2020年北京八中初三3月数学练习题
北京八中2020年中考数学模拟试卷解析版
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）1.2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为6560000m2，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ）A. 6.56×106m2B. 6.56×107m2C. 2×107m2D. 2×108m22.下列运算正确的是（ ）A. 2a+3b=5abB. a1•a4=a6C. （a2b）3=a6b3D. （a+2）2=a2+43.若-1＜x＜0，则-=（ ）A. 2x+1B. 1C. -2x-1D. -2x+14.一个试验室在0：00-4：00的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00-2：00保持恒温，在2：00-4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（ ）A. 5℃B. 10℃C. 20℃D. 40℃5.代数式x2-4x+5的最小值是（ ）A. -1B. 1C. 2D. 56.以方程组的解为坐标，点（x，y）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.如果二次根式有意义，那么x的取值范围是______．8.分解因式：2x2-18=______．9.当a取______时，一次函数y=3x+a+6与y轴的交点在x轴下方．（在横线上填上一个你认为恰当的数即可）10.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且经过（0，2）点．任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是______．11.如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为______．12.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）13.计算：（）-2+|-2|-（3-π）0-3tan30°．14.已知x2-2x-1=0．求代数式（x-1）2+x（x-4）+（x-2）（x+2）的值．15.关于x的一元二次方程mx2-（2m-3）x+（m-1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）16.解下列方程（组）或不等式组：（1）解方程组（2）解分式方程+1=：（3）求不等式组的整数解．17.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（m，2），与y轴分别交于点B．（1）求m和b的值；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是2，请直接写出点C的坐标．18.抛物线C1：y=+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：过去20年间地球新增植被的面积=6560000×3=19680000m2≈2×107m2故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=a5，不符合题意；C、原式=a6b3，符合题意；D、原式=a2+4a+4，不符合题意，故选C各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵-1＜x＜0，∴-=-x-（x+1）=-x-x-1=-2x-1．故选：C．直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4.【答案】B【解析】解：由函数图象知t=2时，温度T=20℃，当t=4时，温度T=40℃，∴开始升温后试验室每小时升高的温度为=10（℃），故选：B．根据函数图象，用2时至4时升高的温度除以时间即可得．本题考查了函数图象的性质，解决本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5.【答案】B【解析】解：∵x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2+1≥1，∴当x=2时，代数式x2-4x+5的最小值为1．此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．6.【答案】A【解析】解：，①+②得，2y=1，解得，y=．把y=代入①得，=-x+2，解得x=．∵＞0，＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．故选：A．此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：利用代入消元或加减消元求得方程组的解为x=，y=，第一象限横纵坐标都为正；第二象限横坐标为负；纵坐标为正；第三象限横纵坐标都为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负．7.【答案】x≥3【解析】解：∵二次根式有意义，∴x-3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8.【答案】2（x+3）（x-3）【解析】解：原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3），故答案为：2（x+3）（x-3）原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9.【答案】-7【解析】解：一次函数y=3x+a+6中令x=0，解得y=a+6，由于交点在x轴下方，得到a+6＜0，因而横线上填上一个小于-6的数就可以．故本题答案为：-7．一次函数y=3x+a+6与y轴的交点坐标即为x=0时y的值，要使一次函数y=3x+a+6与y 轴的交点在x轴下方，只要此时y＜0即可．本题答案不唯一，在横线上填上一个小于-6的数就可以．10.【答案】y=x+2【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，∵经过（0，2），∴一次函数可以是y=x+2故答案是：y=x+2．由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．11.【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）【解析】解：图1的面积a2-b2，图2的面积（a+b）（a-b）由图形得面积相等，得a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．根据图形的面积相等，可得答案．本题考查了平方差公式，利用面积相等是解题关键．12.【答案】（3，-4）【解析】解：∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，∴抛物线顶点坐标为（3，-4）．故答案为（3，-4）．用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式为y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．也考查了配方法．13.【答案】解：（）-2+|-2|-（3-π）0-3tan30°=4+2--1-3×=5-2【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14.【答案】解：原式=x2-2x+1+x2-4x+x2-4∵x2-2x-1=0∴原式=3（x2-2x-1）=0.【解析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案．15.【答案】解：（1）根据题意得m≠0且△=[-（2m-3）]2-4m（m-1）≥0，解得m≤且m≠0；（2）由（1）可知m≤且m≠0，又∵m为正整数，∴m=1，∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．【解析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：m≠0且△=（2m-3）2-4（m-1）≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即.16.【答案】解：（1），①×3-②得：2x=8，解得：x=4，把x=4代入①得：y=-3，则方程组的解为；（2）去分母得：x-3+x-2=-3，移项合并得：2x=2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；（3），由①得：x＜-1，由②得：x≥-3，∴不等式组的解集为-3≤x＜-1，则不等式组的整数解为-3，-2．【解析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出整数解．此题考查了解分式方程，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算各自的解法是解本题的关键．∴2=，得m=2，∵点A（2，2）直线y=x+b上，∴2=，得b=1，由上可得，m的值是2，b的值是1；（2）∵直线y=x+1与y轴交于点B，∴当x=0时，y=1，即点B的坐标为（0，1），又∵点C在y轴上，且△ABC的面积是2，点A（2，2），∴，得BC=2，∴点C的纵坐标为：1+2=3或1-2=-1，∴点C的坐标为（0，3）或（0，-1）．【解析】（1）根据点A（m，2）在双曲线y=上可以求得m的值，再将点A的坐标代入y=x+b，即可求得b的值；（2）根据题意可以求点B的坐标，然后根据点C在y轴上，且△ABC的面积是2，即可求得点C的坐标．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，此种题型最好是动手画一下，再进行解答比较好．18.【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c=3．∵抛物线的对称轴为x=2，∴，解得b=-2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k=-2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y=x．由，当△=（-2）2-4×1×2k=0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2-2x+1=0，解得x=1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．【解析】（1）根据抛物线与y轴的交点坐标求得c=3；根据对称轴为x=2来求b；（2）抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，即抛物线与线段OB有2个交点时，k 的取值范围．本题考查了二次函数图象与几何变换．解答（2）时，利用了“数形结合”的数学思想，使比较抽象的问题变得直观化，降低了解题的难度．。
北京市第八中学2018-2019(上)九年级数学第三次月考试题(含答案)
北京市第八中学2018-2019（上）九年级数学第三次月考试题一．选择题（满分30分，每小题3分）1．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0 2．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（）A．B．C．D．3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 4．若x＝3时代数式ax3+bx的值为12，则x＝﹣3时代数式ax3+bx+5的值为（）A．17 B．7 C．﹣17 D．﹣75．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0 6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF 与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．8B．8 C．4D．67．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4 8．如图，在数轴上，点A表示的数是2，△OAB是Rt△，∠OAB＝90°，AB＝1，现以点O为圆心，线段OB长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C表示的实数是（）A．﹣B．﹣C．﹣3 D．﹣29．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm10．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE＝9，那么DG的长为（）A．3 B．3C．4 D．4二．填空题（满分12分，每小题3分）11．已知方程mx﹣（m+1）x+m2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为．12．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是．13．践行“十九大”，确保“全脱贫”向阳村2016年的人均收入为3500元，2018年的人均收入为5040元．设人均收入的年平均增长率为x，则依题意所列的方程为．14．如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共11小题，满分78分）15．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的一个根是1，求k的值．16．（5分）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的两个实数根，求该三角形的面积．17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．18．（5分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△DG全等．B119．（7分）不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率．20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将四边形ABCD沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点F处，折痕DE交BC于点E，连结EF．求证：四边形CDFE是菱形．21．（7分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．22．（7分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）小红摸出标有数3的小球的概率是．（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．23．（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝（用n的代数式表示）．24．（10分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．参考答案一．选择题1．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0 【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．2．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（）A．B．C．D．【分析】先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人同坐2号车的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，所以两人同坐2号车的概率＝．故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．3．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．若x＝3时代数式ax3+bx的值为12，则x＝﹣3时代数式ax3+bx+5的值为（）A．17 B．7 C．﹣17 D．﹣7【分析】将x＝3代入ax3+bx＝12得27a+3b＝12，整体代入x＝﹣3时所得的代数式ax3+bx+5＝﹣27a﹣3b+5＝﹣（27a+3b）+5，据此可得答案．解：将x＝3代入ax3+bx＝12，得：27a+3b＝12，则当x＝﹣3时，ax3+bx+5＝﹣27a﹣3b+5＝﹣（27a+3b）+5＝﹣12+5＝﹣7，故选：D．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．5．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0 【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF 与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．8B．8 C．4D．6【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA ＝OB ，根据等边对等角的性质可得∠BAC ＝∠ABO ，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO ＝30°，即∠BAC ＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC ，再利用勾股定理列式计算即可求出AB ．