模型组合讲解——挂件模型
高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1
1思维的开掘 能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型12 思维的开掘 能力的飞跃⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．〔规定0C 1n =〕⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题〔分成几堆，无序〕．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n ！，如果有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？3思维的开掘能力的飞跃【例3】7名同学排队照相．⑴假设分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵假设排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷假设排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴假设甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶假设甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法〔用数字作答〕．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个〔用数字作答〕．4 思维的开掘能力的飞跃5思维的开掘 能力的飞跃【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是〔 〕A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．6 思维的开掘 能力的飞跃【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法〔用数字作答〕．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种〔结果用数值表示〕．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有〔 〕种．A ．288B ．576C ．864D ．11527思维的开掘 能力的飞跃【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例19】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．968 思维的开掘 能力的飞跃【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有〔 〕A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9思维的开掘 能力的飞跃【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个〔用数学作答〕．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这810 思维的开掘 能力的飞跃 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种．432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有〔 〕 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种〔用数字作答〕．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________〔用数字作答〕．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有〔 〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？高中数学讲义 11思维的开掘 能力的飞跃【例36】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个〔用数学作答〕．【例38】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？高中数学讲义 12 思维的开掘 能力的飞跃⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种〔用数字作答〕．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有〔 〕个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430高中数学讲义 13 思维的开掘 能力的飞跃【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
