惯性积、惯性矩、静矩ppt课件
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01-极惯性矩 惯性矩 惯性积课件
极惯性矩 惯性矩 惯性积
二、极惯性矩
IP
2dA
A
2 z2 y2
所以 I P I z I y
z
dA
z
O
y
y
对于圆形对圆心的极 惯 性矩自己课下推导 。
极惯性矩 惯性矩 惯性积
三、惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积
I yz
yzdA
A
1.惯性矩的数值恒为正，惯性
积则可能为正值，负值，也
可能等于零；
z
dA dA z y
y
2.若y，z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴， 则 截面对y，z轴的惯性积一定等于零。
极惯性矩 惯性矩 惯性积
四、惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩 惯性矩 惯性积
一、惯性矩(面积的二次矩）
I y
z 2dA
A
Iz
y 2dA
A
z
z
O
y
dA y
极惯性矩 惯性矩 惯性积
例题
I y
z 2dA
A
h/2 z2bdz h/2
z
dA z
yh
b h/2 z2dz h/2 3
bh 12
b
对于三角形、圆形对自身形 心轴的惯性矩自己课下推导 。
《材料力学惯性矩》课件
PART 04
惯性矩的应用
REPORTING
弯曲应力计算
总结词
在计算梁的弯曲应力时，惯性矩是一 个重要的参数。
详细描述
通过利用惯性矩的计算公式，可以确 定梁在承受垂直或水平力时的弯曲应 力分布。惯性矩的大小决定了弯曲变 形的程度，进而影响应力分布。
剪切应力计算
总结词
在分析剪切应力时，惯性矩起到关键作用。
建筑结构中的惯性矩问题
高层建筑在风力和地震作用下，需要具备足 够的惯性矩来抵抗侧向和扭转力。建筑设计 时需充分考虑不同方向的惯性矩，以确保结
构安全。
利用惯性矩优化结构设计
优化截面尺寸
根据工程需求，调整结构件的截面尺寸，以改变其惯性矩，从而提高结构的承载能力和 稳定性。
减重与加强
在满足强度要求的前提下，通过优化结构设计，减小不必要的材料使用，降低结构重量 。同时，对关键部位进行加强，提高其惯性矩，确保结构安全。
应力分析是研究物体在受力后内部应力的分布和大小
的过程。
方法
02 通过理论分析、实验测试和数值模拟等方法进行应力
分析。
重要性
03
确保结构在各种工况下的安全性和可靠性，防止因应
力集中、疲劳或过载等原因导致的断裂或失效。
应变分析
定义
应变分析是研究物体在外力作用下产生的变形和位移的过程。
方法
通过测量物体的尺寸变化、观察表面变形和利用有限元等方法进 行应变分析。
在稳定性分析中，惯性矩是评估结构稳定性 的重要参数。
详细描述
结构的稳定性与惯性矩的大小密切相关。通 过分析不同受力情况下惯性矩的变化，可以 预测结构的失稳趋势，并采取相应的措施提 高结构的稳定性。
PART 05
附录(惯性矩、静矩)ppt课件
4、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。
5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。
材料力学
.
36
本章结束
材料力学
.
37
z1
z
y1
a
y
C
则 Iy 1 Iy 2 Iz Iy 2 Izc o s Iy zsin 2 Iy 2 Iz
a
同理
I z1
Iy
2
Iz
， I y1z1 0
两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所
有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任 一形心轴的惯性矩为常量。
z2
yC
z 20
对称轴上。
yC
A1y1 A2y2 A1 A2
② 求IzC
2 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 5 5 m m 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0
IzC =（200×203/12＋200×20×552）
＋（20×2003/12＋200×20×552）
Iy1、 Iz1、 I y1z1 都是角的有界周期函数
Iy1+Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数
材料力学
.
23
二、形心主惯性轴 形心主惯性矩
1、主惯性轴
若Iy1z1 = 0，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式
确定：
tan
20
2I yz Iy Iz
由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相
(已知b>a)：
（A）Iyz＞０ (C) Iyz=０
（B） Iyz<０ （D） Iy=Iz A
5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。
材料力学
.
36
本章结束
材料力学
.
37
z1
z
y1
a
y
C
则 Iy 1 Iy 2 Iz Iy 2 Izc o s Iy zsin 2 Iy 2 Iz
a
同理
I z1
Iy
2
Iz
， I y1z1 0
两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所
有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任 一形心轴的惯性矩为常量。
z2
yC
z 20
对称轴上。
yC
A1y1 A2y2 A1 A2
② 求IzC
2 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 5 5 m m 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0
IzC =（200×203/12＋200×20×552）
＋（20×2003/12＋200×20×552）
Iy1、 Iz1、 I y1z1 都是角的有界周期函数
Iy1+Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数
材料力学
.