解：如图，连接BO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，∠DCB ＝90°∴∠FCO ＝∠EAO ，在△AOE 和△COF 中，，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，∵BF ＝BE ，∴BO ⊥EF ，∠BOF ＝90°，∵∠FEB ＝2∠CAB ＝∠CAB +∠AOE ，∴∠EAO ＝∠EOA ，∴EA ＝EO ＝OF ＝FC ＝2，在RT △BFO 和RT △BFC 中，，∴RT △BFO ≌RT △BFC ，∴BO ＝BC ，在RT △ABC 中，∵AO ＝OC ，∴BO ＝AO ＝OC ＝BC ，∴△BOC 是等边三角形，∴∠BCO ＝60°，∠BAC ＝30°，∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EB＝EF＝4，∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC＝30°是解题的关键．7．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3∴x2+2x+1＝1+3∴（x+1）2＝4故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．如图，在数轴上，点A表示的数是2，△OAB是Rt△，∠OAB＝90°，AB＝1，现以点O为圆心，线段OB长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C表示的实数是（）A．﹣B．﹣C．﹣3 D．﹣2【分析】直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．解：∵在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝．∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，∴OC＝OB＝，∴点C表示的实数是﹣．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．9．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE＝AB．解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB＝24÷4＝6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△AB D的中位线，∴OE＝AB＝×6＝3cm．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE＝9，那么DG的长为（）A．3 B．3C．4 D．4【分析】先利用等角的余角证明∠ADG＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADG ∽△CDE，然后利用相似比计算DG的长．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝6，∠ADC＝∠C＝90°，∵四边形DEFG为矩形，∴∠EDG＝∠G＝90°，∵∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADG＝∠EDC，∴△ADG∽△CDE，∴，即，∴DG＝4．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．已知方程mx﹣（m+1）x+m2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为﹣1 ．【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠0，m2+m+2＝2，求出即可．解：∵mx﹣（m+1）x+m2＝0是关于x的一元二次方程，∴m≠0，m2+m+2＝2，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．12．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．13．践行“十九大”，确保“全脱贫”向阳村2016年的人均收入为3500元，2018年的人均收入为5040元．设人均收入的年平均增长率为x，则依题意所列的方程为3500（1+x）2＝5040 ．【分析】设人均收入的年平均增长率为x，根据向阳村2016年及2018年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：3500（1+x）2＝5040．故答案为：3500（1+x）2＝5040．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F．若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 3 ．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△OBF≌△ODE，图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．解：根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．S＝CD×AD＝×2×3＝3．△ADC故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．三．解答题（共11小题，满分78分）15．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的一个根是1，求k的值．【分析】把x＝1代入方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，求出所得方程的解即可．解：由题意得：将x＝1代入原方程，得1﹣（2k+1）+k2+k＝0，∴k2﹣k＝0，∴k＝0，k＝1．∴k的值为0或1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于k的方程．16．（5分）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的两个实数根，求该三角形的面积．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，再根据勾股定理计算出另一条直角边，然后根据三角形面积公式求解．解：x2﹣16x+60＝0，（x﹣6）（x﹣10）＝0，所以x1＝6，x2＝10，所以另一条直角边的长＝＝8，所以该三角形的面积＝×6×8＝24．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，即可得判别式△≥0，即可得不等式32+4m≥0，继而求得答案；（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，又由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，即可得方程：（﹣3）2+2m＝11，解此方程即可求得答案．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．18．（5分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△DG全等．B1【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，由折叠的性质可得：∠A＝∠A1，∠B＝∠A1DF＝90°，CD＝A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE＝∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC＝x，由勾股定理可得方程x2+12＝（3﹣x）2，解此方程即可求得答案；（3）设B1C＝a，则有FC＝B1D＝2﹣a，B1F＝BF＝1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2＝（2﹣a）2+a2，解此方程即可求得答案．解：（1）全等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，由题意知：∠A＝∠A1，∠B＝∠A1DF＝90°，CD＝A1D，∴∠A1＝∠C＝90°，∠CDF+∠EDF＝90°，∴∠A1DE＝∠CDF，在△EDA1和△FDC中，，∴△EDA1≌△FDC（ASA）；（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，设FC＝x，则B1F＝BF＝3﹣x，B1C＝DC＝1，∴x2+12＝（3﹣x）2，∴x＝，∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．（3）△FCB1与△B1DG全等．设B1C＝a，则有FC＝B1D＝2﹣a，B1F＝BF＝1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2＝（2﹣a）2+a2，整理得a 2﹣6a +3＝0，解得：a ＝3﹣（另一解舍去）， ∴当B1C ＝3﹣时，△FCB 1与△B 1DG 全等．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．19．（7分）不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率．【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于4的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为4，所以“两次取的球标号相同”的概率＝＝；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于4的结果数为2，所以“两次取出的球标号和等于4”的概率＝＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．20．（7分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将四边形ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点C落在AD上的点F处，折痕DE交BC于点E，连结EF．求证：四边形CDFE是菱形．【分析】依题意∠FDE＝∠CDE，CD＝FD，CE＝FE，又AD∥BC，则∠FDE＝∠DEC，则∠DEC＝∠CDE，则CD＝CE，则四边相等，可得四边形CDFE是菱形．证明：根据折叠的性质可得：CD＝DF，∠FDE＝∠CDE，CE＝FE，∵AD∥BC，∴∠FDE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE，∴CD＝FD＝FE＝CE，∴四边形CDFE为菱形．【点评】此题考查了折叠的性质以及菱形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意根据折叠的性质找到对应边与对应角．21．（7分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1＞0，将原式两边平方后把x+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．1解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，整理，得：4k﹣7＞0，解得：k＞；（2）由题意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝（k+1）2+1＞0，∵|x|﹣|x2|＝，∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+2）＝5，整理，得：4k﹣12＝0，解得：k＝3．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．22．（7分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）小红摸出标有数3的小球的概率是．（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．【分析】（1）根据概率公式求解；（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y＝﹣x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）小红摸出标有数3的小球的概率是；故答案为；（2）画树状图为：由列表或画树状图可知，P点的坐标可能是（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3），（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种情况，（3）共有12种可能的结果，其中在函数y＝﹣x+5的图象上的有4种，即（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）所以点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．23．（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝（用n的代数式表示）．【分析】（1）关键是证出∠CBF＝∠BAE，可利用同角的余角相等得出，从而结合已知条件，利用SAS可证△ABE≌△BCF，于是BE＝CF；（2）过A作AM∥GH，交BC于M，过B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于点O′，利用平行四边形的判定，可知四边形AMHG和四边形BNFE是▱，那么AM＝GH，BN ＝EF，由于∠EOH＝90°，结合平行线的性质，可知∠AO′N＝90°，那么此题就转化成（1），求△BCN≌△ABM即可；（3）①若是两个正方形，则GH＝2EF＝8；②若是n个正方形，那么GH＝n•4＝4n．（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB+∠AEB＝90°．∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC+∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF；（2）解：方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4；方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，得FM＝GN，由（1）得，∠HGN＝∠EFM，得△FME≌△GNH，得FE＝GH＝4．（3）①∵是两个正方形，则GH＝2EF＝8，②4n．【点评】本题利用了正方形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是作辅助线，构造全等三角形．24．（10分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？【分析】先设每件纪念品应降价x元，然后根据题意可列出方程，解出即可．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意得出降价后每天的销量及每件的盈利，难度一般．25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝3﹣x，FC＝x；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可证△AEO≌△CFO，可得AE＝CF＝x，由DP＝AE＝x，可得PC＝3﹣x；（2）由S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得S△EFP＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质可求△PEF面积的最小值；（3）若PE⊥PF，则可证△DPE≌△CFP，可得DE＝CP，即3﹣x＝4﹣x，方程无解，则不存在x的值使PE⊥PF．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO∴∠DAC＝∠ACB，且A O＝CO，∠AOE＝∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）∴AE＝CF∵AE＝x，且DP＝AE∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x故答案为：3﹣x，x（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，∴S△EFP＝﹣﹣×x×（3﹣x）＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+∴当x＝时，△PEF面积的最小值为（3）不成立理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°又∵∠EPD+∠DEP＝90°∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°∴△DPE≌△CFP（AAS）∴DE＝CP∴3﹣x＝4﹣x则方程无解，∴不存在x的值使PE⊥PF，即PE⊥PF不成立．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．。
北京市八中2020年3月中考数学模拟试卷(含解析)
