2019浙江省高二上学期数学期中考试试卷
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】(6)
与，所成角的大小•
18.
如图，三棱锥
—中，"：丄 底面&和；,_：：.：：.：=j.-,
PB=
.■-.-,
二为卩二的中点，“为「二的中点，点黃在
上,
且，='；；尹
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】
姓名班级分数
题号
-二二
三
总分
得分
、选择题
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）
A.2倍B•-J倍C•，倍D•J倍
余部分体积的比值为（）
3.已知是不同的直线，「是不同的平面，有下列命题:
1 若也u空，并IIa，贝V也IIn；
4.如图，四棱柱】-:'.■-的底面'.为平行四边形，已知
为.
11.已知向量心■二曲J一.号，曲H，:"宀"，若 〃•.，则实数；J=
r=.
12.各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为
13.一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点出发，走遍正方体的每个面的
中心的最短距离〃二口尸），那么川的最大值是.
14.三棱锥F—.朋匸中，，•在_打 内，
LJJU H ULLIILLILIIWII亠一 =UlIlIU「
■'■■，则用向重，可表示向重•：！为（）
侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为
--C•： 一D
6.若直线口不平行于平面空，则下列结论正确的是()
A•＜内所有的直线都与.■异面
B.直线.与平面■■有公共点
C•＜内所有的直线都与.■相交
且」U=.
15.如图，在正三棱锥 、-中， •「..^分别为棱飞.打 的中点，
浙江省浙东北(ZDB)教学联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省浙东北（ZDB）教学联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率，即，故倾斜角为.故选：C2.若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线，则在平面内一定不存在与直线平行的直线．②若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线垂直．③若直线，则在平面内不一定存在与直线垂直的直线．④若直线，则在平面内一定存在与直线垂直的直线．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④【答案】C【解析】试题分析：对于①，若直线，如果，互相垂直，则在平面内，存在与直线平行的直线，所以①是错误的；对于②，若直线，则直线垂直于平面内的所有直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直，所以②正确；对于③，若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线，所以③是错误的；对于④，若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线，所以④是正确的．故应选．考点：1、直线与平面之间的位置关系．3.下列四个命题中真命题是（）A. 过定点的直线都可以用方程表示；B. 经过任意两个不同点的直线都可以用方程表示；C. 不经过原点的直线都可以用方程表示；D. 经过定点的直线都可以用表示。
【答案】B【解析】试题分析：A中只有斜率存在的直线才可以表示；B中直线方程正确；C中只有两轴上截距都存在且不为零的直线可以用截距式；D中只有斜率存在的直线才可以表示考点：直线方程4.在下列条件中，可判定平面与平面平行的是（）A. ，都平行于直线B. 内存不共线的三点到的距离相等C. ，是内的两条直线，且，D. ，是两条异面直线，且，，，【答案】D【解析】试题分析：通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．故选D．考点：平面与平面平行的判定．5.已知圆：的圆心坐标是，则半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，再根据圆心坐标为，求得D、E，可得半径的值．【详解】圆：，即，表示以为圆心，半径为的圆．再根据它的圆心坐标是，，∴，半径为，故选：A．【点睛】】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．6.若圆台两底面周长的比是，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件分别设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有，从而寻求到x与r的关系，再由圆台体积公式求解．【详解】由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有，∴∴．故选：D．【点睛】本题主要考查圆台的结构特征及体积的求法，是常考类型，属中档题．7.直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定【答案】B【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．考点：直线与圆的位置关系.8.如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，由此能求出结果．【详解】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，∴，，∴，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴γ=90°．∴γ≥α≥β．故选：A．【点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9.已知点，，若圆：上存在一点，使得，则实数的最大值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设AB的中点为M，由AB的坐标分析M的坐标以及|AB|的值，可得以AB为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案．【详解】根据题意，圆C：x2+y2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；其圆心为（4，4），半径r=1，设AB的中点为M，又由点A（1-m，0），B（1+m，0），则M（1，0），|AB|=2|m|，以AB为直径的圆为（x-1）2+y2=m2，若圆C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点，又由即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，即实数m的最大值是6；故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．10.已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则线段长的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，则M1N1∥AC．设DM1=DN1=x，则MM1=x，NN1=1-x，由此能求出MN的最小值．【详解】作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．设DM1=DN1=x，则MM1=x，NN1=1-x，在直角梯形MNN1M1，，∴当时，MN的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分)11.已知直线和互相平行，则实数_____，两直线之间的距离是_____．【答案】(1). (2). ；【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等，即可求出m的值，再根据两平行线间的距离公式即可求出．【详解】∵直线和互相平行，∴6x+4y+1=0，即为∴两直线之间的距离是，故答案为：; .【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，以及两直线之间的距离公式，属于基础题．12.如图是正四棱锥的三视图，其中正视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的表面积是_____，体积是_____．【答案】(1). (2). ；【解析】【分析】三视图复原的几何体是底面是正方形的正四棱锥，结合题目数据，直接求出几何体的表面积与体积．【详解】由题意几何体的三视图可知，几何体是底面边长为1，斜高为1的正四棱锥，所以正四棱锥的表面积为：几何体的体积为：．故答案为：；．【点睛】本题考查三视图复原几何体的表面积与体积的求法，常考题型，注意三视图的视图的作法的逆应用，考查空间想象能力计算能力．13.已知圆的圆心为原点，且与直线相切，则圆的方程为_____，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，则直线的方程为_____．【答案】(1). (2). ；【解析】【分析】根据题意，求出圆心O到直线的距离，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出圆O的方程；设M为OP的中点，根据条件构造以OP为直径的圆，则AB为圆O与圆M的公共弦，即可求直线AB的方程．【详解】根据题意，设圆心到直线的距离d，若圆O的圆心为原点，且与直线相切，则即圆的半径r=4，则圆的方程为x2+y2=16；设M为OP的中点，又由点P（8，6），O，P的中点坐标为M（4，3），且则M为圆心，|PO|为直径的圆MM的方程为（x-4）2+（y-3）2=25，即x2+y2-8x-6y=0，PA，PB为过点P的两条圆O的切线，则PA⊥AO，PB⊥BO，则AB为圆O与圆M的公共弦，又由，联立可得8x+6y-16=0，即4x+3y-8=0．则直线AB的方程为4x+3y-8=0；故答案为：x2+y2=16，4x+3y-8=0．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及方程的应用，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．14.在正方体中，异面直线与的所成角为_____，二面角的大小为_____．【答案】(1). (2). ；【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求了异面直线A1D与CD1的所成角和二面角B-A1C-D的大小．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1，则，设异面直线A1D与CD1的所成角为θ，则∴异面直线A1D与CD1的所成角为60°．设平面DCA1的法向量则，取x=1，得设平面BCA1的法向量则取y=1，得设二面角B-A1C-D的大小为α，则∴二面角B-A1C-D的大小为60°．故答案为：60°，60°．【点睛】本题异面直线所成角、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题15.已知、，点线段（含端点）上移动，则的最小值为_____．【答案】；【解析】【分析】由的几何意义为点P与点C（4，0）的距离，结合图形计算可得所求最小值．【详解】的几何意义为点P与点C（4，0）的距离，由图形可得B，C两点的距离最短，可得所求最小值为．故答案为：5．【点睛】本题考查两点的距离的最值，注意运用数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．16.在中，若，，，斜边上的高为，则有结论，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两个互相垂直且长度分别为，，，三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有_____．【答案】；【解析】【分析】由题意可得S在底面ABC的射影为H，连接CH，延长交AB于D，连接SD，可得SD⊥AB，CD⊥AB，可得空间三棱锥的结论．【详解】由于SA=a，SB=b，SC=c，且SA，SB，SC两两互相垂直，可得S在底面ABC的射影为H，连接CH，延长交AB于D，连接SD，可得SD⊥AB，CD⊥AB，在直角三角形SAB中，，在直角三角形SDC中，可得．故答案为：．【点睛】本题考查空间线面垂直的判断和性质，以及平面与空间的结论的类比，考查化简运算能力，属于中档题．17.已知是定义在上的增函数，其图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是_____．【答案】；【解析】【分析】先利用函数的奇偶性、单调性将函数方程化简为，然后将看成斜率，利用斜率的最大最小值求出取值范围．【详解】因为函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）为奇函数，所以又f（x）是定义在R上的增函数，所以即，其图象如图：由于表示半圆上的动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，所以由图可知：OA斜率最大为：3，；切线OB的斜率最小为：，故的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性、数形结合思想，属难题．三、解答题（本大题共5小题，共45分。
