胡海岩机械振动基础课后习题解答第1章习题
机械振动课后习题答案
机械振动课后习题答案机械振动是力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力作用后的振动特性。
在学习机械振动的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将为大家提供一些机械振动课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识。
1. 一个质量为m的弹簧振子在无阻尼情况下振动，其振动方程为mx'' + kx = 0，其中x为振子的位移，k为弹簧的劲度系数。
试求振动的周期。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是简谐振动，其周期T与振子的质量m和弹簧的劲度系数k有关。
根据简谐振动的周期公式T = 2π√(m/k)，可得振动的周期为T = 2π√(m/k)。
2. 一个质量为m的弹簧振子在受到外力F(t)的作用下振动，其振动方程为mx''+ kx = F(t)，其中F(t) = F0cos(ωt)。
试求振动的解析解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受迫振动，其解析解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
将特解xp(t)代入非齐次方程，求解得到A和φ的值。
最后，振动的解析解为x(t) = xh(t) + xp(t)。
3. 一个质量为m的弹簧振子在受到阻尼力和外力的作用下振动，其振动方程为mx'' + bx' + kx = F(t)，其中b为阻尼系数。
试求振动的稳定解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受到阻尼力和外力的作用，其稳定解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + bx' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力和阻尼作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
机械振动一章习题解答
T = 2π
所以应当选择答案(C)。
m ( k1 + k 2 ) m = 2π k k1 k 2
习题 12—4
一质点作简谐振动，周期为 T，当它由平衡位置向 X 轴正方向运动 ］
时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为： ［ (A) T/4。 (B) T/12。 (C) T/6。 (D) T/8。
解： 单摆的振动满足角谐振动方程， 这里所给的 θ 是初始角位移，显然是从最大角位移处计时。由 旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为 “0” ， 因此，应当选择答案(C) 。 −θm
题解 12―1 图
习题 12—2
轻弹簧上端固定，下端系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1 下边又
系一质量为 m2 的物体，于是弹簧又伸长了 ∆x ，若将 m2 移去，并令其振动，则 振动周期为： ［ (A) T = 2π ］
位相 ϕ = π 2 ，故振动方程为
x = 0.02 cos(1.5t +
π ) 2
(SI)
习题 12─17
两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
1 ， x 2 = 3 × 10 − 2 cos 2π (t + ) 4
1 x1 = 4 × 10 − 2 cos 2π (t + ) 8
(SI)
求：合振动方程。 解：设合振动方程为
X
习题 12─12
一质点作简谐振动，振动图
线如图所示，根据此图，它的周期
4 O –2
2
t (s)
T=
ϕ=
，用余玄函数描述时的初位相
习题 12―12 图
。 解：根据振动图线可画出旋转矢量图，可得
t=2
∴ ∴
机械振动习题和答案解析
《机械振动噪声学》习题集1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。
(a) 振动；(b) 周期振动和周期；(c) 简谐振动。
振幅、频率和相位角。
1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。
1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。
1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。
即：A cos ωn t +B cos (ωn t + φ) =C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。
其中ε << ω。
如发生拍的现象，求其振幅和拍频。
1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i )2(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8]2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。
已知周期的变化∆τ＝0.1 s。
求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。
2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。
2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
图2－1 图2－2 图2－32－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O 距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。