2020年北京八中中考数学模拟试卷（3月份）一.选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）（本题共16分，每小题2分）1．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×10102．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱3．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|4．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°5．如果y＝﹣x+3，且x≠y，那么代数式的值为（）A．3B．﹣3C．D．﹣6．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．7．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8．如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动过程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为 1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（）A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/sC．甲乙两光斑全程的平均速度一样D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次二.填空题（本题共16分，每小题2分）9．当x＝时，代数式的值为0．10．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为．13．已知Rt△ABC位于第二象限，点A（﹣1，1），AB＝BC＝2，且两条直角边AB、BC 分别平行于x轴、y轴，写出一个函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABC有两个公共点，这个函数的表达式为．14．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．15．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为．16．电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到如表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率是；（2）电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？答：．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27，28题每小题5分）17．计算：（2014﹣π）0﹣（）﹣2﹣2sin60°+||18．解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（）（填推理的依据）．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝，求AD的长．21．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．（1）请直接写出点C的坐标及k的值；（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m 的取值范围．23．如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图．（1）根据折线图把下列表格补充完整；运动员平均数中位数众数甲8.59乙8.5（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由．24．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD＝，sin F＝时，求OF的长．25．如图1，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN．已知AB＝6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N 两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm．小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N（x1，y1）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）（点P在点Q的左侧）．若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD 的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝FG．28．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）（本题共16分，每小题2分）1．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010【解答】解：350 000 000＝3.5×108．故选：B．2．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．3．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；B、＜0，故B不符合题意；C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；故选：D．4．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°【解答】解：如图，过直角顶点作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°．故选：A．5．如果y＝﹣x+3，且x≠y，那么代数式的值为（）A．3B．﹣3C．D．﹣【解答】解：＝＝＝x+y，∵y＝﹣x+3，且x≠y，∴原式＝x﹣x+3＝3．故选：A．6．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．7．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加【解答】解：2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了：（200﹣157）÷200＝21.5%，故选项A正确，2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例超过60%，故选项B错误，2015年至2018年，我国出租车客运的总量发生了变化，故选项C错误，2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年减小，故选项D错误，故选：A．8．如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动过程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为 1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（）A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/sC．甲乙两光斑全程的平均速度一样D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次【解答】解：∵甲到B所用时间为t0s，从B回到A所用时间为4t0﹣t0＝3t0∵路程不变∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍∴A错误由于，△O1P1Q1≌△O2P2Q2∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度∴B错误由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同∴C正确根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置故可知，两个光斑相遇两次，故D 错误．故选：C ．二.填空题（本题共16分，每小题2分） 9．当x ＝ 2 时，代数式的值为0．【解答】解：由题意知x ﹣2＝0且x ≠0． 解得x ＝2． 故答案是：2．10．已知在同一坐标系中，抛物线y 1＝ax 2的开口向上，且它的开口比抛物线y 2＝3x 2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a 值： 4 ． 【解答】解：∵抛物线y 1＝ax 2的开口向上， ∴a ＞0，又∵它的开口比抛物线y 2＝3x 2+2的开口小， ∴|a |＞3， ∴a ＞3，取a ＝4即符合题意， 故答案为：4（答案不唯一）．11．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．【解答】解：连接OC ，如图， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠AOC ＝120°，S △AOB ＝S △AOC ，∴图中阴影部分的面积＝S＝＝π．扇形AOC故答案为π．12．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为﹣＝720．【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据题意，得﹣＝720．故答案为﹣＝720．13．已知Rt△ABC位于第二象限，点A（﹣1，1），AB＝BC＝2，且两条直角边AB、BC 分别平行于x轴、y轴，写出一个函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABC有两个公共点，这个函数的表达式为y＝﹣．【解答】解：B的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣3，3）．则这个函数的解析式可以是：y＝﹣．（答案不唯一）．故答案是：y＝﹣．14．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为2．【解答】解：如图，连接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2．故答案为2．15．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为（7，4）．【解答】解：由勾股定理，得OD′＝＝4，即D′（0，4）．矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形ABC′D′是平行四边形，AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7，C′与D′的纵坐标相等，∴C′（7，4）故答案为：（7，4）．16．电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到如表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率是；（2）电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？答：只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大．【解答】解：（1）总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000（部），获得好评的第四类电影：200×0.25＝50（部），故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率＝；故答案为：；（2）根据题意得：只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大；故答案为：只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27，28题每小题5分）17．计算：（2014﹣π）0﹣（）﹣2﹣2sin60°+||【解答】解：原式＝1﹣4﹣2×+﹣1＝﹣4．18．解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．【解答】解：，由①得x＞3，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：3＜x≤5．在数轴上表示为：19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝，求AD的长．【解答】证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，AE＝CE∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∵AB＝BC＝2CD∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF∴四边形CDEF为菱形；（2）如图，DF与EC交于点G∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，∴EG＝GC＝＝∴AE＝CE＝2EG＝∴AG＝AE+EG＝4∴AD＝＝21．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8＝0，∴（3x+4）（x+2）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣2．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．（1）请直接写出点C的坐标及k的值；（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBH，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，∴C（4，1），∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×1＝4；（2）过O作OP∥BC交y＝的图象于点P，过P作PG⊥x轴于G，∵∠POG＝∠OAB，∵∠AOB＝∠PGO，∴△OAB∽△OHP，∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，∵点P在y＝上，∴3y P•y P＝4，∴y P＝，∴点P的坐标为（2，）；（3）∵Q（0，m），∴OQ＝m，∵OM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，∴M（，m），N（3m，m），∵点M在点N左侧，∴＜3m，∵m＞0，∴m＞．23．如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图．（1）根据折线图把下列表格补充完整；运动员平均数中位数众数甲8.599乙8.58.57和10（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由．【解答】解：（1）补充表格：运动员平均数中位数众数甲8.599乙8.58.57和10故答案为：9；8.5；7和10；（2）答案不唯一，可参考的答案如下：甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出9环及以上的次数更多，打出7环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出10环次数和7环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也更容易打出10环的成绩．24．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD＝，sin F＝时，求OF的长．【解答】解：（1）连接OC．如图1所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝＝，∴AB＝BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sin F＝＝，解得：OF＝5．25．如图1，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN．已知AB＝6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N 两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm．小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为 3.3或4.8或5.7cm．【解答】解：（1）观察图象可知D（2，4.80），故答案为4.80．（2）两个函数图象如图所示：（3）两个函数与直线y＝x的交点为A，B，函数y1与y2的交点为C，观察图象可知：A（3.3，3.3），B（4.8，4.8），C（5.7，4）．∴△AMN为等腰三角形时，AM的值约为3.3或4.8或5.7．故答案为3.3或4.8或5.7．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N（x1，y1）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）（点P在点Q的左侧）．若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），∴2k+1＝3，解得k＝1．∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2），∴m＝1．（2）∵抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴为x＝1，∴，即b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．（3）当a＞0时，如图，若抛物线过点B（0，1），则a＝1．结合函数图象可得0＜a＜1．当a＜0时，过点N垂直于y轴的直线与抛物线没有交点，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0＜a＜1．27．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是BF＝FG；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD 的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝FG．【解答】解：（1）BF＝FG，理由是：如图1，连接BG，CG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，FE＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝FG．故答案为：BF＝FG；（2）①如图2所示，②如图2，连接BF、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∵＝，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴DF＝FG．28．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是P2，P3．②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1＝，OP2＝1，OP3＝，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP＝1时，由距离公式得，OP＝＝1，∴x＝，当OP＝3时，OP＝＝3，解得：x＝±；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤x≤﹣，或≤x≤；（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA＝3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD＝1，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角＝45°，∴AC＝，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点O，则AC＝1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3，∴OC＝＝2，∴C（2，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2．。
