复数高考题型总结
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高考复数知识点与题型
高考复数知识点与题型高考是每个学生都必须面对的重要考试，其中涵盖的知识点众多。
在数学这一科目中，复数是一个重要且常见的知识点。
复数在数学中具有广泛的应用，不仅贯穿于高中数学的各个章节中，而且在高考考试的题目中也经常出现。
本文将重点分析与复数相关的知识点和题型。
一、复数的定义与运算复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
在运算方面，复数的加减法与实数类似，可以将实部与虚部分别相加减。
复数的乘法中，需要注意虚数单位的性质，即i²=-1。
复数的除法可以通过有理化操作将分母变为实数，然后进行分子分母的分别除以实数的运算。
高考常见的复数题型包括求复数的共轭、复数的乘除法、复数的加减法等。
二、复数的平方根和幂次方复数的平方根是指复数的某个平方等于给定复数的性质。
一般来说，复数的平方根有两个解，其中一个解是正实数根，另一个解是负实数根。
对于n次方的复数运算，可以使用De Moivre公式将复数的n次方转化为它的幅角与辐角的函数。
高考中常见的题型包括求复数的平方根或者幂次方。
三、复数的模与辐角复数的模表示复数的长度，也可以理解为复数到原点的距离。
一般使用竖线表示，也可以用绝对值表示。
复数的辐角指的是复数与正实数轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的模和辐角可以通过公式计算出来，也可以通过坐标系进行几何解释。
高考中常见的题型包括给出复数求模和辐角，或者给出模和辐角求复数。
四、复数的几何意义复数在数学中具有重要的几何意义。
可以将复数看作是平面上的向量，复数的实部和虚部可以分别表示向量在x轴和y轴的投影。
将复数在坐标系中表示出来，可以画出复平面图。
复数的加减法可以理解为向量的相加减，复数的乘法可以理解为放缩和旋转。
通过复平面图，可以直观地理解复数的运算与几何意义。
在高考题目中，经常会利用复数的几何意义进行分析和解答。
五、复数方程与不等式复数方程和不等式是高考中较为复杂的考点之一。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 复数(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第26练复数（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i+D ．42i+【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3．（2021·全国·高考真题）已知()21i 32i z -=+，则z =（）A ．31i2--B ．31i2-+C ．3i2-+D ．3i2--【答案】B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12z i=-【A组在基础中考查功底】一、单选题根据复数模的几何意义可知，如图可知，i z +的最小值是点故选：B.26．（2022·全国·高三专题练习）设A ．13i22-C ．31i 22--【答案】C【分析】首先利用诱导公式将复数出其共轭复数；【详解】解：因为sin15z =+ 所以()22sin15i cos15z =+= 22sin 15cos 152sin15cos15=-+ cos30sin 30i =-+ 31i 22=-+所以2z 的共轭复数是3122--故选：C【B 组在综合中考查能力】一、单选题1．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知A ．3±B ．3【答案】C。
新高考复数知识点总结归纳
新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。
5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。
二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。
2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。
常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。
3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。
比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。
三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。
下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。
复数知识点与历年高考经典题型
复数知识点与历年高考经典题型Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT数系的扩充与复数的引入知识点（一）1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
高考复数的知识点总结
高考复数的知识点总结复数是英语语法中一个非常重要的概念，常常出现在高考的考试题目中。
在此，我将对高考所涉及的复数知识点进行总结，希望对同学们备考有所帮助。
一、复数的基本规则1. 名词一般通过在词尾加-s表示复数形式，如books、pens等。
2. 以s、x、ch、sh等结尾的词，复数形式在词尾加-es，如buses、boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的词，将y变为i，再加-es，如ladies、stories。
4. 以-o结尾的词，一般在词尾加-es，如potatoes、tomatoes。
但也有例外，如photos、pianos。
二、不规则复数形式1. 有些名词的复数形式完全不规则，需记忆，如child—children、man—men、woman—women等。
2. 有些名词的复数形式与单数形式相同，需通过上下文来判断，如fish、sheep等。
三、复数形式与动词一致1. 当主语为复数形式时，谓语动词需用复数形式，如The students are studying.2. 当主语为两者或多者共同进行的动作时，谓语动词也可使用复数形式，如The dog and the cat are playing.四、复数名词的所有格1. 在复数名词的结尾加-apostrophe，如girls'、birds'。
2. 若复数名词已以-s结尾，则只需要在词尾加-apostrophe，如students'、teachers'。
五、部分复数形式1. 一些名词既有单数形式，又有复数形式，含义不同，如news、means。
2. 一些名词无单数形式，只有复数形式，如scissors、trousers。
六、可数名词与不可数名词的复数形式1. 不可数名词没有复数形式，如water、milk。
2. 可数名词和不可数名词均可以表示复数概念，如two coffees、three books。
七、高考常见考点1. 单复数一致：在句子中主语与谓语动词需要保持单复数一致。
第12章复数章末题型归纳总结 高考数学
又∠ ∈ , ，所以∠ = .