23
二、形心主惯性轴 形心主惯性矩
1、主惯性轴
若Iy1z1 = 0，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式
确定：
tan
20
2I yz Iy Iz
由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相
(已知b>a)：
（A）Iyz＞０ (C) Iyz=０
（B） Iyz<０ （D） Iy=Iz A
惯性矩、抵抗矩、面积矩.ppt
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
2
(
Ix
2
Iy
)2
I
2 xy
2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc
0
I I
xc yc
形心主惯性矩：
I
x
c0
I xc
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
须 为
形
心
y
例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
d
x定理等知识求。O来自建立形心坐标如图,求图形对形心轴
的惯性矩。
B
I
d
4
I
I
圆 2 I
P 32
xy
x
Ix
Iy
IP 2
d 4
64
I AB
Ix
d2A
d 4
64
d 4
4
5d 4
64
x
xi Ai
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
附录A2-讲义惯性矩、极惯性矩与惯性积
12
12
cot 2
1
1 sin 2
录
A
平
面
图
形
的
几
何
性
质
思考题毕
讲
义
8
BRY 例题 A.4 计算半径为 R 的圆形对其形心轴的惯性矩、惯性
积和对圆心的极惯性矩。
z
材 料
解
力
学 (1) 求惯性矩和惯性积
B
附 录
I y
z 2dA
A
d
d y
A
2
R ( sin )2 d d
00
平
面 图 形 的
BRY
§A.2 惯性矩、极惯性矩与惯性积
材 料
A.2.1 惯性矩
z
力
学 惯性矩 (moment of inertia)
B
附 平面图形对 y 轴的惯性矩：
z
录 A
I y
z 2dA
A
(A.6.a)
dA A
平 平面图形对 z 轴的惯性矩：
面 图 形
Iz
y2dA
A
(A.6.b)
O
y
y
的 几
惯性矩也称为二次轴矩 (second moment of an area)。
dz
z ( y b ) tan 2
形 的 几 何 性
1 3
h 2 h 2
6(
z
cot
)2
(
b 2
)
2(
b 2
)3
dz
质
讲 义
1 3
h 2 h
(3bz 2
cot 2
b3 4
)
dz
材料力学课件—平面图形几何性质
Sy zd A zd A zd A zd A
A
A1
A2
An
S y1 S y2 S yn S yi Ai zCi
Sz Szi Ai yCi
例：平面图形如图所示，试确定该图形的 形心位置，并计算该图形对z 轴的面积矩。
50
z
10
60 y 10
50 10
C1
O
y
z
dA A
∫ z
Sy = zdA
A
S z =∫ ydA A
量纲：长度3， 单位：m3
y
1.面积矩不仅与平面图形的面积有关，
还与平面图形的形状、坐标轴的位置有关。
2.面积矩可正、可负，也可为零。
二、形心的位置
∫ zdA
zC =
A
A
= Sy／A
∫ ydA
yC =
A
A
= Sz／A
S y = zC ·A
2
z d cos
2
y、z 是对称轴
P332 表A-1
I yz 0
§3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
z
O
a C
y'
b z' dA
zC
I z = IzC ＋ a 2 A I y = IyC ＋ b 2 A
在一组相互平行的轴中，平
y
yC
面图形对形心轴的惯性矩最小。
I y z = IyC zC ＋ ab A
Ⅱ Ⅰ
h C
① 计算惯性矩Iy、Iz和惯性积Iyz
Iy
IⅠy
I
Ⅱ y
I
Ⅲ y
z
Ⅲ
d
hd
3
db3
[
bd (b d
材料力学惯性矩ppt课件
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
2 R 2 2 2
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
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3
第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
I P 2 dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面： I P 2dA 32 ; D 4 d 空心圆截面： I P (1 4 ); ( )
5
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
bh3 I z y dA y bdy ; A h / 2 12
2 h/2 2
取微面积dA=hdz,则：
2 b/2 2
hb3 I y z dA z hdz ; A b / 2 12
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
I z1 y1 I zy abA ;
注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式：
2
I z1 y1 dA ( y cos z sin ) 2 dA;
I z1
I y1
Iz Iy
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
第10章平面图形的几何性质ppt课件
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix Iy
2
4
I
2 xy
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax 极小值Imin
例 计算所示图形的形心 主惯性矩.
120 40 z 20
25 20 10
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴
C
y
y z 轴，计算其惯性矩(积).
1.5d (2d )3 3d 2(0.177d )2 [πd 4 πd 2 (0.5d 0.177d )2 ]
12
64 4
2d
0.685d 4
I zC I矩zC I圆zC
(1.5d )3 2d πd 4 0.513d 4
12
64
I yC zC 0
所以 yCzC 便是形心主轴
——反映平面图形的形状与尺寸的几何量
如：
在轴向拉（压）中：
FN A
l FNl EA
本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质
§10.1 静矩与形心
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix Iy
2
4
I
2 xy
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax 极小值Imin
例 计算所示图形的形心 主惯性矩.
120 40 z 20
25 20 10
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴
C
y
y z 轴，计算其惯性矩(积).