北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题数学一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）2．（3分）如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°4．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．6．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣37．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°8．（3分）已知：A、B、C是⊙O上的三个点，且∠AOB＝60°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．120°C．150°D．30°或 150°9．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°10．（3分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是．12．（2分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．（2分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π，扇形的圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA＝1，∠APB ＝60°，则△PAB的周长为．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为．16．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c＝m（a≠0，m为常数且m≤4）的两根之和为．18．（2分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．22．（5分）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）画出函数的图象；（3）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围．24．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）求⊙O的半径长．（3）求线段EF的长．25．（5分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣3﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y…﹣2﹣m 2 1 2 1﹣﹣2 …其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质；②直线y＝kx+b经过点（﹣1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是．26．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？小明同学，为了完成以上问题，小明分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况，下面是小明的思路，请你帮助小明完善以下内容：（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为；其中x的取值范围是；在涨价的情况下，定价元时，利润最大，最大利润是．（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？27．（6分）已知：△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F．（1）若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；②如图2，连结EF，若EF∥AB，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是．28．（6分）已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点P'在射线CP上，满足CP'•CP＝r2，则称点P'是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点P'的示意图．（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为6，⊙O与x轴的正半轴交于点A．①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，则点A'的坐标是，点B'的坐标是；②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P'，点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，△P'OA的面积为6，求点P的坐标；（2）点P是二次函数y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤4）的图象上的动点，以O为圆心，OP为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点P'的坐标是（m，n），请直接写出n的取值范围．北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．2．【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．3．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可计算出∠ACB．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．4．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．5．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．6．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．8．【分析】本题有两种情况，一种情况是点C位于优弧AB上，此时根据圆周角定理可知∠ACB＝∠AOB＝30°，当点C位于劣弧AB上，此时∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°，即可得出∠ACB的度数．【解答】解：如图1，当点C位于弧AB上时，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°；如图2，当点C位于劣弧AB上，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．9．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN∵∠AQP+∠PAQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．10．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．【点评】本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．故答案为：y＝﹣（x+3）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．13．【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．【解答】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．由题意，＝24π，解得r＝12或﹣12（舍弃），∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，∴＝2•π•R，∴R＝2，故答案为：2．【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【分析】根据切线长定理和切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，则∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，然后计算出PA，从而得到△PAB的周长．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，∴PA＝OA＝，∴△PAB的周长＝3PA＝3．故答案为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等边三角形的判定与性质．15．【分析】将不等式ax2+bx＜mx+n的解集问题转化为直线与抛物线函数图象上点的特点求解即可．【解答】解：设y1＝ax2+bx，y2＝mx+n，则ax2+bx＜mx+n即为y1＜y2，∵直线与抛物线交点为结合函数图象可知A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴x＜﹣3或x＞1，故答案为x＜﹣3或x＞1．【点评】本题考查二次函数与不等式；将所求不等式问题转为函数图象，利用函数图象上点的特点求解不等式是解题的关键．16．【分析】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD ＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．【分析】利用函数图象得到抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，则根据根与系数的关系得到＝2，然后求一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和．【解答】解：∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，∴﹣3+1＝﹣，即＝2，∴一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和＝﹣＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．18．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，解得：n＝﹣3或n＝6，故答案为：﹣3或6．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为x．∵直径AB⊥弦CD，∴，在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．21．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE＝∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB＝AE+BE即可求出AB的长度．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝，∴AB＝AE+BE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．22．【分析】（1）根据二次函数的根的判别式△＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，即可求解．【解答】解：（1）由题意有△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，解得m＝0或1．【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点、根与系数的关系等，熟练掌握根的判别式是解题的关键．23．【分析】（1）先把A点坐标代入mx2﹣2mx﹣3＝0求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（3）先计算x＝﹣2时，y＝5，然后利用图象写出对应的y的范围．【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B点坐标为（﹣1，0）；（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），如图，（3）当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．24．【分析】（1）利用切线的性质得出∠OCD＝∠OCB，再根据直角三角形两锐角互余，对顶角、等量代换可得答案；（2）利用勾股定理求出BE，再根据勾股定理列方程可求出半径；（3）根据勾股定理求出OC，OE，再根据相似三角形的性质求出EF．【解答】解：（1）∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB＝CD，∠ODC＝∠OBC＝90°，又∵OB＝OD，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠OCD＝∠OCB，又∵EF⊥OG，∴∠EFO＝90°，∴∠OEF+∠EOF＝90°，∵∠BOC+∠BCO＝90°，∠EOF＝∠BOC，∴∠FEB＝∠ECF；（2）在Rt△BCE中，BE＝＝＝8，在Rt△OED中，设OD＝x，则OB＝x，OE＝8﹣x，DE＝EC﹣CD＝10﹣6＝4，由勾股定理得，DE2+OD2＝OE2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴OD＝3，即⊙O的半径为3；（3）由勾股定理得，OE＝＝＝5，OC＝＝＝3，∵∠FEO＝∠DCO，∠EFO＝∠CDO＝90°，∴△EOF∽△COD，∴＝，即：＝，∴EF＝2．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理、相似三角形等知识，知识的综合应用是本题的显著特点．25．【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1＝﹣4+4+1＝1．（2）如图所示：（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．②由函数图象知：∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26．【分析】（1）由题意得y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，即可求解；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，（3）比较（1）、（2）的最大利润即可求解．【解答】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每星期实际可卖出（300﹣10x）件，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，而300﹣10x≥0且x≥0，解得0≤x≤30；∵函数的对称轴为x＝﹣＝5，当x＝5时，y的最大值为6250；故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000，0≤x≤30，5，6250元；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w元，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵函数的对称轴为x＝2.5，∴当x＝2.5（元）时，则w＝6125（元）；（3）∵6250＞6125，故当x＝5元时，利润最大，即定价为65元时，利润最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案27．【分析】（1）①先作出CD的垂直平分线，即可作出图形；②先判断出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠CDF，进而得出∠CFD＝90°，得出判断出CD是直径即可；③利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出CD是直径时，EF最小；（2）先得出CD⊥AB时，CD最小，即：EF最小，最后用面积公式即可求出．