相似三角形经典习题
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图，在△A中Q DE// BC, EF // AB，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD, 点F在BC上，连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证：△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3.如图，点 D , E在 BC 上，且 FD // AB, FE // AC.求证：△ ABC s\ FDE .4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,试说明：△ ABF s\ EAD .5.已知：如图①所示，在△和念BCD中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：①BE=CD :②厶 A是等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PBDAMN.图①6.如图，E是？ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间，△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
三角形相似证明基础50题
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求 证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上 点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方 向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEFS，求CDFS∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D点是ABC∆的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上，并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB⊥，然后再选点E，使BCBD米，=EC⊥，确定BC与AE的交点为D，测得120 EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？=60DC米，50=例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F 处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC的边AB＝32，AC＝2，BC边上的高AD＝3．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似 例2． 解 ABCD Θ是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS，∴)cm (542=∆CDFS．例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证． 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠． 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ， 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b aa '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长． 解ECDF EC AE //,⊥Θ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆． 所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度． 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36Θ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD Θ平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CDAB BC⋅=2，∴CDAC AD⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bca=2，一般都是证明比例式，b d c a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB +=Θ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ． 例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F 作ABFG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求． 解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB，162=BC ，∴222BC AC AB=+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴ACFCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵xxx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
相似三角形经典练习题
相似三角形经典练习题一．选择题（共9小题）1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（ ）A．1：3B．1：4C．1：D．1：23．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（ ）A．B．C．D．4．如图，▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ=4：3，则AP：PR=（ ）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：75．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（ ）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）A．B．C．D．7．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）A．B．10C．或10D．以上答案都不对8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是 ．11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有 （填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．12．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD= ．13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE= ．14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF= ．15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ．16．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽ ，对应边的比例式是 ．17．如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是 ，结论是 ．（注：填序号）18．已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC= ．19．如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于 度．20．一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张．三．解答题（共10小题）21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．25．如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．26．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC 于点E．（1）求的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．28．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O 开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．29．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A 开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x 轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．相似三角形经典练习题20161115参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（ ）A．1：3B．1：4C．1：D．1：2【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵∠ADC=∠ADB=90°，∠C=∠BAD∴△ACD∽△BAD∵S △CAD =3S △ABD ，且这两三角形高相等∴AB ：AC=1：故选C ．【点评】本题考查了三角形的面积公式，及相似三角形的判定及性质． 3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1，S 2，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得的值．【解答】解：根据三角形的中位线定理，△ADE ∽△ABC ，DE ：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以=，故选C ．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 4．（2012秋•桐城市校级月考）如图，▱ABCD 中，Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ ：CQ=4：3，则AP ：PR=（ ）A ．4：3B ．4：7C ．3：4D ．3：7【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】利用“平行线法”证得△ADQ∽△RCD，则对应边成比例：=；同理，证得△ADP∽△RBP，则=，即=．【解答】解：如图，∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∴△ADQ∽△RCD，∴=，即=，∴RC=AD．同理，△ADP∽△RBP，则=，即=，∴==，即AP：PR=4：7．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】本题可根据相似三角形的性质求解，已知了∠AED和∠B对应相等，因此AD、AC是对应边，AE、AB是对应边，DE、BC是对应边，根据相似三角形的对应边的比例相等，即可判断哪个选项正确．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且∠AED=∠B∴AD、AE、DE的对应边分别是AC、AB、BC因而有故本题选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找准相似三角形的对应边是解题的关键．6．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．故选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．7．（2012秋•杞县校级期末）如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC 相似，则AE等于（ ）A．B．10C．或10D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．8．（2009•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．9．（2006•大兴安岭）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（ ）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．【解答】解：设CD=x，根据C′D∥BC，且有C′D=EC，可得四边形C′DCE是菱形；即Rt△ABC中，AC==10，，EB=x；故可得BC=x+x=8；解得x=．故选A．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．二．