安徽省淮南市高考数学一诊试卷(理科)

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40 B．60 C．80 D．1005．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（）A．10 B．9 C．8 D．56．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f （log4184）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0 C．D．3x±y＝011．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC 外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．[选做题]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵P＝{x|﹣1＜x＜1}，，∴P∪Q＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：∵f（x）＝x2（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝（﹣x）2（e﹣x﹣e x）＝﹣x2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y＝x2，是增函数x∈（0，+∞），f（x）＞0，y＝e x﹣e﹣x是增函数x∈（0，+∞），y ＞0，f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40 B．60 C．80 D．100【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．【解答】解：二项展开式的通项为＝．令，得k＝2．因此，二项展开式中x4的系数为．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．5．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（）A．10 B．9 C．8 D．5【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0，即cos2A＝，A为锐角，∴cos A＝，又a＝7，c＝6，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝b2+36﹣b，解得：b＝5或b＝﹣（舍去），则b＝5．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由已知，结合向量加法的平行四边形法则可知可知•（）＝2，展开后可求．【解答】解：平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，又∵，∴•（）＝2，∴++＝2，即9﹣+﹣1×3＝2，∴＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．7．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有120种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B、C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D、C有2+1×1＝3种选择，不同的涂色方案有5×4×2×3＝120种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．【分析】求得f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．【解答】解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f （log4184）＝（）A．﹣B．C．D．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（），由此能求出结果．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0 C．D．3x±y＝0【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S＝|PF1|•|IF|＝|PF1|，S＝|PF2|•|IG|＝|PF2|，S ＝|F1F2|•|IE|＝|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵，∴|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，两边约去得：|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴3a＝c，b＝＝2a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故选：A．【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数y＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T＝＝﹣（﹣）＝π，可得：ω＝2．再由五点法作图可得 2×（﹣）+φ＝0，可得：φ＝．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）＝sin2（x+）的图象向右平移|m|（m＜0）个单位长度，可得g（x）＝sin2（x﹣|m|+）的图象，由于：所得图象关于直线x＝对称，可得：sin2（﹣|m|+）＝±1，可得：2（﹣|m|+）＝+kπ，解得：|m|＝﹣kπ，k∈Z，由于：m＜0，可得：m＝kπ﹣，k∈Z，可得：当k＝0时，m的最大值为：﹣．故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin （ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据新定义由[OP]＝|x|+|y|＝1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是2的正方形，求出正方形的面积即可；（2）运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[OP]的最小值；（3）根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x﹣y|，把y＝kx+1代入即可得到当[OP]最小的点P 有无数个时，k等于1或﹣1；而k等于1或﹣1推出[OP]最小的点P有无数个，得到k ＝±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件；（4）把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得[OP]＝|x|+|y|的最大值说明命题正确．【解答】解：（1）由[OP]＝2，根据新定义得：|x|+|y|＝2，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且x+y＝2（0≤x≤2，0≤y≤2），画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）P（x，y）为直线：上任一点，可得y＝1﹣x，可得|x|+|y|＝|x|+|1﹣x|，当x≤0时，[OP]＝1﹣（1+）x≥1；当0＜x＜时，[OP]＝1+（1﹣）x∈（1，）；当x≥时，可得[OP]＝﹣1+（1+）x≥，综上可得[OP]的最小值为1，故（2）正确；（3）∵|x|+|y|≥|x+y|＝|（k+1）x+1|，当k＝﹣1时，|x|+|y|≥|1|＝1，满足题意；而|x|+|y|≥|x﹣y|＝|（k﹣1）x﹣1|，当k＝1时，|x|+|y|≥|﹣1|＝1，满足题意．∴“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k＝±1”，（3）不正确；（4）∵点P是椭圆上任意一点，则可设x＝3cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π），[OP]＝|x|+|y|＝3cosθ+sinθ＝sin（θ+φ），θ∈[0，]，∴[OP]max＝，（4）正确．则正确的结论有：（1）、（2）、（4）．故选：D．【点评】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝ 2 ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由直线方程求出直线过点（0，1），从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；【解答】解：∵直线x﹣my+m＝0过点（0，1），即抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，﹣1）的距离的平方，则由图象可知，DA距离最小，此时（x+4）2+（y+1）2的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线和圆的位置公式是解决本题的关键．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝56 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】推导出a4＝8，数列{a n}的前7项和S7＝，由此能求出结果．【解答】解：等差数列{a n}中，点在经过点（4，8）的定直线l上，∴a4＝8，∴数列{a n}的前7项和S7＝＝56．故答案为：56．【点评】本题考查等差数列前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为{3} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；4J：换元法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n＝f（x），利用根与系数之间的关系得到n2﹣nt﹣15＝0的两根之积n1n2＝﹣15，利用数形结合进行讨论求解即可．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝＝＝＝，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜﹣1，f（x）递减．即有f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣2e；在x＝3处取得极大值f（3）＝，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣2e×═﹣，即当n1＝，则n2＝﹣2e，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则﹣2e＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜﹣2e，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当﹣2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＝﹣2e，则n2＝，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜﹣2e，则0＜n2＜，此时y＝n1和f（x）有0个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣＝0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m＝3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）求得首项和公差即可；（2）由（1）可得a n b n，再由错位相减求和得T n．【解答】解：（1）∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1+d＝3①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1a7，∴（a1+2d）2＝a1（a1+6d）②由①②得：或，当时，a n＝3当时，a n＝n+1；（2）∵a n≠a1（当n≥2时），∴d≠0，∴a n＝n+1，∴b n＝2n+1，∴a n b n＝（n+1）2n+1，∴T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）2n+1①2T n＝2•23+3•24+4•25+…+（n+1）2n+2②①﹣②得﹣T n＝4+22+23+24+…+2n+1﹣（n+1）2n+2＝4+﹣（n+1）2n+2＝﹣n•2n+2∴T n＝n•2n+2【点评】本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，求解在[60，100]的频率即可．（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．（3）从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据题意：6（0分）或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]的频率为：（+++）×10＝；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于6（0分）的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，，，．ξ的分布列为：ξ012pξ的数学期望Eξ＝．【点评】本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC 外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】34：方程思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】（1）根据题意，利用二倍角公式求解即可；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，得四边形ABEC为平行四边形，推出CE＝AB；利用余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，求出CE，再求三角形ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示，∠BOC＝2∠BAC，∴cos∠BOC＝cos2∠BAC＝1﹣2sin2∠BAC＝﹣，∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴CE＝AB；在△ACE中，AE＝2AD＝3，AC＝，∠ACE＝π﹣∠BAC，cos∠ACE＝﹣cos∠BAC＝﹣＝﹣；由余弦定理得，AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，即（3）2＝（）2+CE2﹣2×•CE×（﹣），解得CE＝3，∴AB＝CE＝3，∴S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝×3××＝．【点评】本题考查解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换与计算能力，是中档题．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，利用AQ⊥AF2以及得出点Q的坐标，将直角△AQF2的外接圆与直线相切转化为其外接圆圆心F1到该直线的距离等于半径，可求出c的值，进而得出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；（2）令，得出t≠0，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段MN的中点E的坐标，将条件“以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形”转化为PE⊥MN，得出这两条直线的斜率之积为﹣1，然后得出m的表达式，利用不等式的性质可求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则点F1的坐标为（﹣c，0），点F2的坐标为（c，0），设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，如下图所示，，，∵，则x0+c+2c＝0，所以，x0＝﹣3c，则点Q的坐标为（﹣3c，0），∵直线AF2与直线AQ垂直，且点A（b，0），所以，，，由，得b2＝3c2，则，．△AQF2为直角三角形，且F2Q为斜边，线段F2Q的中点为F1（﹣c，0），△AQF2的外接圆半径为2c．由题意可知，点F1到直线的距离为，所以，c＝1，a＝2c ＝2，，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k≠0，并设，则直线l的方程为x＝ty+1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由韦达定理得，．∴，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则PE⊥MN，则k PE•k MN＝﹣1，所以，k PE＝﹣t．由两点连线的斜率公式可得，得．由于k≠0，则，所以，t2＞0，所以，．因此，在x轴上存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m 的取值范围是．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，同时也考查了向量的坐标运算，属于中等题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f （x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞），＝，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．（2）推导出f（x1）﹣f（x2）＝，令h（x）＝，（），则＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），∴f（x）的定义域为（0，+∞），＝，…．（1分）令g（x）＝2x2﹣ax+2，△＝a2﹣16，对称轴x＝，g（0）＝2，当△＝a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…（2分）当△＝a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…（3分）②若a＞4，令f′（x）＝0，得，，当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（4分）综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（5分）（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，又∵，a＝2（），，e+＜＜3+，又0＜x1＜1，解得．…（7分）∴f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln＝﹣（）•（x1+）+4lnx1＝，…（9分）令h（x）＝，（），则＜0恒成立，∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．…（12分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数值之差的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；由直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，能求出直线l的参数方程．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，由此能求出的最大值和最小值．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2＝4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＝（2cosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．【点评】本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两条线段长的倒数。