【解答】解：（1）①如图1，所示，②如图2，连结CD，FD，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴EF是⊙O的直径，∵D是AB中点，∴DA＝DB＝DC＝5，∴∠B＝∠DCB，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∵∠CDF＝∠CEF，∴∠A＝∠CDF，∵∠A+∠B＝90°，∴∠CDF+∠DCB＝90°，∴∠CFD＝90°，∴CD是⊙O的直径，∴EF＝CD＝5，③由AC2+BC2＝AB2可得∠ACB＝90°，所以，EF是⊙O的直径．由于CD是⊙O的弦，所以，有EF≥CD，所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小，（2）如图3，由（1）③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD 当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小，由（1）②知，△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝，故答案为：．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出CD是直径是EF最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．28．【分析】（1）①根据反演点的定义求出OB′的长即可解决问题．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，求出OF、PF即可解决问题．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，求出OF、PF即可解决问题．（2）①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．求出点P′的纵坐标即可．②当P点坐标为（4，5）时，求出反演点P'的纵坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，∵OA•OA′＝62，∴OA′＝6，∴A′（6，0），∵OB•OB′＝62，∴OB′＝2，∵∠AOB＝135°，易知B′（﹣，）．故答案为A'（6，0），B′（﹣，）．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，∵S△OAP′＝•OA•P′E＝6，∴P′E＝2，∵点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，∴y P′＝2，∴x P'＝2．∴OP'＝4，∠P'OE＝60°．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．∴OF＝，PF＝，∴点P的坐标为P（，）．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，∵点P'在正比例函数y＝位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为（t，t），其中t＞0．∴tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，在Rt△OHA中，AH＝OA•sin∠AOH＝3，∵S△OAP′＝•OP′•PAH＝6，∴OP'＝4．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．在Rt△OFP中，t2+（t）2＝92，解得t＝或﹣（舍去），∴点P的坐标为P（，）．（2）如图5中，①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．∵OP＝，r＝，∴OP′＝＝，∵PE∥P′F，∴＝＝，∴P′F＝1，∴n＝﹣1，②当P点坐标为（4，5）时，同法可得反演点P'的纵坐标n＝，综上所述，﹣1≤n≤．【点评】本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考创新题目．。
2020年北京八中中考数学模拟试题(word无答案)
2020年北京八中中考数学模拟试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿.尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林.已知亚马逊雨林的面积为，则过去20年间地球新增植被的面积约为（）A．B．C．D．(★) 2 . 下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a1•a4=a6C．（a2b）3=a6b3D．（a+2）2=a2+4 (★) 3 . 若﹣1＜ x＜0，则﹣＝（）A．2x+1B．1C．﹣2x﹣1D．﹣2x+1(★) 4 . 一个试验室在0:00—4:00的温度T（单位：℃）与时间t (单位：h)的函数关系的图象如图所示，在0:00—2:00保持恒温，在2:00—4:00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（）A．5℃B．10℃C．20℃D．40℃(★★) 5 . 代数式-4 x+5的最小值是（）A．-1B．1C．2D．5(★) 6 . 以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(★) 7 . 要使二次根式有意义，则的取值范围是________．(★★) 8 . 分解因式：2 x 2﹣18＝_____．(★) 9 . 当 a取_____时，一次函数 y＝3 x+ a+6与 y轴的交点在 x轴下方．（在横线上填上一个你认为恰当的数即可）(★) 10 . 一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且经过（0,2）点．任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是_________________．(★) 11 . 如图1，将边长为 a的大正方形剪去一个边长为 b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母 a， b的等式_______________．(★) 12 . 抛物线 y= x 2–6 x+5的顶点坐标为 __________ ．三、解答题(★) 13 . 计算：．(★★) 14 . 解下列方程（组）或不等式组：（1）解方程组（2）解分式方程+1＝：（3）求不等式组的整数解．(★★) 15 . 已知x 2﹣2x﹣1＝2．求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．(★★) 16 . 关于x的一元二次方程mx 2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．(★★) 17 . 在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+b与双曲线y= 的一个交点为A（m，2），与y轴分别交于点A．（1）求m和b的值；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是2，请直接写出点C的坐标．(★★) 18 . 抛物线与轴交于点C（0，3），其对称轴与轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线适当平移，使平移后的抛物线的顶点为D（0，）．已知点B（2，2），若抛物线与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．。
2020年北京八中中考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年北京八中中考数学模拟试卷(3月份)一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿kg，这个数据用科学记数法表示为()A. 5×102kgB. 50×109kgC. 5×1010kgD. 0.5×1011kg2.如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为()A. 圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B. 圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C. 圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D. 正方体，圆锥，圆柱，三棱柱3.实数a在数轴上的位置如图所示，则|a−2.5|=()A. a−2.5B. 2.5−aC. a+2.5D. −a−2.54.如图，直线a//b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为()．A. 30°B. 32°C. 42°D. 58°5.如果3x−4y=0，那么代数式(x2y −y)⋅3x+y的值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.7.根据条形统计图，下面信息不正确的是A. 乘公共汽车的人数最少，为12人B. 全校共有教师90人C. 有1的教师自驾车到校 D. 自驾车的人数比步行的人数多68.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿长方形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则当x=9时，点P运动到()A. A处B. B处C. C处D. D处二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式a−2值为0，则a的值为______．a+310.若抛物线y=(a−2)x2的开口向上，则a的取值范围是______．11.如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是______(结果用含π的式子表示)．12.“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟.已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为__________________．13.如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=k的图象交于点x<x−2<0的解集是______．A(3,1)、点B，则不等式kx14.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=1，则⊙O的半径长为______．15.已知点A(m,−2)，B(3,m−1)，且直线AB//x轴，则m的值是_________．16.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是______．三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）)−1−2sin45°+(π−2015)0．17.计算：|−√2|+(−1318.已知关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．19.某校八年级(1)班一个小组十位同学的年龄(岁)分别如下；13，13，14，14，14，14，15，15，16，17；求这十位同学年龄的平均数、中位数、众数．四、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.解不等式组{3(x+2)≤2(x+4)2x+1>−1并把解集表示在数轴上．21.下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．作法：如图，①在射线OA上任取点C；②作∠ACD=∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．(1)补全图形；(2)完成下面的证明：证明：∵∠ACD=∠AOB，∴CD//OB(______)(填推理的依据)．∴∠BOP=∠CPO．又∵OC=CP，∴∠COP=∠CPO(______)(填推理的依据)．∴∠COP=∠BOP．∴OP平分∠AOB．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF=DE，连接AF 、DC 和FC ．求证：四边形ADCF 是菱形．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx−2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=−32x (x<0)的图象交于点M(−32,n)．(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P是一次函数y=kx−2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．24.如图，C、D为⊙O上两点，AB为直径，E在AB延长线上，且AD平分∠CAB，过D点的直线EF⊥AF，交AC的延长线于点F，连接BD．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EB:ED=1:√3，⊙O的半径为r，当r=4时，求FC的长．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.40.70补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(−2,0)，与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．27.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．(1)根据题意补全图形；(2)判定AG与EF的位置关系并证明；(3)当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．28.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．(1)已知点E(0,4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1.若d(⊙T)<6，直接写出t的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：500亿=50000000000=5×1010千克．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.答案：D解析：解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．故选：D．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．3.答案：B解析：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．首先观察数轴，可得a<2.5，然后由绝对值的性质，可得|a−2.5|=−(a−2.5)，则可求得答案．解：如图可得：a<2.5，即a−2.5<0，则|a−2.5|=−(a−2.5)=2.5−a．故选：B．4.答案：B解析：这是一道考查平行线的性质的题目，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等，解：如图，过点A作AB//b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°−∠3=32°，∵a//b，AB//b，∴AB//a，∴∠2=∠4=32°．故选B．5.答案：A解析：解：∵3x−4y=0，∴x=43y，∴(x2y −y)⋅3x+y=x2−y2y⋅3x+y=3(x−y)y=3(43y−y)y=1．故选：A．由3x−4y=0，可得x=43y，再将代数式(x2y−y)⋅3x+y化简为3(x−y)y，然后把x=43y代入计算即可．本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．6.答案：D解析：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．7.答案：C解析：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．由条形统计图可获知步行、骑自行车、坐公共车的人数，进一步求出总人数，即可判断四个选项的正确与否．解：由条形统计图可知：乘公共汽车的人数最少为12人；总人数为15+45+18+12=90人；自×100％=5％；步行的人数为15人，则自驾车的人数比步行的驾车的人数为18人，占总人数的1890人数多．可知C信息错误．故选C．8.答案：D解析：本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，据此进行求解即可．解：∵当4≤x≤9时，y的值不变，即△ABP的面积不变，∴P在CD上运动，当x=4时，P点在C点上，当x=9时，P点在D点上．故选D．9.答案：2解析：解：由题意得：a−2=0，且a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．根据分式值为零的条件可得a−2=0，且a+3≠0，再解可得答案．此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．10.答案：a>2解析：解：∵抛物线y=(a−2)x2的开口向上，∴a−2>0，解得a>2．故答案为：a>2；根据抛物线的开口向上列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．此题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，当a>0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)的开口向上是解答此题的关键．11.