胡海岩+机械振动基础课后习题解答--第1章习题
n2 B0 (n2 2 )2 (2n)2
系统的阻尼比 c 2.4103 0.4 2 mk 2 1009104
其中：B0
f0 k
(1) 求当＝n时的稳态振幅Bd
Bd
B0 2
f0 2 k
90 2 0.4 9104
1.25103(m)
(2) 求振幅具有最大值时的激振频率
(n )2 4 2n
由以上各式得到：keq
(a b)2 a2 b2
k2 k1
k1x1 x1
a
bx1 ax2 ab
k 2 x2
o
x2
b f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96106 Nm2, 且k 4.9105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
w
F F／2
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t) a sin(t ) u(t) a cos(t )
两边平方，相加
代入已知条件
[a2 u2 (t)]2 u2 (t)
(ml2 2ml2 ) k l2 mgl 4
n
kl 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆，其转轴与铅垂方向成角，摆长l，质量不计。求摆动固有频率。 ml2 mg sin( )l sin
ml2 mg sin( )l sin 0
很小，sin
ml2 mg sin( )l 0
动周期为T2, 液体阻尼力可表示为fd 2 Au, 其中2 A为板的面积，为粘性系数，u为板
运动的速度。求证： 2 m AT1T2
机械振动学习题解答1
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略）
解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
动能
势能
U
1 2
k1
r2 a
b
2
1 2
k2
r2
2
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和
k2静变形的势能。
由能量守恒原理 d (U V ) 0
dt
化简得
J Mr22 m1r12
所以，圆频率 n 2 fn 20
振幅 A xmax 0.072734 m
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
xmax n2 A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？
dP dt
cx2
dt
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
解：（力法）静平衡时有：
mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r
F
F’
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆
盘沿逆时针方向转过x/r角
F
质量m mx mg F
k x
圆盘M Mr2 x Fr k(x )r
2 2
2
动能 V 1 J2 1 mL2 2
2
23
由能量守恒原理 d (U V ) 0
θ
dt
kL2 mg L sin mL2 0
2
2
3
化简得 m mg k 0
3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤
机械振动学习题解答1ppt课件
解：
2 x x 2c X o s (t ) c o s ( t )
1 2
当ε<< ω时，
x x 2 X c o s (t ) c o s t
1 2
2
2
f 拍振的振幅为2X，拍频为 （不是 ） 2 4 例 ： 当 = 8 0 ， = 4 ， X 5 时 ， x x 1 0 c o s ( 2 t ) c o s ( 8 0 t ) 1 2
能量法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）； 2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势 1 1 2 1 2 dP 2 2 m x J c x k x 能 ），动能V= 2 （或 2 ），耗散能P： d t 2 d ( UVP ) 0列方程。 3）由能量守恒原理 d t
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。 解：（力法）静平衡时有： mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r F F k x mg
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆 盘沿逆时针方向转过x/r角
质量m 圆盘M
m x m g F
2 M r x F r k ( x ) r 2 r
F 2k sin 2
i
θ
F
T 由动量矩定理 J i
得
m L L L Fc o s m g s i n 3 2 2
sin , cos 1
2
mg
又由于
上式可化简为
m mg k 0 3 2 L 2
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时 势能 动能
2 1 L L U 2 k mg 1 cos sin 2 2 2 2 1 1 mL 2 2 V J 2 2 3
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
机械振动一章习题解答.
机械振动一章习题解答习题12—1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：［ ］ (A) θ。
(B) π。
(C) 0。
(D) 2π。
解：单摆的振动满足角谐振动方程，这里所给的θ是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。
由旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为“0”，因此，应当选择答案(C) 。