填空题（共11小题）10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是 ±6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的概念，设a、b的比例中项是c，则c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．【解答】解；设a、b的比例中项是c，则c2=ab∵a=4，b=9，∴c2=ab=36，解得：c=±6；故填： 6或6．【点评】此题考查了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有 ①③④ （填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC•BC=AB•CD，即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴BC2=BD•BA，故③正确；∴△ACD∽△CBD，∴，∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，故②错误，④正确．故答案为：①③④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．12．（2011春•武侯区校级期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD= 6.4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组对应角相等，再加上一对公共角，可证△ACD∽△ABC，利用比例线段可求AD．（可先利用勾股定理求出AB）【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴=，又∵在Rt△ABC中，AB===10，∴=，AD=6.4．【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质，还要结合勾股定理求出相应的边长，方可进行计算．13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE= 8 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据DE∥AC，证得△BED∽△BCA，再由相似三角形对应线段成比例可得出答案．【解答】解：由DE∥AC可得△BED∽△BCA，∴==，又AC=12，可得DE=8．故填8．【点评】本题考查平行线的知识，注意相似三角形对应线段成比例的性质．14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的定义得出AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE；根据相似三角形对应边成比例得出①，再证明△BEG ∽△DEA，得出②，等量代换得到，于是得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，∴△ABE∽△FDE，∴①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，∴△BEG∽△DEA，∴②，由①②可得，，∵AE=4，EG=3，∴EF=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2012•通州区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= 5：3：12 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ AP=AC，QC=AC AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．16．（2014秋•肥西县期末）如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽ △DAC ，对应边的比例式是 == ．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解，再根据相似三角形的性质写出对应边的比例式．【解答】解：在△ABC和△DAC中，∵∠C=∠C，∠B=∠DAC；∴△ABC∽△DAC；∴==【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．17．（2012•牡丹江模拟）如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是 ① ，结论是 ③或④ ．（注：填序号）【考点】命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定和性质进行分析．【解答】解：因为若∠BAD=∠C，则△ABC∽△DBA，故=，=，条件是①，结论是③或④．【点评】解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念．真命题：判断正确的命题叫真命题；假命题：判断错误的命题叫假命题．18．（2014春•江都市期末）已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC= 8：5 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC=EF：FC=2：3∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3）∴AE：EC=8：5．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．19．（2012秋•桐城市校级月考）如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于 90 度．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】设正方形的边长为1，根据正方形的性质得到∠ABE=45°，BE=，再利用勾股定理计算出CE=，则BE：BD=BC：BE=：2，加上公共角，于是可判断△CBE∽△EBD，则∠BDE=∠BEC，再利用三角形外角性质得∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，然后计算∠ABE+∠ACE+∠ADE．【解答】解：设正方形的边长为1，∵四边形AEFB为正方形，∴∠ABE=45°，BE=，在Rt△AEC中，AC=2∴CE==，∴BE：BD=：2，BC：BE=1：=：2，∴BE：BD=BC：BE，而∠CBE=∠EBD，∴△CBE∽△EBD，∴∠BDE=∠BEC，∵∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，∴∠ABE+∠ACE+∠ADE=45°+45°=90°．故答案为90．【点评】本题考查了相似三角形得判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．20．（2011•连云港一模）一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 6 张．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．【分析】设第x张为正方形，如图，△ADE∽△ABC，则=，从而计算出x的值即可．【解答】解：如图，设第x张为正方形，则DE=3，AM=22.5 3x，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．三．解答题（共10小题）21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ADE的面积，相减即可求出答案．【解答】解：∵，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵△ABC的面积为60cm2，∴△ADE的面积是×60cm2=cm2，∴四边形BCDE的面积是60cm2 cm2=cm2，答：四边形BCDE的面积是cm2．【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．22．（2015春•苏州校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．【考点】相似三角形的应用．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【解答】解：在△DEF 和△DBC 中，，∴△DEF ∽△DBC ，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m ，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m ，即树高5.5m ．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．23．（2015秋•北京校级期中）已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：CF 2=GF•EF ．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴=，=，∴=，即CF 2=GF•EF ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．【解答】解：在△AEM和△CED中，∠CAB=∠DCA（内错角相等），∠AEM=∠CED，∴△AEM∽△CED，∴，∵AE=EF=FC，∴=，∴AM=CD；∵AB=CD，∴AM=AB=14，①；在△AFM和△CFN中，∠FAM=∠FCN（内错角相等），∠AFM=∠CFN（对顶角相等），∴△AFM∽△CFN，∴=2，∴CN=AM②；∵AB=28 ③由①②③解得，CN=7．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理：两个三角形中，两个对应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例．25．（2006•长沙）如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．【考点】切割线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的性质得到所求的比例式；（2）根据割线定理即可求得CD•CB的值．根据三角形的三边关系求得BC的取值范围．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠EDC=∠BAO，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴；（2）解：∵直径AE=8，OC=12，∴AC=12+4=16，CE=12 4=8．又∵=，∴CD•CB=AC•CE=16×8=128．连接OB，在△OBC中，OB=AE=4，OC=12，∴故BC的范围是：8≤BC＜16．【点评】本题主要考查圆、相似三角形等初中几何的重点知识，考查学生的几何论证能力，属于中等难度题．26．（2009•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．（1）求的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．【解答】解：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，FM=AC．∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴．∴EC=FM=×AC=AC．∴．（2）∵AB=a，∴FB=AB=a．∵FB=EC，∴EC=a．∵EC=AC，∴AC=3EC=a．【点评】此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的性质得到HG∥BC，PD=x，AP=AD x=40 x，再三角形三角形相似的判定得到△AHG∽△ABC，利用相似比可表示出HG=（40 x），然后根据矩形的周长确定y与x的关系；（2）根据矩形的面积公式求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，PD=x，AP=AD x=40 x，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=∴HG=（40 x），∴y=2HE+2HG=2x+2×（40 x）=2x+120 3x=120 x（0＜x＜40）；（2）S=HE•HG=x•（40 x）= x2+60x（0＜x＜40）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形得性质．28．（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．【解答】解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．∴OQ=6 t．∴y=×OP×OQ=×t（6 t）= t2+3t（0≤t≤6）；（2）∵y= t2+3t，∴当y有最大值时，t=3∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．∴点C的坐标为（3，3）．∵A（12，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y= x+6当x=3时，y=≠3，∴点C不落在直线AB上；（3）①若△POQ∽△AOB时，，即，12 2t=t，∴t=4．②若△POQ∽△BOA时，，即，6 t=2t，∴t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论． 29．（2007秋•安岳县期末）如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？【考点】相似三角形的判定．【分析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．【解答】解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8 2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）【点评】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A 开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x 轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y 轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）用t表示出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），∴OA=40，OB=30．∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x 轴），∴t=15时，BE=30 15=15，∵EF∥x轴，∴EF是△BOA的中位线，∴EF=OA=20，∴S△PEF=EF•OE=×20×15=150；（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），∴OE=t，OP=40 2t，∴当△EOP∽△BOA时，=，即=，解得t=12（秒）；当△EOP∽△AOB时，=，即=．解得t=（秒）．综上所述，当t=12秒或t=秒时，△EOP与△BOA相似．【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．。