模型组合讲解——先加速后减速模型
模型组合讲解一一先加速后减速模型汪华【模型概述】物体先加速后减速的问题是运动学中典型的综合问题，也是近几年的高考热点，同学在求解这类问题时一定要注意前一过程的末速度是下一过程的初速度，如能画出速度图象就更明确过程了。
【模型讲解】例.（2004年全国高考）一小圆盘静止在桌面上，位于一方桌的水平桌面的中央。
桌布的一边与桌的AB边重合，如图1所示。
已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。
现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。
若圆盘最近未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）解析：根据题意可作出物块的速度图象如图2所示。
设圆盘的质量为m,桌边长为L，2mg ma2设盘刚离开桌布时的速度为v i，移动的距离为便停下，由匀变速直线运动的规律可得：X i，离开桌布后在桌面上再运动距离X2后2 小v i2a i x i 2V i 2a2X2盘没有从桌面上掉下的条件是: X iLX22桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为X，有:联立解得（ 12 2）ig2【模型特征】“先加速后减速”模型的 v-t 图象中速度为临界点，斜率为加速度、面积为位移。
处理“物体先加速后减速”问题的方法很多，我们可以根据已知条件采用三大定理处理, 也可以根据图象快捷处理，借助图象法为我们更加清晰准确的采用全过程法提供了保证。
【热点图象】直线运动的s-t 图；直线运动的 v-t 图；平抛运动的y-x 图；机车启动的 P-t 图；简谐运 动的x-t 图；简谐波的y-x 图；受迫振动的共振曲线；电场线；磁感线；闭合电路的 U-I 图;闭合电路的P 出-R 图；部分电路的 U-I 图；分子力随距离变化的F 分-r 图；分子势能随距离变化的E p -r 图；电磁感应中的①-t 图；电磁感应中的l-t 图；光电效应中的 E km -丫图。
2023年高考数学复习---排列组合构造法模型和递推模型、环排问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合构造法模型和递推模型、环排问题典型例题讲解构造法模型和递推模型【典型例题】例1、贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n 次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．【答案】2n 122(1)33n n ⨯+⨯− 【解析】每次传球有两种方法，所以n 次传球之后，共有2n 种可能的传球方法； 设n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为n a 种．则2122(2)n n n a a n −+=≥，即 1111111111()(2)()()(2)2322323232n n n n n n n a a a a n n −−−−=−−≥∴−=−−≥ 因为1220(1).33n n n a a =∴=+− 例2、一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是__________．【答案】60【解析】解法一：第一次爬行可以到B C D 、、的任何一点，第二次爬行分到A 与不到A ，对于第二次不到A 的第三次爬行再分到A 与不到A ．爬行方法总数为313[22⨯⨯⨯+⨯1326]20⨯+⨯=（）（种）．解法二：设从点A 出发爬行n 次仍在点A 的爬行方法种数为(2)n a n ≥，则23a =，113(3)n n n a a n −−−=≥，11113(3)(1)(1)(1)n n n n n n n a a −−−−−==−−−−−，11[](1)(1)(1)n n n n n n a a a −−=−−−−1212[](1)(1)n n n n a a −−−−+−+−−322322[](1)(1)(1)a a a +−+−−−12(3)(3)n n −−=−−−−−−123[(3)1](3)331n −−−−−+=−−−13[(3)1]4n −=−−−， 553(1)4a ∴=−−4[(3)1]60−−=−，560a =．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值） 故答案为：60．