勾股定理的应用举例

关于勾股定理的八大应用

关于勾股定理的八大应用
对于勾股定理的八大应用，具体如下：
1)判断是否超速：利用勾股定理可以判断司机是否超速。

2)求旗杆高度：利用勾股定理可以求旗杆高度。

3)折叠问题：利用勾股定理可以解决折叠问题，例如折叠矩形
纸张的问题。

4)求树高：利用勾股定理可以求树的高度。

5)求梯子最省力的位置：利用勾股定理可以求梯子最省力的位
置。

6)求面积问题：利用勾股定理可以解决一些求面积的问题。

7)求台风问题：利用勾股定理可以解决台风问题，例如台风眼
里是否有平地的问题。

8)九章算术问题：利用勾股定理可以解决九章算术中的一些问
题。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。

它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。

本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。

一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。

举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。

此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。

二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。

通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。

三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。

通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。

四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。

天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。

五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。

图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。

综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。

它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。

通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。

因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。

勾股定理的应用举例解析

勾股定理的应用举例解析勾股定理是数学中的重要理论之一，在几何学和三角学中被广泛应用。

它描述了直角三角形中三条边之间的关系，为解决实际问题提供了极大的便利。

本文将通过几个实际应用的举例，解析勾股定理的实际运用。

1. 建筑工程中的勾股定理应用在建筑工程中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。

例如，在测量建筑物的高度时，可以利用勾股定理计算出斜线的长度。

假设一个建筑物的高度为H，倾斜角度为α，底边长度为B，利用勾股定理可以得到H = B*sin(α)。

这样，只需知道倾斜角度和底边长度，就可以准确计算出建筑物的高度。

2. 航海中的勾股定理应用勾股定理在航海中也有重要的应用。

船只在海上航行时，需要准确计算自身位置与目标位置之间的距离和角度。

利用勾股定理，可以计算出船只与目标位置之间的直线距离。

假设目标位置的经度差为ΔX，纬度差为ΔY，利用勾股定理得到直线距离D = sqrt(ΔX^2 + ΔY^2)。

这样，船只就能够通过测量经度和纬度差值，准确计算目标位置与自身位置之间的距离。

3. 三角测量中的勾股定理应用勾股定理在测绘和地质勘探中也被广泛应用。

利用勾股定理，测量人员可以测量出无法直接测量的距离或高度。

例如，在地质勘探中，地质学家需要计算地底下某一点的深度。

利用勾股定理，可以通过测量该点到地表的水平距离和相应的倾斜角度，推导出该点的深度。

这种方法在勘探油田或挖掘矿产时尤为重要。

4. 制作家具中的勾股定理应用在制作家具时，尤其是角柜、书架等有直角的家具中，勾股定理被用于角度的计算和木材的裁剪。

制作家具时，木材需按指定的尺寸剪切，而角度的计算是关键。

利用勾股定理，木匠可以准确计算出所需的角度，从而在裁剪木材时确保精确度和质量。

综上所述，勾股定理在实际应用中发挥了重要的作用。

无论是建筑工程、航海、测绘还是制作家具，勾股定理都为解决问题提供了可靠的数学基础。

通过理解和运用勾股定理，我们能够更好地解决生活和工作中的实际问题，提高我们的实践能力和数学素质。

勾股定理的应用的例子

勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。

勾股定理的应用举例

G
左（右）
D
4
G
2
F 4
前（后）
（后）右（左）
A
A 1 B
2
B A 2 A 1 （3 （1 （2 解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其））） D
1
B
距离分别是：
第一种：
第二种：
第三种：
小试牛刀
如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
3 2 20 B
H
么确定呢？
G
E D
F C
A
B
例题变式：
（1）、如把正方体变成如左图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？
H
GEF源自4CD2
A
1
B
例题变式：
H
G
E E F
F
上（下） 1
H
E
上（下） 2
G
F
前
E 4 C
4
C
H
1尺 x尺
x2 + 52 = (x+1)2
x = 12
水池
5尺
在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
D B.
C
A
小结
你
能说说运用勾股定理的知识可以解决实际生活中哪些问题吗?
3.3 勾股定理的应用举例
思考
有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)

勾股定理的应用举例

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的卡车能通过该隧道吗？
例2、
随堂练习
小英想用一条36cm长的绳子围城一个直角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边的长度。
2、一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m，若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，求梯子的长度。
知识小结
1 m
4 m
在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD,E是AB上的一点，若沿CE折叠，则B,D两点重合，求△AED的面积
如图，一座城墙11.7m，墙外有一条宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？
《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺。问折者高几何？意思是：有一根竹子原来高1丈，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根距离3尺，问折断处离地多高？
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
B
D
通过今天的学习, 用你自己的话说说你的收获和体会?
宇宙星球
添加副标题
勾股定理水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，