相似三角形经典题(含答案)
初三相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC ABcm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证． 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ， 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略． 例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽AC AF EC DF AEC =∆,，又A CF∆∽ABC ∆，∴BCGFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴A D F ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆． 所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏． 例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式． 例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ． 212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ．∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ． 例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆． 因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x xx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
初中相似三角形经典习题(附答案)
一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。
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分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．分析：由FD∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．2 ．如图，梯形ABCD 中，AB∥ CD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G．（ 1 ）求证：△CDF∽△BGF；（ 2 ）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF ∥ CD交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长．3．如图，点 D ， E 在 BC 上，且 FD∥ AB， FE∥ AC．求证：△ABC∽△FDE ．4 ．如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF ⊥ AE于 F，试说明：△ABF ∽△EAD．5 ．已知：如图①所示，在△和△ABCADE中， AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠ DAE，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接 BE ，CD ， M ， N 分别为 BE， CD 的中点．（ 1）求证：①BE=CD ；②△AMN是等腰三角形；（ 2）在图①的基础上，将△绕点ADE 按顺时针方向旋转 180 °，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段 BC 于点 P．求证：△PBD∽△ AMN．6 ．如图， E 是? ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7 ．如图，在 4 ×3的正方形方格中，△和ABC△ DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（1 ）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2 ）判断△ ABC与△ DEC是否相似，并证明你的结论．8 ．如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间，△的AMN面积等于矩形 ABCD 面积的？（ 2）是否存在时刻 t ，使以 A ，M ， N 为顶点的三角形与△相ACD似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9 ．如图，在梯形ABCD 中，若 AB∥ DC，AD=BC ，对角线BD 、 AC 把梯形分成了四个小三角形．（ 1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（ 2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10 ．如图△ABC中， D 为 AC 上一点， CD=2DA，∠BAC=45 °，∠BDC=60 °，CE于⊥E，BD连接 AE．（ 1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3 ）求△BEC与△BEA的面积之比．11 ．如图，在△ABC中， AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M 分别作 AB 、 AC 的平行线交AC于P，交 AB 于 Q．（1 ）求四边形 AQMP 的周长；（2 ）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12 ．已知： P 是正方形ABCD 的边 BC 上的点，且BP=3PC ， M 是 CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13 ．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥ BC，AD=2 ，AB=BC=8，CD=10．（ 1 ）求梯形ABCD 的面积 S；（ 2 ）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s的速度，沿B? A ?D ? C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向点 A 运动，过点Q 作 QE⊥ BC 于点 E．若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点 P 在 B?A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、 A 、D 为顶点的三角形与△相CQE似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．14 ．已知矩形ABCD ，长 BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P 自点 A 出发，以 1cm/s的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以 P 、B、 Q 为顶点的三角形与△相BDC似？15 ．如图，在△ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s的速度移动，如果P、 Q 分别从 A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ ABC相似．16 ．如图，∠ACB= ∠ ADC=90 AC=°，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17 ．已知，如图，在边长为 a 的正方形ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边AB 上找一点N（不含 A 、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．C=90°BC=8cm，， AC=6cm，点Q 从 B 出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，18 ．如图在△ABC中，∠点 P 从 C 出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q 、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、 P、Q为顶点的三角形与△相CBA似？19 ．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠A=90 °AB=7，， AD=2 ， BC=3 ，试在腰AB 上确定点 P 的位置，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形与以P， B，C 为顶点的三角形相似．20 ．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A= ∠ D=90 °的，顶△点 DEF位于边 BC 的中点上．（ 1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ，求证：△BEM∽△ CNE；（ 2）如图 2，将△ DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点Q、 A 、P 为顶点的三角形与△相ABC似．22 ．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点） 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 ．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1 ）所需的测量工具是：_________ ；（2 ）请在下图中画出测量示意图；（ 3 ）设树高AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24 ．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式156 2+2082=2602）25 ．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26 ．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h ，灯柱的高 OP=O′ P′ =l两灯，柱之间的距离 OO′ =m．（ 1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（ 2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（ 3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27 ．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1， S2， S3表示，则不难证明 S1=S 2+S 3．（ 1 ）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2， S3表示，那么S1， S2， S3之间有什么关系；（不必证明）（ 2 ）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1，S2， S3之间的关系并加以证明；（ 3 ）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2， S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（ 4 ）类比（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28 ．