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷和答案(理科)

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40B．60C．80D．1005．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a ＝7，c＝6，则b＝（）A．10B．9C．8D．56．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4B．6C．8D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0C．D．3x±y＝0 11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m 个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．[选做题]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．【解答】解：∵P＝{x|﹣1＜x＜1}，，∴P∪Q＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：B．2．【解答】解：＝．故选：C．3．【解答】解：∵f（x）＝x2（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝（﹣x）2（e﹣x﹣e x）＝﹣x2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y＝x2，是增函数x∈（0，+∞），f（x）＞0，y＝e x﹣e﹣x是增函数x∈（0，+∞），y＞0，f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．4．【解答】解：二项展开式的通项为＝．令，得k＝2．因此，二项展开式中x4的系数为．故选：C．5．【解答】解：∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0，即cos2A＝，A为锐角，∴cos A＝，又a＝7，c＝6，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝b2+36﹣b，解得：b＝5或b＝﹣（舍去），则b＝5．6．【解答】解：平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，又∵，∴•（）＝2，∴++＝2，即9﹣+﹣1×3＝2，∴＝8．故选：C．7．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B、C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D、C有2+1×1＝3种选择，不同的涂色方案有5×4×2×3＝120种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p＝＝．8．【解答】解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．9．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）＝﹣＝﹣．故选：A．10．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S＝|PF 1|•|IF|＝|PF1|，S＝|PF 2|•|IG|＝|PF2|，S＝|F 1F2|•|IE|＝|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵，∴|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，两边约去得：|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴3a＝c，b＝＝2a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故选：A．11．【解答】解：由函数y＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T＝＝﹣（﹣）＝π，可得：ω＝2．再由五点法作图可得2×（﹣）+φ＝0，可得：φ＝．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）＝sin2（x+）的图象向右平移|m|（m＜0）个单位长度，可得g（x）＝sin2（x﹣|m|+）的图象，由于：所得图象关于直线x＝对称，可得：sin2（﹣|m|+）＝±1，可得：2（﹣|m|+）＝+kπ，解得：|m|＝﹣kπ，k∈Z，由于：m＜0，可得：m＝kπ﹣，k∈Z，可得：当k＝0时，m的最大值为：﹣．故选：B．12．【解答】解：（1）由[OP]＝2，根据新定义得：|x|+|y|＝2，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且x+y＝2（0≤x≤2，0≤y≤2），画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）P（x，y）为直线：上任一点，可得y＝1﹣x，可得|x|+|y|＝|x|+|1﹣x|，当x≤0时，[OP]＝1﹣（1+）x≥1；当0＜x＜时，[OP]＝1+（1﹣）x∈（1，）；当x≥时，可得[OP]＝﹣1+（1+）x≥，综上可得[OP]的最小值为1，故（2）正确；（3）∵|x|+|y|≥|x+y|＝|（k+1）x+1|，当k＝﹣1时，|x|+|y|≥|1|＝1，满足题意；而|x|+|y|≥|x﹣y|＝|（k﹣1）x﹣1|，当k＝1时，|x|+|y|≥|﹣1|＝1，满足题意．∴“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k＝±1”，（3）不正确；（4）∵点P是椭圆上任意一点，则可设x＝3cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π），[OP]＝|x|+|y|＝3cosθ+sinθ＝sin（θ+φ），θ∈[0，]，∴[OP]max＝，（4）正确．则正确的结论有：（1）、（2）、（4）．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：∵直线x﹣my+m＝0过点（0，1），即抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p＝2；故答案为：2．14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，﹣1）的距离的平方，则由图象可知，DA距离最小，此时（x+4）2+（y+1）2的最小值为5，故答案为：5．15．【解答】解：等差数列{a n}中，点在经过点（4，8）的定直线l上，∴a4＝8，∴数列{a n}的前7项和S7＝＝56．故答案为：56．16．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝＝＝＝，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜﹣1，f（x）递减．即有f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣2e；在x＝3处取得极大值f（3）＝，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣2e×═﹣，即当n1＝，则n2＝﹣2e，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则﹣2e＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜﹣2e，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当﹣2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＝﹣2e，则n2＝，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜﹣2e，则0＜n2＜，此时y＝n1和f（x）有0个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣＝0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m＝3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故答案为：{3}．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1+d＝3①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1a7，∴（a1+2d）2＝a1（a1+6d）②由①②得：或，当时，a n＝3当时，a n＝n+1；（2）∵a n≠a1（当n≥2时），∴d≠0，∴a n＝n+1，∴b n＝2n+1，∴a n b n＝（n+1）2n+1，∴T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）2n+1①2T n＝2•23+3•24+4•25+…+（n+1）2n+2②①﹣②得﹣T n＝4+22+23+24+…+2n+1﹣（n+1）2n+2＝4+﹣（n+1）2n+2＝﹣n•2n+2∴T n＝n•2n+218．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据题意：6（0分）或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]的频率为：（0.028+0.03+0.016+0.004）×10＝0.78；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于6（0分）的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，，，．ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ＝．19．【解答】解：（1）如图所示，∠BOC＝2∠BAC，∴cos∠BOC＝cos2∠BAC＝1﹣2sin2∠BAC＝﹣，∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴CE ＝AB；在△ACE中，AE＝2AD＝3，AC＝，∠ACE＝π﹣∠BAC，cos∠ACE＝﹣cos∠BAC＝﹣＝﹣；由余弦定理得，AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，即（3）2＝（）2+CE2﹣2×•CE×（﹣），解得CE＝3，∴AB＝CE＝3，∴S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝×3××＝．