绝对值与分类讨论

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绝对值不等式的解题方法与技巧

绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。

当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。

分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。

2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。

通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。

3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。

例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。

4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。

总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。

希望以上回答能够帮助到你。

七年级数学绝对值分类讨论重点题型

七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。

在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。

今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。

在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。

具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。

2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。

我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。

3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。

当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。

这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。

5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。

针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。

同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。

6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。

这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。

7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。

同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。

例谈含绝对值不等式的分类讨论法

例谈含绝对值不等式的分类讨论法
1 含绝对值不等式的定义
含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，一般
用符号|a|≤b、|a|<b、|a|≥b或者|a|>b来表示。

其中|a|代表a的
绝对值，而它们本身又是另外一类“非负” 或“非正” 的不等式。

2 类型分类
含绝对值不等式可以按照实数a和b是否有限大小均分为四种：
1）若a、b都为有限范围内的实数，则有|a|≤M、|a|<M、|a|≥M
或者|a|>M,其中M为常数。

2）若a为有限范围内的实数，而b为正无穷大，则有|a|≤∞、
|a|<∞、|a|≥∞或者|a|>∞。

3）若a为正无穷大，而b为有限范围内的实数，则有∞≤|a|、
∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。

4）若a、b都为正无穷大，则有∞≤|a|、∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。

3 总结：
总之，含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，有着无限多的变体，它们可以按照参与运算的变量a和b是否是有限
范围内的实数或正无穷大来分为四类。

去绝对值常用方法

去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。

解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。

下面就教同学们去绝对值的常用几招。

一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

代值后即可去掉绝对值。

解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。

解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。

分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。

解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。

分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。

七年级(上)数学每天一练《绝对值综合分类讨论》习题及解析

一、选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是( ). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D ．0除以任何数都得02.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b 两数的点之间的距离是（）． A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或53.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−的值是( ). A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++= ．6.（睿学适用）若0abc >，则||||||||a b c abca b c abc +++的值为___________.7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ．④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是． ⑤若x 表示一个有理数，当x 为，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（2）||2a +能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（3）2|1|a −−能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（4）|1||2|a a −++能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N 两点间的距离为12个单位长度．14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数，点P 表示的数用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；建议用时：100 min一、选择题（共3小题）1.（笃学适用）下列说法中，错误的是). A ．0没有倒数B ．绝对值和倒数都是它本身的数是1C ．0乘以任何数都得0D．0除以任何数都得0 2.（笃学适用）已知3a =，||2b =，||a b b a −=−，在数轴上表示a ，b A ．1 B ．5 C ．0.5 D ．1或5 3.（睿学适用）若12x <<，则|2||1|||21x x x x x x−−−+−−. A ．3− B ．1−C ．2D ．1二、填空题（共6小题）4.（笃学适用）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求3()x a b cd x −++的值是________.七年级数学之绝对值综合分类讨论及几何意义5.（笃学适用）已知a 、b 、0c ≠，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，则(1)2013m n ++．6.（睿学适用）若0abc >，则||a a7.（笃学适用）若a 为有理数，则|3||4|a a −++的最小值是 .8.（睿学A 适用）求|1||2||100||||1||100|x x x x x x −+−+…+−++++…++的最小值_________.9.（创新适用）当x 变化时，|5|||x x t −++有最小值2，则常数t 的值为．三、解答题（共4小题）10.（睿学适用）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =−．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是． ②数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为．③若x 表示一个有理数，则|1||4|x x −++的最小值= ． ④若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 的是．⑤若x 表示一个有理数，当x 为，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为．11.（睿学适用）已知a 为整数（1）||a 能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（2）||2a +能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（3）2|1|a −−能取最（填“大”或“小” )值是．此时a = ．（4）|1||2|a a −++能取最（填“大”或“小” )值是．此时a =．12．（睿学适用）（1）已知0a ≠，0b ≠，求||||a b a b+的值；（2）已知1||abcabc =，求||||||a b c a b c ++的值．13.（睿学A 适用）如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为2−、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N14.（创新适用）如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上一点，且10AB =．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）写出数轴上点B 表示的数，点P 表示的数用含t 的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；。

绝对值的分类讨论

绝对值的分类讨论嘿，朋友们！今天咱们来唠唠数学里那个有点小调皮的绝对值。

这绝对值啊，就像是一个超级有原则的裁判，不管你是正数还是负数，到了它面前，都得变成非负数，简直就是数学世界里的正能量传播者。

你想啊，假如正数是一群欢快的小天使，那正数的绝对值就是小天使本身，就像小天使照镜子，看到的还是那个可爱的自己。

比如说3的绝对值就是3，多干脆，一点都不拖泥带水。

可是负数就不一样喽。

负数就像是那些喜欢躲在阴影里的小怪兽，但是一旦遇到绝对值这个裁判，小怪兽就得乖乖地把自己的负面外衣脱掉，露出正数的真面目。

就像 -5，它的绝对值就是5，这就好比小怪兽突然被施了魔法，变成了阳光小少年，是不是很神奇？那要是遇到0呢？0就像是一个中立的小精灵，它的绝对值还是0，就像小精灵站在原地，哪也不去，稳稳当当的。