已知：如图，△ABC∽△ AB=15ADE，， AC=9 ， BD=5 ．求 AE ．29 ．已知：如图Rt △ ABC∽ Rt △ BDC，AB=3若， AC=4 ．（1）求 BD 、CD 的长；（2）过 B 作 BE⊥ DC于 E，求 BE 的长．30 ．（ 1 ）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（ 2 ）已知：两相似三角形对应高的比为3：10 ，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题类似三角形之杨若古兰创作一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的耽误线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向扭转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中耽误ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA耽误线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的类似三角形，并任选一对类似三角形给予证实．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否类似，并证实你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速活动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速活动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是多少；（留意：全等看成类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形，并给出证实．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证实；（2）图中有没有类似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）；（3）M位于BC的什么地位时，四边形AQMP为菱形并证实你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C活动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A活动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时全部活动随之结束，设活动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时，是否存在如许的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在活动过程中，是否存在如许的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE类似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在活动过程中，是否存在如许的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC 上活动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向活动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向活动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB 边向B点以2cm/s的速度挪动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s 的速度挪动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC类似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形类似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似？若能，请给出证实，若不克不及，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度挪动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s 的速度挪动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA类似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的地位，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形类似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E扭转，使得DE与BA的耽误线交于点M，EF与AC交于点N，因而，除（1）中的一对类似三角形外，能否再找出一对类似三角形并证实你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度挪动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度挪动．如果P、Q同时出发，用t（秒）暗示挪动的时间，那么当t为什么值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学爱好小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不容易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具当选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请鄙人图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．成绩布景在某次活动课中，甲、乙、丙三个进修小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．上面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根竖立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务请求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出黉舍旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友谊提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；须要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照耀到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华早晨在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上挪动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3暗示，则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3暗示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证实）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3暗示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证实；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个普通三角形，其面积分别用S1，S2，S3暗示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）不异的关系，所作三角形应满足什么条件证实你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具普通意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：类似三角形的判定；平行线的性质.菁优网版权所有专题：证实题.分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据类似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证实：∵DE∥BC，2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的耽误线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向扭转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中耽误ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA耽误线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的类似三角形，并任选一对类似三角形给予证实．考点：类似三角形的判定；平行四边形的性质.菁优网版权所有专题：开放型.分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一判定定理可证实图中类似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）点评：考查了平行线的性质及类似三角形的判定定理．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）判断△ABC与△DEC是否类似，并证实你的结论．考点：类似三角形的判定；正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题；网格型.分析：（1）观察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45°；则∠ABC=135°，BC==2；（2）观察可得：BC、EC的长为2、，可得，再根据其夹角相等；故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）类似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．留意在正方形中的特殊三角形的利用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和精确率．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速活动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速活动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点：类似三角形的判定；一元二次方程的利用；分式方程的利用；正方形的性质.菁优网版权所有专题：动点型.分析：（1）关于动点成绩，可设时间为x，根据速度暗示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设类似，利用类似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，是以有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似．（8分）点评：次要考查了类似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的应用和解分式方程．要把握正方形和类似三角形的性质，才会灵活的应用．留意：普通关于动点成绩，可设时间为x，根据速度暗示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是多少；（留意：全等看成类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形，并给出证实．考点：类似三角形的判定；概率公式.菁优网版权所有专题：开放型.分析：（1）采取列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出类似三角形即可求得；①与③，②与④类似；（2）利用类似三角形的判定定理即可证得．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是类似的．∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）证实：（2）选择①、③证实．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证实．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性不异，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=，即类似三角形的证实．