全等三角形的定义及性质
全等三角形的概念、性质与判定
1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。
4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。
注意：“边边角”不一定成立。
反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。
【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。
分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。
全等三角形的定义与性质
E DCBAFD ECBADC BAEDCBADCBAEDCBA F ED CB AD CBAEDCBA全等三角形的定义与性质知识要点1、全等△的定义: 完全重合的两个三角形叫全等三角形2、全等△的性质: 1、对应边相等,对应角相等 (对应三线、周长、面积相等)学以致用1、下列图形中的两个三角形全等，请按字母顺序分别写出两个三角形,并指出它们的对应点、对应边和对应角。
平移形:对折形：旋转形：EDC BAD C BA2、下列各图中有几对全等三角形，请按字母顺序把它们分别写出来,并指出每一 对的对应边和对应角。
用全等△的性质解题:1、已知B 、C 、E 在同一直线上，且△ABC ≌△DCE ，∠B=32 ，∠E=65 ， 则∠D=____，∠ACD=____。
2、已知B 、C 、E 、F 在同一直线上，且△ABC ≌△DEF ，∠A=56 ，∠F=65 ， ①求∠EOC ②求证:BE=CFC F EB D A F EDC BA OFE DC BAOE D CBA NMEDCBAFEDC B AE D CB A3、已知△ABE ≌△ACD ，①求证：BD=CE ②若∠A=60 ，∠B=50 ，则∠ADC=_____，∠BOD=_____。
4、已知△ABE △≌ACF ，∠EAB=062，∠C=020， 则∠F=____, 若∠BAF=30 ,则∠BAC=_____。
5、已知A 、C 、D 在同一直线上，直角三角形△ABC ≌△DCE ， 则∠BCE=_____，若AB=4，DE=3，则AD=_____ 。
6、已知△ABC ≌△EDC ， 求证：∠DCB=∠ECA=∠DAB 。
E DC BA FE DCB A 21DC BA D C FE B A 全等三角形的判定知识要点全等△的判定定理: 1、SSS 2、SAS 3、 AAS 4、ASA 5、HL学以致用1、如图，已知AD=BE,A BDF ∠=∠，要是△ABC ≌△DEF ，可补充的一个条件是___________________（可以写几个？）。
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形定义性质
例2 如图5，已知ACF DBE，E F AD 9cm, BC 5cm. 求：AB的长
B
C
找全等三角形对应边和对应角的方法：
1、从长短大小
两个全等三角形的一对最长边（最大角）是 对应边（角）；一对最短边（最小角）是对 应边（角） 对应角所对的边为对应边；对应边所对的角 为对应角；两个对应角所夹的边为对应边； 两条对应边所夹的角为对应角。
2、从对应边与对应角的关系
3、从位置
公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角 为对应角
全等三角形的运用举例
练习2. 已知如图△ABC≌△DFE， ∠A=96º ，∠B=25º ，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A D
B
C E
F
练习3.
≌
E
F
解:∵△ACF≌△DBE
∠ E=∠F ∴AC=DB ∴AC-BC=DB-BC 即AB=DC
A B 图5
C
D
∵AD=9㎝,BC=5㎝
∴AB=2㎝
能够完全重合的两个图形称为全等形
全等三角形
A1 A1
B1
C1
B1
C1
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
A
A1
B
C
B1
C1
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：AB和A1B1，AC和 A1C1 BC和 B1C1 对应角：∠A和 ∠A1， ∠B 和 ∠B1， ∠C 和 ∠C 1
D O
C
A
图1
B
70° A ⑷.如果∠A=35°，∠D=75°，那么∠COB=____ 2、如图2，如果△ADE ≌ △CBF，那么AE∥CF吗？ 是 (口答“是”或“不是”) ___ D
三角形全等的课程标准
三角形全等的课程标准三角形是几何学中基础而重要的概念之一，而全等三角形则是三角形的一个重要属性。
在教学中，我们需要了解和掌握三角形全等的课程标准，以便正确理解和应用相关知识。
本文将介绍三角形全等的课程标准，以及相关的性质和应用。
一、全等三角形的定义在欧几里得几何中，两个三角形全等意味着它们的所有对应边和对应角都相等。
具体来说，当两个三角形相互重合时，它们就是全等的。
据此，我们可以推导出以下三角形全等的判定条件：1. SSS判定法：若一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：若一个三角形的两边和夹角分别与另一个三角形的两边和夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：若一个三角形的两个夹角和边分别与另一个三角形的两个夹角和边相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：若一个三角形的两个角和一边分别与另一个三角形的两个角和一边相等，则这两个三角形全等。
二、全等三角形的性质了解全等三角形的性质，不仅有助于我们判断两个三角形是否全等，还能帮助我们解决一些相关的几何问题。
1. 对应部分相等性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 对称性质：如果三角形ABC和三角形DEF全等，那么三角形DEF和三角形ABC也全等。
3. 转置性质：如果三角形ABC和三角形DEF全等，那么三角形BCA和三角形EFD、三角形CAB和三角形FDE也全等。
4. 脚性质：如果两个三角形的一个角全等，并且两个边的长度成比例，那么这两个三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形的应用广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 构造几何：利用全等三角形的性质，可以进行各种构造，如平行线的构造、中位线的构造等。
2. 三角函数：全等三角形的性质与三角函数密切相关。