20．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则点F1的坐标为（﹣c，0），点F2的坐标为（c，0），设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，如下图所示，，，∵，则x0+c+2c＝0，所以，x0＝﹣3c，则点Q的坐标为（﹣3c，0），∵直线AF2与直线AQ垂直，且点A（b，0），所以，，，由，得b2＝3c2，则，．△AQF2为直角三角形，且F2Q为斜边，线段F2Q的中点为F1（﹣c，0），△AQF2的外接圆半径为2c．由题意可知，点F1到直线的距离为，所以，c＝1，a＝2c ＝2，，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k≠0，并设，则直线l的方程为x＝ty+1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由韦达定理得，．∴，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则PE⊥MN，则k PE•k MN＝﹣1，所以，k PE ＝﹣t．由两点连线的斜率公式可得，得．由于k≠0，则，所以，t2＞0，所以，．因此，在x轴上存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m的取值范围是．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），∴f（x）的定义域为（0，+∞），＝，…．（1分）令g（x）＝2x2﹣ax+2，△＝a2﹣16，对称轴x＝，g（0）＝2，当△＝a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…（2分）当△＝a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…（3分）②若a＞4，令f′（x）＝0，得，，当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（4分）综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（5分）（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，又∵，a＝2（），，e+＜＜3+，又0＜x1＜1，解得．…（7分）∴f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln＝﹣（）•（x1+）+4lnx1＝，…（9分）令h（x）＝，（），则＜0恒成立，∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．…（12分）[选做题]22．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2＝4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＝（2cosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．[选做题]23．【解答】解：（1），∵f（x）≥3，∴或或解得{x|x≤0或x≥2}，故f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）由函数的解析式得：，∴，∴，即，当且仅当m＝n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m＝n时等号成立，故m+n的最小值为．。

2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)

2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．（5分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（5分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=5．（5分）淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为( ) A ．960B ．1080C ．1560D ．30246．（5分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．7．（5分）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =u u u r u u u r，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO u u u r u u u rg 的值为( )A ．17B ．10C ．172D ．5968．（5分）已知(1)2n x -的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是( ) A ．72B ．358C ．7D ．709．（5分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A8+ B．1) C8+ D．2)10．（5分）已知4x π=是函数()sin()(03f x x ωϕω=+<<，0)ϕπ<<的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是()A ．3[2,2]412k k ππππ-++，k Z ∈ B ．544[,]12343k k ππππ-++，k Z ∈ C ．5[2,2]124k k ππππ-++，k Z ∈ D ．344[,]43123k k ππππ-+-+，k Z ∈ 11．（5分）已知1x =是函数32*12()1()n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= ) A ．1008 B ．1009 C ．2018 D ．201912．（5分）已知()(1)(1)f x ax lnx x lnx =++++与2()g x x =的图象至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．1()22-B ．1(,1)2-C．(2D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为14．（5分）若实数x ，y 满足2000x y x y x y b -⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„…，且2z x y =+的最小值为1，则实数b 的值为15．（5分）已知函数()ex f x ln e x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则14a b+的最小值为 16．（5分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，点O 是坐标原点，则AOB ∆的面积为三、解答题（共70分，答题应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每位考生都必须作答，第22题和23题为选考题，考生根据要求作答） 17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．已知等差数列3{log }n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足2(1)2n n b n n k +=++．（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（Ⅰ）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：||0.75r …时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，35．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix ynxyr -=∑（2）81347i i i x y ==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 21．已知函数1()xlnx a f x x++=，在区间[1，2]有极值．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(sin 1)()a x f x x+>．选考题（10分）：请考生在第（22）、（23）题中任意选择-题作答并在答题卡相应位置涂黑．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-．（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．（5分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（5分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>，反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( )A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=【解答】解：线段AB 的中点为(2,1)，12AB k =-，∴线段AB 的垂直平分线为：2(2)1y x =-+，即230x y --=，AC BC =Q ，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=，故选：D ．5．（5分）淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为( ) A ．960B ．1080C ．1560D ．3024【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①，选出的4盆花中没有菊花，有45120A =种情况，②，选出的4盆花中有1盆菊花，有314544960C C A ⨯⨯=种情况，则一共有1209601080+=种摆法；故选：B ．6．（5分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=，函数为偶函数，当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，D ，f （1）111122=-=->-，∴排除B ，故选：C ．。

