二次函数与几何分类总结
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
专题二次函数与几何图形
yA xB OCD 专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形1．已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值；(3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标.2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2y x bx c =++的图像都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标.二、二次函数与相似三角形3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】12345-1-1-2123456xyO 图8xyOO NC MBA4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。
（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。
二次函数的解析几何性质及其应用
二次函数的解析几何性质及其应用二次函数是数学中常见的一种函数形式，其解析几何性质和应用广泛而深入。
本文将从几何性质和应用两个方面进行阐述。
一、二次函数的解析几何性质1. 函数图像的特征二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
对于二次函数的图像，其形状为抛物线，具体形状取决于a的正负和大小。
当a>0时，抛物线开口朝上，图像在y轴上方开口；当a<0时，抛物线开口朝下，图像在y轴下方开口。
b和c分别决定了抛物线在x轴方向的平移和y轴方向的平移。
2. 对称性二次函数的图像具有关于直线x = -b/2a的对称性。
这意味着，如果点(x1, y1)在图像上，那么点(x2, y2) = (2(-b/2a)-x1, y1)也在图像上。
这个性质可以通过函数的导数推导得出。
3. 零点和顶点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是抛物线与x轴的交点。
根据二次函数的解的公式，可以求得零点的坐标。
而二次函数的顶点则是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时），其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二、二次函数的应用1. 物理学中的抛物线运动抛物线运动是物体在重力作用下的运动轨迹。
由于重力加速度的存在，物体在垂直方向上的运动满足二次函数的形式。
通过分析物体的抛物线轨迹，可以计算出其运动的高度、时间、速度等重要参数。
2. 金融学中的成本和收益分析在金融学中，二次函数常被用于成本和收益的分析。
例如，某公司的生产成本可以表示为二次函数，通过求解该函数的最小值点，可以确定最低成本的生产量。
同样地，某产品的销售收益也可以表示为二次函数，通过求解该函数的最大值点，可以确定最大收益的销售量。
3. 工程学中的曲线设计在工程学中，二次函数常被用于曲线的设计。
例如，公路的水平曲线和立交桥的拱形设计都可以通过二次函数来描述。
通过调整二次函数的参数，可以使得曲线满足工程要求，达到良好的设计效果。
二次函数知识点总结和分类试题【精华篇】
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初中九年级二次函数知识点总结
初中九年级二次函数知识点总结初中九年级二次函数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们一起认真地写一份总结吧。
那么总结应该包括什么内容呢？以下是小编收集整理的初中九年级二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家。
初中九年级二次函数知识点总结1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点：求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、问题引新1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为_m，先取_的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，AB长_(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC长(m) 12面积y(m2) 482._的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现，当AB的长(_)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y 是_的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=_m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=_(20-2_)二、提出问题，解决问题1、引导学生看书第二页问题一、二2、观察概括y=6_2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-_)2以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)3、二次函数定义：形如y=a_2+b_+c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做_的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.4、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5_+1 (2)y=4_2-1(3)y=2_3-3_2 (4)y=5_4-3_+1(2).P3练习第1，2题。
二次函数知识归纳与总结
二次函数知识归纳与总结二次函数是数学中的重要内容，具有广泛的运用。
下面对二次函数的知识进行归纳与总结。
一、定义与特点二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像呈现抛物线状，开口方向由a的正负决定。
二次函数有以下特点：1.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.抛物线的对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a，对称轴平分抛物线，并且抛物线上的任意点关于对称轴对称。
3.抛物线的顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(-b/2a)是抛物线上的最值（最大值或最小值）。
4.解析式中的系数：a决定了抛物线的开口方向和抛物线的坡度；b决定了对称轴的位置；c决定了抛物线与y轴的交点。
二、图像与性质1.抛物线的图像：当a>0时，抛物线的图像开口向上，顶点位于y轴上方；当a<0时，抛物线的图像开口向下，顶点位于y轴下方。
2.抛物线的最值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。
3. 零点与交点：抛物线与x轴的交点称为零点，即解方程ax²+bx+c=0的解；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)。
4.纵轴交点：设抛物线与y轴交于点A，若点A的纵坐标为c>0，则a>0；若点A的纵坐标为c<0，则a<0。