2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若，，则一定有（_________ ）A ．________B ．________C ．________D ．2. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（_________ ）A．________B ．C．______________D ．3. 已知数列满足：，，，，那么使成立的n的最大值为（________ ）A ． 4_________________________________B ． 5____________________________C ． 24____________________________D ． 254. 设是等差数列，下列结论中正确的是（_________ ）A．若，则________B ．若，则C．若，则________D ．若，则5. 已知直线，与平行，则实数a的值是（_________ ）A ． 0或1________B ． 1或________C ． 0或_________D ．6. 圆与圆的位置关系为（_________ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（________ ）A ．________B ．C ．________D ．8. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（_________ ）A ．B ．C ．D ．9. 直线与圆的位置关系为（________ ）A ．相交_________B ．相切___________C ．相离___________D ．相交或相切10. 已知实数满足，，且，则下列结论正确的是（________ ）A．________B ．C．________D ．二、填空题11. 已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则___________________________________ ．12. 直线与直线，直线分别交于P、Q两点， PQ中点为，则直线的斜率是___________ ．13. 已知数列的前n项和为，且有，，则___________________________________ ．14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围______________ ．15. 已知直线与圆心为C的圆相交于A、B两点，且为等边三角形，则实数a=____________________________ ．16. 已知数列满足：，当时，，若数列满足对任意，有，则当时，______________ ．三、解答题17. ，，．（1）比较与的大小；（2）解关于x的不等式：．18. 已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19. 如图，的顶点，的平分线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求的面积．20. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P 作圆M的切线PA ， PB ，切点为A ， B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N ，试问：当P在直线上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，当时，等于（）A． 5 B． 6 ______________ C． 7_____________________________D． 82. 6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有（）A ． 480______________________________B ． 720______________________________C ． 240____________________________D ． 3603. 在的展开式中含常数项，则正整数的最小值是（）A ． 2___________________________________B ． 3________________________C ． 4_________________________________D ． 54. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，且，则_________B ．若，且，则C．若，且，则_________D ．若，且，则5. 有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是（）A ． 0_________B ． 1_________C ．________________D ．6. 设双曲线的左焦点，圆与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B ，若，则双曲线的离心率为（）A ． 2___________________________________B ． 3______________________C ．______________________D ．7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A ． 1______________B ． 2____________________C ． 3____________________________D ． 48. 如果正整数的各位数字之和等于8，那么称为“幸运数” （如：8，26，2015等均为“幸运数” ），将所有“幸运数”从小到大排成一列，，，……，若，则（）A ． 80______________B ． 81________________________C ． 82____________________________D ． 83二、填空题9. 多项式的展开式中，项的系数=_________，项的系数=___________ ．10. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______ ．11. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积＝___________ ，表面积＝______．12. 已知抛物线上两点A，B的横坐标恰是方程的两个实根，则直线AB的斜率＝；直线AB的方程为．13. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有___________ 种．14. 设，是椭圆的两个焦点，是以为中心的正方形，则的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有___________ 个（的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是______________ ．三、解答题16. 某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于，则男生比女生多几人？17. 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1 （其中为坐标原点）．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．18. 在三棱柱中，已知，，的中点为，垂直于底面．（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的平面角的余弦值．19. 如图，椭圆的左、右焦点为，，过的直线与椭圆相交于、两点．（1）若，且，求椭圆的离心率．（2）若，，求的最大值和最小值．20. 数列满足，，……，（）（1）求，，，的值；（2）求与之间的关系式；（3）求证：（）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
浙江省宁波市2019年高二上学期期中数学试卷(I)卷
浙江省宁波市2019年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知集合，，则A∩B=（）A .B .C . （0，1]D . （0，3]2. （2分）已知f（x）=x+ 在（1，e）上为增函数，则实数b的取值范围是（）A . （﹣∞，1]∪[e2 ，+∞）B . （﹣∞，0]∪[e2 ，+∞）C . （﹣∞，1]D . [1，e2]3. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 记为等差数列的前项和，若，，则（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分） A为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形5. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则（）A . -8B . -6C . 6D . 87. （2分）函数f（x）=loga（2﹣ax）在[0，4]上为增函数，则b=4的取值范围是（）A .B . （0，1）C .D . [4，+∞）8. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 执行如图所示的程序框图，若输出S的值是，则a的值可以为（）A . 2014B . 2015C . 2016D . 20179. （2分）在一次马拉松决赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 814 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 515 0 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1﹣30号，在用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 2B . 6C . 5D .11. （2分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（cm2）（）A . 2π+6B . 2π+6C . 6+(2+2)πD . 6+(+2)π12. （2分）若不等式对一切成立,则的最小值为（）A . 0B . -2C .D . -3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________14. （1分） (2019高二上·德惠期中) 给出下列命题：①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②“ ”是“ ”的必要不充分条件；③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；④命题“若，则”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________.15. （1分）当x＞0时，函数y=的最小值为________16. （1分）(2016·山东理) 已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）(2018·淮北模拟) 大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史，皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆，2018年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作，其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系，为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数，得如下数据表格：科研人员确定研究方案是：从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验.