安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)

安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 A={2，4，6}，集合 B={1，3，5，7}，则等于（）A . {2，4，6}B . {1，3，5}C . {2，4，5}D . {2，5}2. （2 分） (2020·河南模拟) 已知复数满足 A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限，则复平面内与复数对应的点在（）3. （2 分） (2019·深圳模拟) 设为等差数列的前项和．若，公差为（）A . -2B . -1C.1D.24. （2 分）下列判断，正确的是（）A . 平行于同一平面的两直线平行第 1 页共 14 页，则的B . 垂直于同一直线的两直线平行 C . 垂直于同一平面的两平面平行 D . 垂直于同一平面的两直线平行5. （2 分）已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（） A. B. C. D.6. （2 分） (2019 高一上·玉溪期中) 已知可能是（），则函数与函数的图象A. B.C.第 2 页共 14 页D.7. （2 分）如右图所示的算法流程图中（注：“A=1”也可写成“A:=1”或“ 第 3 个输出的数”, 均表示赋值语句），是 A.1B. C.2D. 8. （2 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下：加工零件 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟） 64 69 75 82 90 经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这两个变量，下列判断正确的是（） A . 成正相关，其回归直线经过点（30，75） B . 成正相关，其回归直线经过点（30，76） C . 成负相关，其回归直线经过点（30，76）第 3 页共 14 页D . 成负相关，其回归直线经过点（30，75）9. （2 分） (2017·四川模拟) 函数 f（x）=sinωx（ω＞0），对任意实数 x 有，那么=（）A.aB.C. D . ﹣a10. （2 分） (2018 高一下·伊通期末) 已知定义在上的偶函数在，则不等式成立的概率是（），且上单调递增，若A. B. C. D.11. （2 分）已知双曲线 C1： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，若抛物线 C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离是 2，则抛物线 C2 的方程是（）A . =8xB. = xC. = x D . =16x12. （2 分）设，，，则（）第 4 页共 14 页A. B. C. D.二、填空题： (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2016 高一下·南市期末) 关于平面向量，，，有下列三个命题： ①若 • = • ，则 = ； ②若| • |=| |•| |，则 ∥ ；③ =（﹣1，1）在 =（3，4）方向上的投影为； ④非零向量和满足| |=| |=| ﹣ |，则与 + 的夹角为 60°．其中真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）14. （1 分）在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）15. （2 分） (2018 高二上·嘉兴月考) 数列满足，，其前项和为，则（1）（2）________； ________．16. （1 分）设变量 x，y 满足约束条件三、解答题： (共 7 题；共 65 分)，则目标函数 z= 的最小值为________17. （10 分） (2016 高二上·开鲁期中) 已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，且 b2+c2=a2+bc．（1）求角 A 的大小；（2）若 b2+c2=4，求△ABC 的面积．第 5 页共 14 页18. （10 分） (2015 高二上·安庆期末) 如图，平面 ABEF⊥平面 ABC，四边形 ABEF 为矩形，AC=BC．O 为 AB 的中点，OF⊥EC．（1）求证：OE⊥FC：（2）若时，求二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值．19. （10 分） (2016·襄阳模拟) 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ξ．求 ξ 的分布列及数学期望 E（ξ）．（结果用分数表示）20. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷文) 已知斜率为的中点为的直线与椭圆交于两点，线段（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:21. （10 分） (2018 高三上·定远期中) 已知函数 f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2＋clnx，且 g(x)在点(1，g(1)) 处的切线方程为 2y－1＝0.（1）求 g(x)的解析式；（2）设函数 G(x)＝若方程 G(x)＝a2 有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围．第 6 页共 14 页22. （10 分） (2017·孝义模拟) 已知在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的参数方程为：，曲线 C2 的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=8，（1）写出 C1 和 C2 的普通方程；（2）若 C1 与 C2 交于两点 A，B，求|AB|的值．23. （5 分）有一块铁皮零件，其形状是由边长为 30cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边形 ABCDE，其中 AF=8cm，BF=6cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN，使得矩形相邻两边分别落在 CD，DE 上，另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上．设 DM=xcm，矩形 DMPN 的面积为 ycm2 ．（1）试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即 x 取何值时），可使得到的矩形 DMPN 的面积最大？第 7 页共 14 页一、选择题： (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题： (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 14 页15-2、 16-1、三、解答题： (共 7 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页共 14 页18-2、 19-1、第 10 页共 14 页19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

