠加原理
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A n
A Ei dl
i 1
n
Vi
i 1
VA
A q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功，与路径无关.
4
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0( E dl E dl ) 0
B
C
DE
ABC CDA
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
静电场是保守场