09数理统计试卷A讲解学习
西南科技大学2009《概率论与数理统计B》期末试卷(A 卷)评析
（2） X 0
1
P 0.4 0.6
所以 E( X ) = 0.6 ……………………4 分
（3）因为
XY 0
1
2
P 0.6 0.2 0.2
5
理学院鲜大权《概率论与数理统计 B》期末考试辅导
因此， E( XY ) = 0.6 ………………………………………4 分
八、（10 分）设总体 X 的概率密度函数为
4、设 X，Y 是随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ ）
A．D（X+Y）=D（X）+D（Y）
B．D（X+C）=D（X）+C
C．D（X-Y）=D（X）- D（Y）
D．D（X-C）=D（X）
解: 随机变量的方差刻画随机变量取值的集中分散程度，而一个随机变量加减一常
2
理学院鲜大权《概率论与数理统计 B》期末考试辅导
故所求概率为 P( AB) = P(B | A)P( A) = 0.95× 0.6 = 0.57 。
2、设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则 P(B)=________. 解:
由 A 与 B 相互独立有
P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A)P(B) = 0.2 + 0.8P(B) = 0.6 ⇒ P(B) = 0.5 。
D) P(A ∪ B) = 1
解: A 与 B 互不相容，即 P(AB) = 0 ⇒ P(AB) = 1− P( AB) = 1 ，所以选 B。
2、下列函数中，为某随机变量 X 的概率密度的是 （
）
A)
⎪⎧100 ⎨ x2
,
x > 100,
2009年4月2011年4月自考概率论与数理统计(二)真题及参考答案
2009年4月全国自考概率论与数理统计（二）真题及参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是()A.P（AB）=0B.P（A∪B）=P（A）+P（B）C.P（AB）=P（A）P（B）D.P（B-A）=P（B）答案：C2.A. AB. BC. CD. D答案：D3.A. AB. BC. CD. D答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：C5.A. AB. BC. CD. D 答案：C6.A. AB. BC. CD. D 答案：B7.A. AB. BC. CD. D 答案：A8.A. AB. BC. CD. D 答案：D9.A. AB. BC. CD. D 答案：B10.A. AB. BC. CD. D答案：A二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.___答案：0.32.盒中有4个棋子，其中白子2个，黑子2个，今有1人随机地从盒中取出2子，则这2个子颜色相同的概率为___.答案：3.若随机变量X在区间［-1,+∞)内取值的概率等于随机变量Y=X-3在区间［a,+∞)内取值的概率，则a=___.答案：-44.___答案：0.25.___答案：0.7 6.___答案：0.5 7.___答案：1 8.___答案：9.___答案：710.___答案：11.___答案：012.一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为___.答案：0.513.___答案：014.___答案：3.2915.___答案：2三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.答案：2.一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，设X为直至取得正品为止所需抽取次数.(1)若每次取出的产品仍放回去，求X的分布律；（2）若每次取出的产品不放回去，求P{X=3}.答案：四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）1.答案：2.答案：五、应用题（10分）1.答案：全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题和答案课程代码：02197一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
2009概率论与数理统计(A卷)试卷解答1
0102461911811313XY华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第一学期 考试科目：考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（每小题3分，共3⨯5=15分）1、设随机变量X 服从二项分布()10,B p ，若X 的方差是52，则12p =2、设随机变量X 、Y 均服从正态分布()2,0.2N 且相互独立，则随机变量21Z X Y =-+的概率密度函数为()211z +-()()~1,1Y N -3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为： 则联合分布函数值()1,3F =5184、设总体X 服从参数为λ的指数分布，12,,...,n x x x 是它的一组样本值，作λ的极大似然估计时所用的似然函数()12,,...,;n L x x x λ=1nii x neλλ=-∑。
5、作单因素方差分析，假定因素有r 个水平，共作了n 次试验，当H 0为真时， 统计量~A A E ESS df F SS df =()1,F r n r --二、单项选择题（每小题3分，共3⨯5=15分） 1、设A ，B 是两个互斥的随机事件，则必有（ A ）()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P B =+-=- ()()()()()()()1C P AB P A P B D P A P B ==-2、设A ，B 是两个随机事件，()()()245,,556P A P B P B A ===，则（ C ）()()()()()()()()1351224825A P AB B P A BC P A BD P A B ====3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ D ）()()()()()()()()A E X Y E X E Y B E XY E X E Y ±=±= ()()()()()()()()C D XY D X D YD D XY D X D Y ±=+=4、作单因素方差分析，假定因素有三个水平，具有共同方差2σ。