在解决三角函数相关问题时，可以利用全等三角形的性质进行推导和计算。
3. 证明问题：在几何证明中，全等三角形经常被用来证明两个几何图形的相等性和特殊性质。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。
（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。
有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
全等三角形的定义和性质
两个三角形的三个内角分别对应相等 ，且三边对应成比例，则这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成 比例，对应高、中线、角平分线也成 比例，周长之比等于相似比，面积之 比等于相似比的平方。
相似三角形与全等三角形联系与区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，当相似比为1时，相似三角 形即为全等三角形。因此，全等三角形具有相似三角形的所 有性质。
的两个基本条件。
在解决与角度有关的问题时， 可以利用全等三角形的对应角
相等这一性质来求解。
性质应用举例
1
利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相 等以及求解一些与三角形有关的问题。
2
例如，在证明两个三角形全等后，可以利用对应 边相等或对应角相等的性质来证明其他线段或角 的相等关系。
3
又如，在求解一些与三角形有关的问题时，可以 通过构造全等三角形来利用全等三角形的性质求 解。
根据题目给出的条件，我们可以 按照ASA判定方法来证明两个三 角形全等。首先，由已知条件可 得AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF。因此，根据ASA判定方法， 我们可以得出△ABC ≌ △DEF。
03 2. 题目
已知△ABC中，∠C = 90°，AD平 分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于 点E。求证：△ACD ≌ △AED。
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解析
该命题不正确。根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等， 则这两个三角形相似。但此命题中说的是“有一个角相等”，并未指明是夹角，因此不能判 定两个三角形相似。
06 总结回顾与课堂练习
关键知识点总结
• 全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
(完整版)全等三角形的性质及判定
全等三角形第1节全等三角形的性质和判定【知识梳理】1、全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．4、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊断自测】1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点突破】类型一：全等形例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。
（填“是”或者“不是”）类型二：全三角形的定义和性质例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）A．90°B．85°C．80°D．75°类型三：全等三角形的判定（SSS）例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .类型四：全等三角形的判定（SAS ）例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．HL例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．．例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△DEC ≌△CDA ．类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____【易错精选】1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度A CBED【精华提炼】判定三角形全等的基本思路：SAS SS HLSSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AASSAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．基础巩固一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与B E相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．A8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。
全等三角形定义
全等三角形定义：经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
全等三角形的判定：边边边（SSS ）②边角边（SAS ）③角边角（ASA ）④角角边（AAS ）⑤斜边，直角边（HL ）全等三角形的性质：1．全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2．全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
3．全等三角形周长，面积相等。
注意：1．使用判定定理时，是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA ）这个判定定理。
2．书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。
常见辅助线写法：⑴过点A 作BC 的平行线AF 交DE 于F⑵过点A 作BC 的垂线，垂足为D⑶延长AB 至C ，使BC ＝AC⑷在AB 上截取AC ，使AC ＝DE⑸作∠ABC 的平分线，交AC 于D⑹取AB 中点C ，连接CD 交EF 于G 点图3 图1 图2例1如图，AB ＝CD ＝1，∠AOC ＝60°，证明：AC ＋BD ≥1。
OCDA B例2(2007年北京中考）如图，已知△ABC⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。