故答案为：
−
，
= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足 为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +
= − + = −，
−=
又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若 是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
复数高考题型总结
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内,复数(12)z i i =+对应的点位于 ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为 ．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-,那么1z= ．A B C ．1255i +D ．1255i -二、复数相等 1．i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是 ． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i=+-i 为虚数单位,,a b R ∈ 则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 ．A1+2i B 1-2i C2+i D2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于 ． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -2．已知复数z 3i z ＝3i ,则z= ．A ．32B. 34C. 32D.34 3．复数32322323i i i i+--=-+ ．A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是 ．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i 5．设1z i =+i 是虚数单位,则22z z+= ．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则,p q 的值为 ．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= ．用i a b +的形式表示,a b ∈R ，3．若cos sin z i θθ=+i 为虚数单位,则21z =-的θ值可能是 ．A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 2006－2009年高考题一．选择题：1.全国一4设a ∈R ,且2()a i i +为正实数,则a = A ．2B ．1C ．0D ．1-2.全国二2设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则 A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3.四川卷复数()221i i +=Ａ4- Ｂ4 Ｃ4i - Ｄ4i 4.安徽卷1复数 32(1)i i +=A ．2B ．－2C ． 2iD ． 2i -5.山东卷2设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,则zz 等于 A1 B-i C ±1 D ±i 6．江西卷1在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.湖北卷11设211z z iz =-其中1z 表示z 1的共轭复数,已知z 2的实部是1-,则z 2的虚部为 ;8.湖南卷1复数31()i i-等于 B.－8D.－8i9.陕西卷1复数(2)12i i i+-等于 A ．iB ．i -C ．1D ．1-10.重庆卷1复数1+22i= A1+2iB1-2i C-1 D311.福建卷1若复数a 2-3a +2+a-1i 是纯虚数,则实数a 的值为B.2或212.广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．13.浙江卷1已知a 是实数,iia +-1是春虚数,则a = A1 B-1 C 2 D-2 14.辽宁卷4复数11212i i +-+-的虚部是 A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-15.海南卷2已知复数1z i =-,则21z z =-A. 2B. －2C. 2iD. －2i162006年广东若复数z 满足方程220z +=,则3z = ．A ．±B ．-C ．-D ．± 172007年广东文理2若复数1+bi2+i 是纯虚数i 是虚数单位,b 为实数,则b= ．A ．－2B ．－12C ．12D ．2182008年广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是 ．A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．(1192009年广东卷理设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i = ．A ．8B ．6C ．4D ．2二．填空题：1.上海卷3若复数z 满足(2)z i z =- i 是虚数单位,则z = ．2.北京卷9已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = ;3.江苏卷311ii+-表示为a bi +(),a b R ∈,则a b +== ． 