不过，这绝对值的分类讨论可不止这么简单哦。

当我们在解方程或者做一些复杂的数学题时，绝对值就开始耍它的小把戏了。

比如说，|x| = 3，这时候x就有两种可能，就像一个人站在岔路口，他可以向左走向3这个正数，也可以向右走向 -3这个负数。

这就像是绝对值给我们出了一个小谜题，让我们去猜这个神秘的x到底是哪个“小怪兽”或者“小天使”。

有时候，我们还会遇到像|x - 2|这样的式子。

这就好比x是一个小探险家，2是一个小城堡，|x - 2|就是小探险家离小城堡的距离。

那这个距离也有多种情况啊，可能小探险家在小城堡的左边，也可能在小城堡的右边，所以又要开始分类讨论啦。

在不等式里，绝对值更是个捣蛋鬼。

|x| < 5的时候，就像把x这个调皮的小动物圈在一个半径为5的小圆圈里，这个小动物可以在正数的一边晃悠，也可以在负数的一边溜达，但是不能跑太远。

绝对值就像一个充满惊喜和挑战的魔法盒子，每次打开都有不同的情况等着我们去探索。

我们要像聪明的侦探一样，仔细分析各种可能，才能在这个绝对值的奇妙世界里畅游无阻。

不管它怎么变着花样地考我们，只要我们掌握了分类讨论这个魔法棒，就能轻松应对啦。

绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)

专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【题型2 根据绝对值的非负性求值】【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【题型4 根据绝对值的定义判断正误】【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来；（3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】【典例6】计算：（abc ≠0）＝．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。

初一数学绝对值难题解析完整版

初一数学绝对值难题解析Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a|＝a（当a≥0）,|a|＝－a（当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。

解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。

利用绝对值解决分类讨论问题探讨

利用绝对值解决分类讨论问题探讨作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第04期［摘要］利用绝对值可以有效避免分类讨论的麻烦。

文章结合具体例题，说明如何利用绝对值解决分类讨论问题，以帮助学生学习运用绝对值的方法，提高学生的思维品质。

［关键词］绝对值；分类讨论；坐标系［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）11-0022-03解决平面直角坐标系中有关的问题，时常用分类讨论的方法。

分类讨论有时会比较麻烦，而利用绝对值可以有效避免分类讨论的麻烦。

本文结合具体例题说明如何利用绝对值解决平面直角坐标系中的分类讨论问题。

一、与三角形面积有关的问题计算一次函数图线所在平面的三角形面积问题时，一般需要作平行于[y]轴的直线，这条直线被两条一次函数图线所截得的线段长等于两个函数表达式差的绝对值。

计算二次函数图线所在平面的三角形面积问题时，一般需要过抛物线上一点作[x]轴的垂线，这条垂线段的长就是这点纵坐标的绝对值。

［例1］如图1所示，在平面直角坐标系中，点[A（2 ，2）]，点[C0，43]，直线[AC]交[x]轴于点[B]。

（1）求直线[AC]的表达式和点[B]的坐标；（2）在直线[OA]上有一点[P]，使得△[BCP]的面积为4，求点[P]的坐标。

解析：（1）过程略，答案：直线[AC]的表达式为[y=13x+43]，点[B]的坐标为[（-4，0）]。

（2）如图2所示，设直线[OA]的表达式为[y=mx]，把[A（2 ，2）]代入得[2m=2]，解得[m=1]，∴直线[OA]的表达式为[y=x]，过点[P]作[PQ]∥[y]轴交直线[BC]于点[Q]，设[P（t，t）]，则[Qt，13t+43]，∴[PQ=t-13t-43=23t-43]。

∵△[BCP]的面积[=△CPQ]的面积+[△BPQ]的面积，而△[CPQ]的面积[=12×PQ×OH]，[△BPQ]的面积[=12×PQ×BH]，∴[△BCP]的面积[=12PQ×OB]，∵△[BCP]的面积为4，∴[12×23t-43×4=4]，解得[t=-1]或[t=5]，∴点[P]的坐标为（-1，-1）或[（5，5）]。