习题12—2 轻弹簧上端固定，下端系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了x ∆，若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为：［ ］ (A) gm xm T 122∆=π。
(B) g m x m T 212∆=π。
(C) g m m x m T )(2211+∆=π。
(D) gm m xm T )(2212+∆=π。
解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数k 和质量m 有关。
其倔强系数k 可由题设条件求出g m x k 2=∆ 所以xgm k ∆=2 该振子的质量为m 1，故其振动周期为 gm xm k m T 21122∆==ππ应当选择答案(B)。
习题12—3 两倔强系数分别为k 1和k 2的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：［ ］ (A) 21212)(2k k k k m T +=π。
(B) 212k k mT +=π。
题解12―1 图(C) 2121)(2k k k k m T +=π。
(D) 2122k k mT +=π。
解：两弹簧串联的等效倔强系数为2121k k k k k +=，因此，该系统的振动周期为2121)(22k k k k m k mT +==ππ所以应当选择答案(C)。
习题12—4 一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：［ ］(A) T /4。
胡海岩+机械振动基础课后习题解答__第1章习题
u(t)asin(t) 两 边 平 方 ， 相 加
代入已知条件
u ( t) a c o s ( t )
[a 2 u 2(t)]2 u 2(t)
[a2 0.052]2 0.22 [a2 0.12]2 0.082
解出
振 动 周 期 ： T 2 / 2 / 2 . 1 1 6 7 2 . 9 ／ 2
x
任 意 截 面 处 的 弯 矩 ：
M(x)FxFxl
2
2
挠 曲 线 微 分 方 程 ：
x
l 2
x 0
l 2
当x l 2
当x l 2
ddx2w 2 ME(Ix)F 2xFEIx2l 积分：
w(x)E F I1 x2 31 6x2 l3CxD
# 如 果 u 0 0 , u 0 0 ， 系 统 静 止 在 平 衡 位 置 上 。
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0
t1 0
u(t1)u00
经 过 平 衡 位 置 一 次
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0 t 1 为 负 值 ， 无 意 义 ， 即 无 解 ， 表 明 系 统 不 经 过 平 衡 位 置
边界条件： w(0)w(l)0
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x
w
F F／ 2
F／ 2
x
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x (a )
kbeam
F w(l /2)
F l3F
48EI l3
(ml22ml2)kl2mgl
4
胡海沿 机械振动习题答案
g g 1 0.7654 , 2 1.8478 l l
(t ) 0.707 0.707 g g (t ) 1 0.707 cos(0.7654 ) t 0.707 cos(1.8478 )t 0 0 1 ( t ) 1 l l 2
P88,2-4: 图示电车由两节质量均为2.28 104 kg的车厢组成， 中间连接器的刚度为 2.86 106 N/m。 求电车振动的固有频率和固有振型。
m 0 u1 k 0 m u k 2 k u1 0 u 0 k 2
1 7.3384(rad/s), 2 48.1783(rad/s)
P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m，求系统的固有模态。
1 2 ma k1b 2 k2 (a u ) a 3 mu k2 (u a )
ma 2 / 3 0 k1b2 k2 a 2 运动方程： 0 m u k2 a
1 1 1 动能： T ( J1 m1a 2 )12 m2 (l1 b 2 ) 2 J 2 22 2 2 2 1 1 1 ( J1 m1a 2 m2l 2 )12 m2 (2lb1 2 ) ( J 2 m2b 2 ) 22 2 2 2
1
1 1 势能： U (m1 ga m2 gl )12 m2 gb22 2 2
( K 2 M )φ 0
2k 2k 1 1 , 1 2 J J 2 2
1 1 φ1 , φ2 1/ 2 1/ 2
P88,2-6: 不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。
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x
l 2
3
3l 2 48
x
w
F F／2
F／2 x
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
3l 2 48
x
F
F 48EI
kbeam w(l / 2) l3F l3
48EI
(a)
Evaluation only.
eatkeeq d k
with Aspose.Slides for .NET kbeam
44
l
0.49
Evaluation only. P59.1-16: 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1, 在粘性液体中振
eated w动it周h期A为sT2p, 液o体se阻.尼S力li可d表e示s 为fofd r .2NAEu, T其中32.A5为板C的l面 ie积n，t为P粘ro性f系i数 le，u5为.板2.0
d 2w dx2
M (x) EI
CF2oxp Fyrxig2lht EI
2004-2011
Aspose
Pty
Ltd.