4．已知复数z 与 z +22－8i 均是纯虚数,则 z = ____________． 5．若复数z 满足z 1+i =2,则z 的实部是__________．6．在复平面内,O 是原点,OA ,OC ,AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，,那么BC 表示的复数为________.7．z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||,那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______; 三、解答题：1．已知复数z 1满足1+iz 1=－1+5i , z 2=a －2－i , 其中i 为虚数单位,a ∈R , 若21z z -<|z 1|,求a 的取值范围.2．已知复数z 1=c osθ－i ,z 2=s in θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.3．已知z 、为复数,1+3iz 为实数,=,||2ziωω=+且求． 4、已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ 若b =,求△ABC 的面积．。
复数高考基础题型总结及解题技巧
复数高考基础题型总结及解题技巧复数高考基础题型总结及解题技巧一、概述复数在高考数学中是一个基础而重要的概念，涉及到代数、函数、方程等多个章节。
在高考中，复数的题型也是非常常见的，包括求模、共轭、乘法、除法、方程等多种类型。
了解复数的基础知识，并掌握解题技巧，对于高考数学的备考至关重要。
二、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式a+bi，也可以表示为三角形式r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。
3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法、除法与实数的运算类似，需要分别对实部和虚部进行运算。
三、常见高考基础题型及解题技巧1. 求复数的模题型：已知复数z=a+bi，求z的模|z|。
解题技巧：利用复数的定义，|z|=√(a^2+b^2)。
2. 求复数的共轭题型：已知复数z=a+bi，求z的共轭复数z*。
解题技巧：z*的实部和虚部分别与z相同，但虚部的符号相反，即z*=a-bi。
3. 复数的乘法题型：计算复数z1=a+bi和z2=c+di的乘积。
解题技巧：根据复数的乘法规则，进行实部和虚部的分配、合并、整理，得到结果。
4. 复数的除法题型：计算复数z1=a+bi除以z2=c+di的商。
解题技巧：利用复数的定义和除法运算规则，将分母有理化，然后进行分子分母同乘后整理得到商的实部和虚部。
5. 解复数方程题型：解方程z^2=a，其中a为实数。
解题技巧：化为二元一次方程组，利用求根公式解得复数解。
四、个人观点与总结复数作为数学中的一个重要概念，不仅在高考中频繁出现，而且在数学建模、物理等领域也有着广泛的应用。
对复数的基础知识和解题技巧进行深入的学习和掌握，对于数学学科的发展至关重要。
希望同学们能够在备考高考数学的过程中，认真对待复数的学习，多加练习，提高对复数的理解和运用能力。
高考数学真题题型分类解析专题专题02 复数
一、复数的概念
（ ） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． 1 i
i2 = −1 k ∈ Z
i 4k = 1, i 4 k +1 = i, i 4k + 2 = −1, i 4k +3 = −i
（2）形如 a + bi(a, b∈ R) 的数叫复数，记作 a +bi∈C ．
高考数学真题题型分类解析 专题 02 复数
命题解读
考向
高考对复数的考查，重点是复数的运 共轭复数、复数的除法运算
算、概念、复数的模、复数的几何意义 等，难度较低.
复数的乘法运算 复数的几何意义
复数的模
考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024 新高考Ⅰ卷，2 2022·新高考Ⅱ卷，2 2023 新高考Ⅱ卷，1 2024·新高考Ⅱ卷，1
综上所述，无论方程的判别式b2 −4ac 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程ax2 +bx + c = 0（ a 、b 、c∈ R 且a ≠ 0 ）的两个根与系数满足关系
， x1
+
x2
=
−
b a
x1 x2
=
c a
4 / 11
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数
=
(1− i)2
−2i
=
= −1− i .
−2i
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数 z 满足： z − i(2 + z) = 0 ，则 z = （ ）
． ． ． ． A −1− i B −1+ i C 1+ i D 1− i 【答案】B
高考数学复习点拨 复数的几种常见题型
