数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第5章 信号的相关函数及应用

信息与通信工程系—数字信号处理
5.2 周期信号的相关性
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5.2 周期信号的相关性
按照能量信号的相关函数定义，功率信号的相关函数不存在！ 但在工程实际中，常常涉及功率信号的相关性 ，特别是周期信 号的相关性。所以，对其重新定义相关函数计算公式。
功率信号的互相关函数
设 x(n) 和 y(n) 是两个功率信号，其互相关函数定义为
0
10 20 30 40 50
m
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M>0 信号自相 关函数
SNR=5 dB时的噪声 w(n) ；
观测信号 y(n) x(n) w(n) ；y(n)的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
5.6 相关函数的应用
应用领域： 雷达、声纳、数字通信、地质和其他科学和工程领
域，信号的相关性分析都有广泛的应用。 信号处理中的实例：
噪声中信号的检测 信号中隐含周期性的检测 信号相关性的检测 信号延时时间的测量等
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1 在雷达和主动声纳系统中的应用
雷达和主动声呐系统
y(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(c) 1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
0
10 20 30 40 50
m
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结论： 1、从图可看出，即使噪声功率较小，观测信噪比达到5dB， 我们也很难直接从观测信号y(n)确定x(n)的周期； 2、但很容易从y(n)的自相关函数很容易确定x(n)的周期
功率信号：
Px
功率信号(如周期信号) 是工程实际和理论研 究中的常用信号，如通信训练信号等。
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复信号的相关函数：
如果 x(n) 和 y(n) 是复信号，其相关函数也是复信号
rxy (m) x(n) y(n m) n
rxx (m) x(n)x(n m) n
M N ,即y(n)是一个因果序列，长度为M；
x(n)与w(n) 不相关，或相关性很小。
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用自相关法求y(n)中隐含周期信号的周期
ry (m)
1 M
M 1
y(n) y(n m)
n0
1 M
M 1
[x(n) w(n)][x(n m) w(n m)]
n0
雷达目标检测示意图
测距原理：
发射信号（参考信号）的采样 x(n)
接收信号的采样 y(n)
X(n)
目标，反射
y(n)
y(n)
y(n) ax(n D) w(n)
D-----延迟量 a-----衰减因子，表示发射信号在发射和反射信道中的损失 W(n)------天线接收到的加性噪声、接收机前端电子器件或放大器产生的噪声。
1
M 1
x(n)x(n m)
1
M 1
x(n)w(n m)
1
M 1
w(n)x(n m)
M n0
M n0
M n0
1
M 1
w(n)w(n m)]
M n0
=rx (m) rxw (m) rwx (m) rw (m)
rxw (m) 0, rwx (m) 0 , rw (m) k (n)
将y(n)翻转变成y(-n)，再调用卷积程序计算，则得到x(n)和y(n)的互相关函数。
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信号 x(n) 自相关函数：
rx (m) x(n)x(n m) n
自相关函数表示了信号与其自身移位后的的相似程度。
能量信号、功率信号：
rx (0) x2 (n) Ex n
h(m) [x(m) x(m)]
h(m) rx (m)
所以，ryx (m)可以看成线性时不变系统对输入序列的响应输出。
rx (m)
LTI系统 h(n)
ryx (m)
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系统输出信号的自相关函数:
ry (m) y(m) y(m) [h(m) x(m)][h(m) x(m)]
可以根据自相关函数的周期性质，估计一个周期信号的周期。
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5.3 相关性函数的性质
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5.3 相关函数的性质
很重要的性质
1.互相关函数性质
使很多问题的分析和判断更加简单
性质1 rxy (m)不是偶函数，而且 rxy (m) ryx (m) ，但有
[h(m) h(m)][x(m) x(m)]
rh (m) rx (m)
ry (0) rh (m) rx (m) m0
= rh (n)rx (n m) = rh (n)rx (n)
n
m0 n
系统稳定，则h(n)为能量信号
rh (m) 存在；
如果 rx (m) 存在，则 ry (m) 存在。
结论：稳定系统，如果输入是能量信号，则输出也是能量信
号。
实际上，上述输入输出信号的相关函数关系式对于功率信号都适用。
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5.5 信号的能量谱密度与 功率谱密度（研究生阶段随机信号部分讲解）
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5.6 相关函数的应用
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0
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5.4 输入输出信号的相关 函数
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5.4 输入输出信号的相关函数
系统输入信号 x(n) , rx (m) 已知 系统单位脉冲响应 h(n)
系统输出信号 y(n) h(n) x(n)
则输出信号与输入信号的互相关函：
ryx (m) y(m) x(m) h(m) x(m) x(m)
rxy (m) ryx (m)
性质2 rxy (m) rx (0)ry (0) ExEy
性质3
lim
m
rxy (m)
0
因为一般能量信号都是有限非零时宽的，所以，当 m 时，二者的非零区不重叠， 所以，该性质成立。
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2.自相关函数性质
性质1