勾股定理的应用

A D E B
C
F
在一个内腔长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？
B
C A D
◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
.B
C
.A
D
.B . A
C D
A 30 D
50
C
B
40
图①
.B . A
1.36中
C 央路
玄武 2.95 湖
路 B
◆一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上. 一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上. 10m的梯子AB斜靠在墙上
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则梯子的顶端A与它的底端离为8m,则梯子的顶端A 8m,则梯子的顶端 A 1 B哪个距墙角C远? 哪个距墙角C 8 ⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m, 中如果梯子的顶端下滑1m, 那么它的底端是否也滑动1m? 那么它的底端是否也滑动1m?
勾股定理的应用
一、勾股定理的应用：勾股定理的应用：
例1：在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC，E是AD ABC中 AB＞AC，AD⊥BC，边上一点，边上一点，试比较 AB 2 − AC 2 和 BE 2 − EC 2的大小
解： AB
2
− AC =BE -EC
2 2 2 2
2 2
AB 2 =AD 2 + BD 2 在 RtVABD 中， RtVACD 中， AC 2 = AD 2 + DC 2 在
得： AB
2
− AC
2
= BD − DC
2 2 2
2 2
在 RtVEBD 中， BE 得： BE -E C = BD 得： AB

勾股定理在实际生活中的应用

勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。

1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。

2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。

同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。

3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。

由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。

因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。

4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。

对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

勾股定理的应用

是否垂直于AB边吗？BC边与AB呢？ D
C
（3）小明在AD边上量得AE=0.3厘
米，AB边上量得AF=0.4厘米，EF的 A
B
长是0.5厘米，从而得出AD边垂直
于AB边。他的做法合理吗？
一展身手
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形
花圃，有极少数同学为了走“捷径”
在花圃内走出了一条“路”。他们
仅仅少走了（）步路（假设2步
方案选择
蚂蚁A→B的路线
视频演示
拓展提高
c6
9
6B
A
c 6B
6
9 A
方案选择
蚂蚁A→B的路线
学有所获
今天的收获：
1、今天你学到了哪些知识? 2、你还有哪些困惑？
教师寄语
数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现……
B
接向上爬到点C ，然后
再从点C 沿底面直径爬
到点B ，这样爬的总路
程与沿圆柱侧面爬行的
最短路程比较，哪一条
更短些？
A
探研点拨
归纳几何体上的最短路径
转化
平面上两点间的距离
建模
直角三角形
勾股定理
求解即：在求曲面上的最短路径时，往往把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
走近生活
课后探索
如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm 的长方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B 需要爬行的最短路程是多少呢？
B
A
美丽绽放
如图，有一个圆柱，它的高
B
等于12cm,底面上圆的周长等于

勾股定理应用实例

勾股定理应用实例
1. 建筑工程中：勾股定理可以用于测量和计算建筑物中的角度和边长。

例如，可以使用勾股定理来计算屋顶的倾斜角度或墙壁之间的角度。

2. 地理测量学中：勾股定理可以用于计算地面上两个点之间的直线距离。

例如，可以使用勾股定理来计算一个城市中两个建筑物之间的距离。

3. 飞行导航中：勾股定理可以用于计算飞机的航向和距离。

例如，可以使用勾股定理来计算两个导航点之间的航向和距离，以帮助导航员正确引导飞机。

4. 游戏开发中：勾股定理可以用于计算游戏中角色之间的距离或检测游戏中的碰撞。

例如，可以使用勾股定理来判断玩家角色是否与敌人角色发生碰撞。

5. 三角形解析几何中：勾股定理被广泛应用于解决三角形的各种问题，例如计算三角形的面积、边长或未知角度。

通过应用勾股定理，可以解决和证明许多三角形的性质和关系。

勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理在解决实际问题中的应用勾股定理是解决数学问题中最基础的定理之一。