复数的几种常见题型一、利用复数的代数形式由复数的代数形式为()z x yi x y =+∈R ，知，用代入法解题是最基本且常用的方法． 例1 已知1z ，2z ∈C 且11z =，若122z z i +=，则12z z -的最大值是（ ）Ａ．6 Ｂ．5 Ｃ．4 Ｄ．3解析：设1z x yi =+，2z x mi =-+，那么221x y +=．11x -≤≤，11y -≤≤，2y m +=，12z z - 11y -∵≤≤，1y =-∴时，12max 4z z -=，故选Ｃ． 二、利用复数相等的充要条件在复数集{}a bi a b =+∈C R ，|中，任意取两个数a bi +，()c di a b c d +∈R ，，，，a bi c di a c +=+⇔=，且b d =．例2 已知复数1z i =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．解：1z i =+∵，2(2)(2)az bz a b a b i +=++-∴，222(2)(2)44(2)(4)4(2)a z a a i a a a i +=+-++=+++．因为a b ，都是实数，所以由22(2)az bz a z +=+，得22424(2)a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩，． 两式相加，整理得2680a a ++=．解得12a =-，24a =-，对应得11b =-，22b =．所以，所求实数为2a =-，1b =-或4a =-，2b =．三、利用复数除法法则以及虚数i ，ω的运算性质1．形如a bi c di++，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”； 2．熟记一些常用的结果： （1）n i 的周期性；（2）2(1)2i i ±=±；（3）11i i i +=-，11i i i-=-+； （4）1230()n n n n i i i i n ++++++=∈N ；（5）设12ω=-+，则ω的性质有： ①2132i ω=-； ②31ω=，1ωω=·；③120()n n n n ωωω++++=∈N ．例3 设11()()11n ni i f n n i i +-⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭N ，则集合{}()x x f n =|中元素的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．无穷多个解析：因为()()n n f n i i =+-，所以当4n k =，41k +，42k +，43k +时，()202f n =-，，，∴集合{}{}()202x x f n ==-，，|，故答案为Ｃ． 四、利用共轭复数复数a bi +与复数()a bi a b -∈R ，互为共轭复数．例4 若32i +是方程220()x bx c b c ++=∈R ，的一个根，求c 的值．解：因为b c ，是实数，所以两根之和是实数，两根之积是实数；又因为32i +是方程的一个根，因此满足条件的另一个根必定是它的共轭复数32i -，因此，(32)(32)2c i i +-=，解得26c =． 另解：把32x i =+代入方程得310(242)0b c b i ++++=，根据复数相等的充要条件，得3100b c ++=且2420b +=，解得26c =．注：两共轭复数的积：22()()a bi a bi a b +-=+·，即两共轭复数的积等于复数模的平方．例5 若1z ，2z ∈C ，则1212z z z z +的（ ）Ａ．纯虚数 Ｂ．实数 Ｃ．虚数 Ｄ．不能确定 解析：若一个数的共轭复数是它的本身，则这个数是实数．由12121212z z z z z z z z +=+，可知1212z z z z +为实数．故答案选Ｂ．五、利用复数的几何意义1．利用复数的模复数z a bi =+的模z ．例6 已和z z ．解：21012(43)(12)(1)i i z i --+=-1021243121i i i --+=-·256536075264⨯==． 注：如果先化简再求模就会增大计算量．2．利用复数加法及减法的几何意义复数的加（减）法可按向量的平行四边（三角）形法则进行运算．例7 设复数1z ，2z 满足122z z ==，1223z z +=，求12z z -．解：根据题意画出如图所示的平行四边形22222(23)1cos 2OBC +-∠==-， 所以，1cos 2AOB ∠=． 因此，22222222cos 4AB AOB =+-⨯⨯∠=，2AB =．得122z z -=．我们看到上面的解题方法互相关联，因此在解题时，要注意灵活解题，综合运用所学知识．。
高考复数函数压轴题型归类总结
高考复数函数压轴题型归类总结引言复数函数是高考数学中的重要内容之一，常出现在选择题和解析几何题型中。
本文将对高考复数函数的压轴题型进行归类总结，以帮助考生更好地掌握和应对这一题型。
类型一：复数的运算这类题目主要考察考生对复数的基本运算规则的掌握。
常见的题型包括：- 复数的加减法、乘法、除法；- 复数的整式、视作整数的合并化简。
类型二：复数的性质这类题目主要考察考生对复数的性质和特点的理解。
常见的题型包括：- 复数的模、辐角、共轭；- 复数的大小比较；- 复数的幂运算；- 复数方程的解。
类型三：复数与方程这类题目主要考察考生对复数与方程的应用能力。
常见的题型包括：- 根据复数方程的解形式进行方程的求解；- 根据复数方程求解几何问题。
类型四：复数与几何这类题目主要考察考生对复数与几何的联系和应用。
常见的题型包括：- 复数平面上点的位置关系；- 复数表示平面上的变换（平移、旋转、缩放）；- 复数表示几何问题（如求面积、角度）。
类型五：综合应用这类题目将复数与其他数学内容结合起来，考察考生的综合应用能力。
常见的题型包括：- 复数与函数的综合应用；- 复数与三角函数的综合应用。
结论对于高考复数函数的压轴题型，考生应通过深入理解复数的基础知识，并结合几何概念和其他数学内容进行综合应用。
在备考过程中，多进行真题练习和模拟考试，总结题型的解题技巧，增强解题能力。
同时，注意对每种题型的巩固和复习，加强对一些常考题型的熟悉程度。
通过系统的复习和多样的练习，考生可以更好地应对高考中的复数函数压轴题型。
复数高考重点题型及易错点提醒
因为，
所以，，
所以，
故选:D.
解析：D
【分析】
求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.