三、解析式的变形与性质1.完全平方：二次函数的解析式中，可通过完全平方的方法将二次项变形为平方项。
例如，x²+4x=0可变形为(x+2)²-4=0。
2. 方程与不等式的解：二次方程ax²+bx+c=0的解可通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。
二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的解可通过图像法分析得到。
3. 判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次方程的根的情况。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
二次函数与几何形的关系
二次函数与几何形的关系二次函数是数学中一种常见的函数类型，可以用来描述各种现象和关系。
与几何形的关系则是指二次函数的图像与几何形状之间的对应关系。
本文将探讨二次函数与几何形的关系，从几何的角度解释二次函数的性质和特点。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的一元二次方程，其中a、b、c 为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向和抛物线的顶点位置与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=f(-b/2a)计算得出。
顶点坐标表示抛物线的最高或最低点，在几何中也被称为顶点。
二、二次函数与几何形的关系1. 抛物线与平移平移是几何中常见的操作，二次函数的图像也可以通过平移进行变换。
当二次函数的图像向左移动h单位，可以将x替换为(x-h)，即把x 的正方向平移h个单位；当二次函数的图像向右移动h单位，可以将x 替换为(x+h)，即把x的负方向平移h个单位。
同样，抛物线的上下平移可以通过修改常数c实现，向上平移k个单位可将c替换为(c+k)，向下平移k个单位可将c替换为(c-k)。
通过平移，可以改变抛物线的位置，使其与几何中的图形相对应。
2. 抛物线与对称性二次函数的图像具有对称性，即抛物线与其顶点关于对称轴对称。
对称轴可以通过公式x=-b/2a计算得出，它是一个竖直线。
当二次函数的图像关于对称轴对称时，可以通过对抛物线进行镜像变换得到几何中的对称图形。
3. 抛物线与焦点在几何中，焦点是与抛物线的离心率相关的概念。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，焦点的坐标可通过公式F=(-b/2a, 1-△/4a)计算得出，其中△表示二次项和常数项的系数的平方差。
通过计算焦点的坐标，可以将二次函数与几何中的抛物线形状联系起来。
4. 抛物线与直线二次函数的图像与直线之间可以有一些特殊的关系。
数学二次函数知识点总结【通用6篇】
数学二次函数知识点总结【通用6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、演讲致辞、法律文书、心得体会、岗位职责、鉴定评语、实习文案、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, speeches, legal documents, personal experiences, job responsibilities, appraisal comments, internship copywriting, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!数学二次函数知识点总结【通用6篇】作为一名辛苦耕耘的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
二次函数知识点总结及相关题型
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果 y =ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a#0)2.二次函数y=ax 2的性质(1)抛物线y = ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a>0时u 抛物线开口向上 u 顶点为其最低点; ②当a <0时u 抛物线开口向下 u 顶点为其最局点. (3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为3.二次函数 y =ax 2 +bx + c 的图像是对称轴平行于(包括重合)4.二次函数y=ax 2+bx+c 用配方法可化成：y = a(x —h ，+k 的形式，其中h =, k = 4ac -b2a4a5.二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式：①y = ax 2 ；②y=ax 2+k ;③y = a(x - h )2 ；④y = a(x - h f + k ;⑤ y = ax 2 bx c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a >0时，开口向上；当 a<0时，开口向下;相等，抛物线的开口大小、形状相同②平行于y 轴(或重合)的直线记作 x = h .特别地，y 轴记作直线x = 0. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(2) 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对那么y 叫做x 的二次函数.y 轴的抛物线.(1)公式法：y = ax 2 + bx + c = a x2 2b 4ac - b …口/ + — I + -------- ，.顶点是(-2a 4a2a 4ab 4ac - b 2、,,——; -- )，对称轴是直线 x2ay = a(x — hf + k 的形式，得到顶点为(h , k ),对称轴是直线称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失^9.抛物线y =ax2 +bx + c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y = ax2+ bx十c的对称轴是直线x = —2,故：①b = 0时，对称轴为y轴；②->0 (即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③-< 0 (即a、2a a a b异号)时，对称轴在y轴右侧.(3) c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c, ■抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c )：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③ c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，贝U - <0.a11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y =ax2 +bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2) 顶点式：y =a(x -h 2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x〔、x2,通常选用交点式：y = a(x - x1 (x -x2).12. 直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y=ax2+bx+ c得交点为(0, c).(2) 与y 轴平行的直线x = h 与抛物线y=ax 1 2+bx+ c 有且只有一个交点(h , ah 2 +bh+c ). (3) 抛物线与x 轴的交点二次函数y = ax 2 +bx + c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2,是对应一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的两 个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ① 有两个交点 = A 〉0u 抛物线与x 轴相交；② 有一个交点(顶点在 x 轴上)=A = 0u 抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点 u A < 0 u 抛物线与x 轴相离.(4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax 2 +bx + c =k 的两个实数根.(5) 一次函数y=kx+ n(k 。