不过，它的应用远不止数学领域。

在现实世界中，勾股定理可以被广泛应用于建筑、制造、科学及其他领域。

本文将介绍一些勾股定理在实际问题中的应用。

一、建筑领域1.房屋布局在建造住宅或其他建筑物时，勾股定理可以帮助工程师确定布局和边角的角度。

例如，在设计一个房间时，可以使用勾股定理确保其拐角处形成一个精确的90度角，使得角落更符合设计标准。

2.斜坡建造斜坡的建造也需要使用勾股定理。

在建设跑道或楼梯时，勾股定理可以帮助工程师确定斜坡的正确角度，以确保它们安全合适。

二、科学领域1.热力学热力学是一门研究热量、压力和温度的学科，在这个学科中，勾股定理被用来计算三角形的斜边长度，并在计算气体和流体的压力和体积方面得到了应用。

2.物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于计算运动物体的速度、加速度和其他参数。

它常常被用于确定投掷物体的轨迹和速度，以及计算两个运动物体之间的距离。

三、万能应用1.测量距离在现实应用中，我们经常需要测量一些难以到达的地方的距离。

勾股定理可以帮助我们测量这些距离。

例如，当我们测量建筑物高度时，可以使用勾股定理计算出梯子爬升的高度，以确定建筑物的高度。

2.导航勾股定理还可以帮助我们在导航时定位。

例如，在导航仪上输入两个坐标，勾股定理可以计算出两个坐标之间的距离，帮助我们确定正确的方向并找到目的地。

以结束语的形式，无论是建筑、制造还是科学领域，勾股定理都有着广泛的应用。

它是解决实际问题的基础，也是进一步发展的基石。

通过这些应用，我们可以更好地理解这个基本的数学原理的真正意义。

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来．勾股定理不仅在数学的发展中起着重要的作用，而且在现实世界中有着广泛的应用．下面举例说明勾股定理在实际生活中的应用．一、少走几步路例1.如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．点评：爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。

由此可见，只有懂得“三角形两边之和大于第三边”的人才知道走“捷径”的比经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当的行为上，那将是数学的悲哀。

二、票价为多少元呢？例2.如图2，A 、B 、C 、D 是四个小镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A ↔B ：10元；A ↔C ：12.5元；A ↔D ：8元；B ↔D ：6元；C ↔D ：4.5元．为了B 、C 之间的交通方便，要在B 、C 之间建成笔直公路，请按上述标准计算出B 、C 之间的公路的票价为多少元．分析：因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程来处理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5，利用勾股定理求解．解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理．已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．因为AD 2+BD 2=82+62=64+36=100=102=AB 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ADB=90°．连接BC ，在Rt △BDC 中，CD=4.5，BD=6，所以224.567.5BC =+=．故B 、C 之间公共汽车票价为7.5元．点评：本题是利用勾股定理来解决生活中的实际问题．本题的技巧是将票价视为路程来处理，这一点与代数中的换元法极为相似．三、最短路程是多少例3如图3，一圆柱的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程大约是（）A ．6cmB ．12cmC ．13cmD ．16cm分析：把圆柱沿直径BC 剪开成两半，展开成平面后可得如图4，则蚂蚁从点A 爬行到“路”4m 3m 图1 AB C 图2 ＡＢ图3ＡＣ图4 Ｂ点C 的最短路程是矩形的对角线AC 的长，由已知，AB=4，BC=12，故AC=22412+≈12.6≈13（cm ），故选C ．点评：解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化，因此，圆柱问题通常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A 出发到点C ，当圆柱沿母线AB 展开成矩形时，点C 对应的是矩形一边的中点。

勾股定理的应用题典型

勾股定理的应用题典型
应用题1：建筑斜坡
一座高楼的斜坡长5米，高3米。

如果斜坡的底边与地面呈直角，问斜坡的斜边长度是多少？
答案：
设斜边长度为(c)米，根据勾股定理，可以得到：
应用题2：田径场内外跑道
一个标准田径场内外各有一个跑道，内跑道的周长为400米，外跑道的周长为600米。

问内外跑道的宽度分别是多少？
答案：
设内跑道的宽度为(x)米，那么外跑道的宽度为(x+2)米。

根据题意，可以列出方程：解这个方程组，得到内外跑道的宽度分别为：
应用题3：三角形边长关系
已知一个直角三角形，两条直角边长分别为(a = 3)，(b = 4)，求斜边的长度(c)。

答案：
根据勾股定理，可以得到：
c^2 = 3^2 + 4^2
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
c = 5。

勾股定理的典型应用举例

勾股定理的典型应用举例勾股定理，在数学中有着非常重要的应用。

下面就举例说明。

1、拼图中用勾股定理例1、(温州市)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

解析：设面积为S 1的正方形的边长AB=x ，面积为S 2的正方形的边长DE=y ，面积为S 3的正方形的边长PQ=m ，面积为S 4的正方形的边长ST=n ，我们易证△BAC ≌△CDE ，△GFH ≌△HMO ，△QPR ≌△RTS ，所以，根据勾股定理，得：x 2+y 2=BC 2=1，y 2+z 2=GH 2=2，z 2+m 2=QR 2=3，x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+m 2=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2=4，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4。

2、正方形网格上用勾股定理例2、在5×5的正方形网格上，如图2，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则a 、b 、c 的大小的关系是：A a ＜b ＜cB c ＜a ＜bC c ＜b ＜aD b ＜a ＜c （04广州）分析：假设每个正方形的边长为1，分别在三个阴影三角形中，根据勾股定理，得：AC=b=，=+2215AB=c==，2232+13BC=a==231+10所以，b ＜a ＜c ，因此，D 是正确的。