答案：4π−3√3解析：解：如图，点O既是它的外心也是其内心，∴OB=2，∠1=30°，OB=1，BD=√3，∴OD=12∴AD=3，BC=2√3，×2√3×3=3√3；∴S△ABC=12而圆的面积=π×22=4π，所以阴影部分的面积=4π−3√3，故答案为：4π−3√3．利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式等知识，熟练掌握正三角形的性质，特别是它的外心，内心，重心，垂心重合．记住正三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比(1：2：3)是解题的关键．12.答案：1320x =1320x−50−3060解析：本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系.设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为(x−50)千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．解：设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为(x−50)千米/时，根据题意得：1320 x =1320x−50−3060．故答案为1320x =1320x−50−3060．13.答案：−1<x<0解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，求得B点的坐标是解题的关键．由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k，从而得出反比例函数解析式；联立方程即可求出点B的坐标，根据两函数图象的上下关系结合交点B的坐标，即可得出不等式的解集．解：∵点A(3,1)在反比例函数y=kx的图象上，∴k=3×1=3，∴反比例函数解析式为y=3x，解x−2=3x得，x1=3，x2=−1，∴B(−1,−3)，观察两函数图象，不等式kx<x−2<0的解集为−1<x<0，故答案为−1<x<0．14.答案：√33解析：解：如右图所示，连接AO，BO，DO，BD，连接AO交BD于点E，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，∠BCD=120°，AB=AD=1，∴∠BAD=180°−∠BCD=60°，∠AOB=∠AOD，∴∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠AOB=∠AOD=120°，∴AB=BD=AD=1，∴△ABD是等边三角形，∴AE⊥BD，AE平分BD，∴∠BOE=60°设OA=a，则OE=12a，BE=12，∴a2=√(12a)2+(12)2，解得，a=√33，故答案为：√33．根据题意、可以求得△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查三角形的外接圆与外心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.答案：−1解析：此题考查坐标与图形的性质，根据直线AB//x 轴可知，直线AB 上的纵坐标相等，进而求解出m 的值．解：∵点A(m,−2)，B(3,m −1)，且直线AB//x 轴，∴m −1=−2，解得m =−1．故答案为−1．16.答案：15解析：解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210=15．故答案为：15．根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．此题主要考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．17.答案：解：原式=√2−3−2×√22+1=−2．解析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)根据题意得k ≠0且△=(−6)2−4k >0，解得k <9且k ≠0；(2)k 的最大整数为8，此时方程化为8x 2−6x +1=0，(2x −1)(4x −1)=0，所以x 1=12，x 2=14．解析：(1)利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ≠0且△=(−6)2−4k >0，然后求出两不等式的公共部分即可；(2)先确定k 的最大整数值得到方程8x 2−6x +1=0，然后利用因式分解法解方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．19.答案：解：平均数为13×2+14×4+15×2+16+1710=14.5(岁)，中位数为14岁，众数为14岁．解析：根据平均数、中位数和众数的定义求解可得．本题主要考查平均数、众数、中位数，解题的关键平均数、中位数和众数的定义．20.答案：解：{3(x +2)≤2(x +4)①2x +1>−1②， 由①得：x ≤2，由②得：x >−1，在数轴上表示为：，所以此不等式组的解集为：−1<x ≤2．解析：【试题解析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式的解集．21.答案：(1)如图，OP 为所作；；(2)同位角相等，两直线平行；等边对等角．解析：解：(1)见答案；(2)证明：∵∠ACD=∠AOB，∴CD//OB(同位角相等，两直线平行)；∴∠BOP=∠CPO．又∵OC=CP，∴∠COP=∠CPO(等边对等角)．∴∠COP=∠BOP．∴OP平分∠AOB．故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角．(1)在CD上截取OP=CO即可；(2)利用平行线的判定方法可先判断CD//OB，则∠BOP=∠CPO.再利用等边对等角∠COP=∠CPO，所以∠COP=∠BOP．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．22.答案：证明：∵点E是边AC的中点，∴AE=EC.又∵EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC.又∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°.∴AC⊥DF.∴四边形ADCF是菱形．解析：本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE//BC是解决该题的关键．先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE//BC，证出AC⊥DF，即可得出结论．23.答案：解：(1)∵点M(−32,n)在反比例函数y=−32x(x<0)的图象上，∴n=1，∴M(−32,1)．∵一次函数y=kx−2的图象经过点M(−32,1)，∴1=−32k−2．∴k=−2，∴一次函数的解析式为y=−2x−2，∴A(−1,0)，B(0,−2)．(2)S△AOB=12OA×OB=1，设点P的坐标为(a,−2a−2)，由题意得，12×1×|−2a−2|=2，解得：a1=1，a2=−3，故P1(−3,4)，P2(1,−4)．解析：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是求出点M的坐标，第二问中要设出点P的纵坐标，根据△AOP的面积求出纵坐标．(1)将点M的坐标代入反比例函数，可得出n的值，再将点M的具体坐标代入一次函数，从而得出k 的值，然后求A、B的坐标即可．(2)根据△APO的面积，求出点P的纵坐标，代入直线解析式可得出点P的坐标．24.答案：解：(1)证明：如图，连接OD，则OD=OA，∴∠，2=∠3，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD//AF，又∵EF⊥AF，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠3+∠ODB=90°，由(1)可知，∠ODB+∠EDB=90°，∴∠EDB=∠3=∠2，∵∠E=∠E，∴△EDB∽△EAD，∴EBED =EDEA，∵EBED =√3，∴EDEA =√3，∴EA=√3ED=√3×√3EB=3EB，∴EB=r=4，在Rt△ODE中，，∴∠E=30°，连接BC，则BC⊥AF，∴BC//EF，∴∠ABC=∠E=30°，在Rt△ACB中，AC=12AB=4，在Rt△AFE中，AF=12AE=6，∴FC=AF−AC=6−4=2．解析：本题考查了圆周角定理，切线的判定和性质，角平分线定义，平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，掌握和灵活运用圆周角定理是解题关键．(1)连接OD，只要证明OD⊥EF即可证明EF是⊙O的切线；(2)首先证明△EDB∽△EAD，得到EB=4，然后利用解直角三角形证明∠E=30°，再根据直角三角形的性质即可求出FC的长．25.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−2,0)，∴0=4a−2b+4，∵对称轴是直线x=3，∴−b=3，即6a+b=0，2a关于a ，b 的方程联立为{4a −2b +4=06a +b =0， 解得 a =−14，b =32， ∴抛物线的表达式为y =−14x 2+32x +4；(2)∵四边形为平行四边形，且BC//MN ，∴BC =MN ．分两种情况：①N 点在M 点下方，如图所示：即M 点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N 重合．设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x +3,−14x 2+32x)，∵N 在x 轴上，∴−14x 2+32x =0，解得 x =0(舍去)，或x =6，∴x M =6，∴M(6,4)；②M 点在N 点右下方，即N 向下平移4个单位，向右平移3个单位与M 重合．设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x −3,−14x 2+32x +8)，∵N 在x 轴上，∴−14x 2+32x +8=0，解得 x =3−√41，或x =3+√41，∴x M =3−√41或3+√41．∴M 2(3−√41,−4)或M 3(3+√41,−4)．综上所述，M 的坐标为(6,4)或(3−√41,−4)或(3+√41,−4)解析：(1)根据点A 的坐标和对称轴得出方程组，解方程组求出a 和b 即可；(2)由平行四边形的性质得出BC//MN ，BC =MN.分两种情况：①N 点在M 点下方，设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x +3,−14x 2+32x)，由N 在x 轴上得出−14x 2+32x =0，解方程即可；②M点在N点右下方，设M(x,−14x2+32x+4)，则N(x−3,−14x2+32x+8)，由N在x轴上得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．27.答案：解：(1)补全图形如图所示，(2)连接DF，由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴点C，D，F共线，∴CF//AB，过点E作EH//BC交BD于H，∴∠BEH=∠BCD=90°，DF//EH，∴∠DFG=∠HEG，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD=45°，∴BE=EH，∵∠DGF=∠HGE，∴△DFG≌△HEG(AAS)，∴FG=EG∵AE=AF，∴AG⊥EF；(3)∵BD是正方形的对角线，∴BD=√2AB=3√2，由(2)知，在Rt△BEH中，BH=√2BE=2√2，∴DH=BD−BH=√2由(2)知，△DFG≌△HEG，∴DG=HG，∴HG=12DH=√22，∴BG=BH+HG=2√2+√22=5√22．解析：(1)根据题意补全图形即可；(2)先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；(3)先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．28.答案：解：(1)①∵正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0)，点E(0,4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5；②如图1所示：∵d(点E)=5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，∴点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，解得：k=−1，将点F 2的坐标代入y=kx+4得：0=−4k+4，解得：k=1，∴k=−1或k=1．∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤−1，EF2直线y=kx+4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤−1或k≥1；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，如图2所示：CM=CN=6，OH=3，∴T1C=TC=5，CH=OC+OH=1+3=4，∴T1H=√T1C2−CH2=√52−42=3，TH=√TC2−CH2=√52−42=3，∴d(⊙T)<6，t的取值范围为：−3<t<3．解析：(1)①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5②由d(点E)=5得出d(线段EF)的最小值是5，得出符合题意的点F满足d(点F)≤5，求出当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，代入y=kx+4求出k 的值，再结合函数图象即可得出结果；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，CM=CN=6，OH=3，得出T1C=TC=5，CH=OC+OH=4，由勾股定理求出T1H=√T1C2−CH2=3，TH=√TC2−CH2=3，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。
北京八中数学试题及答案
北京八中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a，b，c是等差数列，则下列哪个选项是正确的？A. a + c = 2bB. a + b = 2cC. b + c = 2aD. a + b = c + d答案：A2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，下列哪个选项是正确的？A. f(x)的最小值是0B. f(x)的最小值是4C. f(x)的最小值是-4D. f(x)的最小值不存在答案：A3. 若x，y满足方程组\(\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}\right.\)，则x+y的值是？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C4. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A + B = 2C，下列哪个选项是正确的？A. C = 90°B. C = 60°C. C = 45°D. C = 30°答案：B5. 若一个圆的半径为r，则该圆的面积是？A. \(\pi r^2\)B. \(\pi r\)C. \(2\pi r\)D. \(\frac{1}{2}\pi r^2\)答案：A6. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，则该数列的前5项和S_5是？A. 31B. 32C. 33D. 35答案：B7. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是？A. (0, 3)B. (-3/2, 0)C. (3/2, 0)D. (0, -3)答案：C8. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = -4B. a + b = -5C. 4a + 2b + c = -4D. a - b + c = -4答案：C9. 已知函数f(x) = |x|，下列哪个选项是正确的？A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)既不是奇函数也不是偶函数D. f(x)是周期函数答案：B10. 若一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该三角形的周长是？A. 16B. 21C. 26D. 31答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则该数列的第5项a_5是_________。
北京八中2020届高三下3月份自主检测数学试题(含答案)
②从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人”的人数 的
分布列和数学期望.
18.（本小题共 14 分） 已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， △PAD 是正三角形， CD 平面 PAD ，
E、F、G、O 分别是 PC、PD、BC、AD 的中点．
则 O(0,0,0), A(2,0,0), B(2,4,0),C(−2,4,0), D(−2,0,0),G(0,4,0), P(0,0,2 3) ，
z E(−1,2, 3), F(−1,0, 3) ， EF = (0,−2,0), EG = (1,2,− 3) ，
P
设平面 EFG 的法向量为 m = (x, y, z),
2020．03
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
DC
A
D
A
B
B
C
C
A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11． 40
12． 9
14． 6 3
15． 5 ； − 2 5 5
注：第 13、15 题第一空 3 分，第二空 2 分.