概率论与数理统计期终考试试卷及参考答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073/B2220071 学分: 3 考试时间: 100 分钟课程序号: 1441、1447、1451、1455、1456、1457、1458、1459、1460、1461、1976 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________。
2、设()4.0=A P ，()7.0=+B A P ，若B A ,相互独立，则()=B P ___________。
3、100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为______________。
4、设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤≤=其他,0,10,32x x x f ，则()=X E __________。
5、设由总体~(,)X F x θ（θ未知）的样本观察值求得9.0}5.455.35{=<<θP ，则称区间[35.5，45.5]为θ的一个置信度为________的置信区间。
6、设Z Y X ,,相互独立，X 在]6,0[上服从均匀分布，)4,1(~N Y ，Z 服从参数2=λ 的泊松分布，32+--=Z Y X W ，()D W = 。
二、选择题（每题3分，共12分）1、对于任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。
（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ （C ）X 和Y 相互独立（D ）X 和Y 不独立2、设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量1123131ˆ5102X X X μ=++，2123115ˆ3412X X X μ=++，3123111ˆ362X X X μ=++其中方差最小的估计量是（ ）。
自考概率论与数理统计2009年10月真题及详解答案
. . . .全国2009年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ B ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A AD ．21A A2．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ D ） A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )3．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ⊂B ，则P (A |B )=（ C ） A ．0 B ．0.4 C ．0.8D ．1解：（P14）∵A ⊂B ，∴()()P AB P A =，()()()()()0.40.80.5P AB P A P A B P B P B ====。
4．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ D ） A ．0.20 B ．0.30 C ．0.38D ．0.57解：（P14）设A 为取到不合格品的事件，B 为取到一等品的事件； 则A 为取到合格品的事件，∴()()()5%,195%P A P A P A ==-= 合格品中一等品概率为：()60%P B A =，显然，()0P B A =. . . .由全概率公式得：()()()()()5%095%60%57%P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= 5．设随机变量X 的分布律为，则P {X <1}=（ C ）A ．0B ．0.2C ．0.3D ．0.5解(P?)：6．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>100,0,100,1002x x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,10x x xC ．⎩⎨⎧≤≤-其他,0,20,1x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,0,232121x ，解：(P39)∵()1f x dx +∞-∞=⎰∴(A)()210010010010010001100f x dx dx x x +∞+∞+∞-∞⎛⎫==-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰； (B)()01010ln 1f x dx dx x x+∞+∞+∞-∞==≠⎰⎰；(D)()33221122111311112222222f x dx dx x +∞-∞===⨯-⨯=≠⎰⎰； 7．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)= （ A ）A ．25- B ．21 C ．2D ．5解：(P ？)∵()12E X =，()1632E Y =⨯=，()()()15322E X Y E X E Y -=-=-=-。
随米-武汉理工大学2009~2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末试卷(A卷)及参考答案
武汉理工大学考试试题纸（A 卷）课程名称概率论与数理统计专业班级全校本科2008级备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、填空题、)4283('=⨯'1. 已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.25P AB =，则=)(B A P . 2. 设二维随机变量),(Y X 满足{}30,07P X Y ≥≥=，且{}{}3007P X P Y <=<=，则{}max(,)0P X Y ≥=.3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度(2)2,0,0,(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它则{}P Y X ≤=.4. 已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X ==.5. 