顶角为20度的等腰三角形难题

顶角为20度的等腰三角形难题

例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上

一点,AD=BC,连接CD.

试求:∠BDC的度数.

分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造

全等三角形.

解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)

连接DE,CE.

∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.

∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.

∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.

∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.

例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.

点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.

试求∠DEB的度数.

本题貌似简单,其实不然.

解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.

∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;

∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.

∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.

故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.

即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.

∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.

所以,∠DEB=30°.

例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.

试求:∠DEB的度数.

本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.

解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°. 作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.

易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.

∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.

∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.

即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.

则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.

故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.

∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.

∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.

又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.

所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.