13． 2 ； (3, 2 3)
（C） 2 2
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A） 1 3
（B） 2 3
（C）1
（D） 2
（D） 2
1 主视图
左视图
2
1
1
2
2
俯视图
高三综合练习(二) ∙ 数学 ∙ 1 / 4
BYFZ2020初三3月份基础测试数学试题终稿
BYFZ2020初三三月份基础测试数学试题班级姓名一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为 A ．1．2×109个 B ． 12×109个 C ． 1．2×1010个 D ． 1．2×1011个2．点O 、A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ，若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为A. a+1B. －(a+1)C. a －1D. －(a －1) 3．若二次根式有意义，则x 的取值范围为A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≥24．下列计算正确的是 A ．a 2+a 2＝a 4B ．2a 2·a 3＝2C ．（a 2）3＝a 6D ．3a ﹣2a ＝15．下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b “是假命题的反例是 A ．a ＝2，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝﹣2 C ．a ＝0，b ＝1 D ．a ＝﹣2，b ＝16．以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x +1＝0有实数根，则k 的取值范围是 A ．k ≤5B ．k ≤5，且k ≠1C ．k ＜5，且k ≠1D ．k ＜58．若x ＝1是方程ax 2+bx +c ＝0的解，则 A ．a +b +c ＝1 B ．a ﹣b +c ＝0C ．a ﹣b ﹣c ＝0D ．a +b +c ＝09．反比例函数y＝的图象上有三点（x1，﹣1），B （x 2，a ），C （x 3，3）， 当x 3＜x 2＜x 1时，a 的取值范围为（ ） A ．a ＞3B ．a ＜﹣1C ．﹣1＜a ＜3D ．a ＞3或a ＜﹣110．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于点A ，B ，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1，C 2，C 3，使得△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的面积都等于a ，则a 的值是（ ） A ．6 B ．8C ．12D ．162x二、填空题（每题3分共6题18分） 11．比较大小：2 ．（填“＞”、“＝”或“＜“）12．分解因式：ax 2﹣2ax +a ＝ ．13．若点P （4，﹣5）和点Q （a ，b ）关于原点对称，则a 的值为 ． 14．二次函数y ＝2（x +3）2﹣4的最小值为 ．15. 某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，这个增长率为 ． 16. 如图，直线y ＝kx +b （k ＜0）经过点A （3，1），当kx +b ＜x 时，x 的取值范围为____________．三、解答题（17题—19题每题5分20题8分，21题5分，22题12分，23题12分）17．计算：．18．解不等式组：19．若，求代数式的值.20．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？21.已知关于x 的一元二次方程．（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b ，c 的值，并求此时方程的根．1302sin 60(π1)1︒+--512(1)325x x x x ，．⎧->+⎪⎨+>⎪⎩220a ab --=222a b ab a a b a ⎛⎫- ⎪⋅+ ⎪-⎝⎭20x bx c ++=2c b =-22. 下表中给出A ，B ，C 三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/（元/min ）A 30 25 0.1B 50 50 0.1 C100不限时（1）设月通话时间为x 小时，则方案A ，B ，C 的收费金额y 1，y 2，y 3都是x 的函数，请分别求出这三个函数解析式． （2）填空：若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ； 若选择方式B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ； 若选择方式C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ；（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：与x 轴交于点A （，0），与y 轴交于点B ．双曲线与直线l 交于P ，Q 两点，其中点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标． （1）求点B 的坐标；（2）当点P 的横坐标为2时，求k 的值； （3）连接PO ，记△POB 的面积为S ，若，直接写出k 的取值范围．y x b =+2-ky x=112S <<。
北京八中2020届高三3月学模拟考试数学(二)试题 Word版含解析
数学试题一.选择题（本大题共10道小题，每道小题4分，共40分）1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞ D. (2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：∀x ∈R +，ln x ＞0，那么命题p ⌝为（ ） A. ∃x ∈R +，ln x ≤0 B. ∀x ∈R +，ln x ＜0 C. ∃x ∈R +，ln x ＜0 D. ∀x ∈R +，ln x ≤0【答案】A 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p ：∀x ∈R +，ln x ＞0”的否定p ⌝为：∃x ∈R +，ln x ≤0. 故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题.4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc < B.11a b> C. 22a b < D. 33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案.【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ） A. 2x - B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=rrr 若2a b -rr与c r共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=r r因为2a b -r r 与c r 共线，所以30k =，解得：1k =故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=，则m =（ ）A.14B.12C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =c =.【详解】a =，c =因为双曲线221x y m-== 解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 13B.23C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u v v 为非零向量，则“m n λ=v v，1λ≤-”是“m n m n +=-v v v v ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r r m n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题（本大题共5道小题，每道小题5分，共25分）11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题. 12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q因为1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】 (1). 2(2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===故答案为：3【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题. 15.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______.【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin ϕ=，cos ϕ=)当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪⎝⎭=【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题（本大题共6道小题，共85分）16.已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥【解析】 【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cossin 222xxxf x ωωω=+1cos 2x x ωω-=+11cos 22x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥，所以43ω≥. 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.17.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ=【解析】 【分析】(1)按照比例求解即可；(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望. 【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为ξ123P31035110故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.18.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD的法向量，从而得到平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA上存在满足题意的点M，直线GM与平面EFG法向量的夹角为3π，设PM PAλ=uuu r uu r，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M.【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD.又因CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD.AD CD D=I，AD CD⊂，平面ABCD，所以PO⊥面ABCD.（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23) O A B C D G P--，(1,3),(3)E F--，(0,2,0),(1,2,3)EF EG=-=-u u u r u u u r，设平面EFG的法向量为(,,)m x y z=u r所以EF mEG m⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，即20,230,yx y z-=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z=，则(3,01)m=v，，又平面ABCD法向量(0,0,1)n=r，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ，所以1cos 2m n m nθ⋅===u r r u r r .所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m u r所成的角为3π， 设PM PA λ=uuu r uu r，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u ur ，所以)()2,1GM λλ=--uuu r所以coscos ,3GM m π==u u u u r u r ，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点是12,F F ，点P 在椭圆C 上，且12|||4|PF PF +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别交于点,,E F O 为原点，证明：OE OF ⋅为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由椭圆的定义得2a =，将点)P 的坐标代入椭圆方程，解得b即可求得椭圆C 的方程；（2）由题意可知设()00,M x y ，则有220024x y +=，写出直线MP的方程，求出其与x 轴的交点，从而表示出OE ，同理即可求得OF ，利用整体代换则可得OE OF ⋅.试题解析：（1）由椭圆的定义，得1224PF PF a +==，2a =，将点)P的坐标代入22214x y b+=，得22114b +=，解得：b =C 的方程是22142x y +=.（2）证明：依题意，得)1Q -，设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠，01y ≠±，直线MP的方程为1y x -=-，令0y =，得0001x x y -=-，所以OE =.直线MQ的方程为1y x +=，令0y =，得0001x x y +=+，所以OF =.所以()2222000022002422411---⋅====--y y y x y y OE OF ，所以OE OF ⋅为定值.20.已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-. 【解析】【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1ln g x x x=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围.【详解】（1）因为函数()ln f x x x =， 所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. （2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+， 由（1）可知，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=解得1x e=. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.（3）当1x e e≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”.令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令()0g x '=解得1x =，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增. 而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11ln 1 1.5g e e e e=+=+<. 所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题. 21.已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值.【答案】（1）a 1＝1，a 2＝2；（2）证明见解析；（3）n 最小值为11，a n 的最大值1010 【解析】 【分析】（1）考虑元素1，2，结合新定义S A ，可得所求值；（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；（3）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n ﹣1，讨论当n ＝10时，n ＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求.【详解】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1，2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()112312A S n n n =++++=+L ； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()112312A S n n n ≥++++=+L ，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立.于是当()112A S n n =+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列. 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”；（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求.而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数. 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11.记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以a 11≤1010. 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意， 所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.。