分类讨论思想解绝对值问题例析

樊宏标分类讨论思想解绝对值问题例析分类讨论思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法.它是为了解决因各种因素制约着的数学问题,使原本变幻的不定的问题,分解成若干个相对确定的问题,再各个击破,从而获得完整的解答.分类讨论必须遵循三条原则:一是对全体分类对象做到既不重复,也不遗漏,二是每次分类按同一标准进行,三是连续多级分类,要按层次逐级进行,如何分类必须根据问题的具体背景而定.利用分类讨论思想解题在高考中是常见内容,现就绝对值问题作一剖析,希望对同学们有所启发.一、求绝对值函数中参数的取值范围例1若函数f(x)=a|x-b|+2在[0, +)上为增函数,则实数a,b的取值范围是.解:首先对b的值分类讨论:函数f(x)在[0,+)上为增函数,显然应有b0;其次,再对a的值进行讨论:当a=0时,显然不能满足f(x)在[0,+)上为增函数的要求;当a<0时,函数f(x)的图像是从点(b,2)引出的两条射线,且当x b时,函数在[b,+)上为减函数,也不符合要求,舍去;当a>0时,函数f(x)在[b,+)上为增函数.评注:本题是含有绝对值符号和两个参数的分段函数问题,是一个典型的二级讨论问题,它对考生分类讨论思维的缜密性有较高的要求.二、讨论绝对值函数的性质例设为常数,函数f(x)=x+|x|+,x R()讨论f(x)的奇偶性;()求f(x)的最小值.解:()首先讨论f(x)的奇偶性,由于y=x2+1是偶函数,所以f(x)的奇偶性取决于|x-a|.由于y=|x|是偶函数,所以第一次分类应分为a=0及a0讨论.(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1为偶函数.(2)当a0时,f(x)=x2+|x-a|+1为非奇非偶函数.()再求f(x)的最小值,为此需去掉f(x)解析式中的绝对值符号.就要对x分x a 和x<a讨论.(1)当x a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-12)2+a+34,为求x a时f(x)的最小值,要研究f(x)图像的对称轴x=12相对于a 的不同位置.当a12时,f(x)在(-,a]上为减函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.当a>12时,f(x)在(-,12)上是减函数,在(12,a)是增函数,于是f(12)最小,即f m i n(x)=f(12)=a+34.(2)当x a时,f(x)=x2+x-a+1=(x+12)2-a+34.此时,要研究f(x)图像的对称轴x=相对于的不同位置数理化学习(高中版)2a2-a1.-12a.19当a-12,f(x)在[a,-12)是减函数,在(-12,+)上是增函数,则f(-12)最小,即f m i n(x)=f(-12)=34- a.当a>-12时,f(x)在[a,+)是增函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.综合以上,f(x)的最小值是f m i n(x)=34-a,(a-12),a2+1,(-12<a12), 34=a,(a>12)评析:本题经历了三次分类讨论的过程:第一次,为讨论函数f(x)的奇偶性,对a=0,a 0分类;第二次,为去掉绝对值符号,对x a 和x<a分类;第三次,为求函数f(x)的最小值对a12,a>12和a-12,a>-12分类.三、解含绝对值的不等式例3解关于x的不等式:|x-a|x> a.解:因为x0,原不等式同解于:()x>0,|x-a|>ax,或()x<0,|x-a|<ax.(1)当a=0时,化为x>0,|x|>0,或x<0,|x|<0.解集为{x|x>0}.(2)当a>0成立,显然()无解.()化为x>0,x-a>ax或x-a<-a x,即x>,()x>或x<+当a=1时,化为x>0,x<12.解集为:{x|0<x<12}.当a>1时,化为x>0,x<a1-a或x<a1+a,即x>0,x<a1+a.解集为{x|0<x<a1+a}.当0<a<1时,化为x>0,x>a1-a或x<a1+a.因为a1-a>a1+a>0,所以解集为{x|0<x<a1+a或x>a1-a}.(3)当a<0时,由()得x>0.化为x>0或x<0,-ax<x-a<ax,即x>0或x<0,x<a1-a,(1+a)x> a.则x>0或x<a1-a,(1+a)x> a.当a=-1时,化为x>0或x<-12,解集为{x|x>0或x<-12}.当a<-1时,化为x>0或x<a1-a,x<a1+a.因为<<+所以解集为数理化学习(高中版)1-a aa1a.a1-aa1a.20{x|x>0或x<a1-a}.当-1<a<0时,化为x>0或x<a1-a,x>a1+a.因为a1+a<a1-a<0,所以解集为{x|x>0或a1+a<x<a1-a}.评注:本题看似平淡,实则平中见奇,常中见新,题目以简洁的形式出现,把一次不等式、绝对值不等式、分式不等式及含参不等式很自然地结合在一起,很好地体现了新教材对这些不等式的解法的基本要求,并对变量x及参数a 的双重标准进行分类讨论.浙江省绍兴县柯桥中学(312030)赵传义灵活新颖综合交融的数列试题近几年高考数列试题灵活新颖,综合交融,考查了学生一般数学能力.局部不难,但综合起来就有一定的深度.强调知识的交融性,在知识的交汇处命题,要求学生对试题有分解能力,有确认的能力.一、与解几结合例1设P1(x1,y1),P2(x2,y2),,P n(x n,y n)(n3,n N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,,a n=|OP n|2构成了一个公差为d(d0)的等差数列,其中O是坐标原点.记S n=a1+a2++a n.(1)若C的方程为x2100+y225=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d 变化时,求S n的最小值;(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及上的一点,对于给定的自然数,写出符合条件的点,,,存在的充要条件,并说明理由.分析:该题的主要条件是长度的平方成等差数列,并且点在二次曲线上,又给出前n项和的记法,在形式上或第一印象给人无法下手的感觉,也就是将条件发散开来后后续手段不多.这时不要慌,要静下心来看看接下来的各小问是将条件向哪个方向发展的.(1)明确了C的方程,给出点P1及S3,求P3.由P1为(10,0),得a1=100.(这里注意!a1=|OP1|2,在条件中给出的不是a1=|OP1|似乎给我们思考带来了一定的方便,但这里又给我们因思维定势犯错误埋下了伏笔,事实上就本题而言a n=|OP n|并不比a n=|OP n|2解决起来困难).又由S3=255=32(a1+a3),得.a3=70即|OP3|2=70.所以x23100+y2325=1,x23+y23=70,得x23=60,y23=10所以3的坐标可以为(5,)数列在这里仅仅起到了由|O|=数理化学习(高中版)C P1nP1P2P n P2110.P1210021。