1.5d (2d )3 3d 2(0.177d )2 [πd 4 πd 2 (0.5d 0.177d )2 ]
12
64 4
2d
0.685d 4
I zC I矩zC I圆zC
(1.5d )3 2d πd 4 0.513d 4
12
64
I yC zC 0
所以 yCzC 便是形心主轴
——反映平面图形的形状与尺寸的几何量
如：
在轴向拉（压）中：
FN A
l FNl EA
本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质
§10.1 静矩与形心
小学教育平面图形几何性质PPT课件
dA
A
I yC zC
则有： 说明：
S zC 0
S yC 0
I y I yC a2 A I z I zC b2 A I yz I yC zC abA
abA
O
z
z
y
C
by
yC c
a zC dA
(1)两平行轴中必须有一对轴为过形心的轴。y
zc
(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯 性矩来换算。
IP 2dA
A
dA 2d
IP
d 2 2
0
2d d 4
32
Iy
Iz
IP 2
d 4
64
D
同理，对于空心圆：
d
Iy
Iz
D4
64
(1 4 )
其中 d
D
第14页/共35页
d
O d
z
y
Iz
b0h03 12
bh3 12
1 12
b0h03 bh3
第15页/共35页
§Ⅰ.3 平行移轴公式
y
说明： 1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的 位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。
2、静矩的数值可正可负，也可以为零。
3、静面矩的单位：mm3 或 m3
第2页/共35页
二、形心
O
z zC
截面形心位置和均质薄板的重心
z
位置重和。设形心C的坐标为yC、zC， y
利用合力矩定理得。
解： 整个圆截面对z1轴的惯性矩为
d4 64
，则半圆对z1轴惯性矩为
I z1
1d4
2 64
d4
惯性积、惯性矩、静矩ppt课件
Iy Iz
编辑版pppt
6
惯性积
z
y dA
z
O
y
I yzdA yz
A 编辑版pppt
7
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是 对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必
等于零。 I yz 0
z
dA dA
y
编辑版pppt
8
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交
坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、 z0称为主惯性轴。
编辑版pppt
10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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20
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因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
编辑版pppt
9
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
编辑版pppt
6
惯性积
z
y dA
z
O
y
I yzdA yz
A 编辑版pppt
7
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是 对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必
等于零。 I yz 0
z
dA dA
y
编辑版pppt
8
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交
坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、 z0称为主惯性轴。
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因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
编辑版pppt
9
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
第七章 静矩及其性质.ppt
z
dA
b
c yc
zc
行于z轴；yc轴平行于y轴。
ay
求：Iz、Iy。
o
z
解：
Iz
y2dA
A
A(yc a)2 dA
A yc2dA
a2dA 2a
A
A ycdA Izc a2 A
Iy
z2dA
A
A (zc
b)2 dA
A zc2dA
2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则
图形这一对坐标轴的惯性积为零。
17
例2 求图示矩形的 I z ,I y ,I yz ,iy ,iz
z
dz z hc
b
h
I y
之和：
Iz
I zi ，I y
I yi ，I zy
I 24 ziyi
例 求图示直径为d 的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。
解： §A-1
y
b( y) 2 R2 y2
b(y) C
yc
d
d
xc
Sx
yd A
A
2 yb( y) d y
0
x
d
2 y2
R2 y2 d y d3
y
求：Iz1、Iy1、Iz1y1。
A dA
dA 在坐标系 ozy 和坐标系oz1y1
的的坐标分别为（z，y ）和（z1 ，
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§6-2 惯性矩和惯性积
一、惯性矩 z
y dA
ρ
z
O
y
IzA y 2 d A, IyA z2 d A
精选
1
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积，即
Iy Aiy2
或 iy
Iy A
Iz Aiz2
或iz
Iz A
i y 、 iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
精选
2
二、极惯性矩
z
y
O
Ip
2dA
A
dA
2 y2z2
z
IpIyIz
y
精选
3
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
精选
4
解： Iy
z2dA
A
h/2
z2bdz
h /2
bh 3 12
dz
z
精选
5
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
精选
6
惯性积
z
y dA
z
O
y
Iyz
yzdA
A精选
7
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是 对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必
等于零。 I yz 0 z
dA dA
y
精选
8
几个主要定义:
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交 坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、 z0称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
精选
9
பைடு நூலகம்
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂 直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
精选
10
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精选
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精选
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一、惯性矩 z
y dA
ρ
z
O
y
IzA y 2 d A, IyA z2 d A
精选
1
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积，即
Iy Aiy2
或 iy
Iy A
Iz Aiz2
或iz
Iz A
i y 、 iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
精选
2
二、极惯性矩
z
y
O
Ip
2dA
A
dA
2 y2z2
z
IpIyIz
y
精选
3
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
精选
4
解： Iy
z2dA
A
h/2
z2bdz
h /2
bh 3 12
dz
z
精选
5
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
精选
6
惯性积
z
y dA
z
O
y
Iyz
yzdA
A精选
7
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是 对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必
等于零。 I yz 0 z
dA dA
y
精选
8
几个主要定义:
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交 坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、 z0称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
精选
9
பைடு நூலகம்
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂 直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
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