例3已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。
且AD＝BE＝CF＝2。
求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF3。
例4如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。
仔细阅读以上材料，完成下面的问题。
如图2，设P为□ABCD内一点，∠P AB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。
图1 图2⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。
全等三角形概念及其性质
全等三角形概念及其性质知识精要1.全等形能够重合的两个图形叫做全等形2.全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。
（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
注：（1）全等三角形并一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系。
（2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合。
3.确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小。
4．全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2、全等三角形的周长和面积相等【例题与应用】1、图形的三种基本运动是翻折、旋转和平移.2、根据所给图形的信息，完成下列填空：（要求对应顶点字母写在对应的位置上）∆；（1）如图（1），△ABC≌DEF∆；（2）如图（2），△ABC≌DBC∆；（3）如图（3），△AOB≌DOC3、如图，已知△ABC≌△DEF，求图中x，y，z的值.解：060x =00220202z z z y =+==4、如图，在方格中各画一个与所给三角形全等的三角形，并用全等符号表示.5、如图，已知△ABD ≌△ACE ，AD =3cm ，BD =1cm ，BC =6cm ，求△ADE 的周长. 解：ABD ∆ ≌ACE ∆ 3AD AE cm ∴==1BD EC cm ==（全等三角形，对应边相等）6114DE BC BD EC cm ∴=--=--=33410ADE C AD AE DE ∆∴=++=+==6、如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E =∠F ，AD =9cm ，BC =5cm ，求AB 的长. 解：ACF ∆ ≌DBE ∆AC DBAB BC DC BC∴=∴+-+即11()(95)222AB CD AD BC cm ==-=⨯-= 7、画△ABC ，使∠A =60°，∠B =40°，AB =4.5cm.解：确定三角形的形状和大小，若两个三角形形状，大小完全相等，则称为全等三角形，因此为判定三角形全等的方法。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作A ABC也Q EF，其中点A和点D，点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；/ A和/D，/B 和ZE，ZC和/F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等要点四、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ）全等三角形判定一（SSS, SAS）全等三角形判定1 ―― “边边边”三边对应相等的两个三角形全等•（可以简写成“边边边”或“ SSS'）.要点诠释：如图，如果A'B' = AB , A'C' = AC , B'C' = BC,则△ABCA'B'C'.要点二、全等三角形判定2―― “边角边”1.全等三角形判定2―― “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或要点诠释：如图，如果AB = A'B' , ZA = / A', AC = A'C'，贝UAABC也zA'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，AXBC 与A ABD 中，AB = AB , AC = AD , ZB=ZB，但A ABC 与A ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1 ―― “边边边”1、已知：如图，△ RPQ中，RP= RQ , M为PQ的中点.求证：RM平分Z PRQ .证明：T M为PQ的中点（已知），•••PM = QM在△RPM和△RQM中，RP RQ（已知），PM QM,RM RM公共边•△PM ^z RQM （SSS）.•ZPRM =/QRM （全等三角形对应角相等）即RM平分Z PRQ.举一反三:【变式】已知：如图，AD = BC, AC = BD.试证明：/CAD =/DBC.类型二、全等三角形的判定2―― “边角边”^^2、已知：如图，AB = AD , AC = AE, /1 =/2 .求证：BC= DE.证明：• / + /CAD =/2 + ZCAD，即ZBAC = /DAE 在/ABC和ZADE中AB ADBAC DAEAC AE•••/ABC也zADE (SAS)•••BC = DE (全等三角形对应边相等)AB = CB , EB = DB ,Z ABC = /EBD = 90 ° ）连接 AE 、CD ，试确定 AE与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论.v/ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ••AB = BC , BD = BE在△KBE 和MBD 中 AB BC ABE CBD 90 BE BD• ZABENBD (SAS )••AE = CD , Z 1 =/2又+ Z 3 = 90 °,3 =/4 (对顶角相等) • z 2 +Z 4 = 90。
全等三角形的性质和判定
【知识要点】1．全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
【注意】互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。
2. 两个全等三角形的表示：∆ABC ≌∆DEF 【注意】把对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