（1）求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；（2）若选取的是4月5日、6日、7日三天数据，据此求关于的线性同归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验（Ⅱ）中同归方程是否可靠？注：， .18. （5分） (2016高一下·桐乡期中) 设函数的最大值为M，最小正周期为T．（Ⅰ）求M、T；（Ⅱ）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值．19. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N 中，AN∥BB1 ，AB⊥AN，CB=BA=AN= BB1 ．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．20. （10分）老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，父亲的身高用x表示，儿子的身高用y来表示．（1）完成答题卡中的表格；（2）用回归分析的方法得到的回归方程为 =bx+ ，则预计老张的孙子的身高为多少？21. （10分） (2017高一上·福州期末) 已知圆C的半径为1，圆心C（a，2a﹣4），（其中a＞0），点O（0，0），A（0，3）（1）若圆C关于直线x﹣y﹣3=0对称，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点P，使|PA|=|2PO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．22. （10分）(2017·山东) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．（1）求数列{an}通项公式；（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(三)
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．直线y=x+2的倾斜角是（）A． B．C． D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3．圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9与圆x2+（y+1）2=4的位置关系为（）A．相交B．内切 C．外切 D．外离4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（）A．B．C．D．25．圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．6．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．37．已知A（﹣2，0），B（2，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是（）A．22 B．10 C．36 D．268．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，Q是该棱柱内切球表面上的动点，则|PQ|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，3]D．[1，]9．已知△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M是AB的中点，沿直线CM将CBM折起，若AB=，设二面角B﹣CM﹣A的平面角为α，则α的大小为（）A．B．C．D．10．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，点D，E，F分别是BB1，AA1，CC1，的中点，若侧棱AA1与底面三角形的相邻两边都成60°角，则四棱锥D ﹣A1C1EF的体积是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7题，每小题3分，共21分）11．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为．13．已知直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，则这两条平行线之间的距离为．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则直线PC与AB所成角的大小是．15．若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围．16．已知实数a，b满足：a2+b2≠0，过点M（﹣1，0）作直线ax+by+2b﹣a=0的垂线，垂足为N，点P（1，1），则|PN|的最大值为．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，满足PQ∥平面AC1D1，则PQ与平面BDD1B1所成角的范围是．三、解答题（本题共5题，共39分）18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．20．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，AC与BD的交点为M，点N在线段PB上，且PN=．若二面角A﹣BC﹣P的正切值为2．（I）求证：MN∥平面PDC；（Ⅱ）求平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值．22．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+y2﹣2x﹣y﹣2=0，记两圆的公共弦所在的直线为l．（I）求直线l的方程．（Ⅱ）设直线l与x轴的交点为M，过点M任作一条直线与圆O相交于点A，B，是否存在x 轴上的定点N，连接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．B．2．D．3．C．4．C 5．A．6．C．7．D．8．B 9．D．10．A．二、填空题11．解：由三视图可知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧和底面垂直，且这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是故答案为：12．解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π，故r2=1，解得r=1，∴l=2r=2，故答案为：213．解：直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，即直线x﹣2y+1=0与直线x﹣2y+=0平行，平行线之间的距离为：=．故答案为：．14．解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△AEG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．15．解：曲线y=即x2+y2=4 （y≥0），表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图．当直线y=x+m与半圆相切时，由2=，可得m=2，或m=﹣2（舍去）．当直线y=x+m过点（﹣2，0），把点（﹣2，0）代入直线y=x+m可得0=﹣2+m，故m=2．当直线y=x+m过点（2，0），把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=﹣2．数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点时，则m的取值范围是：，故答案为：．16．解：直线ax+by+2b﹣a=0化为a（x﹣1）+b（y+2）=0，令，解得x=1，y=﹣2．∴直线ax+by+2b﹣a=0过定点Q（1，﹣2）．∴垂足N在以MQ为直径的圆上，圆心即相等MQ的中点C（0，﹣1）．其圆的方程为：x2+（y+1）2=2．|PC|=．∴|PN|的最大值为．故答案为：．17．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，1），设平面AC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设P（0，1，t），Q（a，b，0），a，b，t∈[0，1），，0≤λ＜1，∴（a，b，0）=（λ，λ，0），∴Q（λ，λ，0），，∵PQ∥平面AC1D1，∴，t=λ，∴，∵AC⊥平面BDD1B1，∴平面BDD1B1的一个法向量=（﹣1，1，0），设PQ与平面BDD1B1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||==，0≤λ＜1，∴λ=时，（sinθ）max==，此时，λ=1时，（sinθ）min==，此时，∴PQ与平面BDD1B1所成角的范围是（，]．故答案为：．三、解答题18．解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；且AB∩PA=A，∴EA⊥平面PAB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，∴CD⊥平面PAE；又AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD；又AH⊥PE，且CD∩AE=E，∴AH⊥平面PCD，∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；﹣﹣﹣﹣﹣﹣在Rt△PAE中，∵PA=2，AE==，∴tan∠AEP===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．解：（I）设圆心为（x0，5﹣3x0），则解得，所以圆的方程：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦长为符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线l不垂直于x轴时，设方程为y﹣1=k（x﹣1），由弦心距三角形得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以方程为5x+12y﹣17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y﹣17=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．证明：（Ⅰ）在△ACD中，∵△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，∴由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴，∴，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥CD，BC⊥PC，∴∠PCD为二面角A﹣BC﹣P的平面角，∴，∵CD=，∴PD=，∵BD=BM+MD=，∴PB=2，∴，∴MN∥PD．∵MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．解：（Ⅱ）分别延长CD，AB交于点G，则PG为两个平面的棱，作CE⊥PG，连结BE，∵BC⊥平面PDC，∴BE⊥PG，∴∠CEB为平面DCP与平面ABP所成的锐平面角，∵，∴，∴平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值为．22．解：（Ⅰ）圆O与圆C两边相减得l：2x+y﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）由题意得M（1，0），当AB⊥x轴时显然成立．