一次函数的概念和图像

1、 一次函数的概念

（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；

（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比

例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．

一次函数的图像及性质

知识结构

知识精讲

模块一：一次函数的概念

【例1】下列函数中，哪些是一次函数?

（1）232y x =-；

（2）12y x -=；

（3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)k

y kx k x

=+≠；

（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．

【难度】★ 【答案】 【解析】

【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；

（2）当m =________时，函数2

15

(4)m

y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．

【难度】★ 【答案】 【解析】

【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个

函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

例题解析

【例4】已知一次函数()2

33

17k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+， （1） 求(0)f 的值；

（2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

1、 一次函数的图像：

一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一

直线的表达式．

画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．

2、 一次函数的截距：

一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．

3、 一次函数图像的平移：

一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移 得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：

如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．

反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．

【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的

图像． 【难度】★

例题解析

知识精讲

模块二：一次函数的图像

【答案】

【解析】

【例8】若一次函数y kx b

=+，当x=2时，y=-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．【难度】★

【答案】

【解析】

【例9】若一次函数y=-x+b的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例10】将直线y=+1向右平移1个单位，相当于将直线y=+1向上平移了多少个单位? 【难度】★★

【答案】

【解析】

【例11】已知一次函数的图像平行于直线y=2

3

x，且当3

x=-时，函数y的值是1，求这个函数解

析式．【难度】★★【答案】【解析】

【例12】若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．

（1）直线经过（3，2）以及（1，1）； （2）直线经过（7，0）以及截距是14；

（3）直线经过(30)-，以及截距是

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例14】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例15】设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例16】设一次函数y kx b

=+的图像过点P（3，2），它与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA+BO=12时，求一次函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例17】已知一次函数

215

44

m

y x

+

=-与

2

33

m

y x

=-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m

的值．【难度】★★★【答案】

【解析】

【例18】已知两个一次函数

1

4 4

b

y x

=--和

212

y x

a a

=+；

（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?

（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?

（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例19】（1）一次函数3

y x b

=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；

（2）一次函数y kx b

=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】