2020年3月北京市第八十中学九年级数学测试试题
北京市第八十中学居家学习测试数学试题（考试时间：120分，总分100）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图所示，在△ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是 （A ） （B ） （C ） （D ）2．下列各式计算正确的是（A ） 235x x x ⋅= （B ）22434x x x += （C ）824x x x ÷= （D ）2242(3)6x y x y =（C ） （D ）5．如图，在Y ABCD 中，AC =8，BD=6 ，AD=5，则Y ABCD 的面积为（A ）6（B ）12（C ）24（D ）486．如图，AB 是⊙O 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若AE =EB =3，∠C =15°，则OE 的长为（A （B ）4 （C ） 6（D ）HC BA ABC HHCBAO DCBA7.如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离约为A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米 D ． 1000sin α米 8. 如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→C→D 以1cm/s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为x(s),△PAB 的面积为y(cm 2).表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为图1 图2AB ．52C ． 2D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式21x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 10．因式分解：3269a a a -+= ．11．圆心角为80º，半径为3的扇形的面积为 ．12. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，则∠BAC+∠ACD=________°．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y 1=－x+a 与直线y 2=bx －4相交于点P （1,－3），则关于x 的不等式－x+a ＜bx －4的解集是 .14．如图，正方形ABCD ，E 是边AD 上一点，AE =13AD =1，CF ⊥BE 于F ，则BF 的长为 ． 15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m. 16．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期； 注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票.某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买F EDCBA优惠票的有 人．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB ．求作：∠APC ，使得∠APC =2∠AOB ． 作法：如图，①在射线OB 上任取一点C ； ②作线段OC 的垂直平分线， 交OA 于点P ，交OB 于点D ； ③连接PC ；所以∠APC 即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵DP 是线段OC 的垂直平分线，∴OP = （ ）．∴∠O=∠PCO ．∵∠APC=∠O +∠PCO （ ）． ∴∠APC =2∠AOB ．18()2602-︒-+19．已知2210y xy --=，求代数式22(2)()()3x y x y x y y ---+-的值．20.解不等式215+1132x x --≥，并把解集在数轴上表示出来.21．已知关于x 的一元二次方程()22310m x x -+-=有两个不相等的实数根．ABO（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m ，并求出此方程的根．22．如图，AB 平分∠CAD ，∠ACB +∠ADB =180º， （1）求证：BC =BD ； （2）若BD =10，cos ∠ADB =25，求AD -AC 的值.23．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，点O 在边AC 上，⊙O 与边AC 相交于点D 、与 边AB 相切于点E ，过点D 作DP ∥BC 交AB 于点P ． （1）求证：PD=PE ；（2）连接CP ，若点E 是AP 的中点，OD : DC =2:1，CP =13，求⊙O 的半径．24．在平面直角坐标系xOy 中，A （-3，2），B （0，1），将线段AB 沿x 轴的正方向平移n （n >0）个单位，得到线段A B ''，且点A B ''，恰好都落在反比例函数()0my m x=≠的图象上.（1）用含n 的代数式表示点A B ''，的坐标； （2）求n 的值和反比例函数()0my m x=≠的表达式； BA（3）点C 为反比例函数()0my m x=≠图象上的一个动点，直线CA '与x 轴交于点 D ，若2CD A D '=,请直接写出点C 的坐标.25．如图，P 是矩形ABCD 内部的一定点，M 是AB 边上一动点，连接MP 并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB =cm ，设A ，M 两点间的距离为 x cm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组x /cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2y /cm6.306.346.436.695.754.813.98（2xOy ()1,x y y2yPND C B 234567y/cm（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN 为等腰三角形时，AM 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m =-+-．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子去表示）；（2）若点（m -2, y 1），（m , y 2），（m +3,y 3）都在抛物线2221y x mx m =-+-上，则y 1， y 2 ，y 3的大小关系为 ； （3）直线y x b =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点,在抛物线对称轴右侧的 点记为P ，当△OAP 为钝角三角形时,求m 的取值范围.27．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G .（1）求证：AF =BE ；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h=PQ ，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”. （1）已知点A (4,0)，C①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三 角形的腰长；②若Rt △ABC 是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线 25y x =-上，则点B 的坐标为_________________________________；（2）⊙ T 的圆心为点T )0,2(，半径为2，点M 的坐标为)6,2(，N 为直线4+=x y 上一点，若存在Rt △MND ，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与⊙ T 有公共 点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
列方程为___________________________．
13. 如图，已知 Rt△ABC 位于第二象限, 点 A（-1,1）, AB=BC=2, 且两条直角边 AB、BC 分别
平行于 x 轴、y 轴, 写出一个函数 y = k (k 0) , 使它的图象与 ABC 有两个公共点, 这个函数的
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O
x
北京八中 2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测（3 月）
x/cm
26．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx +1 (k 0) 经过点 A(2,3) ，与 y 轴交于点 B ，
与抛物线 y = ax2 + bx + a 的对称轴交于点 C(m,2) . （1）求 m 的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3） N(x1, y1) 是线段 AB 上一动点，过点 N 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点 P(x2, y2 ) , Q(x3, y3) （点 P 在点 Q 的左侧）．若 x2 x1 x3 恒成立，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
（2）完成下面的证明．
P
证明：连接 PB，QB，
∵ PA=QB，
∴
_____，
A
O
Bl
∴ ∠PBA=∠QPB（____________________）（填推理的依据），
∴ PQ∥l（____________________）（填推理的依据）．
20．如图, 在四边形 ABCD 中, AB∥CD, AB=BC=2CD, E 为对角线 AC 的中点, F 为边 BC 的中点, 连接 DE, EF． （1）求证：四边形 CDEF 为菱形； （2）连接 DF 交 EC 于 G , 若 DF = 2 , CD = 5 , 求 AD 的长．
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点 ( x, y1 ) ，并画
出函数 y1 的图象；
10 yy /cm
9
7
8
6
y2
（3）结合函数图象，解决问题： 当△AMN 为等腰三角形时， AM 的长度约为 cm．
7
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2 第6页, 共 7O页 1 2 3 4 5 6 7
作法：如图，
① 在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP l
长为半径画半圆，交直线 l 于 A，B 两点；
② 连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q；
③ 作直线 PQ．
所以直线 PQ 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
得到线段 BC, 反比例函数 y = k ( x 0) 的图象 G 经过点 C.
x
（1）请直接写出点 C 的坐标及 k 的值； （2）若点 P 在图象 G 上, 且∠POB=∠BAO, 求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下, 若 Q（0, m）为 y 轴正半轴上一点, 过点 Q 作 x 轴的平行线与图象 G
交于点 M, 与直线 OP 交于点 N, 若点 M 在点 N 左侧, 结合图象, 直接写出 m 的取值范围.
y
6
5
4
3
2
A
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6
23．如图是甲、乙两名射击运动员的 10 次射击测试成绩的折线统计图. （1）根据折线图把下列表格补充完整；
3
A
第4页, 共 7 页
D
C
E
F
B
北京八中 2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测（3 月）
21．已知：关于 x 的一元二次方程 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 取满足条件的最大整数时, 求方程的根．
有两个不相等的实数根．
22．如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, A(0, 3), B(1, 0), 连接 BA,将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°
x 轴上, A(−3,0) , B(4,0) , 边 AD 长为 5. 现固定边 AB, “推”矩形使点 D 落在 y 轴的正半轴
上（落点记为 D ）, 相应地, 点 C 的对应点 C 的坐标为
.
y
C
第 11 题图
B
A
-1 O x
第 13 题图
第 14 题图
第 15 题图
16.电影公司随机收集了 2 000 部电影的有关数据, 经分类整理得到下表：
x
表达式为
．
14. 已知：如图, 在△ABC 中, D 是 AB 边上一点, 圆 O 过 D、B、C 三点, ∠DOC=2∠ACD=90°．
如果∠ACB=75°, 圆 O 的半径为 2, 则 BD 的长为
．
15. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 矩形 ABCD 的边 AB 在
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、
测量，分别得到了 y1 ， y2 与 x 的几组对应值；
A
M
B
x /cm 0 1 2 3 4 5 6
y1 /cm 6.30 5.40
4.22 3.13 3.25 4.52
y2 /cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98
运动员 平均数 中位数 众数
甲
8.5
9
乙
8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识 对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价 并说明理由.
第5页, 共 7 页
北京八中 2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测（3 月）
24．如图, AB 为⊙O 的直径, C、D 为⊙O 上不同于 A、B 的两点, ∠ABD=2∠BAC, 连接 CD,
北京八中 2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测（3 月）
2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测
年级：初三 科目：数学 班级：_________ 姓名：__________ 学号：____
考 1. 本试卷共 7 页, 共三道大题, 28 道小题。满分 100 分。考试时间 100 分钟。 生 2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。 须 3. 试题答案一律书写在答题纸上, 在试卷上作答无效。 知 4. 请按规定时间将选择题在平台录入, 非选择题按要求拍照上传到平台。
每小题 7 分）
17．计算：
(
2015
−
)0
−
1 2
−2
−
2
sin
60
+
3 −1 ．
3x −1 2( x −1)
18.
解不等式组：
x
−1≤1 2
, 并在数轴上表示出其解集．
19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
P
求作：直线 PQ，使 PQ∥l．
Q2 t(s)
二. 填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9．当 x = _______ 时, 代数式 x - 2 的值为 0． x
10. 已知在同一坐标系中, 抛物线 y1 = ax2 的开口向上,且它的开口比抛物线 y 2 = 3x2 + 2 的开
口小, 请你写出一个满足条件的 a 值:
．
第2页, 共 7 页
A. 90°
B. 120°
C. 150°
D. 180°
ab
cd
第 2 题图
第 3 题图
5. 如果 y = −x + 3 , 且 x y , 那么代数式 x2 + y2 的值为 x−y y−x
第 4 题图
A. 3
B. −3
1
C.
3
D. − 1 3
6. 甲骨文是我国的一种古代文字, 是汉字的早期形式, 下列甲骨文中, 不．是．轴对称的是
电影类型 第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）如果电影公司从收集的电影中随机选取 1 部, 那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电
影的概率是
；
（2）电影公司为了增加投资回报, 拟改变投资策略, 这将导致不同类型电影的好评率发生变
20%
157 200
42 75
2015 2016 2017 2018 年份
（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》）
根据统计图提供的信息, 下列推断合理的是 A．2018 年与 2017 年相比, 我国网约出租车客运量增加了 20%以上 B．2018 年, 我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足 60% C．2015 年至 2018 年, 我国出租车客运的总量一直未发生变化 D．2015 年至 2018 年, 我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加
甲 A
8cm
乙 B
S1(cm) 8 P1
S2(cm)
8
P2
图1
Q1
O1 t0
4t0 t(s)
O2
图2
图3
A. 甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍
B. 乙光斑从点 A 到 B 的运动速度小于 1.5cm/s