苏教版初一数学绝对值专题2 绝对值的分类讨论

绝对值的分类讨论【知识概要】我们都知道：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零．即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或者精简为 ⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a 这两个列表是对“绝对值”这一概念的代数化概括，在绝对值的计算和化简方面发挥的作用极大．同时，这一概括也包含了初中数学的一个重要思想——分类讨论．下面我们就来看看“分类讨论”思想是如何渗透到与绝对值有关的题目中的，又是如何去解决这一类题目的．【例题讲解】【例1】<考点：化简>(1)如果a ，b 均为非零有理数，则bb a a +可取的值有个，是； (2)如果a ，b ，c 均为非零有理数，那么cc b b a a ++可取的值有个，是； (3)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201220122011201122111......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是；(4)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201320132012201222112......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是．归纳：当相加的代数式有n 个时，它可取的值有)1(+n 个．当n 为奇数时，可取的值是21+n 对相反数；当n 为偶数时，可取的值是0和2n 对相反数．【例2】<考点：化简取值>a ，b ，c 均为整数，且120132012=-+-a c ba ，试求ac c b b a -+-+-的值．【例3】<考点：零点分段法>(1)化简325-++x x ； (2)化简321++-+-x x x ．【例4】<考点：零点分段法结合最值问题>已知14162+--++=x x x y ，求y 的最大值．【例5】<考点：多个绝对值符号化简>解方程：7122=++-x x ．【例6】<考点：多重绝对值符号化简>求方程312=+-x x 的不同的解的个数．【例7】<考点：带字母的多重绝对值符号化简> 关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的值．【随堂练习】1、若0ab >，求a b ab a b ab++的值．2、三个有理数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且caca bc bc ab ab c c b b a a x +++++=，则代数式321ax bx cx +++的值为多少？3、若a ，b ，c 都是整数，且19919=-+-a c ba ，则a c cb b a -+-+-的值是多少？4、(1)化简1213-++x x ； (2)化简6311---++x x x ．5、非零整数m 、n 满足05=-+n m ，那么所有整数组()n m ,共有多少组？分别是哪些？6、求413=+-x x 的解．。

分类讨论法解绝对值方程

分类讨论法解绝对值方程
汇报人：
绝对值方程的分类绝对值方程的解法绝对值方程的应用绝对值方程的注意事项
绝对值方程的分类类
按照绝对值符号的位置进行分类
按照绝对值符号内的表达式进行分类
按照绝对值符号的解集进行分类
绝对值方程的分类方法
根据绝对值符号的数量进行分类根据绝对值符号的位置进行分类根据绝对值符号内的表达式进行分类根据绝对值符号的性质进行分类
绝对值方程的应用
绝对值方程在数学中的应用
绝对值方程在解线性方程中的应用绝对值方程在解二次方程中的应用绝对值方程在解三次方程中的应用
绝对值方程在解四次方程中的应用绝对值方程在解五次方程中的应用绝对值方程在解六次方程中的应用
绝对值方程在实际问题中的应用
物理问题：如距离、速度、加速度等
工程问题：如长度、宽度、高度等
绝对值方程的解法
一次绝对值方程的解法
定义：方程中含有绝对值符号的方程解法：分两种情况讨论，一种是绝对值符号内为正，另一种是绝对值符号内为负举例：例如|x-1|=2，当x-1>=0时，解得x>=1，当x-1<0时，解得x<1 注意事项：在解绝对值方程时，要注意符号的变化，避免漏解或错解
二次绝对值方程的解法
混淆绝对值符号和负号，导致解方程错误
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未考虑绝对值符号内的正负情况，导致解方程不全面
未考虑绝对值符号内的变量取值范围，导致解方程错误
THANK YOU
汇报人：
• 例题分析：通过例题讲解二次绝对值方程的解法 • 注意事项：在求解过程中需要注意绝对值符号的变换和合并解的合理性
高次绝对值方程的解法