环排问题【典型例题】例1、21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A ．19B ．38C ．51D ．57【答案】D 【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列，剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D ．例2、现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有14C 种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A 种，所以共有坐法种数为1242C A 428⋅=⨯=种．。
高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】
高考培优数学“排列组合的经典模型及其应用”讲义编号：排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。
排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
悬挂模型
关于悬挂图画问题摘要本文研究画框悬挂于墙面的物理问题，解决如何使画框的悬挂更为合理。
针对第一问，首先对绳子的张力进行受力分析，利用三角函数关系，然后把画框看做一个整体，利用受力平衡关系，找出各个参数与绳子张力的关系。
针对第二问，利用第一问的受力分析，找到参数α与张力F的函数关系，通过数学软件Mathematica9.0绘图，得出张力F随α的变化关系。
针对第三问，绘出画框在墙上悬挂的侧视图，利用三角函数关系及建立非线性数学模型，找到参数α由可测量参数b d l c、、、确定的取值范围，能使水平看过去，会看到图画上的绳子。
关键词：受力分析、悬挂画图、非线性数学模型、Mathematica9.0绘图一、 问题重述现在都市家庭都很重视家居的装饰，而装饰最常用的也是最简单的手段莫过于悬挂几幅美丽的图画了，可是我们在悬挂图画的时候，如何将一幅矩形图画用一根系于画背后的绳子挂在垂直于墙面的一个钩子上（如图1）是最合理可靠的？即：绳子长度L ，以及图画与墙之间的摩擦系数μ。
1. 绳子的张力与其它参数的关系？2. 选择绳子的长度和系点，在合适的倾斜角，使绳子最不容易被崩断？3.参数在什么范围内变化，水平看过去，会看到图画上的绳子？二、 模型假设⒈假设绳子是无弹性的。
⒉假设图画的质量大小适中，不是特殊的。
⒊墙面不是凹凸不平的，是相对平坦的。
⒋α小于90︒，即在现实中能看到图画。
⒌不考虑空气的阻力；abB图1三、符号说明四、 模型建立与求解4.1问题一：绳子张力与其它参数的关系4.1.1绳子对画框的张力进行受力分解，从墙上的钉子A 拉出的一根绳子对画框施加两个大小相等的张力。
如图4-1：312c 图4-1-1 受力分解图可得到：312F FCos β= 1212ccSin l l β==通过受力分析，可得绳子的张力1F 与参数c l β、、之间的关系如上述关系式，其中c l β、、都是可以根据画框与绳子的实际情况能测量出来的量。
09高考物理滑轮模型
模型组合讲解——滑轮模型【模型概述】滑轮是生活中常见的器具，根据其使用方法有动滑轮与定滑轮，在试题中还有它的“变脸”模型，如光滑的凸面（杆、球、瓶口等）。
【模型讲解】一、“滑轮”挂件模型中的平衡问题例1. 如图1所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A 、B 两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为1θ，绳子张力为1F ；将绳子右端移到C 点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为2θ，绳子张力为2F ；将绳子右端再由C 点移到D 点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为3θ，绳子张力为3F ，不计摩擦，并且BC 为竖直线，则（ ）A. 321θθθ<=B. 321θθθ==C. 321F F F >>D. 321F F F >=图1解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B 点移到C 点的过程中，通过滑轮的移动，2121F F ==，θθ，再从C 点移到D 点，3θ肯定大于2θ，由于竖直方向上必须有mg F =2cos2θ，所以23F F >。
故只有A 选项正确。