【详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选:D.
13．D
【分析】
利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解
【详解】
，故 则
故选：D
解析：D
【分析】
利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解
C． D． 15．题目文件丢失！
二、多选题
16．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
17．已知复数 ，则下列结论正确的有（）
A． B． C． D．
18．下列四个命题中，真命题为（）
A．若复数 满足 ，则 B．若复数 满足 ，则
因为
，
所以，
所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，
故选：C.
解析：C
【分析】
利用复数的除法法则化简 ，再求 的共轭复数，即可得出结果.
【详解】
因为
，
所以 ，
所以复数 在复平面上的对应点 位于第三象限，
故选：C.
5．D
【分析】
利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．
【详解】
因为，
所以，则．
故选：D．
∵复数Z的实部2＞0，虚
解析：A
【解析】
试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。
3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。
当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。
若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。
4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。
特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。
5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。
共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。
6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。
在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。
6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。
1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。
例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。
y∈R，求x。
y。
解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。
高考复数的知识题型总结归类
结总型高考复数的知识题一、复数的有关概念（1）复数1. 定义：形如a＋bi （a，b∈R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. （i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1）2. 表示方法：复数通常用字母z 表示，即z＝a＋bi （a，b∈R），叫做复数部，b 叫做复数z 的虚部.（注意b 是虚部而不是的代数形式，a 叫做复数z 的实bi ）（2）复数集1. 定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2. 表示：大写字母C.（3）复数的分类复数集、实的关系数集、虚数集、纯虚数集之间( 4 ) 复数相等的充要条件a＋bi ＝c＋di ? a＝c 且b＝da＋bi ＝0? a＝b＝0. （a,b,c,d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋b i （a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念是b，复数z=a+bi ( a、b∈R)可用点Z( a，b) 表示，坐标是a，纵点Z 的横坐标叫做叫做实轴，y轴系来表示复数的平面叫做复平面，x轴这个建立了直角坐标实轴上的点都表示实数虚轴数（1）实轴上的点都表示实上的点都表示纯虚数（2）虚轴数对为(0，0)（3）原点对应的有序实三、复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→平面向量→OZ四、复数的模复数z＝a＋b i （a，b∈R）对应的向量为O Z ，则O Z 的模叫做复数z 的模，记作| z| ，且大小.的模表示实数，可以比较大小的，但它们注意：两个虚数是不可以比较五、复数的运算设z1=a+bi ，z2=c +di ( a、b、c、d∈R)是任意两个复数，z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=( a+bi )+( c +di )=( a+c )+( b+d) i .z1 与z2 的减法运算律：z1- z2=( a+bi )-( c +di )=( a- c)+( b- d) i .z1 与z2 的乘法运算律：z1·z2= ( a+bi )( c +di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .z1 与z2 的除法运算律：z1÷z2 =( a+bi ) ÷( c +di )= （分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1. 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。
高考 复数知识点总结
高考复数知识点总结高考是每个学生都经历过的一次重要考试，其中涵盖了各个学科的知识点。
本文将对高考复数知识点进行总结，并提供一些解析和例子，帮助考生更好地理解和掌握这些知识。
一、名词复数形式1. 一般情况下，在名词后加-s构成复数形式。
例如：book - books; cat - cats; dog - dogs2. 以s, x, sh, ch结尾的名词，在其后加-es构成复数形式。
例如：bus - buses; box - boxes; brush - brushes; watch - watches3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es构成复数形式。
例如：baby - babies; party - parties4. 以f或fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es构成复数形式。
例如：leaf - leaves; knife - knives5. 以o结尾的名词，大多数情况下，在其后加-es构成复数形式。
例如：tomato - tomatoes; potato - potatoes6. 一些特殊名词的复数形式需记忆。
例如：child - children; man - men; woman - women; tooth - teeth; foot - feet二、不可数名词1. 不可数名词没有复数形式，表示一类事物或抽象概念。
例如：water, milk, rice, happiness, knowledge2. 不可数名词前不可以用a/an表示单数，但可以用some表示复数或不定量。
例如：Some water; Some milk; Some rice3. 不可数名词可以通过量词或容器表示数量。
例如：a glass of water; a cup of coffee; a bag of sugar三、代词的复数形式1. 人称代词的复数形式：we, you, they例如：We are students. You are my friends. They are playing basketball.2. 物主代词的复数形式：our, your, their例如：This is our book. Is this your pen? It's their car.四、动词的复数形式1. 第三人称单数主语的一般现在时，动词加-s。
复数高考题型总结,DOC
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为．3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（）．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14A 1．i A 231A 23A ．0 B ．2 C ．－2i D ．24．复数2(12)34i i+-的值是（）． A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（）． A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（）．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（）．A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π1.A ．22.A ．2b =3. （Ａ）4.A5.（A ）1 6．A 7.。
