概率论3

X(a) = 1, X(b) = 2, X(c) = 2, 思考一下，X 是随机变量吗 ？很明显，X 不是随机变量，因为
{ω : X(ω) 1} = {a} ∈/ Ω, 那么如何对X 的取值进行一下修改，使之成为随机变量呢 ？只要修改X (b)的取值即可。令
Y (a) = 1, Y (b) = 1, Y (c) = 2,
其中，B(R)是实数轴上的Borel域。
这里有两点注记。首先，随机变量是确定性函数，自身并没有随机性。换句话说，给定 样本空间上的样本点，有唯一确定的实数值与之相对应。这种对应关系并没有不确定性。所 有的不确定性都体现在样本点是否在实验结果中出现上，和随机变量本身没有关系。随机 变量的引入，更多地是为了数学处理上的方便。其次，随机变量并不是概率论中独有的概 念。实分析的基本研究对象是所谓“可测函数(Measurable Functions)”。如果我们规定所谓 “可测集(Measurable Sets)”为某种σ-代数的元素，且在函数的定义域和值域上都定义了相应 的σ-代数，那么“可测函数”就是“可测集”原像仍为“可测集”的函数。很明显，随机变量 是一种特殊的可测函数，这里的“可测集”具有了更为具体的实际含义。
例 1.5 (随机变量平方) 包络检波器在通信和雷达电路中十分常见。小信号条件下，平 方律检波器作为包络检波器的重要类型被广泛使用。设平方律检波器的输入为随机噪声X， 那么其输出Y = aX2仍然是随机噪声。这是随机变量平方的典型实例。
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例 1.6 (随机变量初等变换) 通信系统中载波信号常常表示为
是否仍然是随机变量呢？答案当然是肯定的。
定义 1.2 (实轴上的可测函数) 设B(R)为实数轴上的Borel域，如果函数f (x)满足
f (x) : R → R, f −1(A) ∈ B(R), ∀A ∈ B(R),
(1-7)
则称函数f 为可测函数(Measurable Function)。
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可以证明，常见的初等函数都是可测函数[1]。事实上，实际应用中遇到的绝大多数函数 或者变换都是可测的。因此，读者一般不用担心函数的可测性质会影响推理。下面的结论可 以直接验证。
对于通常人们关心的集合A ⊆ R，事件X ∈ A的不确定度性应该能够被精确描述；
事件X ∈ A的不确定度应该和相应的统计实验结果的不确定度相一致。
对于第一个问题，根据第二章对实数轴上Borel域B(R)的讨论，绝大部分人们所关心的集合 都在B(R)内。所以，确保B(R)中元素的不确定度能够被度量是随机变量须满足的条件。由于 在样本空间Ω上已经定义好了σ-域F ，F 中的元素都能够用概率来描述其不确定度，所以要 求B(R) 内的元素能够和F内的元素相对应是自然的。也就是说，
随机变量与分布函数
PART A
我们已经在严格的公理化基础上建立了概率的定义。概率是以集合为自变量的函数，这 使我们或多或少感到困惑。统计实验的结果是样本空间的样本点，当我们使用概率方法对这 些实验结果（样本点）进行分析的时候，难道不能够直接对这些样本点实施运算吗？这里会 遇到一定的困难，主要的问题是样本点本身是实体对象，不一定具有数量特性，从而可能无 法直接使用数学工具进行处理。例如，抛硬币实验所得到的结果是“正面”和“反面”。如果 我们想要了解多次实验中“正面”出现的次数，那么直接对“正面”和“反面”进行处理不恨 妥当。“正面”+“正面”什么意思呢？含义并不清晰。因此，如果试图使用数学工具，那么首 先需要将非数值的研究对象（样本点）进行“量化”。也就是说，需要一种“映射”，能够将非 数值的实验结果转化为数值，才能够让数学分析和运算工具发挥作用。退一步讲，即便实验 结果本身是数值，仍有很大可能无法直接观测到。例如，对通信信道中的噪声电平进行重复 采样，由于采样仪器精度以及采样手段的限制，我们获得的观测结果只能是实际噪声电平的 某种近似。这里的仪器和采样方法同样构成了某种从实际实验结果到观测的“映射”。因此， 在我们对概率论展开讨论之初，应该建立一种从样本空间映射到数值的“映射”，并在此基 础上使用数学运算工具进行分析研究。这个映射就是“随机变量”。
随机变量生成的Borel域
随机变量不仅仅对统计实验结果进行了量化，还起到了在样本空间与实数轴间传递信 息的作用。随机变量中包含的信息是如何通过样本空间来表达的呢？首先考察一个例子。
例 1.8 继续例1.3的讨论，分别考察使得X和Y 成为随机变量的σ-代数
Y : {{a, b, c}, {a, b}, {c}, ∅}, X : {{a, b, c}, {a}, {b, c}, ∅},
定理 1.4 考虑样本空间Ω和其上的σ-代数F，如果{Xk}是Ω上的随机变量序列，假定其 存在逐点极限X，那么X 也是随机变量。
证明 2 我们从上（下）极限出发，来研究随机变量的极限。注意到存在确定的整数N0和N1， 使得