安徽省淮南市数学高考理数一诊试卷

安徽省淮南市数学高考理数一诊试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·抚顺模拟) 设集合，，则（）．A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·兰州期中) 已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A . 6B . ﹣6C . 0D .3. （2分）(2014·新课标II卷理) 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A . 10B . 8C . 3D . 24. （2分） (2017高三上·韶关期末) 如图，某地区有四个公司分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=1km，BC=2km，四个公司商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在直线BC，CD上运动，∠MAN=30°，设∠BAM=α，当三角AMN的面积最小时，此时α=（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 某程序框图如图所示，则该程序框图执行后输出的值为（表示不超过的最大整数，如）（）A . 4B . 5C . 7D . 96. （2分） (2017高二上·廊坊期末) 已知命题p：∀x∈R，x2+2x﹣a＞0．若p为真命题，则实数a的取值范围是（）A . a＞﹣1B . a＜﹣1C . a≥﹣1D . a≤﹣17. （2分）若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成长度之比为2︰1的两部分线段，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）若等差数列满足：，且公差，其前项和为．则满足的的最大值为（）A . 11B . 22C . 19D . 209. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·沈河月考) 已知，关于的下列结论中错误的是（）A . 的一个周期为B . 在单调递减C . 的一个零点为D . 的图象关于直线对称12. （2分）已知函数f（x）满足，当x∈[1，4]时，f（x）=lnx，若在区间内，曲线g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同交点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·唐山模拟) 已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则在方向上的投影为________．14. （1分）长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________15. （1分）(2018·陕西模拟) 二项式展开式中含项的系数是________16. （1分）已知，则的值为________三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2017高三上·汕头开学考) 在数列{an}中，首项，前n项和为Sn ，且（1）求数列{an}的通项（2）如果bn=3（n+1）×2n•an ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2017高二下·资阳期末) 为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：愿意做志愿者工作不愿意做志愿者工作合计男大学生610女大学生90合计800（1）根据题意完成表格；（2）是否有95%的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关？参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥K0）0.250.150.100.050.025K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1 ．20. （10分）(2020·泰安模拟) 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．（1）求榷圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．21. （10分）如图是一块地皮，其中，是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量， km， km，．现要从这块地皮中划一个矩形来建造草坪，其中点在曲线段上，点，在直线段上，点在直线段上，设 km，矩形草坪的面积为 km2 ．（1）求，并写出定义域；（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？22. （10分）已知直线的参数方程为 ( 为参数)，曲线C的参数方程为 ( 为参数)．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）若直线与曲线交于两点，求线段的长．23. （10分） (2017高二下·黄冈期末) 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|．（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.(5 分)已知P = {x|— 1<x< 1}, Q=(x |-2<x<J-J, 则PU Q=(2A.(-1.B . (-2, 1) C. (A-, D2. 5 分)空-= )-2+iA . -1+-^-iB . C. - i3.(5分)函数f (x) = x2 (ex-e x)的大致图象为( )D. (—2, T) D. i4.C. D.x4的系数是（A. 40 B .60 C.5.(5分)已知锐角^ ABC的内角A, B, C的对选=7, c= 6,则b=( )80 D. 1002》别为 a, b, c, 23cos A+cos2A= 0, a C. 8 D. 56.(5分)在平行四边形ABCD中，已知AB = 4, AD=3, CP=3PD, AP・BP=2,则AB・AD的值是（）C. 8D. 107.（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）（5分）（2戈+42的展开式中,f （x ） =xlnx,若直线l 过点（0, - e ）,且与曲线y=f （x ）相切，则直11. （5分）如图是函数y=En （ G 算+。

）（3在区间［一的最大值为（A- 12p (x, y),定义[OP] = |x|+|y|,其中O 为坐标原点,对于下列结论:（1）符合［OP ］=2的点p 的轨迹围成的图形面积为 8; （2）设点p 是直线： «K +2V-2=0上任意一点，则［OP ］min=1；（3）设点p 是直线：y= kx+1 （kCR ）上任意一点，则使得“ ［OP ］最小的点有无数个”的必要条件是k= 1;线l 的斜率为（ B. 2 D. e9. （5分）已知奇函数 f(x)满足 f(x) =f(x+4),当 xC (0, 1)时，f(x) =4x,则 f(log 4l84)10. （5分）已知点 2 2P 是双曲线:■-b>0）右支上一点，F I 、F 2分别是双曲 a 2 b 2线的左、右焦点, I 为^PF 正2的内心，若S AIPF .二S △工PFr^S △工FF 成立，则双 1 A D 1& 曲线的渐近线方程为（A . 2V5K±y=0B 8x±y=0C.小士y=0D. 3x± y=0B -7 DY8. （5分）已知函数的图象，将该图象向右平移 |m| （m<0）个单位后，所得图象关于直线对称，则mB.12. （5分）在平面直角坐标系中，设点A 72 -(4)设点p是椭圆式—+y2二1上任意一点，则[0P]9其中正确的结论序号为( )A. (1) (2) (3)B. (1) (3) (4)C. (2) (3) (4)D. (1) (2) (4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.(5分)若直线x- my+m=0经过抛物线x2= 2py (p>0)的焦点，则p=.K-y+2)014.(5分)若x, y满足约束条件• y+2>0 则(x+4) 2+ (y+1) 2的最小值为x+y+2)015.(5分)已知等差数列｛a n｝,若点(n, N*)在经过点(4, 8)的定直线l上，则数列｛a n｝的前7项和S7=.16.(5分)已知函数£&)上六若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为 .三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.(12分)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且Ss=9, a1，电，a7成等比数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a n^5a1 (当n>2时)，数列｛b n｝满足二2 求数列｛ a n b n｝的前n项和T n. 18.(12分)2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市 (简称创文)”的具体规划, 今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分,[60, 80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；(3)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占X,现从评分低于60分的被调查者3中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记 E为群众督查员中老年人的人数，求随机变量E的分布列及其数学期望EE.19.(12分)如图，在锐角△ ABC中，D为边BC的中点，且AgE,配=2^2, O为42 ABC外接圆的圆心，且CQS/BOC=(1)求sin / BAC 的值;(2)求^ ABC的面积.2 220.(12分)设椭圆C: _^_+上:『1 0)的左、右焦点分别为F l, F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且彳+下访二木过A，Q，F2三点的圆恰好与直线1：如-3=0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M, N两点，问在x轴上是否存在点P (m, 0),使得以PM, PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由.21.(12分)已知函数f (x) =x2-ax+21nx (其中a是实数).(1)求f (x)的单调区间；(2)右设2 (e+土)v a<-=—,且f (x)有两个极值点XI, x2 (XI〈X2),求f (x1)- f e 3(x2)取值范围.(其中e为自然对数的底数).［选做题］22.(10分)已知直线l过点P (1, 0),且倾斜角为“，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为p=4cosO.(1)求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；(2)若直线l与圆C交于A, B两点，求丁；_工_的最大值和最小值. |PA| h|PB|［选做题］23.已知函数f (x) = |2x- 1|+|x- 2|.(1)求不等式f (x) >3的解集；(2)若f (工)n>0)对任意xCR恒成立，求m+n的最小值.D n2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.(5 分)已知 P = {x|- 1<x<1} , Q= {x | -2< x<—},则 PU Q=( ) 21D:并集及其运算.11:计算题；37:集合思想；4O:定义法；5J:集合.利用并集定义直接求解.解：. P={x|— 1VXV 1}, Q= {x|-2<X<y},• .PUQ = {x[ 一2<x< 1} = ( - 2, 1).【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.A5:复数的运算.38:对应思想；4A:数学模型法；5N:数系的扩充和复数.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.B . (—2, 1)C.D. (—2, T)2./u 八、l+2i（5分）百C. - iD. i解:l+2i (l+2i) G2-i) -5i -2+i (-2+i) (-2-i) - 5B.A .V 1（e x -e x）的大致图象为（3.C. D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】11:计算题；33:函数思想；44:数形结合法；51:函数的性质及应用.【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可.【解答】解：•••f (x) =x2 (e x— e「x),，f( - x) = ( - x)之(e，_ e*) _ _ x(e x_ e ')_ _ f (x),，f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B, D,y= x2,是增函数xC (0, +8), f (x) >0, y=e x-e x是增函数xC (0, +8), y>0,f (x) = x2 (e x- e x)在(0, +8)是增函数，排除C.(或者)当x一+8时，f (x) 一+oo,故排除C,故选：A.【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力.4.(5分)(2，+心)5的展开式中，x4的系数是( )A. 40B. 60C. 80D. 100【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题；21:阅读型；34:方程思想；49:综合法；5P:二项式定理.【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4,解出相应参数的值，代入通项即可得出答案.【解答】解：二项展开式的通项为“］二*②产.卜=吟2 512令5片二4,得k= 2.因此，二项展开式中x4的系数为砥 /餐。