已知~(0,36)X N ,~(Y U ,相关系数0.5XY ρ=-，则ov(,)C X Y =.6. 1234,,,X X X X 是来自总体),(~2σμN X 的样本，2343X X X Y ++=，()422*212i i S X Y ==-∑，则1*X S μ-服从的分布是. 7. 设12,,,n X X X 为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==,要使()12211ˆn i i i a X X σ-+==-∑是2σ的无偏估计,则常数=a .8. 设921,,,X X X 为正态总体),(~2σμN X 的样本,其中29σ=,样本均值8.52x =,则总体均值μ的置信度为%95的置信区间为.(小数点后保留两位)二、)01('已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中装有2件合格品和1件次品，现从甲箱中任取2件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率及该次品是在从甲箱中没取到次品的情况下取得的概率（结果用分数形式表示）.三、)01('一箱子装有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3个；现从箱中随机的取出2个球，设X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数.试求随机变量),(Y X 的联合分布律及Y X ,的边缘分布律(要求画出分布律表格且结果用分数形式表示)，并判断,X Y 是否相互独立.四、)01('设连续型随机变量X 的分布函数为：0,1,()ln ,1,1,.x F x A x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试求：①常数A；②概率{0P X <≤；③X 的概率密度函数()f x .五、)01('设随机变量X 的概率密度为()14,1112,120,X x f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，令2Y X =，求Y 的分布函数()Y F y .六、)01('某高校图书馆阅览室共有940个座位，该校共10000名学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为10%.试估算阅览室晚上座位不够用的概率（小数点后保留三位）.七、)01('设总体X 的概率密度函数为11()0,1x x f x x θθ--⎧>=⎨≤⎩，，其中1θ>是未知参数，12n,...,X X X 为来自该总体的一个样本，该样本取值为12,...,n x x x .求θ的矩估计量和极大似然估计量.八、)01('假定某车间生产的电子元件的寿命（小时h ）服从正态分布2(,)N μσ，已知技术改变前的平均寿命为1000h ，现在随机测试9个革新以后的电子元件的寿命，计算得样本均值1124x =h ，样本标准差152S h =. 请问在显著性水平05.0=α下, 是否有理由认为技术革新改变了产品质量？九、)6('设连续型随机变量(0,1)X N ，Y 表示对X 的5次观测中事件{}||1X >发生的次数，试判断Y 的分布，并求Y 的方差（小数点后保留三位）.查表数据：(1.00)0.8413Φ=975.0)96.1(=Φ95.0)645.1(=Φ9332.0)50.1(=Φ8595.1)8(05.0=t 3060.2)8(025.0=t 8331.1)9(05.0=t 2622.2)9(025.0=t2009~2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末试卷（A 卷）参考答案一、填空题：(每空5分,共25分)(1)、0.4 (2)、57 (3)、1/3 (4)、1e- (5)、-3(6)、(2)t (7)、12(1)n - (8)、(6.56， 10.48)二、(共10分)解:设i A 表示“从甲箱中取了i 件次品放入乙箱”，0,1,2i =； B 表示“从乙箱中取到的是次品”。
汪宏喜09年考研辅导讲义(概率论与数理统计)
2009年考研数学内部讲义概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学2008年5月第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．• 考试内容解析 •一、随机事件与样本空间1．随机试验E ：⎪⎩⎪⎨⎧)()3()()2()(,)1(随机性知每次试验的结果事先未多样性先已知试验所有的可能结果事统计性可重复进行试验在相同的条件下２．样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间．记为Ω={ω}．Ω中的元素ω称为样本点，也即E 的基本事件．３．随机事件：试验E 的结果称为E 的随机事件．记为A 、B 、C 等．(1)基本事件：E 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;(2)必然事件与不可能事件：每次试验E 中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E 中一定不发生的事件称不可能事件，记为∅．4．事件间的关系和运算事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等． (1)包含：如果事件A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A ⊂B 或B ⊃A ． (2)相等：如果A ⊂B 且B ⊂A ,则称事件A 与B 相等．记作A =B ．(3)不相容：如果事件A 与事件B 不可能同时发生, 即∅=B A I ，则称事件A 与事件B是互不相容(或互斥)．(4)对立：如果事件A 与事件B 满足：Ω=∅=B A B A U I ②;①．即事件A 与事件B 必发生其一，但不能同时发生．则称事件A 与事件B 是互逆事件，或者说A 与B 为对立事件，记为B A =(或A B =)．注：两个互相对立的事件A 与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．(5)并(和)：如果事件A 与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的并(或和), 记作A ∪B 或A +B ．