当AB不垂直于x轴时，设AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意得N点不是M点，所以直线AN，BN的斜率存在∠ANM=∠BNM⇔k AN+k BN=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴⇒k[2x1x2﹣（n+1）（x1+x2）+2n]=0由韦达定理得k[2n﹣8]=0，所以n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以点N存在为N（4，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若直线经过0,0O ，(A 两点，则直线OA 的倾斜角为（ ）A.6π B.3π 2.在正方形1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 3.已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.圆224x y+=被直线3450x y ++=截得的弦长为（ ）A.1B.2 D.5.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误．．的是（ ） A.若//m α，n αβ=，则//m n B.若m α⊥，m β⊥，则//αβC.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D.若//m n ，m α⊥，则n α⊥ 6.设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是（ ）7.若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（ ）A.[]2,4B.[]0,4C.[)4,+∞D.[)2,+∞ 8.已知正方体1111-ABCD A B C D 的体积为1，则四棱锥1111-B A B C D 与四棱锥1111-A A B C D 重叠部分的体积是（ ） A.18 B.16 C.524 D.7249.已知点()11,P x y 是单位圆221x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为（ ）A.3- B.6 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10.已知直线10=与圆22:280C x y x y b +--+=，(),a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC 的面积的最大值为4，求此时ab =______．11.在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =S ABC -外接球的表面积为______． 12.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值______．三、解答题（题型注释）13.设命题：实数满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220x x --≤．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．14.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC 是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C 的平面角的正切值．16.如图，已知多面体PABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥平面PAB ，AD =2BC =4，AB =1，PA =2，∠PAB =60°.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.17.如图，点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆()22:11C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO K ，BO K ．（1）当()2,1P =-时，求AO BO K K ⋅的值；（2）当P 运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时点P 的坐标．四、新添加的题型倾斜角为120，在轴上的截距为1的直线l 的方程为________；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a =________.19.已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2，则m =______．若圆心C 在直线20x y -=上．则m =______．20.若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，b c A =，则直线a 与直线c 的位置关系是______；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是______． 21.ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．参考答案1.B【解析】1.由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线OA 的倾斜角. 解：直线经过O （0，0），A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，α∈[0，π）， 则tan α＝010-∴α＝3π， 故选：B.2.D【解析】2.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与1B D 所成的角.解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），C （0，1，0），D （0，0，0），B 1（1，1，1）， AC ＝（﹣1，1，0），1B D ＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC 与B 1D 所成的角为θ，则cos θ＝11||||||AC B D AC B D ⋅⋅＝0， ∴θ＝2π. ∴异面直线AC 与B 1D 所成的角为2π. 故选：D .3.A【解析】3.利用两个条件之间的推出关系可判断两者的条件关系.当1a >时，21a >成立，取2a =-，此时21a >成立，但是1a >不成立，“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故选：A.4.D【解析】4.求出圆心到直线3450x y ++=的距离，借助由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦长.解：依题意，圆x 2+y 2＝4圆心为（0，0），半径r ＝2，所以圆心到直线圆x 2+y 2＝4的距离d ＝1，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l 和弦心距d 构成直角三角形， 所以222212l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得l ＝故选：D.5.A【解析】5.在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，由线面垂直的性质可得//αβ；在C 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥正确；在D 中，由线面垂直的性质可得n α⊥.解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知：在A 中，∵//m α，n αβ=，∴m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，∵m α⊥，m β⊥，∴由线面垂直的性质可得//αβ，故B 正确；在C 中，∵m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，∵//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的性质可得n α⊥，故D 正确.故选：A.6.C【解析】6.设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，得r，由此能求出12V V 的值. 解：设球O 的半径为R ，圆锥SO 1的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由题意得4πR 2＝πrl ＝2πr 2，解得r，33122443133R R V V r πππ∴===⨯故选：C.7.B【解析】7.根据有公共交点得到2224a ab b -+≤和2224a ab b ++≤，相加得到答案.圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点22224a b a ab b ≤-≤∴-+≤；22224a b a ab b ≤+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤故选：B8.C【解析】8.如图所示，画出重叠部分的图像如图2，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到答案. 如图所示：G 为1AB 和1A B 交点，H 为1AC 和1BD 的交点，重叠部分如图2.12111151432424V V V =-=⨯-⨯⨯= 故选：C9.A【解析】9. 利用圆的参数方程与直线的方程分别求出12x x -与12y y -的最小值，比较即可得答案. 解：过,P Q 作x 轴，y 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示， 则12x x EF PH GQ -===，12y y CD PG QH -===，由于直线260x y +-=的斜率是2-，当,P Q 都在第一象限时， ①121212PQ L x x y y PG GQ PG GK =-+-=+=+ 111222PK GK PK PK PK =-≥-= 取x 1＝x 2∈[0，1]时等号成立，则y 1y 2＝6﹣2x 2＝6﹣2x 1，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|＝162x -，令x 1＝cos θ（θ∈[0，2π]），则|y 1﹣y 2|＝6﹣2cos θ﹣sin θ＝6（θ+ϕ）≥6 ②12122PQ L x x y y QH PH HL PH PL HL PL =-+-=+=+=+≥取y 1＝y 2∈[0，1] 时等号成立，则x 1x 2＝3﹣22y ＝3﹣12y .则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|x 1﹣x 2|＝132y -令y 1＝sin θ（θ∈[0，2π]），则|x 1﹣x 2|＝3﹣1sin 2θ﹣cos θ＝3sin （θ+ϕ）≥32-当,P Q 中至少有一个点不在第一象限时，明显1212x x y y -+-的取值会比,P Q 都在第一象限时大，综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是3故选：A.10.154-【解析】10.当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，由ABC 面积的最大值为4，可算得b ，从而得到C 到直线的距离等于2，建立方程可求得a 的值，从而得ab 的值.解：∵圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣8y +b ＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝17﹣b ；∴圆心C （1，4），半径r当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，（S △ABC ）max ＝212r ＝4； ∴r 2＝8，即17﹣b ＝8，∴b ＝9；直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝r ，∴C 到直线AB ：ax +y +a ﹣1＝0的距离等于d ＝2，∴d ＝2，∴a ＝512-， ∴ab ＝154-. 故答案为：154-.11.12π【解析】11.根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥S −ABC 的外接球的半径即可.