2021年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)解析版

2021年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）1.若复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是A. 3B.C. 2D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.的一个充要条件是A. B. C. D.4.设是数列的前n项和，若，，则A. B. 1009 C. D. 10105.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是A. B.C. D.7.良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间年变化的数学模型：表示碳14的初始量年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是参考数据：，A. 3450年B. 4010年C. 4580年D. 5160年8.在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且A. B. C. 3 D. 49.在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则A. B. C. D.10.2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有种A. 25B. 60C. 90D. 15011.如图，双曲线F：以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中，，，则F的离心率为A. B. C. D.12.已知两个实数M，N满足，在上均恒成立，记M，N的最大值分别为a，b，那么A. B. C. D.13.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______.14.展开式中，含项的系数为______ .15.设抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且，则______ .16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”法国数学家比内首先证明此公式，是用无理数表示有理数的一个范例.设n是不等式的正整数解，则n的最小值为______ .17.已知数列是等差数列，其前n项和为，且，数列为等比数列，满足，若数列满足，求数列的前n项和18.的内角A，B，C的对边为a，b，c，且求的值；若的面积为，求的最小值.19.中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分关注没关注合计男女完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.附：，其中20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为求椭圆C的标准方程；点O为坐标原点，求面积S的取值范围.21.已知函数若在R上是减函数，求m的取值范围；如果有一个极小值点和一个极大值点，求证：有三个零点.22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；已知直线l：为参数，若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值.23.设函数解不等式；若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围.答案和解析【答案】1. A2. B3. C4. B5. A6. D7. C8. D9. A10. D11. C12. B13. 214. 8015. 216. 917. 解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，可得，，解得，所以；由，，可得，，即，可得，解得，则；，所以……18. 解：，，由正弦定理知，，，即，由余弦定理知，由知，，，，又的面积，，由余弦定理知，，即，，当且仅当时，等号成立，，，故的最小值为19. 解：关注没关注合计男303060女122840合计4258100所以有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”．因为随机选一高三女生，对此事关注的概率又因为，所以随机变量X的分布列为：X0123P可得：20. 解：因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，又，所以，所以椭圆C的标准方程为由题意可设直线l的方程为，，，由，可得，显然且，，令，易知S在单调递减，从而21. 解：由，得，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，在R上是减函数，则恒成立，所以，所以，故m的取值范围是证明：因为有一个极小值点和一个极大值点，所以由可知，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，因为，，，所以，，使，所以，即，单调递减，，即，单调递减，，即，单调递增，，即，单调递减，因为，所以，又因为，由，得，所以由零点存在定理，得在和各有一个零点，又，结合函数的单调性可知，有三个零点．22. 解：由，得，又，，，即曲线C的直角坐标方程为，点P的直角坐标为把直线l：为参数，代入，整理得，，设A、B对应的参数分别是、，则，于是23. 解：当时，，得，所以；当时，，得，所以；当时，，得，所以综上，原不等式的解集为；方程没有实数根，即没有实数根，令，当且仅当时，即时等号成立，即值域为若没有实数根，则，即，所以实数m的取值范围为【解析】1. 解：复数，则z的虚部是故选：利用复数的运算法则和复数的概念即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的概念，属于基础题．2. 解：集合或，，则故选：化简集合A、B，根据交集的定义写出本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3. 解：A：当，时，成立，但不成立，错误，B：当，时，成立，但不成立错误，C：，正确，D：当，时，成立，但不成立，错误，故选：根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充要条件的判定，根据不等式的关系和性质是解决本题的关键，属于基础题．4. 解：若，，则，，，，…，所以的最小正周期为3，则故选：计算数列的前几项，可得的最小正周期为3，计算可得所求和．本题考查数列的求和，求得数列的周期为解决问题的关键，考查运算能力，属于中档题．5. 解：设，，，函数是的增函数，，当时，函数是R上的减函数，，，即，则a，b，c的大小关系为，故选：由题意利用幂函数、指数函数的单调性，判断a，b，c的大小关系．本题主要考查幂函数、指数函数的单调性，属于基础题．6. 解：由图象可知，函数图象关于y轴对称，而为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；且，而，，故排除A，故选：由图象可知，所求函数应为偶函数，且满足，结合选项判断即可．本题考查函数的图象及性质的运用，考查数形结合思想，属于基础题．7. 【分析】设良渚遗址存在的时期距今大约x年，由求解x即可．本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．【解答】解：设良渚遗址存在的时期距今大约x年，则，即，所以，解得，故选：8. 解：由，M是线段AB的中点，可得，所以，由，则，则A为线段BC的中点，如图所示，所以，在中，故选：由已知可得，从而可求得，由，可得A为线段BC的中点，利用向量数量积的几何意义即可求解．本题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．9. 解：在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，，，，又，，，故选：由题意利用任意角的三角函数的定义求得，由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10. 解：根据题意，分2步进行分析：①将5名工作人员分为3组，若分为的三组，有种分组方法，若分为的三组，有种分组方法，则有种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到A、B、C三个村调研，有种情况，则有种选派方法，故选：根据题意，分2步进行分析：①将5名工作人员分为3组，②将分好的三组全排列，安排到A、B、C三个村调研，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．11. 解：如图，不妨设，，则，，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②②-①得，，则故选：连接CA，BD，分别在，中，用与结合余弦定理可求解．本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．12. 解：，，所以，，即故选：分别求出M，N的最大值即可额得出答案．本题考查函数的额最值，解题中注意放缩法的应用，属于中档题．13. 解：作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，得，此时z的最大值为，故答案为：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14. 解：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中含项的系数为，故答案为：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15. 解：设，则由，可得，由抛物线的方程可得，过A，B分别作准线的垂线交于，，过B作的垂线交，OF分别于C，D点，则∽，，即，解得，，故答案为：过A，B分别作准线的垂线，再过B作的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出，的值，进而求出比值．本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线位置关系，属于中档题．16. 解：不等式，化为：，，由数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，，可得：，因此n的最小值为：故答案为：不等式，化为：，可得，利用斐波那契数列及其通项公式即可得出结论．本题考查了斐波那契数列的通项公式及其应用、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. 结合和正弦定理将已知等式中的角化边，再由余弦定理，得解；先由同角三角函数的平方关系求得的值，再由，推出，然后结合余弦定理和基本不等式，即可得解．本题主要考查解三角形，还运用了基本不等式，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式、余弦定理和基本不等式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19. 利用已知条件填写列联表，情况，推出结果即可．求出随机选一高三女生的概率，得到，写出X的分布列，然后求解期望即可．本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．20. 利用椭圆定义可得的周长为，列出两个方程，，可计算出a，c，从而得出标准方程．设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出，把的面积表示出来，用函数单调性求取值范围．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21. 求出，令，利用导数求出，由题意，即可求得m的取值范围；由可得，设，利用导数求得的单调性，由零点存在定理即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，零点存在性定理的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．22. 两边同时乘以，由，可得直角坐标方程以及点P的直角坐标．将直线的参数方程代入C方程，利用参数t的几何意义即可求解．本题考查解得曲线的极坐标方程的求法与应用参数方程的应用，是中档题．23. 分段讨论去绝对值解不等式即可；先将题意转化为没有实数根，再求值域，利用取值为值域的补集，计算即得结果．本题考查绝对值不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利于“零点分段法”去绝对值进行求解，体现了分类讨论思想；通过构造函数，利用函数图象求解，体现了函数与方程思想．另外还考查不等式恒成立问题，通常可转化成函数最值来处理．。