积分：
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
Cx
D
边界条件： w(0) w(l) 0
w(x)
F EI
x3
12
1 6
5.2.0
t
Re[u (t)e j (t)e j39t ]
u (t) cos(39t (t))
(t) arctan( 5sin t )
5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s 拍周期 2 2 2 (s)
k
48EI l3
4.9 105
48 1.96 106 43
1.96106 (N
/3m).5
Client
Profile
5.2.0
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
n
keq m
1.96106 70(rad / s) 400
(b)
keq
1000 9.8 0.5 1000 4105
1.98104 (N)
P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动，不计刚杆质量，求其固有频率。
(ml2 2ml2 ) k l2 mgl 4
n
kl 4mg 12ml
Evaluation only. P58.1-12: 图示摆，其转轴与铅垂方向成角，摆长l，质量不计。求摆动固有频率。
运动C的速o度p。 yr求i证g：ht
2004-2011 2 m
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
对o力矩平衡：k1x1a k2x2b数为keq，则：f
keq
bx1 ax2 ab
k1x1
ab
k 2 x2
由以上各式得到：keq
(a b)2 a2 b2
k2 k1
eated with Aspose.S第lEidv一easluf章oarti.o习NnEo题Tnl3y..5 Client Profile 5.2.0
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
Evaluation only. 振幅：a
u02
( u0 )2 n
v0 n
v0
m k
eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 最大张力：T mg ka Cmgopv0 ymrkight 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
k kbeam k kbeam
3.675105
n
keq 30.3(rad / s) m
P58.1-8: 钢索的刚度为4105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
系统固有频率：n
k m
初始条件：u(0) 0, u(0) v0
整个系统的等效刚度：keq
keq k3 keq k3
(k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq 261.86 rad/s m
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度E的表 v达 al式u。ation only.
eat垂e直d方w向力 it平h衡A：sf p ko1sx1e.kS2lx2ides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
[u0
u ]eu0 nu0
n0
0
经过平衡位置一次
P58.1-14: 一单自由度阻尼系统，m 10kg时，弹簧静伸长s=0.01m。自由振动20个循环后，振 幅从6.4103m 降至1.6103m。求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量。
n ln( A0 A1 An1 ) ln A0
a 0.1069, =2.1167
振幅：a 0.1069
最大速度=a Evaluation 0.10692.1167 0.2263 only.
eaPt5e7.d1-2:w一物it体h放A在水s平 p台o面se上.，S当l台i面d沿e铅s垂f方o向r 作.N频率E为T5Hz3的.简5谐C振动li时e，n要t使P物体ro不f跳i离le平台5，.2.0
N
m
()
如果sin(t
)
0,
则上式变为a
g 2 sin(t )
g 2
9.8 (2 5)2
9.9mm
mg
P57.1-3: 求简谐位移u1(t) 5e j(t300)与u2(t) 7e j(t900)的合成运动u(t), 并求u(t)与u1(t)的相位差。
1 2
k ( A02
An2 )
1 2
mg s
( A02
An2 )
10 9.8 ((6.4 103)2 (1.6 103)2 ) 0.19(NM) 2 0.01
P58.1-15: 图示系统的刚杆质量不计，m 1kg，k 224N/m, c 48Ns/m, l1 l 0.49m, l2 l / 2, l3 l / 4。求系统固有频率及阻尼比。
u(t) u1(t) u2 (t) 5e j(t300 ) 7e j(t900 ) (5e j300 7e j900 )e jt (5 cos 300 j(5sin 300 7))e jt 10.44e j(t65.50 )
u(t)与u1(t)的相位差：65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1(t) 5cos 40t, u2 (t) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅，
并求其拍频和周期。
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wuRR1ee(it[[t)((h5(5eCucjAto2(ostt3)sp)pe3yRj3)o9ert[]si5jgee5js.h4i0Sntttl)23ieedj03j93et90]t ]s4f-o2ur(0t).1N1E(A5cTosspt3o.35)s2eC(P5lsitineytn)2LttPd3r.4of3i0lceos
A1 A2 An
An
ln A0 , ln A1 ,
A1
A2
, ln An1 An
1 ln A0 2 n An
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u(t) a sin(t ) u(t) a cos(t )
两边平方，相加
代入已知条件
[a2 u2 (t)]2 u2 (t)
[a2 0.052 ]2 0.22 [a2 0.12 ]2 0.082
解出
振动周期：T 2 / 2 / 2.1167 2.9684
| 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。当m 2.5kg, k1 k2 2105 N/m, k3 3105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明：k1和k2并联，之后与k3串联
k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
越过平衡位置的条件：u(t1) 0,u(t1) 0
# 如果u0 0,u0 0，系统静止在平衡位置上。
# 如果u0 0, u0 0
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