二、“滑轮”挂件模型中的变速问题 例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子（质量不计），带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s 2向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？图2解析：设车静止时AC 长为l ，当小车以2/5.7s m a =向左作匀加速运动时，由于AC 、BC 之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为F T ，圆柱体所受到的合力为ma ，在向左作匀加速，运动中AC 长为l l ∆+，BC 长为l l ∆- 由几何关系得ll l l l 2sin sin sin γβα=∆+=∆- 由牛顿运动定律建立方程：mg F F ma F F T T T T =+=-βαβαsin sin cos cos ，代入数据求得︒=︒=9319βα，说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。
高中物理模型汇总
高中物理模型汇总大全模型组合讲解——爆炸反冲模型［模型概述］“爆炸反冲”模型是动量守恒的典型应用，其变迁形式也多种多样，如炮发炮弹中的化学能转化为机械能；弹簧两端将物块弹射将弹性势能转化为机械能；核衰变时将核能转化为动能等。
［模型讲解］例. 如图所示海岸炮将炮弹水平射出，炮身质量（不含炮弹）为M ，每颗炮弹质量为m ，当炮身固定时，炮弹水平射程为s ，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？解析：两次发射转化为动能的化学能E 是相同的。
第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式m p E k 22=知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能E mM M mv E E mv E +====2222112121，，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，即：mM Mv v s s +==122，所以m M M s s 2+=。
思考：有一辆炮车总质量为M ，静止在水平光滑地面上，当把质量为m 的炮弹沿着与水平面成θ角发射出去，炮弹对地速度为0v ，求炮车后退的速度。
提示：系统在水平面上不受外力，故水平方向动量守恒，炮弹对地的水平速度大小为θcos 0v ，设炮车后退方向为正方向，则mM mv v mv v m M -==--θθcos 0cos )(00，评点：有时应用整体动量守恒，有时只应用某部分物体动量守恒，有时分过程多次应用动量守恒，有时抓住初、末状态动量即可，要善于选择系统，善于选择过程来研究。
［模型要点］内力远大于外力，故系统动量守恒21p p =，有其他形式的能单向转化为动能。
所以“爆炸”时，机械能增加，增加的机械能由化学能（其他形式的能）转化而来。
［误区点拨］忽视动量守恒定律的系统性、忽视动量守恒定律的相对性、同时性。
［模型演练］（ 物理高考科研测试）在光滑地面上，有一辆装有平射炮的炮车，平射炮固定在炮车上，已知炮车及炮身的质量为M ，炮弹的质量为m ；发射炮弹时，炸药提供给炮身和炮弹的总机械能E 0是不变的。
高中物理常见模型归纳_高中物理板块模型归纳
高中物理常见模型归纳_高中物理板块模型归纳高中物理的绝大部分题目都是有原始模型的，考生需要时刻总结归纳这些模型，掌握物理常见模型，下面店铺给大家带来高中物理常见模型，希望对你有帮助。
高中物理常见模型【力学常见物理模型】“子弹打木块”模型：三大定律、摩擦生热、临界问题、数理问题。
“爆炸”模型：动量守恒定律、能量守恒定律。
“单摆”模型：简谐运动、圆周运动中的力和能问题、对称法、图象法。
“质心”模型：质心(多种体育运动)、集中典型运动规律、力能角度。
“绳件、弹簧、杆件”三件模型：三件的异同点，直线与圆周运动中的动力学问题和功能问题。
“挂件”模型：平衡问题、死结与活结问题，采用正交分解法、图解法、三角形法则和极值法。
“追碰”模型：运动规律、碰撞规律、临界问题、数学法(函数极值法、图像法等)和物理方法(参照物变换法、守恒法)等。
“皮带”模型：摩擦力、牛顿运动定律、功能及摩擦生热等问题。
“行星”模型：向心力(各种力)、相关物理量、功能问题、数理问题(圆心、半径、临界问题)。
“人船”模型：动量守恒定律、能量守恒定律、数理问题。
【电磁学常见物理模型】“限流与分压器”模型：电路设计。
串并联电路规律及闭合电路的欧姆定律、电能、电功率、实际应用。
“电路的动态变化”模型：闭合电路的欧姆定律。
判断方法和变压器的三个制约问题。
“磁流发电机”模型：平衡与偏转，力和能问题。
电磁场中的单杆模型：棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧组合、平面导轨、竖直导轨等，处理角度为力电角度、电学度、力能角度。
电磁场中的”双电源”模型：顺接与反接、力学中的三大定律、闭合电路的欧姆定律、电磁感应定律。
“回旋加速器”模型：加速模型(力能规律)、回旋模型(圆周运动)、数理问题。