解：选D 。

例3、在5×5的正方形网格上，如图3，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则点B 到AC 的距离是。

分析：直接求这个距离，比较不容易，如果通过求三角形ABC 的面积，后利用面积公式求就容易多了。

生活中的勾股定理

生活中的勾股定理数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边．利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下：一．地基挖的合格吗?例1 如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m ，AD=BC=6m ，AC=9m ，请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，来验证它是否为直角三角形． ∵,819,10086222222===+=+AC DC AD∴222AC DC AD ≠+,所以△ADC 不是直角三角形，∴,900≠∠ADC 而标准为长方形，所以四个角应为直角．所以该农民挖的不合格．评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、有着广泛的应用，可以用它来判定直角，家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下，工人是如常利用勾股定理的逆定理得到直角．二．木棒能放进木箱吗?例1 有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ，30cm ，40cm 的木箱中，能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm ，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．如图4，连接111,AC C A ,在Rt △111C B A 中,3400305022211211211=+=+=C B B A C A ．在Rt △11C AA 中,500034004022112121=+=+=C A AA AC ,∵5000＞270,∴170AC > (cm)∴70cm 长的木棒，能放进这只木箱中．评注：解决此题的关键在于明确1AC 即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力．。

中考数学复习微专题：勾股定理的几种简单应用

勾股定理的几种简单应用勾般定理是数学中一个重要的定理之一，是解决有关直角三角形问题的有效途径，也是沟通几何与代数的一个重要桥梁，它的应用十分广泛.现举几例，供同学们赏析.一、勾股定理在网格中的应用例1已知正方形的边长为1，(1)如图a .①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长 .②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n 的式子表示)为 .分析借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.解二、勾般定理在最短距离中的应用例2 如图，已知C 是SB 的中点，圆锥的母线长为10cm ，侧面展开图是一个半圆，A 处有一只蜗牛想吃到C 处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程. 分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.解该圆锥表面展开图如图所示.根据两点之间线段最短，线段AC 的长即为蜗牛爬行的最短路程.10AS cm =，52AS CS cm ==，90ASC ∠=︒. 在Rt ASC 中，90ASC ∠=︒，22210025125AC AS CS =+=+=,AS ∴=答:蜗牛爬行的最短路程为.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形间题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3 如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m )分析把走“捷径”路长求出，就可以算出少走几步路.解原来走的路长437AB BC m =+=+=.在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒,222224325AC AB BC =+=+=.5AC ∴=.即走“捷径”路长为5m ，少走了752m -=.点评走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A ，在点A 的对岸选取一个参照点C ，测得30CAD ∠=︒，小华沿河岸向前走30m 选取点B ，并测得60CBD ∠=︒.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.分析先根据题意画出示意图，过点C 作CE AD ⊥于点E ，设BE x =，则在Rt ACE 中，可得出CE ，利用等腰三角形的性质可得出BC ，继而在Rt BCE 中，利用勾股定理可求出x 的值，也可得出CE 的长度.解过点C 作CE AD ⊥于点.由题意可得:30AB =，30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒.30ACB CAB ∴∠=∠=︒，30BA AB ∴==.设BE x =，在Rt BCE 中，可得CE =. 又222BC BE CE =+，即229003x x =+，15x ∴=，CE ∴=答:小华自家门前的小河的宽度为.点评此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。

勾股定理的应用举例

例：如图，壁虎在一座底面半径为１米，高为２
米的油桶的下底边沿Ａ处，发现油桶的另一侧的中点处有一只萤火虫，便决定捕捉它，于是它小心翼翼地向萤火虫爬去，若壁虎要在最短时间里获得一顿美餐，问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火虫？
ＣＢ
Ａ
例：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张
村Ａ和李庄Ｂ送水，已知张村Ａ、李庄Ｂ到河边的距离分别为２km和７km，且张、李二村庄距13km。
.Ｂ
Ａ.
河边
L
1、水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最
短？请在图中设计出水泵站的位置；
２、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为
使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
例：如图：公路AB和公路CD在点P处交会，且 ∠APC=45°，点Ｑ处有一所小学，PQ＝ 120 2 m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
A
E
∟
B
C D
二、勾股定理与辅助线的应用例３、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ １＝ ∠ ２，ＣＤ＝１.５，ＢＤ＝２.５，求ＡＣ的长。
C D A
1 2
B
练习：如图，在△ABC中，∠Ａ＝90°， DE垂直平分BC，求证：
2 2 － AC AE BE ＝
2
A
E B
C
D
三、勾股定理与最值问题：
一、勾股定理与方程相结合
例 1 、如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝ 12， BC
＝ 5 ，点 E 在 AB 上，将 △ DAE 沿 DE 折叠，使点