化工应用数学-常微分方程数值解-打靶法

y'' 8 1 y
4
y(0) 0, y(10) 0
试用打靶法求解
令：y1 y; y2 y1' y' 转为初值问题：
y1'
y2
y2'
8-
1 4
y1
y1
(0)
0
y2 (0) m
寻求合适的m使得y1(10) 0
m1=10，h=0.1，采用显式欧拉法
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打靶法的几何意义：就是要从微分方程 y'' f (x, y, y' )
的经过点（a,α）出发，从具有不同斜率的一族积分
曲线中去找一个通过点（b,β）的曲线。
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y
m=m1
(b,β) m=m3
m=m2
(a,α) x
最初可根据对客观过程的理解先假设一个斜率m1解初
值问题。这样便得到一个解y1(x)，如果y1(b)=β或
处提供信息，即在x=a和x=b处提供边界条件的常微
分方程的问题。 我们以二阶常微分方程为例讨论两点边值问题。
y'' f (x, y, y' ), a＜x＜b 边界条件可以有三类：
第一类边界条件： y(a) ; y(b)
第二类边界条件： y' (a) ; y' (b)
第三类边界条件： a0 y(a) a1 y' (a)
者 y1(b) ＜ ，则y1(x)即为所求解。否则就要重新修
正m值，使其所得积分曲线经过点（b,β）。
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y
m=m1
(b,β) m=m3
m=m2
(a,α) x
由于它和弹道问题类似，故称打靶法，意思是寻求曲线
初始的合适的斜率，使其击中目标 y(b)=β 。
显然， y(b)的值随m值变化而变化，即y(b)是m的函数，
F(m)
F (m2 )
(F (m2 ) ) (F (m1) )
m2 m1
F (m1)
F (m2 )
m2 - m3
x
m3
m2
-
[F (m2 )
F (m2 )
F (m1)] /(m2
m1 )
m3
m1
m4，m5， mn
m2
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二阶边值问题：
常微分方程数值解
常微分方程边值问题
问题：一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，
另一端恒温为T1，求此均匀介质上的温度分布？
(x0, T1)
xL此处绝热
x1
温度？
x2
温度？
x3
温度？
T=f(x) 其中x代表均匀介质上某一位置距离端点的距离； T代表x处的温度。
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常微分方程边值问题
其中a0, a1,b0,b1均为常数， 并且ai 0;bi 0; a0 b0＞0,i 0,1
b0 y(b) b1 y' (b)
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打靶法和差分法
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打靶法
打靶法可用于解线性和非线性边值问题。其基本思 想是把边值问题转化为等价的初值问题，然后使用 初值问题的数值解法求解。
所以y(b)=F(m)，于是问题就是寻求F(m)=β。
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问题就是寻求F(m)=β 如何寻求m y
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(a,α)
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m=m1 (b,β) m=m3
m=m2
x
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问题就是寻求F(m)=β y
如何寻求m
弦截法
目的：寻找曲线
F(m) 与X轴的交点
二阶方程的 y'' f (x, y, y' ),a＜x＜b
第一边值问题：
y(a)
;
y(b)
二阶方程的 y'' f (x, y, y' ),a＜x＜b
初值问题：
y(a)
;
y
'
(a)
m
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任务：寻找 m，使得 y(b)=β
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y
m=m1
(b,β) m=m3
m=m2
(a,α) x
问题：一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，
另一端恒温为T1，求此均匀介质上的温度分布？
(x0, T1)
xL此处绝热
x1
温度？
x2
x3
温度？ 温度？
T=f(x)？
d
(k dT ) 0
dx f (0)
dx T1
dT
0
dx xL
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边值问题是指在自变量x的某一区间[a,b]的两个端点