分类讨论思想(初一)

分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。

2024年秋人教版七年级数学上册《专题：绝对值与分类讨论》精品课件

知识点3 解绝对值方程【例3】阅读下列材料. 解方程：｜x＋3｜＝5，我们可以将x＋3视为一个整体，由于绝对值为5的数有两个，所以x＋3＝5或x＋3＝－5，解得x＝2或x＝－8. 请按照上面的解法解方程：｜x－1｜＝3. 解：由题意，得x－1＝3或x－1＝－3，解得x＝4或x＝－2.
【变式3】同学们都知道，｜3－（－1）｜表示3与－1之差的绝对值，实际上也可理解为3与－1两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求｜3－（－1）｜＝ 4 ；（2）找出所有符合条件的整数x，使得｜x－3｜＝4. 解：（2）｜x－1.
同学们，再见！
最新人教版七年级数学上册
专题：绝对值与分类讨论
解题思路：需要去绝对值，但无法确定绝对值内的正负时，则需分类讨论. 知识储备：1.若｜x｜＝3，则x＝ ±3 . 2.若｜－x｜＝5，则x＝ ±5 .
知识点1 绝对值与有理数的运算【例1】已知｜a｜＝4，｜b｜＝5，且ab＜0，求a－b的值. 解：因为｜a｜＝4，｜b｜＝5，所以a＝±4，b＝±5. 因为ab＜0，所以a＝4时，b＝－5；a＝－4时，b＝5. 所以a－b＝4－（－5）＝9或a－b＝－4－5＝－9. 即a－b的值为±9.
【变式1】已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a＞b，求a＋b的值. 解：因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，所以a＝±2，b＝±3. 因为a＞b，所以当a＝2时，b＝－3，则a＋b＝－1；当a＝－2时，b＝－3，则a＋b＝－5. 即a＋b的值为－1或－5.
知识点2 绝对值与约分【例2】已知ab＞0，则｜aa｜＋｜bb｜＝ ±2 . 【变式2】已知abc＜0，则｜aa｜＋｜bb｜＋｜cc｜＝ 1或－3 .

绝对值应用(分类讨论)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论：①__________，分类；②根据__________，筛选排除．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？答：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与的距离为，因此x= ．答：原点，2，±2．问题3：有关绝对值的分类讨论：①，分类；②根据，筛选排除．答：①画树状图；②限制条件．绝对值应用（分类讨论）（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.若，则的值为( )A.4B.C.-4D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值2.若，则的值为( )A.1B.±1C.±7D.1或7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值3.若，则( )A.4B.8C.4或8D.4或-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值4.若，，则( )A.8B.±8C.8或-2D.±2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值5.若，，则( )A.-3B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值6.已知，，且，则a+b的值为( )A.±3B.±13C.3或-13D.-3或13答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值7.若，，且，则x与y的值分别为( )A.或B.或或C.或或D.或或或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值8.已知，，且，则的值为( )A.±3B.-3或-7C.-3或7D.或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值9.若，则的取值共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值。