∩
{ω : sup Xk x} = {ω : Xk(ω) x},
k
k>∩N0
{ω : inf Xk x} = {ω : Xk(ω) x},
例 1.7 (随机信号相乘) 通信系统中调幅信号的典型形式为
X(t) = A cos(2πf t + Φ), 其中幅度A和相位Φ都是随机变量。这是随机变量相乘的典型实例
ห้องสมุดไป่ตู้
以上例子说明，随机变量应该对加、减、乘、除和初等函数变换等操作封闭。定理1.1为 我们提供了有力的工具。
定理 1.2 考虑样本空间Ω和其上的σ-代数F，如果X和Y 是Ω上的随机变量，那么
由于Borel域包含的元素（集合）非常多，且大多数元素的结构很复杂，所以直接考察其 在样本空间中所对应的原像比较困难。为此，我们需要把所考察的集合范围收窄。
定理 1.1 考虑样本空间Ω和其上的σ-代数F，X : Ω → R，如果
X−1((−∞, x]) ∈ F , ∀x ∈ R,
那么X 是随机变量。
定理 1.3 考虑样本空间Ω和其上的σ-代数F，如果X是Ω上的随机变量，f (x)为可测函 数，那么f (X)是随机变量。
随机变量仅能做初等运算显然是不够的，现代数学处理手段的基本内容是以极限为核 心的微积分。因此，随机变量的极限是否仍然是随机变成为了重要问题。由于随机变量本身 是函数，而函数的极限有很多种类，比如在微积中学到过的逐点极限、一致极限等，随着学 习的深入，我们还将接触到其他类型的随机极限。这里只考虑逐点极限。
证明 1 令B(R)为Borel域，C为满足如下条件的集族
A ∈ C ⇐⇒ A ∈ B(R), X−1(A) ∈ F ,
很明显，C ⊆ B(R)，我们需要证明的是C = B(R)。 注意到集合的交、并、补运算在X 的逆映射下保持不变，即
∪∞
∪∞
X−1( Ak) = X−1(Ak),
k=1
k=1
∩∞
∩∞
k k>N1
(1-8) (1-9)
我们有supk Xk和infk Xk都是随机变量。又根据微积分知识，
lim sup Xk = inf sup Xn, lim inf Xk = sup inf Xn,
k
k n>k
k
k n>k
所以，lim supk Xk和lim infk Xk也都是随机变量。而注意到
随机变量的基本概念
随机变量的定义
随机变量是定义于样本空间上的实数值映射，完成了对统计实验结果的量化。但是，仅 仅有量化是不够的。概率论研究事件的不确定性，作为不确定性的度量，概率定义在样本 空间上，并没有直接定义在实数轴上。所以，随机变量取值的不确定性需要相应的刻画。如 果X 是随机变量，那么有两个问题值得考虑：
容易验证，Y 成为了随机变量。改变前的X和改变后的Y 有什么本质的不同呢？仔细观察就 会发现，Y 具有这样的特性：仅通过F就能够推断Y 取值的差异情况（不包括具体的数值）。 换句话说，样本空间上的σ-代数包含了Y 取值差异的几乎全部信息。这也是随机变量定义 中(1-3)之所以非常重要的原因。
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随机变量的判定
(1-10)
lim Xk = X ⇐⇒ lim sup Xk = lim inf Xk = X,
k
k
k
立刻得到，X 也是随机变量。
(1-11)
尽管我们出于逻辑完整性的考虑，对严格遵循定义的随机变量的判定给予了充分的强 调，但在实际应用中，随机变量的理论判定并不总是意义重大。许多应用概率问题都不对随 机变量的定义进行严格检查。读者在具体工程实践中需要始终明确，随机变量是定义在样本 空间上的实值函数。其他的随机变量定义探讨，读者可以根据需要作出适度的简化处理。
例 1.1 考虑抛硬币实验，如果以H表示正面向上，以T表示反面向上，设样本空间为{H, T}，σ代数为{∅, {H, T}, {H}, {T}}，定义函数X(ω) 为
X(H) = 1, X(H) = 0,
容易验证X (ω)满足(1-3)，因此为随机变量，该随机变量称为Bernoul li随机变量。
例 1.2 考虑对通信信道中的噪声电平进行数字采样，则样本数据自身具有数量特征。 由于采样设备数字量化误差的限制，实际上只能获得离散的采样值。但是，多数情况下为 简单起见，假设实验结果为连续数值（这种近似在实际应用中经常被采用）。因此样本空间 为R，σ-代数为实数轴上的Borel域，代表采样结果的随机变量为
∪ {ω : X(ω) < r} = {ω : X(ω) < qk}, qk→r, qk ∈ Q,
k
从而可以把(1-5)改写为
∪ {ω : X(ω) + Y (ω) < x} = {ω : X(ω) < q} ∩ {ω : Y (ω) < x − q},
q∈Q
(1-6)
由于{ω : X(ω) + Y (ω) < x}与{ω : X(ω) + Y (ω) x}是等价的，立刻得到所需证明的结论。 除了四则运算以外，随机变量在初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）作用下