高中物理学习方法(1)课前认真预习。
想提高物理考试成绩，基础一定要掌握的牢。
很多基础差的学生，听课很吃力，主要是因为前面落下了很多内容。
因此，请做好预习工作，在这一点上，不要学班里的学霸们，他们不预习，是因为他们考点掌握的很牢固了。
模型组合讲解——运动学
模型组合讲解——运动学虞利刚【模型概述】在近年的高考中对各类运动的整合度有所加强，如直线运动之间整合，曲线运动与直线运动整合等，不管如何整合，我们都可以看到共性的东西，就是围绕着运动的同时性、独立性而进行。
【模型回顾】 一、两种直线运动模型匀速直线运动：两种方法（公式法与图象法） 匀变速直线运动：20021at t v s at v v t +=+=，，几个推论、比值、两个中点速度和一个v-t 图象。
特例1：自由落体运动为初速度为0的匀加速直线运动，a=g ；机械能守恒。
特例2：竖直上抛运动为有一个竖直向上的初速度v 0；运动过程中只受重力作用，加速度为竖直向下的重力加速度g 。
特点：时间对称（下上t t =）、速率对称（下上v v =）；机械能守恒。
二、两种曲线运动模型平抛运动：水平匀速、竖直方向自由落体 匀速圆周运动：ωωmv mr rmv ma F F =====22向向法【模型讲解】一、匀速直线运动与匀速直线运动组合例1. （04年广东高考）一路灯距地面的高度为h ，身高为l 的人以速度v 匀速行走，如图1所示。
（1）试证明人的头顶的影子作匀速运动； （2）求人影的长度随时间的变化率。
图1解法1：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O 处，在时刻t ，人走到S 处，根据题意有OS=vt ，过路灯P 和人头顶的直线与地面的交点M 为t 时刻人头顶影子的位置，如图2所示。
OM 为人头顶影子到O 点的距离。
图2由几何关系，有OS OM lOM h -=联立解得t lh hvOM -=因OM 与时间t 成正比，故人头顶的影子作匀速运动。
（2）由图2可知，在时刻t ，人影的长度为SM ，由几何关系，有SM=OM-OS ，由以上各式得t lh lv SM -=可见影长SM 与时间t 成正比，所以影长随时间的变化率lh lvk -=。
解法2：本题也可采用“微元法”。
设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程)0(→∆∆t t ，则人由AB 到达A ’B ’，人影顶端C 点到达C ’点，由于t v S AA ∆=∆'则人影顶端的移动速度：图3hH Hv t S h H HtS v AA t CC t C -=∆∆-=∆∆=→∆→∆'0'0lim lim可见C v 与所取时间t ∆的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。
模型组合讲解——追及、相遇模型
模型组合讲解——追及、相遇模型一、追及、相遇模型（同一直线上）【模型概述】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。
可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。
若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。
二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。
若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发△t ，则运动时间关系为t t t ∆+=乙甲。
要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
【模型讲解】1. 利用不等式求解例1：甲、乙两物体相距s ，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。
甲物体在前，初速度为v 1，加速度大小为a 1。
乙物体在后，初速度为v 2，加速度大小为a 2且知v 1<v 2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？ 解析：若是2211a v a v ≤，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。
在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为22212122a v a v s s -+=∆ 若是2221a v a v >，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据t a v t a v v 2211-=-=共，求得 1212a a v v t --= 在t 时间内 甲的位移t v v s 211+=共 乙的位移t v v s 222+=共代入表达式21s s s s -+=∆ 求得)(2)(1212a a v v s s ---=∆ 评点：本题是一个比较特殊的追及问题（减速追减速）。