解：取AC 中点D ，则SD ⊥AC ，DB ⊥AC ，又∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，又∵AM ⊥SB ，AM ∩AC ＝A ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA ⊥SB ，SC ⊥SB ，根据对称性可知SA ⊥SC ，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r 2面积S ＝4π×3＝12π.故答案为：12π.12.【解析】12.当线段BC 确定时，观察出当面OCB 和面BCD 共面时，O 到点D 的距离最大，即求点O 到线段BC 距离的最大值即可.解：在线段BC 上任取一点M ，连接OM ，DM ，由三角形三边关系得OM DM OD +≥，当O ，M ，D 三点共线时取等号， 则当面OCB 和面BCD 共面时，OD 最大，当面OCB 和面BCD 共面时，设OBC α∠=，则2sin ,2cos OC OB αα==，则2222cos 3OD OB BD OB BD πα⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭214cos 48cos cos 2αααα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭424α=+≤+则OD ≤=即O 到点D 的距离的最大值为故答案为：13.（1）()1,2；（2）[]1,2．【解析】13.（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. （1）当1a =时，由()()120x x --<，得{}12P x x =<<.由()()216220x x--≤，所以{}14Q x x =≤≤.因此x 的取值范围是()1,2；（2）可得{}2p x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩， 故a 的取值范围是[]1,2. 14.（1）3x +y +2=0；（2）x −3y +2=0【解析】14.分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程； （2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为x −3y +m =0(m ≠−6)，然后由点到直线的距离得出10=25√10，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD， 又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0， 所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3， 而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC， 所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等 所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0. 15.（1）证明见解析；（2）2.【解析】15.（1）推导出AB CD ∥，由此能证明//CD 平面PAB .（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP ，则PEH ∠即为所求二面角的平面角，求出PEH ∠的正切值即可. （1）因为//AB 平面PCD ， 平面PCD平面ABCD 于CD ，故AB CD ∥，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB故CD ∥平面PAB ；（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP 则PEH ∠即为所求二面角的平面角.又2PH ==1122242AC BC HE AB ⋅=⋅=⋅=，故an 2t PEH ∠==.16.（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）2√5719【解析】16.（Ⅰ）由余弦定理得PB =√3，从而PB ⊥AB ，由AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥PB ，再由PB ⊥AB ，能证明PB ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）由余弦定理求出cos ∠PDC =910，从而sin ∠PCD =√192，S △ACD ＝2，设直线P A 与平面PCD 所成角为θ，点A 到平面PCD 的距离为h ，由V A ﹣PDC ＝V P ﹣ACD ，得h =√3√19，从而sinθ=ℎPA=2√5719，由此能求出直线P A与平面PCD所成角的正弦值．（Ⅰ）在ΔPBA中，PA=2，AB=1，∠PAB=60°，所以PB2=22+12−2×2×1×cos60°=3，PB=√3，所以PB2+AB2=PA2，PB⊥AB，因为AD∥BC，所以A，B，C，D四点共面.又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB.又PB⊥AB，AD∩AB=A，所以PB⊥平面ABCD.（Ⅱ）（方法一）在RtΔPBC中，PC=√7，在RtΔPAD中，PD=2√5.在直角梯形ABCD中，CD=√.在ΔPDC中，cos∠PDC=√5)2√5)2√7)22×2√5×√5=910，sin∠PDC=√1−(910)2=√1910.所以SΔPDC=12×2√5×√5×√1910=√192，SΔACD=12×4×1=2.设直线PA与平面PCD所成的角为θ，设点A到平面PCD的距离为ℎ，因为V A−PDC=V P−ACD，所以13×SΔPDC×ℎ=13×SΔACD×PB，即13×√192×ℎ= 13×2×√3，所以ℎ=√3√19，sinθ=ℎPA=√3√19=2√5719，故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为2√5719.（方法二）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，BC⊥AB.以点B 为坐标原点，以BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0,√3)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，D(1,4,0)，所以PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−√3)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−√3)，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2,0). 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为n ⃑⃑ =(x,y,z)， 由{PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0 得{2y −√3z =0x +2y =0 取y =√3，则z=2，x =−2√3，所以n⃑⃑ =(−2√3,√3,2). 所以sinθ=|PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||PA⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√3+0−2√3|2√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719.（方法三）延长DC ，AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD∥BC ，AD =2BC ，所以BC 为ΔADE 的中位线，点B ，C 分别为AE ，DE 的中点.所以ΔPDE 为等腰三角形. 取PE 中点F ，连DF ，AF . 所以DF ⊥PE ，AF ⊥PE ，DF ∩AF =F ，所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ，所以平面ADF ⊥平面PCD .作AH⊥DF 于H ，连PH ，所以AH ⊥平面PCD .所以∠APH 就是直线PA 与平面PCD 所成的角. 因为AF=√3，AD =4，DF =√19， 所以AF 2+AD 2=DF 2，所以AH =√3√19.所以sin∠APH =AH AP=√3√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719. 17.（1）13=12AO BO K K ⋅-；（2）82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】17.（1）当点P 的坐标为（−2，1）时，设直线为()12y k x -=+，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出斜率k 的值，得出切线方程，从而求得点A ，B 的坐标，得出AO BO K K ⋅的値；（2）设出切线方程，找出0y 与k 的关系，根据韦达定理和斜率公式，建立关于0y 的一元二次方程，求出AO BO K K ⋅最小时的0y ，即求出P 的坐标. （1）设切线PA ，PB ：()12y k x -=+， 点C 到PA ，PB ：()12y k x -=+的距离为1，1k =⇒=. PA，PB ：)12y x -=+， 2,13A ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，2,13B ⎛- ⎝⎭111333==2212AO BO K K +∴⋅⋅-； （2）设()02,P y =-设切线PA ，PB ：()02y y k x -=+，()22000134420k y k y y =⇒+-+-=012201244323y k k y y k k -⎧+=-⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=⎪⎩， PA ，PB ：()02y y k x -=+，令2x =，得()012,4A y k =+，()022,4B y k =+，()()()2102001201244=444AO BOk y k y y K K k k y k k +⋅+⋅=+++200416439y y =-≥-， 故当P 在直线上运动083y =，AO BO K K ⋅的最小值为169-，P 点的坐标82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10y +-=【解析】18.根据直线倾斜角可得斜率，由斜截式方程可得结果；根据垂直关系可构造方程求得结果. 直线倾斜角为120，∴直线斜率tan1203k ==-∴直线l 的方程为：1y =+10y +-=.直线l 与10ax y ++=垂直，10+=，解得：a =.10y +-=；-19.1 2【解析】19.通过点的坐标代入圆的方程，得到m 值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m 值即可. 解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2my ＝0，若圆C 过点（0，2）， 则4﹣4m ＝0，解得m ＝1；圆的圆心（1，m ），圆心C 在直线2x ﹣y ＝0上， 可得2﹣m ＝0，解得m ＝2； 故答案为：1；2.20.相交或异面 平行或在平面内【解析】20.由a ∥b ，b ∩c ＝A ，得直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面；由a b ⊥，b α⊥，得直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面， ∵a ∥b ，b ∩c ＝A ，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面.∵a ⊥b ，b ⊥α，则直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 故答案为：相交或异面；平行或在平面内.2【解析】21.画出正ABC 和水平放置的直观图'''A B C ，计算它的面积与周长即可. 解：如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B CS12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45°＝4；其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++12）+2+12）＝..。