还考查了类似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证实；（2）图中有没有类似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题次要考查了直角三角形的性质，类似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）；（3）M位于BC的什么地位时，四边形AQMP为菱形并证实你的结论．考点：类似三角形的判定；菱形的判定.菁优网版权所有专题：综合题.分析：（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；（2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；（3）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．点评：此题次要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等常识点的综合应用．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．考点：类似三角形的判定；正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题.分析：欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形曾经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．解答：证实：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．点评：本题考查类似三角形的判定．识别两三角形类似，除了要把握定义外，还要留意精确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来暗示是求线段是否成比例时经常使用的方法．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C活动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A活动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时全部活动随之结束，设活动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时，是否存在如许的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在活动过程中，是否存在如许的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE类似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在活动过程中，是否存在如许的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不克不及构成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不类似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE类似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（分歧题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．点评：本题次要考查了梯形的性质和类似三角形的判定和性质等常识点，要留意（2）中要根据P，Q的分歧地位，进行分类讨论，不要漏解．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC 上活动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向活动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向活动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似？考点：类似三角形的判定；矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点成绩；分类讨论.分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC 或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，因为∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．点评：此题考查了类似三角形的判定及矩形的性质等常识点的综合应用．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB 边向B点以2cm/s的速度挪动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s 的速度挪动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC类似．考点：类似三角形的判定；一元一次方程的利用.菁优网版权所有专题：动点型.分析：设经过t秒后，△PBQ与△ABC类似，根据路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，然后利用类似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．解答：解：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC类似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC类似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC类似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC类似．点评：本题综合了路程成绩和三角形的成绩，所以先生平时学过的常识要会融合起来．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形类似．考点：类似三角形的判定.菁优网版权所有专题：分类讨论.分析：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形类似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形类似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形类似．点评：本题考查类似三角形的判定．识别两三角形类似，除了要把握定义外，还要留意精确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似？若能，请给出证实，若不克不及，请说明理由．考点：类似三角形的判定；正方形的性质.菁优网版权所有专题：探究型；分类讨论.分析：两个三角形都是直角三角形，还只需满足一对角对应相等或夹直角的两边对应成比例即可说明两个三角形类似．若DM与AM对应，则△CDM与△MAN全等，N与B重合，分歧题意；若DM与AN对应，则CD：AM=DM：AN，得AN=a，从而确定N的地位．解答：证实：分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，则．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，分歧题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时，N点的地位满足条件．点评：此题考查类似三角形的判定．因不明确对应关系，所以需分类讨论．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度挪动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s 的速度挪动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA类似？考点：类似三角形的判定.菁优网版权所有专题：综合题；动点型.分析：此题要根据类似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形类似，然后根据速度公式求出他们挪动的长度，再根据类似三角形的性质列出分式方程求解．解答：解：设经过x秒后，两三角形类似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形类似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形类似．（6分）点评：本题综合考查了路程成绩，类似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的地位，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形类似．考点：类似三角形的判定；梯形.菁优网版权所有专题：分类讨论.分析：此题考查了类似三角形的判定与性质，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．解题时要留意一题多解的情况，要留意别漏解．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．是以，点P的地位有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．点评：此题考查了类似三角形的判定和性质；判定为：①有两个对应角相等的三角形类似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形类似；③三组对应边的比相等，则两个三角形类似；性质为类似三角形的对应角相等，对应边的比相等．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E扭转，使得DE与BA的耽误线交于点M，EF与AC交于点N，因而，除（1）中的一对类似三角形外，能否再找出一对类似三角形并证实你的结论．考点：类似三角形的判定；等腰直角三角形.菁优网版权所有专题：证实题；开放型.分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形类似可判定三角形类似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．解答：证实：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）点评：此题考查了类似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形类似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形类似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形类似．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度挪动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度挪动．如果P、Q同时出发，用t（秒）暗示挪动的时间，那么当t为什么值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似．考点：类似三角形的判定；矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点成绩；分类讨论.分析：若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似，有四种情况：①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC；③△AQP∽△BAC，此时得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此时得AQ：BC=AP：BA．可根据上述四种情况所得到的分歧的对应成比例线段求出t的值．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似．点评：此题次要考查了矩形的性质及类似三角形的判定和性质；当类似三角形的对应角和对应线段不明确时，应考虑到所有可能的情况，分类讨论，以避免漏解．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？考点：类似三角形的利用.菁优网版权所有专题：利用题.分析：如图，因为AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由类似三角形的性质求解．。
相似三角形练习题(超经典含答案)