九年级上册数学二次函数题型总结
九年级上册数学二次函数题型总结如下：1. 二次函数的基本概念和性质：-二次函数的定义与性质：一般地，形如y = ax²+ bx + c（a ≠0，b、c为常数）的函数称为二次函数。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
-二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
-顶点坐标：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c - b²/4a）。
-对称轴：二次函数的对称轴为直线x = -b/2a。
2. 二次函数的基本形式：-一般形式：y = ax²+ bx + c（a ≠0）-顶点形式：y = a(x - h)²+ k（a ≠0，h、k为常数）-标准形式：y = a(x - h)²+ k（a ≠0，h、k为顶点坐标）3. 二次函数图象的平移：-左加右减：将二次函数y = ax²+ bx + c（a ≠0）向左平移m个单位，得到新的二次函数y = a(x + m)²+ bx + c。
-上加下减：将二次函数y = ax²+ bx + c（a ≠0）向上平移n个单位，得到新的二次函数y = ax²+ bx + c + n。
4. 二次函数与一元二次方程的关系：-一元二次方程的解：利用求根公式或配方法求解一元二次方程ax²+ bx + c = 0（a ≠0）的根。
-根与系数的关系：一元二次方程的两根x1、x2满足x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
5. 二次函数的实际应用：-增长率：根据函数y = ax²+ bx + c（a ≠0）描述某一变量随时间的变化趋势，如物体的高度、速度等。
-抛物线与坐标轴的交点：求二次函数y = ax²+ bx + c（a ≠0）与x轴、y轴的交点坐标。
二次函数与几何综合压轴题题型归纳
课题二次函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 教学目标2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点 重点、难点2、 分解图形求面积教学内容知识点睛：一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y Bx A x Bx A x B y A y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线213 与y mxmx x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m0 时， x1；当 m0 时，m 3203 m 1， x1 231 ；， x、 x22m m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y x2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
二次函数与几何应用
二次函数与几何应用一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的数学函数，在几何学中有广泛的应用。
1. 定义与图像特点二次函数的图像通常呈现为一条开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
图像的对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为V(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 零点与根的关系二次函数的零点即为函数f(x) = 0的解，即满足ax^2 + bx + c = 0的x值。
零点与二次函数的根的关系为：当函数有两个不同的实根时，抛物线与x轴相交于两个不同的点；当函数只有一个实根时，抛物线与x 轴相切于一个点；当函数没有实根时，抛物线不与x轴相交。
二、几何应用二次函数在几何学中有多种应用，下面分别进行介绍。
1. 抛物线的应用抛物线是二次函数的图像，它在几何学中广泛应用于诸多问题的求解。
比如，在物理学中，抛物线可以用于描述抛体运动的轨迹。
当一个物体做抛体运动时，在重力的作用下，它沿着抛物线的轨迹运动。
抛物线方程可以帮助我们计算运动物体在不同时间和位置的速度、加速度等信息。
2. 最值问题二次函数可以用来解决最值问题，即找出函数在一定范围内的最大值或最小值。
抛物线的对称轴和顶点是解决最值问题的重要工具。
通过求二次函数的导数，找到导数为0的点，即可确定函数的极值点。
通过对极值点的讨论，可以确定函数的最大值或最小值。
3. 面积计算二次函数与几何图形的面积计算也有密切关联。
例如，在计算梯形或三角形的面积时，可以利用二次函数的图像。
将二次函数与x轴围成的图形，可以通过积分的方法计算其面积。
4. 曲线和直线的交点二次函数可以与直线相交于一个或两个点，这个交点的坐标可以通过联立方程求解得到。
这在几何学中经常用于求解二次函数与直线的交点坐标。
5. 平移与缩放对二次函数进行平移和缩放也是几何应用的一部分。
二次函数知识点总结初中数学
二次函数知识点总结初中数学二次函数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中常见的一种函数形式。
下面将对初中数学中关于二次函数的知识点进行总结。
一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负性决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
顶点是抛物线的最低点（当a>0）或最高点（当a<0）。
4.二次函数的对称轴：二次函数的图像的对称轴是与x轴平行的一条直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是使得 f(x) = 0 的 x 值。
可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根来求得零点。
二、二次函数的图像特点1.二次函数的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3.二次函数的单调性：当a>0时，函数在顶点左右两侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左右两侧单调递减。
三、二次函数的表示方式和基本性质1.二次函数的顶点式：二次函数可以表示为f(x)=a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)是顶点的坐标。