浙江省杭州市2019年高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
浙江省杭州市2019年高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·定远期末) 在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（）A .B .C .D . 13. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二上·济宁期末) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F1（0，﹣c）（c＞0），离心率为e，过F1平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于另一点P，且点P在抛物线x2=4cy上，则e2=（）A .B .C .D .5. （2分）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A . x+48y﹣3=0B . x+80y﹣5=0C . x+3y﹣3=0D . x+5y﹣5=07. （2分）若，则方程表示（）A . 焦点在轴上的椭圆B . 焦点在轴上的椭圆C . 焦点在轴上的双曲线D . 焦点在轴上的双曲线8. （2分）“”方程“表示双曲线”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 既不充分也不必要条件D . 充分必要条件9. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2 ，点M在该椭圆上，且 ,则点M到x轴的距离为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高三上·锦州期中) 椭圆（m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1 ， F2 ． P是两曲线的交点，则 =（）A . 4B . 2C . 1D .11. （2分）抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·浙江理) 已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1 ， e2分别为C1 ， C2的离心率，则（）A . m＞n且e1e2＞1B . m＞n且e1e2＜1C . m＜n且e1e2＞1D . m＜n且e1e2＜1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·长沙模拟) 设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为________．14. （1分） (2016高二上·黄石期中) 已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2 ， AB=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．16. （1分） (2016高二下·静海开学考) 过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2019·广州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，Q为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点P ．（1）求的值，并求动点P的轨迹E的方程；（2）若直线l与曲线E相交于A，B两点，且存在点其中A，B，D不共线，使得，证明：直线l过定点．18. （10分） (2016高二上·台州期中) 如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4 ，CD=4 ，∠ACB=45°，E，F分别为MN的中点．（1）求证：EF∥平面ABD；（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．19. （5分）如图，在五面体EF﹣ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；②证明：CD⊥平面ABF；③求二面角B﹣EF﹣A的正切值．20. （5分） (2019高三上·浙江月考) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.21. （10分） (2017高二下·孝感期中) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．22. （10分） (2018高二下·双流期末) 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(上)期中数学试卷及答案
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣23．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为，直线l的方程为．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝，此时点P的坐标为．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值．【解答】解：∵直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，∴＝≠，∴m＝6，故选：B．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣2【分析】由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】解：∵直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行【分析】由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】解：若m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n可能异面，也可能相交，不可能平行，若l与n平行，由平行公理可得，m与n平行，与m，n为异面直线矛盾．结合选项可知，D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．5．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣【分析】由直线的倾斜角的范围，得到正切值的范围，求解即可．【解答】解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，由0≤k或k＜﹣，故选：D．【点评】本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在[0，）、（，π）上都是单调增函数．6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R＝，则该圆柱的表面积为：＝12π．故选：B．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为△ABC，由z＝﹣ax+y可得y＝ax+z，直线的斜率k＝a∵k AC＝2，k AB＝﹣1若目标函数z＝﹣ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k AB＜k＜k AC即﹣1＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣1，2）故选：C．【点评】本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题，解题时利用平移直线法，属于中档题．8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体，其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0的方程分析可得直线经过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆，易得圆的圆心与半径，结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】解：根据题意，直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R），变形可得2x+y+λ（y﹣2）＝0，则有，解可得，即直线恒过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，则M的轨迹是以PQ为直径的圆，其圆心为（1，1），半径r＝|PQ|＝，其方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，已知定点N（4，2），则|NC|＝＝，则有|NC|﹣r≤|MN|≤|NC|+r，即﹣≤|MN|≤+，故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及恒过定点的直线方程，注意分析M的轨迹，属于综合题．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．【分析】以正方体为载体作出正四面体的直观图，得出正四面体的棱长，计算正四面体的体积和表面积，得出其内切球的半径，令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】解：作出正四面体A﹣CB1D1的直观图如图所示，由于俯视图的正方形边长为2，故正四面体的棱长为2，故正四面体的体积V＝23﹣×4＝，表面积为S＝×4＝8，设正四面体的内切球半径为R，则＝，解得R＝，设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a，则a≤2R＝，故a≤．故选：A．【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查棱锥三视图与体积、表面积计算，属于中档题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为45°，直线l 的方程为x﹣y﹣2＝0．【分析】由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，进而求出直线方程．【解答】解：直线l过点A（3，1），B（2，0），由两点求斜率公式可得：k AB＝＝1．设直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），∴tanα＝1，则α＝45°．∴直线l的方程为：y﹣0＝1×（x﹣2），即x﹣y﹣2＝0．故答案为：45°，x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查直线的斜率公式，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝1，此时点P的坐标为（3，3）．【分析】由直线垂直的性质得a×1+1×（a﹣2）＝0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点P的坐标．【解答】解：∵直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）＝0，解得a＝1，解方程，解得x＝3，y＝3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为2，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】解：圆的方程x2+y2+2y﹣3＝0变形得：x2+（y+1）2＝4，∴圆的半径为2．∵直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0相交，∴d＝＜2；∴解得b∈；故b的取值范围为：．故答案为：2；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了点到直线距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．