1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A．AD AEDB EC=BAD DEDB BC=．CAD AEAB AC=．DAB ACDB CE=．3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5 C．8 D．8.54．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，那么CF︰CB等于A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米B．24米C．20米D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则AFE△与BCF△的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且14FC BC．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC并延长到D ，使12CD CA =，连接BC 并延长到E ，使12CE CB =，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为________米．14．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．t h后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为 A ．14cm B ．16cm C ．18cmD ．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC =3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：①OE OB =OD OC ；②DE BC =12；③DOE BOC S S △△=12；④DOE DBES S △△=13．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF =2，那么线段BF 的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′． 2．【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===，∴选项A ，C ，D 均正确；故选B ． 3．【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即436DF =．∴364.54DF ⨯==．∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE ∥BC ，∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5， ∵EF ∥AB ，∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5， 故CF ︰CB =5︰8．故选A ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米，则1.6230x=，解得x =24． 7．【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′；对应边；相似比；全等【解析】ABC △和'''A B C △相似，记作ABC A'B'C'△∽△，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：ABC A'B'C'△∽△，对应边，相似比，全等. 8．【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒，180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒，,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒，∴当80C'∠=︒时 ，△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：80.︒ 9．【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为6384AB A B ==''．故答案为：34． 10．【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵E 为AD 的中点，四边形ABCD 为矩形，∴12AE BC =，∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：1:4.11．【答案】312．【答案】∠ADB =∠BAC （或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=） 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角，∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加BD BABA BC=，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证． 13．【答案】50【解析】∵12CD CA =，12CE CB =，∴12CD CE AC CB ==．∵∠ACB =∠DCE ，∴△ACB ∽△DCE ．∴12DE CD AB AC ==． ∵DE =25米，∴AB =50米．故答案为：50． 14．【答案】3【解析】在ABC △中，9086C AC BC ∠===，，，10AB ∴==．又6BD BC ==，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥，90ADE C ∴∠=∠=︒．又A A ∠=∠，AED ABC ∴△∽△．DE ADBC AC∴=． ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=． 15．【解析】(1)48,AD DB ==，4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ，,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16．【解析】（1）∵△ABC ∽△DEC ，CA =CB ，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若246426t t--=，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为21h42t==，乙到达O点的时间为63h42t==，所以12t=或32时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当12t<时，如果△OMN∽△OBA，则有246462t t--=，解得122t=>（舍去）；②当1322t<<时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当32t>时，424662t t--=，解得322t=>．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD APBP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP ADBP BC=，∴273APAP=-，∴AP=145．检验：当AP=145时，BP=215，AD=2，BC=3，∴AP ADBP BC=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4 DEBA，∵3=343DE DEEC CD DE==--．故答案为：3：1．22．【解析】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵AG=x，∴BG=4–x，∴242xCF-=，∴CF=44x-，由（1）知，BF'=CF=44x-，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-，当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-（0≤x≤3）；。
相似三角形的判定经典练习题三套
相似三角形的判定经典练习题三套A 卷：1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是(只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。
3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④ 8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CB CF AB EF =9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1). 15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ；(3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ；…… (4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？B 卷：1、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ， 则AF= ______cm 。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．2 ．如图，梯形ABCD 中，AB∥ CD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G．（ 1 ）求证：△CDF∽△BGF；（ 2 ）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF ∥ CD交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点 D ， E 在 BC 上，且 FD∥ AB， FE∥ AC．求证：△ABC∽△FDE ．4 ．如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF ⊥ AE于 F，试说明：△ABF ∽△EAD．5 ．已知：如图①所示，在△和△ABCADE中， AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠ DAE，且点B，A ，D 在一条直线上，连接 BE， CD ，M ， N 分别为 BE， CD 的中点．（ 1 ）求证：①BE=CD ；②△AMN是等腰三角形；（ 2 ）在图①的基础上，将△绕点ADE 按顺时针方向旋转 180 °，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段 BC 于点 P．求证：△PBD∽△ AMN．6 ．如图， E 是 ? ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7 ．如图，在 4 ×3的正方形方格中，△和ABC△DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（1 ）填空：∠A BC= _________ °，BC= _________ ；（2 ）判断△ ABC与△ DEC是否相似，并证明你的结论．8 ．如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1 ）经过多少时间，△的AMN面积等于矩形 ABCD 面积的？（ 2 ）是否存在时刻 t ，使以 A ， M ， N 为顶点的三角形与△相ACD似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．39 ．如图，在梯形ABCD 中，若 AB∥ DC，AD=BC ，对角线BD 、 AC 把梯形分成了四个小三角形．（1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10 ．如图△ABC中， D 为 AC 上一点， CD=2DA，∠BAC=45 °，∠B DC=60 °，CE于⊥E，BD连接 AE ．（1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3 ）求△ BEC与△ BEA的面积之比．11 ．如图，在△ABC中， AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M 分别作 AB 、 AC 的平行线交AC于P，交 AB 于 Q．（1 ）求四边形 AQMP 的周长；（2 ）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12 ．已知： P 是正方形ABCD 的边 BC 上的点，且BP=3PC ， M 是 CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13 ．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥ BC，AD=2 ， AB=BC=8，CD=10．（1 ）求梯形 ABCD 的面积 S；（2 ）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 B? A ? D ? C 方向，向点 C 运动；动点 Q 从点 C 出发，以1cm/s的速度，沿C? D? A 方向，向点 A 运动，过点Q 作 QE⊥ BC 于点 E．若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点 P 在 B? A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P、 A、 D 为顶点的三角形与△相CQE似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．614 ．已知矩形ABCD ，长 BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P 自点 A 出发，以 1cm/s的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以 P、 B、 Q 为顶点的三角形与△相BDC似？15 ．如图，在△ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s的速度移动，如果P、Q 分别从 A 、 B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ ABC相似．