8.（湖南卷1）复数31()i i-等于() A.8 B.－8 C.8i D.－8i9.（陕西卷1）复数(2)12i i i+-等于（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-10.（重庆卷1）复数1+22i = (A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)311.（福建卷1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为A.1B.2C.1或2D.-112.（广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．(15)，B ．(13)，C ．(1D ．(113.（浙江卷1）已知a 是实数，ii a +-1是春虚数，则a = （A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-214.A ．15i 15.A.2 16（A ．±17（b=（）． A 18（．A ．(119（i ，()a i =（）．A ．1.2.（北京卷9）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =。
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复数高考题型
一、复数概念
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）．
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．1-或1
4．已知复数12z i =-，那么1
z
=（ ）．
A B C ．1
255
i +
D ．1255
i -
二、复数相等 1．i 是虚数单位，若
17(,)2i
a bi a
b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ）
． A ．－15
B ．－3
C ．3
D ．152．若
2
1a bi i
=+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni i
m
是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）
． (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 三、复数计算 1．复数
31i
i
--等于（ ）． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2．已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z=（ ）．
A ．3
2
B. 34
C. 32
D.34 3．复数
32322323i i i i
+--=-+（ ）．
A ．0
B ．2
C ．－2i
D ．2
4．复数2
(12)34i i
+-的值是（ ）．
A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i 5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22
z z
+=（ ）．
A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i -
D ． 1i +四、其他题型
1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（ ）．
A ．4,5p q =-=
B ．4,5p q ==
C ．4,5p q ==-
D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i +++
+= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）
3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（ ）．
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π
D ．
2
π 2006－2009年高考题
一．选择题：
1.（全国一4）设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
2.（全国二2）设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a =
B ．223a b =
C ．229b a =
D ．229a b =
3.（四川卷）复数()2
21i i +=( )
（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）
4i
4.（安徽卷1）复数 32(1)i i +=（ ）
A ．2
B ．－2
C ． 2i
D ． 2i -
5.（山东卷2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则z
z
等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i 6．（江西卷1）在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7.（湖北卷11）设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 。
8.（湖南卷1）复数31
()i i
-等于( ) A.8 B.－8 C.8i
D.－8i
9.（陕西卷1）复数(2)
12i i i
+-等于（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
10.（重庆卷1）复数1+
22
i
= (A)1+2i
(B)1-2i (C)-1 (D)3
11.（福建卷1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为
A.1
B.2
C.1或2
D.-1
12.（广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．
D ．
13.（浙江卷1）已知a 是实数，
i
i
a +-1是春虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2 14.（辽宁卷4）复数
11
212i i
+-+-的虚部是（ ）
A ．15
i
B ．15
C ．15
i -
D ．15
-
15.（海南卷2）已知复数1z i =-，则2
1
z z =-（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
16（2006年广东）若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）．
A ．±
B ．-
C ．-
D ．± 17（2007年广东文理2）若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=（ ）．
A ．－2
B ．－1
2
C ．12
D ．2
18（2008年广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）．
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．
D ．(1
19（2009年广东卷理）设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ ）．
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
二．填空题：
1.（上海卷3）若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ．
2.（北京卷9）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = 。
3.（江苏卷3）
11i
i
+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ． 4．已知复数z 与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________． 5．若复数z 满足z (1+i )=2，则z 的实部是__________．
6．在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，，
那么BC 表示的复数为________.
7．z z C z z z z z 12121222
22402，，，∈-+==||，那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______。
三、解答题：
1．已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R， 若
21z z -<|z 1|，求a 的取值范围.
2．已知复数z 1=c osθ－i ，z 2=s in θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.
3．已知z 、?为复数，（1+3i ）z 为实数，?=
,||2z
i
ωω=+且求． 4、已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =，其中B 、C 为△
ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．
（Ⅰ）求角B 的大小；
(Ⅱ) 若b =ABC 的面积．。