安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(1)

一、单选题1. 命题“x >0，x 2+x +1>0”的否定为（）A ．x 0≤0，x 02+x 0+1≤0B．x ≤0，x 2+x +1≤0C ．x 0>0，x 02+x 0+1≤0D．x >0，x 2+x +1≤02. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（）A ．癸未年B ．辛丑年C ．己亥年D ．戊戌年3. 设全集，集合，，则（）A．B．C．D．4. 已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（）A ．在上为减函数，且B ．在上为减函数，且C ．在上为增函数，且D ．在上为增函数，且5.记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．6. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7. 明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（）A．B．C．D．8. 盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止．则取出3个球停止的概率为（）A．B．C．D．安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(1)安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A．B．C ．四边形的面积为D ．平行六面体的体积为10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（）A ．当且仅当时，B．在上的投影向量为C ．存在θ，使得D ．存在θ，使得11.若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）A．B．C ．，D．12.关于函数，则下列结论正确的有（）A．是奇函数B．的最小正周期为C．的最大值为D ．在单调递增13. 在中，角A ，B ，C的对边分别为，，则______.14.若________.15. 在等腰三角形ABC 中，，顶角为120°，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_________．16.某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：(1)根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？(2)国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：分贝；中度污染：分贝；轻度污染：分贝；较好：分贝；好：分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天）17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．18. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n 维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①，；②，，；③，，，．(2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．不全为零19. 已知函数的导函数为.(1)证明：函数有且只有一个极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围.20. 如图1，正方形，，延长到达，使，，两点分别是线段，上的动点，且.将三角形沿折起，使点到达的位置（如图2），且.（1）证明：平面；（2）当，分别为和的中点时，判断的长度是否最短并求出；（3）当的长度最短时，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.21. 如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角.（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′—BC—E的正切值.。

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一、单选题二、多选题1. 已知复数满足(其中为虚数单位)，则（）A ．3B．C ．2D．2. 已知三棱锥中，平面ABC ，，，点，分别是线段AB ，BC 的中点，直线AF ，CE相交于点，则过点的平面与截三棱锥的外接球所得截面面积的取值范围为（）A．B．C．D．3. 若函数存在单调递减区间，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．4. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n 为（）A ．12B ．8C ．5D ．95. 若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期函数且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A．B．C ．3D ．57. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．8. 已知集合，，则A．B．C．D．9. 记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（）A．B．C．D．10. 已知曲线，直线l 过点交于A ，B 两点，下列命题正确的有（）A ．若A 点横坐标为8，则B．若，则的最小值为6C ．原点O 在AB 上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是11. 下列说法正确的是（）安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(1)安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据中的一个点B．某中学有高一学生人，高二学生人，高三学生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则为C ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D．已知随机变量，，且，若，则12.已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（）A．数列是等差数列B ．数列是等比数列C．数列是等差数列D ．数列是等比数列13. 已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.15. 双曲线的离心率为2，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程是______．16. 已知函数，．(1)若，证明：当时；(2)当时，，求a 的取值范围．17. 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n 次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n 次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.18. 如图，在四棱锥中，，，，．（1）求证：．（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列是一个公比为的等比数列，是数列的前n 项和，再从条件①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n 项和的最小值.条件①：成等差数列；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.21. 已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求．。