16 ．如图，∠ACB= ∠ ADC=90 AC=°，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17 ．已知，如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边AB 上找一点N（不含 A 、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18 ．如图在△ABC中，∠C=90 °BC=8cm，， AC=6cm ，点 Q 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s的速度移动．若Q 、 P 分别同时从B、 C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、 P、 Q 为顶点的三角形与△相CBA似？19 ．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠A=90 °AB=7，，AD=2 ，BC=3 ，试在腰AB 上确定点P 的位置，使得以P， A ， D 为顶点的三角形与以P， B， C 为顶点的三角形相似．20 ．△ABC和△D EF是两个等腰直角三角形，∠A= ∠ D=90 °的，顶△点 DEF位于边 BC 的中点上．（ 1 ）如图 1 ，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ，求证：△BEM∽△CNE；8（ 2 ）如图 2 ，将△DEF绕点 E 旋转，使得DE 与 BA 的延长线交于点M ， EF 与AC 交于点 N ，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点Q 、 A 、 P 为顶点的三角形与△相ABC似．22 ．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点） 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 ．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1 ）所需的测量工具是：_________ ；（2 ）请在下图中画出测量示意图；（ 3 ）设树高AB 的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24 ．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 1 ，测得一根直立于平地，长为80cm 的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图 2 ，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3 ，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式156 2+2082=2602）25 ．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26 ．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h ，灯柱的高 OP=O′ P′ =l两灯，柱之间的距离 OO′ =m．（ 1 ）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（ 2 ）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（ 3 ）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v 2．27 ．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明 S1=S 2+S 3．（ 1 ）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2，S3表示，那么（ 2 ）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、 S3表示，请你确定 S1，S2， S3之间的关系并加以证明；（ 3 ）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2， S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（ 4 ）类比（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28 ．已知：如图，△ABC∽△ AB=15ADE，， AC=9 ， BD=5 ．求 AE ．29 ．已知：如图Rt △ ABC∽ Rt △ BDC，AB=3若， AC=4 ．（1）求 BD、CD 的长；（2）过 B 作 BE⊥ DC于 E，求 BE 的长．30 ．（ 1 ）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（ 2 ）已知：两相似三角形对应高的比为 3 ： 10 ，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
相似三角形绝对经典50道
1、2、如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，则P 点的坐标为．3、4、6、下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．10、11、如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．152D ．45412、如图，△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD ：DE ：EC=3：2：1，M 在AC 边上，CM ：MA=1：2，BM 交AD ，AE 于H ，G ，则BH ：HG ：GM 等于（ ）A ．3：2：1B ．5：3：1C ．25：12：5D ．51：24：1013、14、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒．△AMN的最大面积是 ．15、17、18、如图，△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC为边分别作3个等边△ABF，△BCE，△ACD．过F作MF垂直DA的延长线于点M，连接并延长DE交MF的延长线于点N．那么△DMN的面积为．19、如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是．20、如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，AE：AF的值为．21、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为．22、23、已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．24、将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．25、如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2=OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．27、已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．28、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且PG＝PD，求GDOD的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．29、如图，甲、乙两人分别从A（1、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．30、在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．31、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．32、如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．（1）当x=13EF 时，求S △DPE ：S △DBC 的值； （2）当CQ=12CE 时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）①当CQ=13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式； ②当CQ=1n CE （n 为不小于2的常数）时，直接写出y 与x 之间的函数关系式． 如图，正三角形ABC 的边长为 ．33、（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．34、如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥BC ，A 、B 两点的坐标分别为A （13，0），B （11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB 相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形．（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积．（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？35、如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP 于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．36、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C 方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？37、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA 向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？38、如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？39、已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断11DM DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．40、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．41、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是．当t=3时，正方形EFGH的边长是．（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？42、如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=52KC，求CDAB的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=12AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1nAD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．43、已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求BDCE的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求BDCE的值；（3）结合（1）、（2），试推断BDCE的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于43吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．44、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC 交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．45、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）46、如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F 同时停止运动．（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．47、一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A、D、E按逆时针方向），（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC延长线相交于点E′，是否存在点D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD与AE′的长；若不存在，请简要说明理由．48、如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ∥BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形RPQS与△ABC 的公共面积为y．（1）当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x．（2）当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）（3）求y的最大值．49、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间，使△PBQ的面积为8cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值．50、如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；②当AD=4，时，求CH的长．51、如图，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE 的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE=x，BC=y．（1）当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF=2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．52、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm2．（1）求S与t之间函数关系式．（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．53、如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10）、（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．。