思维特训(四) 绝对值与分类讨论

思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 ·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎨⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳．典题精练 ·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|.(1)|AB|＝________；(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值．2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c＝1＋1＋1 ＝3；①当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝a a ＋－b b ＋－c c＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值； (2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；①|－12＋0.8|＝________； ①⎪⎪⎪⎪717－718＝________．(2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009. 5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；①|－12|＋|－13|________|－12－13|；①|6|＋|－3|________|6－3|；①|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2019|＝|x－2019|时，求x的取值范围．详解详析1．解：(1)因为|a＋4|＋(b－1)2＝0，所以a＝－4，b＝1，所以|AB|＝|a－b|＝5.(2)当点P在点A左侧时，|P A|－|PB|＝－(|PB|－|P A|)＝－|AB|＝－5≠2，不符合题意；当点P在点B右侧时，|P A|－|PB|＝|AB|＝5≠2，不符合题意．当点P在点A，B之间时，|P A|＝|x－(－4)|＝x＋4，|PB|＝|x－1|＝1－x.因为|P A|－|PB|＝2，所以x＋4－(1－x)＝2，解得x＝－12.2．解：(1)7(2)因为|x－3|＝1，所以x－3＝±1，解得x＝2或4.故x的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x必在－1与3之间，故x－3＜0，x＋1＞0，所以原式可化为3－x＝x＋1，所以x＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x－x－1＝7，解得x＝－2.5；若x的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x－3＋x＋1＝7，解得x＝4.5.综上可得，x的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc＜0，所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c＝－1－1－1＝－3； ①当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为－3或1. (2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.4．解：(1)①21－7 ①0.8－12 ①717－718(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.①因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13|. ①因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.①因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2019同号或x 为0，所以当|x |＋|－2019|＝|x －2019|时，x 的取值范围是x ≤0.。

七年级绝对值分类讨论

七年级绝对值分类讨论嘿，朋友们！今天咱们聊聊绝对值这个东西。

听起来好像很高深，但其实它跟我们的生活其实也有很多关系哦。

想象一下，你心情好，买了很多好吃的，结果发现零花钱不够，最后还是得精打细算。

绝对值就有点像你这个小小的经济危机，它告诉你，别管数字是什么，最终都得看“绝对”值，也就是钱的绝对数量，不是负数也不是正数。

想象一下，咱们在数轴上走。

数轴上有个零点，零点左边是负数，右边是正数。

绝对值就像一个指路牌，告诉你，无论你是从哪个方向出发，最后得的结果都是“正数”，那种正能量满满的感觉！比如说，你和朋友约好一起去玩，结果你迟到了半个小时，这时候你就得算一下，迟到的绝对值就是30分钟。