2. 二次函数的一般式：二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。
3. 二次函数的零点：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，零点可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 而得到。
4. 二次函数的轴对称性：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其图像关于直线 x = -b/2a 对称。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种具有特殊形状和特殊性质的函数，在广泛的几何和代数应用中具有重要的地位。
许多几何图形，比如椭圆、双曲线和抛物线，都可以用二次函数表示。
在这里，我们将简要介绍二次函数的基本概念、性质和应用，以及在几何中的使用方法。
一、基本概念二次函数是一种二次项（即幂次为2的项）的多项式，形式为y=ax2+bx+c (a≠0)，其中a，b，c为实数，x表示变量。
函数y=ax2+bx+c 当x取值时，可以得到一个实数y，当y值取值时，可以得到x的值。
因此，二次函数可以看做一个定义在实数域上的映射。
二、性质1、a的正负性决定函数的开关性：改变函数y=ax2+bx+c中a项的系数，可以改变函数的形状。
当a>0，抛物线向上开；当a<0，抛物线向下开。
2、函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c的最值位置可以用转折点(x2, y2)来表示，转折点是函数曲线在x轴上的拐点，它的坐标可以通过求函数的导数来解决。
3、函数的对称性：一般地，一个二次函数的图像是封闭的，且具有对称性。
以函数y=x2为例，其图像是一个抛物线，它具有绕着y轴的中心点（0，0）的对称性。
三、应用1、函数的应用二次函数的应用主要在几何和代数方面，它在几何中主要应用于描述形状，比如椭圆、双曲线、抛物线等，在代数方面主要用于解决一元二次方程、独立变量的求解等问题。
2、几何图形的描述椭圆、双曲线和抛物线都可以用二次函数来描述。
椭圆的方程为y2=4a2(x2-a2)，双曲线的方程为y2/a2-x2/b2=1，抛物线的方程为y2=2a（x-x1）。
四、几何中的使用1、直线的垂直平分线当给定直线y=kx+b，可以用二次函数y=k2x2+(2kb-2b2/k)x+(b2-1/k2)来描述垂直于该直线的一条线段，该直线段是给定直线的垂直平分线，其中k表示直线斜率，b为直线截距。
2、椭圆的对称中心当给定一个椭圆，它的方程为y2=4a2(x2-a2)，可以用二次函数y=(2x-2c)2+d2来表示椭圆的对称中心的参数方程，其中c和d分别表示椭圆的一条轴半长和另一条轴半长。
二次函数在几何中的应用
二次函数在几何中的应用二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c代表常数，a≠0。
二次函数在数学中有重要的应用，同样也广泛应用于几何学中。
本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过实例解释其具体用途。
一、二次函数与平面几何中的抛物线二次函数的图像是抛物线，而抛物线是几何学中的重要概念之一。
通过研究二次函数的图像，我们可以了解抛物线的特征，并在几何问题中应用这些特征。
1. 确定抛物线的开口方向：二次函数中的a值决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
因此，通过给定二次函数的a值，我们可以直观地确定抛物线的开口方向。
2. 确定抛物线的顶点坐标：二次函数的顶点坐标即为抛物线的顶点坐标。
抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴上的点。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以确定抛物线的位置，进而解决涉及抛物线的几何问题。
3. 确定抛物线与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点即为抛物线与x轴和y轴的交点。
通过求解二次函数与坐标轴的交点，我们可以进一步确定抛物线的形状，从而应用于解决几何问题。
二、二次函数与立体几何中的应用除了在平面几何中的应用外，二次函数也在立体几何中发挥着重要的作用。
以下将介绍二次函数在立体几何中的两个具体应用。
1. 求解抛物面的性质：抛物面是由二次函数生成的曲面。
在立体几何中，我们常常需要求解抛物面的性质，例如确定抛物面的方程、确定抛物面的焦点和准线等。
通过应用二次函数的性质，我们可以轻松地解决这些问题。
2. 确定旋转体的体积：旋转体是指由某条曲线绕某条轴旋转一周而形成的立体。
通过应用二次函数的性质，我们可以确定旋转体的体积。
具体而言，旋转体的体积等于曲线沿轴旋转一周所围成的面积乘以旋转一周的角度。
通过计算二次函数所确定的曲线的面积，并乘以旋转角度，我们可以准确地计算旋转体的体积。
二次函数与平面几何的关系
二次函数与平面几何的关系二次函数是高中数学中较为重要的一个概念，它在解决实际问题和研究图形变化规律等方面发挥着重要作用。
而平面几何则是研究平面内点、线、面及其相互关系的数学分支。
本文将探讨二次函数与平面几何的关系，并从图形的角度分析和解释。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不为0。
二次函数的图像为一条抛物线，其开口的方向由a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数与平面几何的关系1. 平移变换二次函数可以通过平移变换来改变其图像的位置。
平移变换可以使抛物线上下左右平移，从而改变其在平面上的位置。
例如，将二次函数y = ax^2 + bx + c向右平移h个单位，则新的函数为y = a(x-h)^2 +b(x-h) + c。
通过平移变换，可以观察到抛物线在平面上的移动和位置的变化。
2. 翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像相对于x轴、y轴或任意直线进行对称。
通过翻折变换，可以对抛物线进行关于x轴、y轴或任意直线的镜像操作，从而改变其形状和位置。
3. 切线与斜率二次函数的图像在某一点处的切线与该点处的斜率有一定关系。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其在x = x0处的切线斜率为2ax0 + b。
通过斜率公式可以得知，在不同的x值处，抛物线的切线斜率是不同的。
这一点与平面几何中切线的斜率的概念相对应。
4. 交点与根二次函数与平面几何的关系还体现在二者的交点与根的对应上。
当二次函数与x轴相交时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个不相等的解，这两个解分别对应于二次函数与x轴的交点。
在平面几何中，这两个交点代表了抛物线与x轴的交点位置。
三、图形示例说明下面通过一个具体的例子来进一步说明二次函数与平面几何的关系。
考虑二次函数y = x^2 - 2x - 3。