相似三角形练习题(含解析)
相似三角形练习题一、选择题一、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．二、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边别离为5cm和3cm，若是它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）五、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .20六、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴别离交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .八、如图，已知在△ABC中，点D、E、F别离是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶5九、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B动身，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．1一、在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．1二、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，若是对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积别离记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B别离在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题1五、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）1六、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，极点E、H别离在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图，在△/ABC DE// BC, EF // AB，求证：△ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.(1 )求证：△ CDFBGF ;(2)当点F是BC的中点时，过F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3 .如图，点D , E在BC 上，且FD // AB, FE // AC.4 .如图，已知 E 是矩形ABCD 的边CD 上一点， BF 丄AEF ,试说明：△ ABF s\ EAD .5 .已知：如图①所示，在△ 和念BCD 中，AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D 在一条直线上，连接 BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点.（1 ）求证：① BE=CD :②厶 A 是等腰三角形；（2 ）在图①的基础上，将△ 绕点DE 按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请 直接写出（1 ）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2 ）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P .求证：△ PBDAMN.6 .如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接 EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下，请你写图②7 .如图，在4 X3的正方形方格中，△和ABCDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC ________(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间，△AMIN积等于矩形ABCD面积的〒？(2)是否存在时刻t，使以A , M , N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.C --------------------------- BM9 .如图，在梯形ABCD中，若AB II DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.10 .如图△ ABC, D 为AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
《相似三角形》经典练习题(附答案)
《相似三角形》经典练习题(附答案)相似三角形经典练习题(附答案)1. 题目描述：已知∆ABC中，∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，D是BC边上的一点，且AD = BC，EF是三角形ABC中点AD上的高线，垂足为H。
求证：∆EFH与∆ABC相似。
2. 题目分析：本题要求证明∆EFH与∆ABC相似。
考察题目中给出的条件，包括∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，AD = BC。
通过分析给出的图形，可以发现EF为∆ABC的中位线，并垂直于BC，因此可以猜测∆EFH与∆ABC相似。
接下来，我们将通过推理和证明来验证这一猜想。
3. 解题过程：首先，我们需要证明∆EFH与∆ABC的三个对应角相等。
由于∠ACB = 90°，∠EFH为∆ABC的直角三角形EFH的内角，因此∠EFH = 90°。
我们知道∠ABC = 45°，而∠BAF为∆ABC的直角三角形BAF的内角，因此∠BAF = 90° - ∠ABC = 90° - 45° = 45°。
同理，∠FBH也为∆ABC的直角三角形FBH的内角，∠FBH = 90°- 45° = 45°。
综上，∠EFH = ∠BAF = ∠FBH = 45°。
其次，我们需要证明∆EFH与∆ABC的三个对应边成比例。
根据题目中给出的条件AD = BC，可以得到∆ABC与∆DEF的对应边AD与EF相等。
由于EF为∆ABC的中位线，根据中位线定理可知，EF = 0.5 * BC。
由已知条件AD = BC，可得EF = 0.5 * AD，即EF与AD成比例。
最后，我们可以得出结论，∆EFH与∆ABC相似。
4. 答案验证：为了进一步验证我们的结论，我们可以观察图形，并利用给出的条件进行验证。
根据题目中的图形描述，我们可以画出如下示意图：A/|/ |/ |B───C| |D || |E───F|H根据题目给出的条件：∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，AD = BC，我们可以通过实际计算验证∆EFH与∆ABC的相似性。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
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相似三角形
一．选择题
1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）
A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB
）
2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）
A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD
3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
~
4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（）
A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A． B． C． D．
`
7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）
#
A．18 B．C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC
其中正确的是（）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S
：S
△DEF
=4：25，则DE：EC=（）
△ABF
—
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
12．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S
△EDC ：S
△ABC
=（）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）
）
A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3
14．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q 且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m
15．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB约为（）
A．米 B．9米 C．米D．10米
，
16．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表，如果标准视力表中“E”的长a是，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是（）
A． B． C．D．
17．如图是小华利用含30°角的三角板测量楼房高度的示意图，已知桌子高AB为1米，地面上B和D之间的距离为100米，则楼高CD约为（）
A．51米B．59米C．88米D．174米
18．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高，测得AB=2m，BC=14m，则旗杆CD高度是（）
A．9m B． C．12m D．16m
~
19．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（）
A． B．9 C．12 D．
20．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
-
21．阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．
（1）△CDF与△DEA是否相似说明理由；
（2）求CF的长．
【
22．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
23．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿AB边
以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2
-
（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
！
（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，
AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，
并证明你的结论．
25．如图，某同学相测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．。