哦，想想，朋友等得那个心急啊，简直能把一只蚂蚁给急死。

绝对值让你明白，时间是多么宝贵，别让别人等得心里急。

再说说绝对值的分类讨论，这可有意思了。

咱们有正数和负数两种情况。

正数嘛，大家都知道，像你爸妈给你的零花钱，一看就是心里美滋滋的，咱们直接把它拿过来就行了。

可一说到负数，哎呀，真是让人心头一紧。

就好比你借了朋友的钱，结果没能按时还上，这时候绝对值就让你反思一下，欠债总是要还的，不能只顾着花钱。

负数的绝对值其实就是把这个负号去掉，让你知道，自己还得面对现实。

有时候绝对值还会给你带来一些意外的惊喜。

你知道吗？就像考试的时候，题目让你求一个数的绝对值，结果你算出来发现自己做对了，心里那个乐呀，简直比中了彩票还开心。

没错，这种小确幸就是绝对值带来的。

它告诉你，虽然有时候你可能在负数那边挣扎，但只要你努力，总能找到正数的一面。

再聊聊实际应用，绝对值可不仅仅是在课堂上用的。

比如说，打游戏的时候，你的角色遇到了敌人，你的血量下降，绝对值就可以告诉你，你还剩多少血，得赶紧回血。

这时候你要明白，不管血量是多少，最终要面对的都是血量的绝对值。

生命之可贵呀，千万不能让自己处于“负”的状态，要努力回血。

有些小伙伴可能觉得，绝对值听上去那么简单，生活中有什么值得探讨的？其实啊，绝对值的背后隐藏着很多深刻的道理。

北师七年级上册绝对值有关分类讨论

一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．73．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 25．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣ 2 D．﹣2或 46．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 2的值为（）2，则 x +cdx﹣A ．15B ．20 C．﹣20D． 20 或﹣ 20二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为n，则m+n＝．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示的有理数是．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点 3 个单位长度，点B 到点 A 的距离为 2 个单位长度，则点B 对应的数为．第1页（共 14页）14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于2，则（2018 2018 2 ）﹣（﹣ ab）+c＝．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝ a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，试求的值．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．第2页（共 14页）18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．第3页（共 14页）参考答案与试题解析一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数【解答】解：若 m≥ 0，则 |m|﹣ m＝0，若m＜ 0，则 |m|﹣ m＝﹣ m﹣ m＝﹣ 2m＞ 0，即 |m|﹣ m≥ 0，故选： B．2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：① a、 b、 c 三个数都是正数时，a＞ 0， ab＞0， ac＞ 0， bc＞ 0，原式＝ 1+1+1+1＝ 4；②a、 b、 c 中有两个正数时，设为 a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝ 1+1﹣ 1﹣1＝0；设为 a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝ 1﹣ 1+1﹣1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1+1＝﹣ 2；③a、b、c 有一个正数时，设为 a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0，第4页（共 14页）则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1+1﹣ 1＝﹣ 2；设为 a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1+1 ﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；④ a、 b、 c 三个数都是负数时，即a＜0， b＜ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＞ 0， bc＞0，原式＝﹣ 1+1+1+1＝ 2．综上所述，的可能值的个数为4．故选： A．3．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．【解答】解： A．若 |a|＝ a，则 a 为正数或0，故结论不成立；B．若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 互为相反数或相等，故结论成立；C．若 |a|＞ a，则 a 为正数，故结论不成立；D ．若 |a|＞ |b|，若 a， b 均为负数，则a＜b，故结论不成立；故选： B．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 2【解答】解：∵ |a|＝ 5， |b|＝ 7，∴ a＝± 5， b＝± 7第5页（共 14页）∵a+b＞0，∴ a＝± 5． b＝ 7，当a＝5， b＝ 7 时， a﹣ b＝﹣ 2；当a＝﹣ 5， b＝ 7 时， a﹣b＝﹣12；故 a﹣b 的值为 2 或﹣ 12．故选： B．5．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣2 D．﹣2或 4【解答】解：∵ AB＝ |3﹣（﹣ 1）|＝ 4，点 P 到 A、B 两点的距离之和为设点 P 表示的数为 x，∴点 P 在点 A 的左边时，﹣ 1﹣ x+3﹣ x＝6，解得： x＝﹣ 2，点P 在点 B 的右边时， x﹣ 3+x﹣（﹣ 1）＝6，解得： x＝ 4，综上所述，点P 表示的数是﹣ 2 或 4．故选： D．6．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 22，则 x +cdx﹣6，的值为（）A ．15B ．20 C．﹣ 20 D． 20 或﹣ 20【解答】解：根据题意知a+b＝ 0，cd＝ 1， x＝± 2，则原式＝（± 2）4+1×（± 2）2﹣＝ 16+4＝ 20，故选： B．二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝ 7 ．【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1 或﹣1．第6页（共 14页）又＝ 1，则其中必有两个1 和一个﹣ 1，即 a， b，c 中两正一负．则＝﹣ 1，则 6﹣＝ 6﹣（﹣ 1）＝ 7．故答案为： 7．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝﹣．【解答】解：∵由题意可知： 3a﹣ b＜ 0， a+2b＞ 0， a＜0，∴b﹣ 3a﹣（ a+2b）＝﹣ a．整理得：﹣ b＝ 3a．∴．故答案为：﹣．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为± 3 ．【解答】解：∵ |a|＝ m+1，|b|＝ m+4，∴a＝±（ m+1）， b＝±（ m+4）当 a＝m+1，b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |m+1﹣ m﹣ 4|＝ 3|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∵m＞ 0∴2m+5 ＞ 0∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|当a＝m+1，b＝﹣ m﹣ 4 时|a﹣ b|＝ |m+1+ m+4|＝ 2m+5|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当a＝﹣ m﹣1， b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1﹣m﹣ 4|＝ |﹣ 2m﹣5|＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当 a＝﹣ m﹣1， b＝﹣ m﹣4 时第7页（共 14页）|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1+m+4|＝ 3∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|∴a＝m+1 ，b＝﹣ m﹣ 4 或 a＝﹣ m﹣ 1， b＝ m+4∴a+b＝m+1﹣ m﹣ 4＝﹣ 3或a+b＝﹣ m﹣ 1+ m+4 ＝ 3故答案为：± 3．