数学建模全国赛07年A题一等奖论文

关于中国人口增长趋势的研究【摘要】本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。

首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。

在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。

然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。

与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。

为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。

在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。

在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。

此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。

接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。

在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。

最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。

关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数目录一、问题重述 (3)二、符号定义与说明 (3)三、模型假设 (3)四、问题分析 (4)1问题背景的理解： (4)2问题分析： (4)五、模型建立及求解 (4)1模型一阻滞增长模型 (4)1.1模型建立 (4)1.2模型求解 (5)1.3 模型的分析与优化 (6)2模型二 GM(1,1)灰色预测模型 (7)2.1模型建立 (7)2.2模型求解 (7)2.3结果分析 (8)3模型三基于计算机模拟的动态模型 (8)3.1数据处理 (8)3.1.1取平均消除异常值 (8)3.1.2对人口死亡率拟合 (9)3.1.32001年市镇乡男女各年龄人口数目 (9)3.1.4城镇化水平拟合 (9)3.2模型的建立及求解 (10)3.2.1模型建立 (10)3.2.2模型求解 (11)3.3模型三的改进 (17)六、模型评价 (19)七、模型灵敏度分析 (19)1人口死亡率Compertz函数中死亡率发展因子θ的灵敏度分析 (19)2模型三男女出生比例灵敏度分析 (20)3模型三妇女生育率灵敏度分析 (21)八、模型的合理性分析： (21)九、给政府的建议 (22)【参考文献】 (22)【附件】 (23)一、问题重述中国是世界上人口最多的国家，人口多，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。

因此，计划生育是我国的一项基本国策。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的发展。

因此，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题，这将为中国经济和社会发展决策提供科学依据，同时对于加速推进我国现代化建设的宏伟大业有着极为重要的现实意义。

根据附录2的数据进行建模，同时要参考中国的实际情况以及人口增长的上述特点，对中国人口增长的中短期和长期的趋势做出预测，比如未来的人口数目、性别比例、人口结构等，特别要指出模型的优点和不足。

二、符号定义与说明三、模型假设1.不考虑我国人口向国外搬迁，同时也不考虑国外人口向国内搬迁；2.不考虑战争、灾害、疾病对人口数目的影响；3.假设在一年内，各个地区，各个年龄段的死亡率不会发生变化；4.假设在一年内，处于生育年龄的妇女生育率不会发生变化；5.由于当前男女出生比例有失调的现象，故假设在2020年之前男女出生比例为116，在2020年之后调整到107。

四、问题分析1问题背景的理解：新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰。

70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。

90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。

进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。

到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。

中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。

若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。

但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。

在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。

2问题分析：本题需要结合中国的实际情况和人口增长的特点来对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

首先，我们从简单模型入手，利用已有年份的人口总量数据预测将来的人口总量的变化趋势，从总体上对人口发展做出预测。

其次，把人口的增长特点考虑在内，利用动态模型并进行计算机模拟，得到符合中国实际情况的模型，包含了老龄化水平、性别比例、城镇化等更细致的结果。

最后，我们对每个模型的预测结果进行对比，评判其各自的优点及缺点，并对政府部门提出一些建设性的意见。

五、模型建立及求解1模型一阻滞增长模型1.1模型建立针对未来中国的人口总数，我们建立简单的人口总数预测模型——阻滞增长模型（具体建立方法请参考[1]）。

我们得到如下等式： 人口增长率函数：mx r(x)=r(1-)x ........................................ (1) t 时刻人口数目函数：⎛⎫ ⎪⎝⎭m-rtm 0x x(t)=x 1+-1e x .................................(2) 单位时间内人口增量方程：dx dt =r -st x， m r s =x ..........................(3) 1.2 模型求解首先，我们利用方程（3）以及1990年到1999的中国总人口数据（数据见附件1）用MATLAB 软件对方程（3）进行线形最小二乘法拟合，得到r =0.056，⨯m x =1475310（万）。

则人口总量函数为： ⨯-0.0568t 14753x(t)=147531+(-1)e 11433.......................................(4) 然后，我们用(4)式，得出计算结果，并与实际数据作比较，分别得到阻滞增长模型图1 阻滞增长模型拟合曲线一可以看出，这个模型拟合时虽然初始的一段（1990年至2002年）吻合得不错，但是最后一段（2003年至2006年）不大好。

1.3 模型的分析与优化在上述模型中，我们并没有把2000年到2006年的实际数据参与函数的拟合，目的是为了用它们作模型的检验。

我们用模型计算的数据和这一段的实际数据比较，来检验模型是否合适，经计算得到2000～2006年人口计算与实际数据的相对误差（如表3）：从表中可以看出，误差均比较小，所以可以认为该模型是相当满意的。

经过上面的分析求解，我们应当把2000年到2006年的实际数据加进去重新拟合，得到新的()x t 如下：-0.067049t 14208x(t)=142081+(-1)e 11433............................................(5) 我们用（5）式对未来14年进行预测，得到阻滞增长模型预测2007～2050年的人口数据（如表4）和阻滞增长模型拟合曲线二（如图2）：图2阻滞增长模型拟合曲线二2 模型二 GM(1,1)灰色预测模型2.1 模型建立由于人的出生和死亡是随机的，因此我们利用灰色预测模型中的累加效果，尽量减小这种随机影响，在此我们采用模灰色GM(1,1)模型（具体讲解请参考[3]）。

为了使预测效果更佳，并不直接用总人口序列建模,而是首先求出各年净增人口序列，即1990～2.2 模型求解原始样本序列为：()[] 0q =1629 1490 1348 1346 1333 1271 1268 1237 1135 1025 957 884 826 774 761 768 通过灰色GM （1,1）模型，我们得到未来第t 年的较1989年(1989年人口总数为11.27亿)的累积人口净增量（记1990年t=1，1991年t=2，之后以此类推）(1)q (t)=32954.4-31325.4*exp(-0.049579*(t -1)) (6)利用() ()() ()() ()011q t =q t -q t -1以及(6)式，得到人口的的净增长预测值() ()0q t 后，利用() ()+0x(t)=q t x(t -1)迭代可得出未来第t 年的人口数量（记1990年t=1，1991年t=2，之后以此类推）为x(t)=145660-31325.4*exp(-0.049579*(t -1)) (7)我们由（7）式预测从2007～2050年中国人口总数,得到灰色GM(1,1)模型预测2007～2.3 结果分析对我国2006 年实际总人口数进行检验性预测，预测值为13.149亿，实际值为13.1448亿，相对误差为0.03%。