4. 全等三角形的判定（1）两边夹一角对应相等：S.A.S ； （2）两角夹一边对应相等：A.S.A ； （3）两角一对边对应相等：A.A.S ； （4）三边对应相等：S.S.S ；【典型例题】1．全等三角形的性质【例1】如图，AB=AD, AC=AE, 如果∆ABE ≌∆ACD 全等，∠BAD ＝90°,BE=10,∠CAE ＝_______,CD=____.【分析】利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
【解答】∆ABE ≌∆ACD ，则∠BAD ＝∠CAE ＝90°,BE CD 10==.2．全等三角形的判定【例1】如图，已知BAC DAE,ABD ACE, AD AE ∠∠∠∠=＝＝ , 求证：A B A C , B D ==【分析】只要证明∆ABD ≌∆ACE ，就可证明A B A C , B D C ==。
已知A B D A C E ∠∠＝,ADAE =，如果能再找出一对角相等就可判定全等。
由已知BAC DAE ∠∠＝，则BAC DAC DAE DAC ∠-∠∠-∠＝，即BAD CAE ∠∠＝【解答】ABD ACE,BAD CAE, AD AE ∠∠∠∠=＝＝()ABD ACE A.A.S ∴≌AB AC, BD CE ∴==【点评】从已知条件中获取足够信息证明两个三角形全等，进而证明对应边相等、对应角相等，是重点考察的内容。
而利用角和边的等量加减等量其和差相等，也是常用技巧。
【例2】如图，A 在OC 上, B 在OD 上, OA=OB, OC=OD, BC 与AD 相交于T ，求证：OT 平分COD ∠. 【分析】只要证明AOT BOT ∠∠＝，就是OT 平分COD ∠, 可寻求证明COT DOT ∆∆≌, 为此要证CT=DT ，这样又要证 C D ∠=∠，那么可从判定COB DOA ∆∆≌入手。
全等三角形的定义与性质经典实用
小结：找对应元素的规律：
（1）有公共边的，公共边也是对应边. （2）有公共角的，公共角也是对应角. （3）有对顶角的，对顶角也是对应角. （4）最大边（角）是对应边（角）.
最小边（角）是对应边（角）. 对应边所对的角是对应角. 对应角所对的边是对应边.
•全等三角形的定义与性质
提高1。请指出下列全等三角形的对应边和对应角
∠ A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）
•全等三角形的定义与性质
练习:有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式 子表示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
D
平
移
B
C
E
F
这两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F
小结：最大边（角）是对应边（角）。 最小边（角）是对应边（角）。
•全等三角形的定义与性质
D
旋 转
如图△AOC≌△BOD
B 1.对应边是：OA与OB
OC与OD，AC与BD
2.∠AOC的对应角 是 ∠BOD
O
∠A的对应角
是 ∠B
A
C
小结：有对顶角的，对顶角也是对应角.
•全等三角形的定义与性质
C
翻
C
折
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD= CB ； BD= DB ； ∠ABD=∠CDB ； ∠ADB=∠CBD； ∠A= ∠C ；
•全等三角形的定义与性质
提高2。如图已知△ AOC ≌ △BOD 求证：AC∥BD
•全等三角形的定义与性质
提高3。如图△ ABD ≌ △ ACE ，若 AB=6，AD=4，BD=5，则AC= 6 ， CD= 2 。
三角形全等的性质
三角形全等的性质
三角形全等是几何学中最基本的性质之一，它
指的是任意三角形中三边相等，且三顶点不共线。
基于它，我们可以在任何三角形中推断出其它特
定性质。
三角形全等的解释是：在直角坐标系中存在三
条不同封闭路径，它们的距离都相等，如同边的
长度一样，称为三角形全等。
如果满足所有三条
路径都相等，则三角形也称为全等三角形。
又称
三角形等边，是一种特殊类型的三角形，它是等
边三角形的一种。
通常，三角形全等的情况是由等边三角形和等
腰三角形共同构成的。
等边三角形的三条边的长
度相等，而等腰三角形的两个相邻边的长度相等，并且与对角线的长度不相等。
三角形全等也是常用的几何图形中最重要的性
质之一，几何图形中存在着许多与三角形全等有
关的重要定理，比如勾股定理。
简言之，三角形
全等的特性是极其重要的，而几何性质有助于增
强我们对数学方面的理解能力。
因此，在基础教育中，我们更应该重视三角形
全等，以增强对几何学思想的理解。
只有当学生
掌握了围绕三角形全等的这些基础知识之后，才
能进一步深入地学习三角形的各种类别及其特性，探究各种三角形间的关系，从而更好地理解数学
概念。
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∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形对应角相等）
小测试
1.如图△ABC≌ △ADE
D
B
A
若∠D=∠B， ∠C= ∠AED，
ＡＢ。 ∠DAE= ∠BAC ；
则 AD=
E
C
找对应边和对应角
三角形的全等变换
⑴.平移
⑵.翻折
⑶.旋转
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试(1)： 和对应角
解：∵△ABD≌ △EBC ∴EB=AB=3cm BD=BC=5cm
∴DE=BD-EB
=5-3=2cm
【典例精讲】
P8 2.（江苏南通中考题）如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°， ∠D=∠C=25°下列结论①OD=OC，②BC=OD，③BD=AC正确 的有 A.1个 。 B.2个 C.3个 D.4个
A
D
B
规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边
先写出全等式，再指出 试一试(6)： 它们的对应边和对应角
∵△ABC≌△FDE ∴AB=FD, AC=FE, BC=DE ∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
规律四：一对最大的角时对应角 一对最小的角是对应角
Байду номын сангаас
学以致用
例：如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
A
∵△ABC≌△ADE ∴AB=AD, AC=AE, BC=DE ∴∠A=∠A, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠AED.
C
E
D
规律三：有公共角的，公共角是对应角
B
先写出全等式，再指出 试一试(5)： 它们的对应边和对应角
C
∵△ABC≌△DEC ∴AB=DE, AC=DC, BC=EC
E
∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB= ∠DCE.
2
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能够完全重合的两个图形叫做全等形
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
11
12
观察：在上面的图形中哪些是全等形？
牢记：如果两个图形全等，它们的形状和 大小一定都相同 ！
全等三角形
能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形
A D
如图
B C E F
互相重合的顶点叫对应顶点. 互相重合的边叫对应边. 互相重合的角叫对应角.
3、如图，△ABC与△DEF全等，∠F=∠C，∠D=∠A，
AD=12cm，BE=2cm，求线段AB的长________。
P11（课堂检测） 10、已知△ABC≌△A'B'C',∠A=∠A',∠B=∠B'，∠C=70°， AB=15cm,则∠C '=______，A'B'=_______。
11、如图，距形ABCD沿DE折叠，点C恰好落在BA边上，得点C',
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△ABC与△DEF全等
用符号“≌”表示 记作：△ABC≌△DEF 读作：“△ABC全等于△DEF”
注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应的位置上。
全等三角形的性质
B
A
D
C
E
F
全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等。 已知△ABC≌△DEF，则有：
AB=DE，BC=EF，AC=DF；（全等三角形对应边相等）
使∠C'EB=40°，求∠EDC'的度数
限时练习
1.已知△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，
∠E=52°。MN=12，求∠P的度数及DE的长 2.将△ABC沿直线BC平移到△ECD （1）相等的边有 ，相等的对应角有
A E
。
（2）∠ACE=∠E吗？为什么？
B
C
D
3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，若DE∥AC交BC的 延长线与点E，且△ADC≌△ECD，梯形ABCD的面积和△BDE的面 积相等吗？
C
F
A
∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE,BC=EF,AC=DF. ∴∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F.
D
B
E
平移
先写出全等式，再指出 试一试(2)： 它们的对应边和对应角
C 翻折
A
B
∵△ABC≌△ABD
∴AB=AB, BC=BD, AC=AD. ∴∠BAC=∠BAD, ∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D.
全等三角形
----------定义及性质
回顾
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三角形三边关系 三线的定义 三角形内角和 三角形外角定理 多边形内角和与外角和
我们发现
一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但＿＿＿ 形状 和＿＿＿都没有改变 ,即平移,翻折,旋转前后的图形 大小 ______ 。 完全重合
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D
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出 试一试(3)： 它们的对应边和对应角
D
∵△AOC≌△BOD
∴AO=BO, AC=BD, OC=OD. ∴∠A=∠B, ∠C=∠D, ∠AOC= ∠BOD.
B 旋转 O
A
C
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
先写出全等式，再指出 试一试(4)： 它们的对应边和对应角
Cycle
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2 5
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3 4
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B C A D
E
4.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移一个单位得到△DEF， 则四边形ABFD的周长为（ ） A D A.6 B.8 C.10 D.12
B
E
C
F
目标完成 • 宝贝们棒棒哒ლ(°◕‵ƹ′◕ლ)
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