【分析】作出异面直线所成的角，根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】解：∵A1B1∥AB∥CD，∴∠CFE为异面直线A1B1与EF所成的角，∵CE＝BC＝1，CF＝CD＝1，BC⊥CD，∴∠CFE＝，即异面直线A1B1与EF所成角为，取CC1中点H，连接EH，BC1，∵AD1∥BC1∥EH，∴∠HEF为AD1与EF所成的角，∵CH＝CC1＝，∴EH＝FH＝＝，又EF＝，∴cos∠HEF＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）0【分析】求得半圆的圆心到直线的距离，可得弦长|AB|，判断三角形ABO的形状，进而得到所求值．【解答】解：曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，如图所示，可得半圆的圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝，可得弦长|AB|＝2＝，即有△ABO为直角三角形，且∠AOB为直角，可得cos（α﹣β）＝cos∠AOB＝0．故答案为：0．【点评】本题考查圆方程的运用和直线方程的运用，考查圆的弦长公式和数形结合思想，属于基础题．16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是﹣1．【分析】由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程，与y0≥3x0+1，作出图形，求得的范围得答案．【解答】解：∵M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，∴＝，可得：x0+3y0+2＝3x0+y0+3，即2x0﹣2y0+1＝0，或x0+3y0+2＝﹣（3x0+y0+3），即4x0+4y0+5＝0，由题意①，或②，由①可得图1，联立，可得P（），可知当M与P重合时，取最小值﹣1；由②可得图2，联立，可得P（），可得＞﹣1．综上，的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是（1，2）．【分析】当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，从而当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，由此能求出线段BM的取值范围．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B，C两点），点N为线段CC1的中点，平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为四边形，∴依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，∵平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，∴线段BM的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．【分析】（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：（1）由约束条件作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC，（2）化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过C时，直线在y轴上的截距﹣z最小，z最大，此时x＝3，y＝﹣5，z有最大值11．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．【分析】（1）取A1C1的中点D1，证明平面AB1D1∥平面BC1D，于是可得AB1∥面BC1D；（2）建立空间坐标系，利用向量坐标求出和的夹角得出异面直线所成角．【解答】（1）证明：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，DD1，∵C1D1∥AD，C1D1＝AD，∴四边形ADC1D1是平行四边形，∴AD1∥DC1，又AD1⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，∴AD1∥平面BC1D，同理可证：B1D1∥平面BC1D，又AD1∩B1D1＝D1，AD1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D，又AB1⊂平面AB1D1，∴AB1∥面BC1D．（2）解：取BC的中点O，B1C1的中点E，连接AO，∵AB＝AC＝2，BC＝1，∴OA⊥BC，OA＝，以O为原点，以OB，OA，OE为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则A（0，，0），B1（，0，），B（，0，0），C1（﹣，0，），∴＝（，﹣，），＝（﹣1，0，），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与异面直线的夹角计算，属于中档题．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM，AB交于N，利用∠MP A＝∠MAN，结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，则圆心M到切线的距离d＝＝1，解得k＝0或﹣，故所求切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0；（2）连接PM，AB交于点N，设∠MP A＝∠MAN＝θ，则|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ，在Rt△MAP中，sinθ＝＝，∵|PM|≥3，∴（sinθ）max＝，∴（cosθ）min＝，∴|AB|min＝；（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，P A，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离d＝＝1，得8k2+6kt+t2﹣1＝0，∴k1+k2＝﹣，k1k2＝，在切线方程中令x＝0可得y＝k+t，故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|＝＝，∴|ST|min＝，此时t＝0．故|ST|的最小值为．【点评】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，难度较大．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．【分析】（1）由题意可得直线l的方程，求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径，再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线QA，QB的斜率之和，可证得斜率之和为定值0；（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标，由|MO|＝|MQ|，可得k的表达式，进而求出k的值，求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为：y＝+3，所以圆O到直线l的距离d＝＝，圆O的半径r＝2，所以弦长|AB|＝2＝2＝2；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与圆联立，整理可得：（1+k2）x2+6kx+5＝0，△＝36k2﹣20（k2+1）＞0，可得：k2，x1+x2＝，x1x2＝，k1+k2＝+＝＝2k+＝2k+＝2k﹣2k＝0，所以可证得：k1+k2为定值0．（3）由（2）可得AB的中点M （，），即（，），因为|MO|＝|MQ|，所以+＝[+（﹣）2]，整理可得：＝，解得k2＝，满足k 2所以k ＝±，所以直线l的方程为：y ＝x+3．【点评】本题考查求弦长即直线与圆的的位置关系，属于中档题．第21页（共21页）。
2019学年浙江慈溪中学高二2-10班上期中数学卷【含答案及解析】
2019学年浙江慈溪中学高二2-10班上期中数学卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________ 题号-二二三总分得分、选择题1. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A . 90 ntJ:_____________B . 129 _______C . 132 广刖：____________D . 138%2. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为,容器高8cm,将一个球放在容器口6cm,如果不计容器的厚度，则球的866^---- an 1372JT. -------- c wCH13. 设一■，‘是三个互不重合的平面, 是直线，给出下列命题:血彳也图側视图尹丨：，则疋亠丁；②若■唧；③ 若曲，冲在尸内的射影互相垂直，则啣丄H ;④ 若m/;U , 打打“，m丄"，则曲丄冲，其中正确命题的个数为（）A . 0 _________________________________B . 1 ___________________________________C . 2 ___________________________________D . 34. 如图，在二面角的棱上有两个点，爲，线段：：，C 分别在二面角的两个面内，并且都垂直于棱儿，，一 .，，，一 | 一：，.,f-r.. _则这个二面角的度数为（）A . • I ______________________________B .冑疗-_____________________________C ■ _______________________D - . I.'5. 三棱锥中，，「■；」，，若，- 「是该三棱锥外部（不含表面）的一点，贝【J下列命题正确的是（）①存在无数个点.，使丄②存在唯一点■:,使四面体，-;.・，：为正三棱锥；③存在无数个点•，使，•④存在唯一点•：，使四面体有三个面为直角三角形•A •①③ ________________________B •①④ ________________C •①③④ ________________D •①②④6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，・.，.，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）toRAA • v M M ________B • ■ ■C • ; : --------------------------D •，7. 如图，矩形：；…中，£；"”—：，「为边.的中点，将u恳沿直线翻折成,若「为线段■:的中点，则在心"屁翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A •飞時］是定值B .点■■-在某个球面上运动C •存在某个位置，使DEI A.C___________________________D •存在某位置，使、；. 平面■8. 如图，棱长为1的正方体一丄仁;-斗讥‘命中，「为线段，上的动点，则下列结论错误的是（）B •平面D严丄平面C • ap的最大值为孕0口______________D •二「十「二的最小值为,—:二、填空题. .... ............. .... 一2.Z.—F ,蕊, 一 - .■-,若• _ .，贝V x= ________ ;若O , 」，昇，u 四点共面，贝V x=____________________ •10. 正方体ABCD- A耳CU中，&D 与阻夹角的大小是____________________________ ;若# ,戸分别为』戸，匚G的中点，则异面直线戸戸与乩G 夹角的大小是____________________ 11. 在三棱锥中，侧棱,■■.，.，":两两垂直，_；,，阮n ■「弋匚的面积分别为叫—■，‘，贝u 二的面积为_ T 1 1 _r if r____________ ;三棱锥A-BCD的内切球半径为 ______________________ •12. 如图，正方体一棱长为1，「为讥中点，•为线段上动点，过点，二，：'的平面截该正方体所得截面记为■, ，•当.；」时，S的面积为________________ ;若S为五边形，则此时C0取值范围______________________ •13. 如图，某几何体的三视图中，主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，求此几何体的体积•14. 两条异面直线，所成角为广y■，则过一定点T ，与直线:,」都成宜少角的直线有条 .15. 如图，在棱长为1的正方体•「:.-中，点「，，分别是棱―,■的中点，,•是侧面内一点，若■:平面，存F，则线段 '长度的取值范围是________________ .ABCD是边长为2的正方形,16.