求解时要对各种可能的情况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。
本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的长短寻找两物体相距最近的临界条件。
2. 巧用图象法求解例2：如图1所示，声源S 和观察者A 都沿x 轴正方向运动，相对于地面的速率分别为S v 和A v 。
1.2 制作创意挂件 课件 八年级信息技术下册同步精品课堂(川教2019版)
拓展练习：曲线文字
(1）将文字贴近曲线边会有什么特殊效果?
(2）在爱心挂件表面中央使用草图工具绘制圆弧2，.“在从圆浮弧动工线具上栏方”制下作文字效果，并隐藏几何
体，看一看有什么效果?
选择“隐藏几何体”
一 三维建模
8.制作浮雕图形
1. 使用“特殊功能”下 的“浮雕""命令
8. 单击勾号确定 2. 选择预存图片
不同时，结果也不同。
（3）交运算：取第一个对象与第二个对象重合部分的命令，没有先后顺序。
1.拖动调整参数
一 三维建模
任务三 在文字建模设计中，尝试通过修改加（减或交）运算数值设计创意作品。
思考: 1.为什么有时设计的文字是倒立的?
1.选中圆弧
2.对比不同字体拉伸的效果。制作立体镂空（浮雕）文字需要选择哪种类型的字体?
4.拖动改变椭圆形长轴和短轴 的数值或鼠标点选数字并从键 盘输入数值，按回车键确认。
3.点选确定椭圆 形圆心，拖放设 定椭圆形
一 三维建模
小提示：参数框会自动获取当前鼠标坐标数值，如果需要精确定位，可以从键盘输入数值。 如果需要重新绘制草图，选择左上角的撤销命令。
拓展练习：尝试使用“草图绘制”下的其他工具绘制如下剖面图。
一 三维建模
一、三维建模
一 三维建模
三维打印的第一个步骤是进行三维建模，三维建模就是使用三维模型软件在虚拟的三维空间 内创建三维数字模型的过程。
常用的三维建模软件有AutoCAD、草图大师( SketchUp ) ，Blender，SolidWorks， 3D Studio Max，3D One等；我们以3D One软件为例来学习3D打印的一般过程。
练习：尝试将文件保存到云盘。
慧鱼创意组合模型简介
慧鱼创意组合模型简介第一节慧鱼模型一、机械构件1.六面拼接体（见图Ⅳ-1、Ⅳ-2）六面拼接体的6个面各有U形槽或凸出的小方块，二者是相互配合的。
通过U形槽和小方块的相互拼接，可以实现构件之间的互连。
由于这些构件是六面体，因此接合的角度一般为0°或90°。
如果需要其他角度的连接，有专用的楔形体可供使用，这些楔形体提供的角度有7.5°、15°、30°、60°等，楔形体的角度已在其侧面标明。
2.齿轮、齿轮轴与齿条（见图Ⅳ-3、Ⅳ-4、Ⅳ-5）慧鱼模型提供的齿轮种类比较多，其中普通外齿合齿轮还可用作蜗轮。
齿轮图Ⅳ-43.蜗轮、蜗杆和螺旋传动（见图Ⅳ-6、Ⅳ-7）慧鱼模型提供的蜗轮蜗杆形式多样，除图中所示的蜗轮外，所有的外啮合齿轮也都可用作蜗轮。
小尺寸蜗杆还可以用作螺旋传动的蜗杆，如图Ⅳ-7所示。
12图Ⅳ-6蜗轮和蜗杆图Ⅳ-7螺旋传动4.导轨与连杆（见图Ⅳ-8）慧鱼模型提供了多种长度的塑料或金属杆件，可用作导轨、连杆和传动轴等。
图Ⅳ-8金属杆、连接杆（塑料）、传动轴（塑料）5.万向节、齿轮箱（见图Ⅳ-9）万向节用于和塑料传动轴（见图Ⅳ-8）配合以传递扭矩。
齿轮箱用于和电动机相连接，起减速器的作用。
图Ⅳ-9万向节、齿轮箱、齿轮箱（用于齿条）6.链条和履带（见图Ⅳ-10、Ⅳ-11）链条由链节连接而成，在链条上安装履带板后，就成为履带（输送带）。
链轮可以用齿轮代替。
图Ⅳ-10链节、履带板图Ⅳ-11安装链节和履带板此外慧鱼模型还提供了大量其他的构件，很好的扩展了模型的功能，在此不再详述。
二、电气构件1.电动机与灯泡（见图Ⅳ-12、Ⅳ-13）慧鱼模型提供的电动机有普通迷你电动机和大功率电动机两种，提供的灯泡也有普通灯泡和聚光灯泡两种，可根据实际需要选用。
3图Ⅳ-12普通电动机和大功率电动机图Ⅳ-13普通灯泡和聚光灯泡2.小型开关的工作原理（见图Ⅳ-14、Ⅳ-15、Ⅳ-16）小型开关上有3个针脚：0针脚和1针脚形成一个常闭开关；0针脚和2针脚形成一个常开开关；当按键3被压下时，小型开关的通断状态改变，电脑接口板检测到数字信号“1”或“0”，利用这个原理，小型开关可以用作运动部件的限位开关。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧■河南省南阳市第二中学校李红勤解排列组合问题常分三步走:首先审题，明确要完成的事件；其次确定是独立完成还是分步完成，是排列还是组合；最后要用计数原理和排列数、组合数公式求解。
一、优先法（先特殊后一般）元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素。
