数值计算方法复习题2
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习题二
1. 已知,求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式,并估计插值误差。
解:;,介于x和0,1决定的区间;,当时。
3. 给出函数的数表,分别用线性插值与二次插值求的近似值,并估计截断误差。0.54667,0.000470;0.54714,0.000029
4. 设,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知,求及的值。1,0
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算和的近似值。,
7. 已知函数的如下函数值表,解答下列问题(1)试列出相应的差分表;(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
向后插值公式
8. 下表为概率积分的数据表,试问:1)时,积分2)为何值时,积分?。
9. 利用在各点的数据(取五位有效数字),求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489
10. 依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。
11. 依据数表11
项式。
12. 在上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求的近似值,要使截断误差不超过,问函数表的步长h应怎样选取?
13. 将区间分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,并估计截断误差。
14、给定的数值表
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限
解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值
误差限,因,故
二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值
误差限,故
15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近
似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?
解:用误差估计式,
令因
得
16、若,求和
解:由均差与导数关系
于是
17、若互异,求的值,这里
p≤n+1.
解:,由均差对称性可知当有
而当P=n+1时
于是得
18、求证
解:只要按差分定义直接展开得19、已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解:根据给定函数表构造均差表
当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)
由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得
由于
20、给定f(x)=cosx的函数表
用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.
解:计算,用n=4得Newton前插公式
误差估计
其中计算时用Newton后插公式(5.18)
误差估计得
这里仍未0.565
21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足
解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造使它满足,显然,再令
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=,于是
22.令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1]
上带权的正交多项式序列.
解:因
23、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.
解:本题给出拟合曲线,即,故法方程系数
法方程为
解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为
1) 满足条件插值多项式p(x)=().
2) ,则f[1,2,3,4]=?,f[1,2,3,4,5]=?.
3) 设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=?,=?.
4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=?,=?;