(6)差：如果事件A 发生而事件B 不发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的差, 记作A -B 或A \B ．(7)交：如果事件A 与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的交,记作A ∩B 或AB ．(8)完全事件组：如果事件A 1，A 2，…，A n ，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A 1，A 2，…，A n ，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是无限的．完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分．4．事件运算的性质对于任意事件A ，B ，C ， A 1，A 2，…，A n ，…，有 (1)交换律：A +B =B +A ；AB =BA ．(2)结合律：A +B +C = (A +B )+C =A +(B +C )；ABC =(AB )C =A (BC )．(3)分配律：A (B +C )=AB +AC ；A (B -C )=AB -AC ；i ii iAA A A U U =)(．(4)对偶律：i ii ii ii iA A A A ，AB ，B A U I I U ==+==+,．5．事件与集合由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1．1二、事件的概率概率是事件出现可能性大小的度量,用P (A )表示事件A 的概率．如用{…}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P {…}表示其概率．1．概率的概念在一个随机试验中,对于每一个事件A ,都有唯一的实数P (A )和它对应,且P (A )是满足下列条件的事件A 的函数：(1)非负性：P (A )≥0；(2)规范性：对于必然事件，有P (Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A 1，A 2，…,A n ，…,有∑=ii i iA P A P )()(U ．∅=B A I 图1.1AB A −ΩB A ⊂BAB A U B A I2．概率的基本性质 (1)P (∅)=0;(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…,A n 两两互不相容,则∑===ni i i ni A P A P 11)()(U ;(3)对于两个事件A 与B ,如果B A ⊂,则P (A -B )=P (A )-P (B )． 特别地,由于P (Ω)=1,故而有()1()P A A =−．3．古典型概率如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率．对于此类试验中的事件A ,其概率可以如下计算：nn A A P A=Ω=中所含样本点的个数中所含样本点的个数)(． 4．几何型概率如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A 的概率为)()()(或面积或体积长度的或面积或体积长度的Ω=A A P ．5．条件概率对于任意两个事件A 和B ,其中P (A )>0,则事件B 在事件A 发生的条件下的条件概率定义为：)()()|(A P AB P A B P =注：可以验证,对于给定的事件A ,条件概率)|(A B P 具有概率的一切性质． 6．计算概率的几个公式(1)加法公式：对于任意事件A ，B ，C ，有P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )．P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )．上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式． (2)减法公式：对于任意两个事件A ，B ，有P (A -B )=P (A )-P (AB )．(3)乘法公式：对于任意两个事件A ，B ，则有()()(|)(()0)P AB P A P B A P A =>或()()(|)(()0)P AB P B P A B P B =>一般地，对任意三事件A 、B 、C ,则()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =．对于n 个事件A 1，A 2，…,A n ，若P (A 1A 2…A n -1)>0,则P (A 1A 2…A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)…P (A n | A 1A 2…A n -1)(4)全概率公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()((5)贝叶斯公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B (P (B )>0),有),,2,1()|()()|()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B P B A P B A P nj jji i i i L ===∑=三、事件的独立性与独立重复试验1．独立事件(1)两个事件独立：对于两个事件A 与B ，如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与B 独立． 如果事件A 与B 独立,则事件B A B A B A 与与与,,也独立．(2)多个事件的的相互独立：对于任意n 个事件A 1，A 2，…,A n ，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意n j i ≤<≤1,有)()()(j i j i A P A P A A P =,则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 两两独立;如果其中任何k n k ≤≤2()个事件：),1(,,,2121n i i i A A A k i i i k ≤<<<≤L L 均有),()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P L L =则称A 1，A 2，…,A n 相互独立． 2．独立试验(1)独立试验：两个或两个以上试验为相互独立的,如果与各试验相联系的事件之间相互独立．