如图，在七面体\'E_平面ABCD，且如=?, XB=】与，，交于三、解答题，-点，点…在，上，且一（1 ）求证：：一•’ 平面「讥（2）求七面体、m駅的体积.17. 如图，四棱锥m-寫晁C 中，底面.1 ,■为平行四边形，RD 二爲,pn I 底面.iBCD.（1）证明：平面mi平面）；(2)若二面角 门_「_ ：;：为一，求 沐 与平面 爭守:：所成的正弦值.18. 如图，四棱锥 厂严君:羔：中，底面 ，；,，；是平行四边形，严门，1平面「用：二，垂足为：.，：，在线段 「，：上， 「,-,，是：的中点，四面体少—恋的体积为(1)求异面直线 T 丁与 m 所成角的余弦值;:-)至9 朋R 的位置.(2)棱 公厂 上是否存在一点 ，，使 在，请说明理由.「产|飞宀，若存在，求 的值，若不存19.如图，边长为2的正方形 ，绕 ■'边所在直线旋转一定的角度(小于20. 已知矩形.中，「：=•，.「，.■ ， 「 分别在 y ， ■:' 上，且朋 I ，蓄.二，沿了卞将四边形 折成四边形 < -7，r.-'，使点■■在平面….二 上的射影丁在直线上.(1 )若_.，- 「，求三棱锥(2)若」为线段上异于v , ■1'■-的外接球的表面积；.■的点，驚.7-，设直线与平面•，厂所成角为当HE 兰心虬尸时，求；-的取值范围.J!(2 )求二面角的大小.参考答案及解析第1题【答案】L.【解析】试题分析：分析题育可知’该几何体为三棱柱与长方体的组合，耳表面积S右(6切十斗兀3 + "珈2 +扌+4T + 5><3-3： =13£伽，)、故选D*第2题【答案】【解析】试题分析：分析赴青该球的轴截面如T團所示，设球的半径为去,则可知（丘-2尸+ 4\疋=>R二5二体积卩=+用=出严0沪》、故选乩第3题【答案】E.【解析】试题分析；①；根据面面垂直的刊定可知，①¥犒僉②；根据线面平疔的判^可短②正确'③；如下團所示，立方体Affs-儿中，£妨］与吗在底面站场qp的射魁互相垂直，而凡％与禹的夹角为彳*③错误,@：™可能斜交'可育黑亍'可能异面，可育睡直，④错误「■正确命题的个数为1个，故选B.第4题【答案】第6题【答案】L.【解析】 试题分析;UB “山 mi I 丄ui urn M 曲 Lua inn am iuu lun tun Lum JC BD = (AB- EC) BD^AB ED + BC BD-BC BD =\BC\\BD\IE 丄屮 U ■ JUAC BD 24 iA cosff= A H mil，二二面角为百胪、故选B ・\AC\\SD\ 6 S 2第5题【答案】【解析】试题分析；①：记0在平^ABC 的投黑为H ,则可知线段用0的延长线上的点.D 均为符合趣意的 点D ,故<D 正确j ②；以线段沖薦为边作一个正^>AB ,使得点「在AD-仏内的W 影为AD.45 的中心』则四面体曲匚口刊正三棱寵 遠样的点D 至少有两个，分并H 立于平面的两侧，故 ② 错词③ ：由题育可知满足条件的点Q 為三揍锥O-■^匚的外接球球、不可能为无数个，故③1弗是 ④ 取点。
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线7．下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体的体积的最大值为（ ）A ．a 3B ．a 3 C ． a 3D ． a 314．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n =16a 12，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在15．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（ ）A ．AC ⊥BFB ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCD ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值16．设函数f （x ）=x 2﹣4x +3，若f （x ）≥mx 对任意的实数x ≥2都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2﹣4，﹣2+4]B ．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C ．[﹣2+4，+∞） D ．（﹣∞，﹣]17．已知数列{a n }的通项公式为，则数列{a n }（ ）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．参考答案一、单项选择题1．D 2．B 3．C 4．A．5．B．6．D．7．D．8．C．9．B．10．D．11．A．12．C 13．C．14．A 15．B．16．D 17．C．18．D．二、填空题19．解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题23．解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．解：（1）∵a 1=1，对任意的n ∈N*，有2S n =2pa n 2+pa n ﹣p ∴2a 1=2pa 12+pa 1﹣p ，即2=2p +p ﹣p ，解得p=1； （2）2S n =2a n 2+a n ﹣1，①2S n ﹣1=2a n ﹣12+a n ﹣1﹣1，（n ≥2），②①﹣②即得（a n ﹣a n ﹣1﹣）（a n +a n ﹣1）=0， 因为a n +a n ﹣1≠0，所以a n ﹣a n ﹣1﹣=0，∴（3）2S n =2a n 2+a n ﹣1=2×，∴S n =，∴=n •2nT n =1×21+2×22+…+n •2n ③又2T n =1×22+2×23+…+（n ﹣1）•2n+n2n +1 ④④﹣③T n =﹣1×21﹣（22+23+ (2)）+n2n +1=（n ﹣1）2n +1+2∴T n =（n ﹣1）2n +1+2。
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高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1的倾斜角是（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）
①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线．
②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．
③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线．
④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．①④
3．下面命题中正确的是（ ）
A ．经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）表示．
B ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程
（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）=（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b
+=表示 D ．经过点A （0，b ）的直线都可以用方程y=kx+b 表示
4．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ ）
A ．α，β都平行于直线a
B ．α内存不共线的三点到β的距离相等
C ．l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β
D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β
5．已知圆C ：x 2+y 2+Dx+Ey+
14=0的圆心坐标是（－12，2），则半径为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 6．若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ）
A ．1：16
B ．3：27
C ．13：129
D ．39：129 7．直线ax ﹣y+2a=0与圆x 2+y 2=9的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
8．如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角为α，直线DA与平面ABC所成的角为β，直线DA与BC所成的角为γ，则（）
A．α≥βB．α≤βC．α≥γD．α≤γ
9．已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得PA ⊥PB，则实数m的最大值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）
A．B．1 C．D．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分)
11．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则实数m= ，两直线之间的距离是．
12．如图是正四棱锥P﹣ABCD的三视图，其中正视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的表面积是，体积是．
13．已知圆O的圆心为原点，且与直线x+y+4=0相切，则圆O的方程为，过点P （8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与CD1的所成角为，二面角B﹣A1C﹣D
的大小为．
15．已知A（﹣4，0）、B（0，﹣3），点P（x，y）在线段AB（含端点）上移动，则的最小值为．
16．在RT△ABC中，若∠C=，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两个互相垂直且长度分别为a，b，c，三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有h2= ．
17．已知f（x）是定义在R上的增函数，其图象关于点（0，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共45分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．
（1）求棱AA1的长；
（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积和体积．
19．（8分）一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线的方程：
（1）它的倾斜角的正弦值为；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）．
20．（9分）如图，在四面体PABC中，PA⊥平面ABC，面PAC⊥面PBC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2，BC=1，求异面直线AB与PC所成角的正弦值．
21．（10分）如图（图1）已知正方形ABCD的边长为1，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图（图2）所示．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）若△ACD为正三角形，求AD与平面BCDE所成角的正弦
值．
22．（10分）已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（t，0），B（t+5，0）（﹣4≤t≤﹣1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．
数学试卷参考答案
一、选择题
1．C；2．C；3．B；4．D；5．A；6．D；7．B；8．A；9．C；10．D；
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分)
11．4；；12．3；；13．x2+y2=16；4x+3y﹣8=0；14．60°；60°；15．5；16．；17．[，3]；
三、解答题（本大题共5小题，共45分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（1）4 （2）R＝6，V＝86
19．（1）3x－4y－1＝0或3x+4y－17＝0
（2）2x+3y－12＝0
20．
21．
22．。