位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置。
f用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的五位数，试求满足下列条件的五位数各有多少个。
（1）数字1不在个位和千位；（2）数字1不在个位，数字6不在万位。
解析：（1）位置优先，个位和千位从5个数中选，共有A：种选择方法，其余3位从4个数中选，共有A；种选择方法，由乘法原理知有A[A；=480（个）数满足题意。
（2）元素优先，当1在万位时余下四位有A?=120（种）选法；1不在万位时，万位有A：种选法，个位有A：种选法，余下的有A：种选法，共有A：A；A：=384（种）选法。
所以总共有384+120=504（种）选法。
变式训练1:1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端，则不同的排法有多少种？（答案：72种）二、捆绑法某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素绑捆成一个元素，与其他元素进行排列，然后再把捆绑元素松开内部全排列。
侧2某市图书馆要在国庆长假一周内接待5所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观两天，其余只参观一天，则不同的安排方法有多少种？解析：注意连续参观两天，即把7天中的连续两天“捆绑成一天”，有Cj种方法，其余的就是4所学校选5天进行排列，共有C；A：=720（种）方法。
变式训练2：4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有____种。
（答案：C：A§=36）三、插空法对于元素不相邻的排列，可以先排其他元素，再让不相邻的元素插空。
若局部元素相邻，可参照“捆绑法”。
在Blender中制作悬挂物模型
在Blender中制作悬挂物模型在Blender中制作悬挂物模型是一个非常有趣和有挑战性的任务。
悬挂物是指在场景中悬挂下来的物体，比如吊灯、帷幕等。
下面将介绍一些在Blender中制作悬挂物模型的技巧：1. 创建基本几何体：首先，在Blender中创建一个基本的几何体，比如一个圆柱体或球体，作为悬挂物的主体。
选择一个适当的大小和形状，并将其放置在场景中的合适位置。
2. 调整几何体的参数：使用Blender的编辑模式对几何体进行调整，以使其形状和大小符合实际悬挂物的需求。
可以拉伸、缩放、旋转几何体以达到理想效果。
3. 添加细节和纹理：为了使悬挂物看起来更加逼真，可以添加一些细节和纹理。
使用Blender的纹理编辑器为悬挂物添加纹理，并调整其透明度、颜色和反射等属性。
可以使用纹理贴图或创建自定义纹理来增加悬挂物的真实感。
4. 添加悬挂链：通过使用Blender的模型工具，在悬挂物的顶部和底部添加适当的节点，以模拟悬挂物被链条固定在天花板或其他物体上的情况。
确保链条的位置和长度都合适，以使悬挂物在场景中看起来自然而真实。
5. 调整悬挂物的物理属性：Blender还提供了物理模拟功能，可以模拟悬挂物的真实运动。
通过将悬挂物设置为刚体并添加适当的物理约束，可以使其在场景中像真实物体一样摆动和运动。
可以根据实际需要调整悬挂物的物理属性，比如摆动频率、阻尼等。
6. 渲染和动画：完成悬挂物模型后，可以使用Blender的渲染功能将其呈现为逼真的图像或动画。
通过调整光照、材质和相机设置等参数，以及设置适当的背景和环境，可以创建出高质量的悬挂物渲染图像。
总结起来，Blender是一个功能强大的三维建模和动画软件，可以很好地用于制作悬挂物模型。
通过合理运用Blender提供的工具和功能，我们可以快速而准确地创建出逼真的悬挂物模型，并通过渲染功能将其呈现得更加生动和真实。
希望这些技巧对你在Blender中制作悬挂物模型时有所帮助！。
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模型组合讲解一一挂件模型
易浩
【模型概述】
理解静态的“挂件”模型是我们进行正确分析动态类型的基础，因此高考对该部分的考 查一直是连续不断，常见题型有选择、计算等。
【模型讲解】
一、“挂计”模型的平衡问题
例1 :图1中重物的质量为 m ,轻细线A O 和B O 的A 、B 端是固定的。
平衡时 A O 是水
平的， B0与水平面的夹角为B 。
AO 的拉力F i
和BO 的拉力F 2的大小是（ )
A. F i mg COS
B. F 1 mg cot
mg
C. F 2 mg sin
D. F 2
sin
图1
解析：以“结点” 0为研究对象，沿水平、竖直方向建立坐标系，在水平方向有F 2COS F ,
竖直方向有 F 2 sin
mg 联立求解得BD 正确。
思考：若题中三段细绳不可伸长且承受的最大拉力相同，逐渐增加物体的质量 m ，则最
先断的绳是哪根？