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为 n，则 m+n＝0 ．【解答】解：∵ a， b， c 都不等于 0，∴有以下情况：①a， b， c 都大于 0，原式＝ 1+1+1+1 ＝ 4；② a， b， c 都小于 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1﹣ 1＝﹣ 4；③a， b， c，一负两正，不妨设 a＜ 0， b＞ 0， c＞0，原式＝﹣ 1+1+1﹣ 1＝ 0；④a， b， c，一正两负，不妨设 a＞ 0， b＜ 0， c＜0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝ 0；∴ m＝ 4， n＝﹣ 4，∴ m+n＝ 4﹣4＝ 0．故答案为： 0．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【解答】解：①当 x， y 中有二正，＝1+1﹣ 1＝1；②当 x， y 中有一负一正，＝1﹣ 1+1＝1；③当 x， y 中有二负，＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．故代数式的最大值是1．故答案为： 1．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示第8页（共 14页）的有理数是﹣6或4 ．【解答】解：﹣ 1﹣ 5＝﹣ 6，或﹣ 1+5＝4．故点 N 表示的有理数是﹣6或 4．故答案为：﹣ 6或 4．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点3 个单位长度，点 B 到点 A 的距离为2 个单位长度，则点 B 对应的数为﹣1或﹣5 ．【解答】解：∵在数轴上，点 A 所表示的数为﹣ 3，∴到点 A 的距离等于 2 个单位长度的点所表示的数是：﹣3+2＝﹣ 1 或﹣ 3﹣ 2＝﹣5．故答案为：﹣ 1或﹣5．14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于 2，则（2018 2018 2）﹣（﹣ ab）+c＝ 3 ．【解答】解：由题意知x+y＝ 0， ab＝1， c＝ 2 或 c＝﹣ 2，则 c2＝ 4，2018 2018所以原式＝ 0 ﹣（﹣ 1）+4＝ 0﹣ 1+4＝ 3，故答案为： 3．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．【解答】解：（ 1）∵ ab＞0， a+b＜ 0，∴a＜ 0， b＜ 0∴＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；（ 2）当 a、 b、 c 同正时，＝ 1+1+1＝3；当 a、b、 c 两正一负时，＝ 1+1﹣ 1＝1；当 a、b、 c 一正两负时，＝﹣ 1﹣1+1＝﹣1；当 a、b、 c 同负时，＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；（3）∵ a+b+c＝ 0，∴b+c＝﹣ a， a+c＝﹣ b， a+b＝﹣ c∴＝+ ﹣＝﹣﹣+又∵ abc＜ 0，∴当 c＜0， a＞ 0， b＞ 0 时，原式＝﹣﹣+＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；当 c＞ 0， a 或 b 为负时，原式＝﹣﹣+＝ 1﹣ 1+1＝ 1．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数 a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求的值．【解答】解：（ 1）当 a＝5 时，＝ 1；（ 2）当 a＝﹣ 2 时，＝﹣ 1；（ 3）若有理数a 不等于零，当a＞0 时，＝ 1，当 a＜ 0 时，＝﹣ 1；（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，当a， b 是同正数，＝ 2，当 a，b 是同负数，＝﹣ 2，当 a，b 是异号，＝ 0．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．【解答】解：∵ a、 b、 c 是三个非零有理数，∴＝1＝1 或﹣ 1，═ 1 或﹣ 1，＝1 或﹣ 1，当a、b、 c 都是正数，原式＝ 1+1+1＝ 3；当a、b、 c 只有两个正数，原式＝ 1+1﹣ 1＝ 1；当a、b、 c 只有一个正数，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 1；当 a、b、 c 都是负数，原式＝﹣1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3．∴x＝ 3， y＝﹣ 3，∴x÷（﹣ 4y）＝ 3÷ 12＝．18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．【解答】解：（ 2）①当 a，b， c 都为正数时： x＝+﹣＝ 1+1﹣ 1＝1．②当 a，b 为正， c 为负时： x＝+ ﹣＝1+1+1 ＝3．当 a，c 为正， b 为负时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣1．当 b，c 为正， a 为负时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1﹣1＝﹣ 1．③当 a，b 为负， c 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．当 a，c 为负， b 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1+1 ＝1．当 b，c 为负， a 为正时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1+1＝1．④当 a，b， c 都为负数时：x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1+1＝﹣ 1．综上所述 x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．（3）∵ a， b， c 均不为零，且 a+b+c＝0，∴ a， b， c 为两正一负或两负一正．∴ ①当 a， b， c 为两正一负时：+ + ＝﹣﹣﹣＝﹣ 1﹣ 1+1 ＝﹣1．②当 a，b， c 为两负一正时：+ + ＝﹣﹣﹣＝ 1+1 ﹣ 1＝ 1．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）如图所示：由数轴可知 |c|＞ a＞b；（ 2）由数轴可知：b+c＜ 0， c﹣ 1＜ 0， b﹣ a＜ 0，则n＝ |b+c|﹣ |c﹣ 1|﹣ |b﹣ a|＝﹣ b﹣ c+c﹣ 1+b﹣ a＝﹣ 1﹣ a，即a+n＝﹣ 1，∴1﹣ 2017?（ n+a）2018＝1﹣ 2017×（﹣ 1）2018＝1﹣ 2017＝﹣ 2016；（3）① 当点 M 在 AB 的右侧时，设点 M 对应的数为 x，∵点 A 对应的数是，点 B 对应的数是点﹣ 2，∴B M ＝x+2， AM＝ x﹣，∵B M ＝3AM ，∴x+2 ＝3（ x﹣），x+2 ＝ 3x﹣，x＝；②当点 M在AB的上时，此时， BM ＝ x+2，AM ＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴x+2 ＝3（﹣ x）x+2 ＝﹣ 3x，x＝；③当点 M 在 AB 的左侧时，此时， BM ＝﹣ 2﹣ x， AM＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴﹣ 2﹣ x＝ 3（﹣ x）﹣ 2﹣ x＝﹣ 3x，x＝与 M 对应的数是负数相矛盾，所以 AB 的左侧不存在这样的点M 因此点 M 对应的有理数是或．。