第三讲 晶面和晶向

K h 一定是倒格矢。
§1.4 倒格
晶体结构=晶格+基元 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a 1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格 倒格基矢
b1 , b2 , b3
倒格（点位）矢：
Rn n1 a1 n2 a 2 n3 a 3
K n h1b1 h2 b2 h3 b3
AD的晶列指数为: [212] 注意:
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
a 1 n h1d a 2 n h2d a 3 n h3d
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 2 2 3 3 3
X n d
A3
N
n
A2
a 3 d
a2
A1
取 a1 , a2 , a3为天然长度单位得：
2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π
3.
2π3 Ω*
Ω* b1 b2 b3
3

Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)


2π a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
第三节 晶向、晶面和它们的标志
本节主要内容:
1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向
通过晶格中任意两个格点 连一条直线称为晶列，晶列的 取向称为晶向，描写晶向的一 组数称为晶向指数(或晶列指数 )。 过一格点可以有无数晶列。
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 解： OB i ,
a 例1：如图在立方体中， i , b j, c k A
OE i j k ,
c
b
C
BE OE OB j k
O
D
a
B
晶列BE的晶列指数为： [011]
求AD的晶列指数。
E A
c
b
OA k ,
1 AD OD OA i j k 2
n
N A2 A1
a3
O
d
a2
n表
a1
X n d
设OA1 r a1 ,OA2 sa 2 ,OA3 t a 3
r a1 n d sa 2 n d ta3 n d
X n d
A3 N
s a cosa , n d t a cosa , n d a
a1 a2 a3 , , 。 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 h1 h2 h3
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a 2 , a 3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
同一个格子，两组不同的晶面族
2.晶面指数 晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)
晶面在三个坐标轴上的截距
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图取一格点为顶点，原胞的三 个基矢 a1 , a 2 , a 3 为坐标系的三个轴， A3
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面 A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶 面族相邻晶面间的距离，为整数， 该晶面法线方向的单位矢量用 示，则晶面A1A2A3的方程为：
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
1.4.2 倒格与正格的关系
1. a i b j 2π ij 2π
(i j )
2π a 2 a 3 a 1 b1 a 1 Ω

0
i j

2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω
l1 1, l2 2, l3 1
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R m a nb p c
a , b , c 为布拉维原胞基矢
E
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
1 1 1 cos a 1 , n : cos a 2 , n : cos a 3 , n : : r s t






可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
Ω
3

2 π3
Ω
4.倒格矢 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为
2π d h1h2 h3
。
(1)证明 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
其中 l1, l2 , l3 为整数，将 l , l , l 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ， 1 2 3
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距
晶面指数 —— 标记这个晶面系
以布拉维原胞基矢
a, b,c
为坐
标轴来表示的晶面指数称为密勒 指数，用(hkl)表示。
立方晶格的几种主要晶面标记
例2：如图所示 a b c ，I和H


0
2.
Rl K h 2π (为整数)
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
其中 R l 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
R l K h ( l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3 ) (h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 )
r a1cos a 1 , n d
2 2 3 3
n
A2
A1
3
d
a2
取 a1 , a2 , a3 为天然长度单位，则得： O
1 1 1 cos a 1 , n : cos a 2 , n : cos a 3 , n : : r s t






a1
晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b
1
c
1
C
E
B D
a
c
G
b
(121)
1 2
F
A
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
§1.4 倒格子 —— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
1.4.1倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r


Rl 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
r ( K h ) ei K h r

r Rl K h e
h

h


i K h r Rl

K h Rl 2π
[001] [010]
[100]
[010] [001]
[100]
向为等效晶向，写成<100>。
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
(2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
1.4.1 倒格定义
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3


是固体物理学原胞体积
与 K n h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ( h1 , h2 , h3为整数)所联系的各点
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3

A B C A C B A B C




a a a a a a a a a a a a
3 1 1 2
A B C A C B A B C




3
1
2
1
3
1
1
2
Ω a1
Ω * 2π a 2 a 3 Ω a 1
分别为BC，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密 勒指数。
D
A
c
b
C B
G I
F
在三个坐标 h' 轴上的截距 k'
l'
AEG 1 1 1
ABCD 1
O a E H DIHG 2 1
AEG 1 在三个坐标 h' 1 轴上的截距 k'
l'
ABCD
1 1 1 1 : : 1 (001) D A
的列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1


2π d1
b3
a3
b2
a1
a2
b1 2 π
a2 a3 Ω
b2
2π d2
b1
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
c
b
DIHG 2
1
1 1 1 : : 2 1 (120)
1
1:1:1 (111)
1 1 1 h:k :l : : h来自百度文库k l
(hkl)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
C B I
G
a
F
O
E
H
例3:
在立方晶系中画出(210)、 121) 晶面。 (