安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题

一、单选题1. 如图，直三棱柱的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（）A．B．C．D．2. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论错误的是（）A ．点共面B．平面平面C．D ．平面3. “”是“”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如果棱台的两底面积分别是S ，S′，中截面的面积是S 0，那么A ．2＝＋B ．S 0＝C ．2S 0＝S ＋S′D ．S 0＝2S′S5. 已知，若，则（）A．B．C．D．6. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m ，深度为0.6m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题二、多选题三、填空题A ．1.35mB ．2.05mC ．2.7mD ．5.4m7. 已知函数，则函数的零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．48. 下列说法中正确的是A．若函数为奇函数，则；B．若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列；C ．在中，是的充要条件；D ．若两个变量的相关系数为，则越大，与之间的相关性越强.9. 关于的展开式，下列结论正确的是（）A．的展开式中不含字母x的项为B．的展开式中不含字母x的项为C．的展开式中不含字母y的项为D．的展开式中不含字母y的项为10. 设为复数，则下列命题中一定成立的是（）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么11. 已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若，，则B．若，，则C ．若，则“”是“”的充分不必要条件D ．若，，则“”是“”的必要不充分条件12. 下列说法中正确的是（）A ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B．若随机变量，且，则C ．若随机变量，且，则D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上13. 已知向量，，且，则______.四、解答题14.已知圆锥的底面半径长度为1，母线的长度为2，球与圆锥的侧面相切，切于底面圆心H ，球与球、圆锥的底面和侧面均相切，球与球、圆锥的底面和侧面均相切，照此规律进行下去，得到一系列球，且球与圆锥底面的切点均在半径上，记球的半径为，表面积为，则______，______．15. 若函数的图像相邻的两个对称中心为，，将的图像纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图像，则__________．16.在下表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于，每列上的数从上到下都成等差数列，正数表示位于第行第列的数，其中………………………………………………………………（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的计算公式；（Ⅲ）设数列满足的前项和为，试比较与的大小，并说明理由．17. 已知函数，（1）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（3）证明：，．18.如图，四边形为菱形，，，平面平面，，，，点在线段上（不包含端点）．(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．19. 如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，．(1)设的中点为，证明垂直于轴(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值．20. 魔方，又叫鲁比克方块，通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由26个色块组成.魔方竞速是一项手部极限运动，常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：x（天1234567）y（秒99994532302421）现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1）？参考数据：（其中）184.50.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，现规定只可以扭动最外层的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.21. 设常数，函数．（1）当时，判断并证明函数在的单调性；（2）当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当时，若存在区间，，使得函数在，的值域为，，求实数的取值范围．。

安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(2)

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 圆与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切2. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．3. 已知集合U ＝{2，3，6，8}，A ＝{2，3}，B ＝{2，6，8}，则（∁U A ）∩B ＝（）A ．{6，8}B ．{2，6，8}C ．{2，3，6，8}D ．{3}4.已知双曲线方程为：，则下列叙述正确的是（）A．焦点B．渐近线方程：C．离心率为D．实轴长为5. 在中，，，且AB 边上的高为，则满足条件的的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36.已知，则（）A．B．C．D．7.记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（）A ．数列是等差数列B ．数列是递减数列C ．数列是递减数列D ．当时，取得最大值8. 若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（）A．B．C．D．9. 若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______．10. 角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线的中心，角的终边与曲线的交点A 的横坐标是，角的终边与曲线的交点是B ，则过B 点的曲线的切线方程是________（用一般式表示）11. 如图，菱形ABCD 的边长为4，，M 为DC 的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________．12.正项等比数列满足，且，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为____.13. 已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围．安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(2)安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(2)14. 已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积、体积；（2）在如图的正视图中，如果点为所在线段中点，一只蚂蚁沿着几何体的侧面从点爬到点，求蚂蚁爬行最短路径的长.15. 某省为调查北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个城镇的人口（单位：万人）和该城镇2021年国民生产总值（单位：亿元），计算得．(1)请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；(2)求关于的线性回归方程；(3)若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据（2）中的线性回归方程估计该城镇2021年的国民生产总值．参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，16. 高二某班名同学期末考完试后，商量购买一些学习参考书准备在高三时使用，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪购买，掷出点数大于或等于的人去图书批发市场购买，掷出点数小于的人去网上购买，且参加者必须从图书批发市场和网上选择一家购买.（1）求这人中至多有人去图书批发市场购买的概率；（2）用、分别表示这人中去图书批发市场和网上购买的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.。

安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为（）A ．1B ．2C ．4D ．82. 已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为（）A ．1B ．2C．D ．53. 已知，，，则（）A．B．C．D．4. 设a ，b ，c为实数，记集合若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．{S }=1且{T }=0B ．{S }=1且{T }=1C ．{S }=2且{T }=2D ．{S }=2且{T }=35.若，则（）A ．244B ．243C ．242D ．2416.函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（）A．B．C．D．7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是A ．216B ．420C ．720D ．10809. 已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．10. 已知函数，则（）A．的最小值为0B．的最小正周期为C．的图象关于点中心对称D．的图象关于直线轴对称11. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（）安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(高频考点版)安徽省淮南市2022届高三上学期一模理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．点的轨迹中包含的中点B．点的轨迹与侧面的交线长为C．的最大值为D ．直线与直线所成角的余弦值的最大值为12. 一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C ．该质点在和时速度最大D ．该质点在和时加速度最大13.已知，则____________．14. 有6名同学要分到4个不同的单位去实习，要求每个单位至少接收1名同学，则不同的分配方法有______种．15.若均为非负实数，且，则的最小值为______．16. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q ）．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 在直线上，过点P 作以原点为圆心短半轴长为半径圆O 的两条切线，切点为M ，N，求证：直线恒过定点．17. 某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(1)请计算小径的长度；(2)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(3)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.18.已知函数(1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；(2) 若，求函数的单调递增区间．19. 如图，在正四棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.20. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．21. 随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.。