若 x(n) 是实信号，则 rx (m)是实偶函数，即
常用于近似均匀分布的白噪声信号w(n)
W(n)的平均功率：
rx (m) rx (m)
当 x(n) 是复信号，则 rx (m)是共轭对称函数，即
rx (m) rx* (m)
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性质2 在m=0时取得最大值，即
rx (0) rx (m)
性质3
对能量信号x(n) ,将x(n)相对自身移至无穷远处，则二者不
相关，即
lim
m
rx (m)
x(n) 、y(n)周期信号，周期为N，互相关函数：
1 N 1
rxy (m) N n0 x(n) y(n m)
当 x(n) y(n) 自相关函数定义为
rx (m)
1 N
N 1
x(n)x(n m)
n0
周期为N的周期信号的自相关函数也是以N为周期的
1 N1
1 N 1
rx (m N ) N n0 x(n)x(n m N ) N n0 x(n)x(n m) rx (m)
例5.6.1 设信号 x(n) sin( n / 5) , 0 n 199
观测信号 y(n) x(n) w(n)
干扰噪声 w(n) 是白噪声，在[-A ,A]上均匀分布
求自相关函数 ry (m) ，并确定信号 x(n)的周期。
解： 由本书8.6.1节公式（8.6.4）可知，
w(n) 的功率 Pw A2 / 12
N=10
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5.6 用MATLAB计算相关 函数
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5.7 用MATLAB计算相关函数
相关工具箱函数：
Rand
xcorr
功能及调用格式：
w=rand(N) 产生N维列向量w；
w=rand(M,N) 产生MN维矩阵w
产生均值为0.5，幅度在[0,1]上均匀分布伪随机序列
第五章 信号的相关函 数及应用
第5章主要内容
确定性信号的相关函数的定义 相关函数的性质 典型应用举例
目的与方法
通过相关运算，研究两个信号的相似性，或一个信号 经过延迟后与原信号的相似性。
实现对信号的检测、识别与信息提取。
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第5章主要内容
作业
手写作业：自学报告（本章主要知识点）
Ex表示信号x(n)的能量，即 rx (0)表示x(n)的能量
Ex , 能量信号 Ex = , 能量无限信号，主要研究其平均功率
信号的平均功率：Px
lim 1 N N 2N 1 nN
x(n) 2
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信号的平均功率：
Px
1N lim N 2N 1 nN
x(n) 2
ryx (m) rwx (m) 0
目标存在
ryx (m) arx (m D)
当m=D时，ryx (m)取得最大值： ryx (m) ryx (D) arx (0) aEx
雷达检测到目标，并根据所检测的反射延时D值换算出目标距离。
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2 使用相关函数检测物理信号隐含的周期性
rxy
(m)
lim
N
1 2N
1
N n
N
x(n)
y(n
m)
当 x(n) y(n) 时，功率信号的自相关函数定义为
rx
(m)
lim
N
1 2N 1
N nN
x(n)x(n
m)
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周期信号的自相关函数
对周期信号，功率信号相关函数定义式中有限区间上的
平均值极限就等于一个周期上的平均值 。
ryx (m) y(n)x(n m) [ax(n D) w(n)]x(n m)
n
n
= ax(n D)x(n m) w(n)x(n m)
n
n
=arx (m D) rwx (m)
信号 x(n) 与噪声 w(n) 相关性很小
rwx (m) 非常小
当目标不存在时，无反射信号ax(n-D)
所以，当m 0时，ry (m) arx (m)
x(n)是周期序列 rx (m)周期序列，且周期与x(n)相同 在m 0, N , 2N等时，rx (m)会周期性地出现较大峰值
结论：根据 ry (m) 从干扰噪声中检测出y(n)中是否存在 周期信号，并确定其周期N。
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编程作业：5.4
注：手写作业须要抄写题目，编程作业利用MATLAB编程， 上交打印的程序代码及运行结果。
2020/7/5
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3
5.1 互相关函数和自相关 函数
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x(n)
5.1 互相关函数和自相关函数
信号 x(n) 和 y(n) 的互相关函数：
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雷达探测目的：
通过比较 x(n) 和 y(n) ，判断目标是否存在； 如果存在，则通过求延迟D来确定目标的距离。
问题：
工程实际中，受加性噪声的严重污染，不可能从y(n) 的波形判断目标是否存在。
解决方法：
相关检测方法。
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相关检测方法的推导证明：
问题： 在实际应用中，需要检测被随机噪声污染的观测物理信 号隐含的周期性。
问题描述：
观测信号: y(n) x(n) w(n) x(n) : 周期信号，但周期N未知，要求检测其周期N
w(n) : 表示加性随机干扰噪声，近似白噪声
检测条件： 观测到 y(n) 的M个采样值，观测区间为 0 n M 1 ，
观测信号 y(n) x(n) w(n)；y(n) 的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90 100
噪声自相关
(c)
函数导致
1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
rxy (m) x(n) y(n m) n
rxy (m)反映了x(n)与y(n m)两个波形的相似程度。
相关与卷积的运算关系：
x(n) y(n) x(l) y(n l) l
x(n) y(n) x(l) y(l n) l
因此 , rxy (m) x(n) y(n) nm
x(n) 的功率 Px 1 / 2
信噪比SNR
Px Pw
1/ 2 A2 / 12
6 A2
SNR 10lg Px / Pw 1 dB 时，A 6 /100.1
SNR 10lg Px / Pw 5 dB 时，A 6 /100.5
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运行程序ep561.m，可产生 SNR=1 dB时的噪声 w(n) ；