二、“结点”挂件模型中的极值问题
例2:物体A 质量为m 2kg ，用两根轻绳B 、C 连接到竖直墙上，在物体 A 上加一恒
力F ，若图2中力F 、轻绳AB 与水平线夹角均为 60，要使两绳都能绷直，求恒力 F
的大小。
图2
解析：要使两绳都能绷直，必须F i 0, F2 0，再利用正交分解法作数学讨论。
作出A的受力分析图3,由正交分解法的平衡条件：
图3
F sin F1
sin
mg0①
F cos F2F1 cos0②
解得F1mg
sin
F③
F2 2F cos mg cot
④
两绳都绷直，必须F1 0, F2 0
由以上解得F有最大值F max 23.1N，解得F有最小值F min 11.6N，所以F的取值
为11.6N F 23.1N。
三、“结点”挂件模型中的变速问题
例3:如图4所示，AB、AC为不可伸长的轻绳，小球质量为m=0.4kg。
当小车静止时，
AC水平，AB与竖直方向夹角为B =37 °，试求小车分别以下列加速度向右匀加速运动时，两绳上的张力F AC、F AB 分别为多少。
取g=10m/s2。
(1) a1 5m/s2； (2) a2 10m/ s2。
图4
解析：设绳AC 水平且拉力刚好为零时，临界加速度为a0
根据牛顿第二定律F AB sin ma0，F AB cos mg
联立两式并代入数据得a0 7.5m/ s2
2
当a1 5m / s2 a0，此时AC 绳伸直且有拉力。
根据牛顿第二定律F AB sin F AC ma1；F AB cos mg ，联立两式并代入数据得
F AB 5N，F AC 1N
当a2 10m/s2 a0，此时AC绳不能伸直，F'AC 0。
AB 绳与竖直方向夹角，据牛顿第二定律F'AB sin ma2，F'AB cos mg。
联立两式并代入数据得F'AB 5.7N 。
【模型要点】
①物体受到三个共点力的作用，且两力垂直，物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动状态）。
②条件是：物体所受到的合外力为零，即 F 0。
处理方法：（1）正交分解法：这是平衡条件的最基本的应用方法。
其实质就是将各外力间的矢量关系转化为沿两个坐标轴方向上的力分量间的关系，从而变复杂的几何运算为相对
简单的代数运算。
即 F 0和F 0
xy
具体步骤：①确定研究对象；②分析受力情况；③建立适当坐标；④列出平衡方程。
若研究对象由多个物体组成，优先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，要求出系统内物体间的相互作用力，需要使用隔离法，因此整体法和隔离法常常交替使用。
常用方法：合成（分解）法；多边形（三角形）法；相似形法。
动态平衡的常见问题：①动态分析；②临界问题；③极值分析等。
动态平衡的判断方法：①函数讨论法；②图解法（注意适用条件和不变力）；③极限法（注意变化的转折性问题）。
【误区点拨】
（1）受力分析：①重力是否有（微观粒子；粒子做圆周运动）；②弹力（弹簧弹力的多
解性）：③摩擦力（静摩擦力的判断和多解性，和滑动摩擦力F f并不总等于口mg）；④电磁
力。
（2）正确作受力分析图，要注意平面问题的思维惯性导致空间问题的漏解。
解题策略：①受力分析；②根据物体受到的合力为0应用矢量运算法（如正交分解、解
三角形法等）求解。
③对于较复杂的变速问题可利用牛顿运动定律列方程求解。
模型演练】
1. (2005年联考题)两个相同的小球A和B,质量均为m,用长度相同的两根细线把
B两球悬挂在水平
天花板上的同一
点水平方向的力
直方向，如图
答案：(1)当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小F T1
当水平拉力F=2G时，绳子张力最大:
F T2 . G2(2G)25G
因此轻绳的张力范围是：
G F T 5G
(2)设在某位置球处于平衡状态，由平衡条件得F T cos G
G 1
所以F T即F T，得图象如图7。
cos
0,并用长度相同的细线连接
F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且
5所示，如果不考虑小球的大小，两球均处于静止状态，
A、
A、B两小球，然后用一0B
细线恰好处于竖则力F的大
小为( )
A. 0
B. mg
C. 3mg
v''3mg
D. 3
答案：C
2.如图6甲所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为
止状态。
现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻,
为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G,试求：
G的钢球A，球处于静都
可以认
(1 )轻绳张力F T的大小取值范围；
(2)在乙图中画出轻绳张力与cos B的关系图象。
cos
o—
图7。