我们可以将其绘制成函数图像，并观察其与平面几何的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数与几何综合1， 二次函数图像问题 1．（2010湖北十堰）如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）2．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）（第10题） CDE FABOx y 4 4Ox y4 4 B ．Ox y 4 4C ．Oxy4 4 D ．（第10题分析图） CDEF AB P3．（2010广西南宁）如图3，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与 小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距83米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 ．5．（2010 四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？5．（2010江苏淮安）红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)满足函数关系式y1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y2(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．(1)求y2与x的函数关系式；(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克) (2≤x≤10)之间的函数关系式．题27图6．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式； （2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？7．（2010 贵州贵阳） 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现 这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元） 满足一次函数，其图象如图10所示.(1)每天的销售数量m （件）与每件的销售价格x （元） 的函数表达式是 ．（3分）(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y （元）与每件的销售价格x （元）之间的函数表达式；（4分）(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?（3分）8．（2010 福建泉州南安）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ）（1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH （H 、G 分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH 的周长为27.5 m ，求斜面EG 的倾斜角∠GEF 的度数.（精确到0.1°）x ）元9．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图（1），某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。
学生小龙在解答图（1）所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图（2）所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（-1， 1）；④代入y=ax2得-1=a·1，所以a=-1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x2.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”。
（1）请指出小龙的解题从第______步开始出现错误，错误的原因是什么？（2）请你写出完整的正确解答过程。
10．（2010内蒙呼和浩特）如图①是抛物线形拱桥，当水面在n 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？（图②是备用图）11．（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由．12． （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax（1） 当a 取何值时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2； （2） 求证：a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.13． （2011贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（3分）（2）求点B 的坐标；（3分） （3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使S △ABD =S △ABC ，求点D 的坐标．（4分）（第21题图）14． （2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．15． （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - 12 x 2 - x + 32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．xyO16． （2011湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y = ax 2+bx+c 与直线y=m x +n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21-)和(m-b ，m 2– mb + n ，其中a ，b,c,m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；(2)设抛物线y = ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点是(1x ，0)和(2x ，0)，求21x x 的值；(3)当11≤≤-x 时，设抛物线y = ax 2+bx+c 与x 轴距离最大的点为P （0x ，0y ），求这时0y 的最小值.2， 二次函数与三角形1．（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数2248y x mx m =-+-（1）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。
（2）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。
xyA2．（重庆市潼南县2011年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.3．（盐城市2011年）28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y = 43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？26题备用图26题图②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．4．（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．；（备用图）（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4．(2011衢州卷本题12分)已知两直线1l ，2l 分别经过点A(1，0)，点B )03(，-， 并且当两直线同时相交于y 正半轴的点C 时，恰好有21l l ⊥，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与直线 2l 交于点K ，如图所示。