(2)独立重复试验：在两个或多个独立试验中,如果同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们是独立重复试验．(3)伯努利试验：如果试验结果只有A 与A 两个结果,则称之为伯努利试验．将一伯努利试验独立重复进行n 次,则称为n 重伯努利试验．设在每次试验中P (A )=p (0<p <1),则在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次的概率为kn k p p k n p n k b −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1(),;( 此公式称为二项概率公式．• 例题讲解 •例1．已知A 、B 、C 为任意三个随机事件,则P [(A +B )(A -C )]等于( ))()()()()()()()()()()()()()()()()(AC P A P D ABC P AC P A P C ABC P AB P AC P A P B ABC P AB P AC P A P A −+−−−+−+−解:例2．设三个非空事件A ,B ,C 是完备事件组,则不能得出结论的是( )∅=∅=D C C B A B C A C B B A A )()()(,)(,,)(U 为对立事件两两互斥解:例3．设随机事件A 与B 互不相容,则下列选项中不正确．．．的是( ) ()()()()()])([()()()()()(1)()()()(B A P A P B A P D A P B A B A P C B P A P B A P B B A P A P B A P A U U U −=−=−−=−−+=−解:例4．)(),|()|(,1)(0,,则若有为两事件设B A P B A P B P B A =<<B A D B P A P AB PC B A B AB A ⊃==∅=)()()()()()()(解:例5．)()|(,1)(,0)(,,,=≠>C AB P C P ABC P C B A 与为三个随机事件已知)|()()()()()()()()|()|()()|()|()()|()|(C B P AC P ABC P D B P A P AB P C AC B P C B P B BC A P C A P A C B P C A P ====不等价的是 解:例6．)(,32)(,41)|()|(则设===A P A B P B A P)|()|(,)(127)(,)()()(,)(125)(,)(B A P B A P B A D B A P B A C B P A P B A B B A P B A A ====且不独立与且不独立与且独立与且独立与U U解:例7．设有两个事件A , B , 0<P (A )<1, 0<P (B )<1, 则( )一定相容则不独立若一定互斥则不独立若一定相容则独立若不相容一定互斥则独立若B A B A D B A B A C B A B A B B A B A A ,,,)(,,,)(,,,)()(,,,)(解:例8．商店销售10台电视机,其中有7台一级品,3台二级品,已买出一台,在其余的9台中 任取2台发现均为一级品,则买出的那一台也是一级品的概率为( )107)(105)(87)(85)(D C B A 解:例9．.____)|(,2.0)(,6.0)(,3.0)(,,====B A P AB P B P A P B A 则是两个随机事件设 解:例10．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .解: 从P (AB )=0，可知P (ABC )=083)(1)()(8501611*********)()()()()()()()(=−===+−−−++=+−−−++=C B A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U U U U U 则图1.2例11．袋中有五张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中无放回地随机抽取三张卡片，则取到的三卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是 .解:例12．在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于21的概率为 . 解: 这是一个几何概型,设x ,y 为所取的两个数,则样本空间为1{(,)|0,1},{(,)|(,),||}.2334(),,.14A A x y x y A x y x y x y S P A S S A S ΩΩΩ=<<=∈Ω−<===Ω记故其中分别表示和的面积 例13.(练习)设甲,乙两约好8:00—9:00在某地方会面,约定先到者等候20分钟,过了时间就离开,则两人能够会面的概率 .(95)例14．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则P {Y =2}= .解:由于事件{X =1}，{X =2}，{X =3}，{X =4}是一个完备事件组，且1{},1,2,3,44P X i i ===. 1{2|1}0,{2|},2,3,4P Y X P Y X i i i=======,根据全概率公式41{2}{}{2|}i P Y P X i P Y X i ======∑111113(0).423448=+++=例15．(练习)设袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚硬币投掷r 次,已知每次都是国徽,则这枚硬币是正品的概率为r n m m2⋅+.例16．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 .解:这是一个4重伯努利试验概型，设试验的成功率即射手的命中率为p ，则进行四次独立地射击，事件“四次均不中”的概率为4(1)p −，它是“至少命中一次”的对立事件. 依题意48012(1)11.8133p p p −=−⇒−=⇒= 例17．(练习)现进行一系列独立重复试验，成功两次之前失败两次的概率为163，则成功三次之前失败三次的概率 . (325) 注：（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p （0<p <1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）3p (1-p )2 （B ）6p (1-p )2. （C ）3p 2 (1-p )2 （D ）3p 2 (1-p )2.解:第4次射击恰好第二命中表示4次射击中第4次命中目标，前三次射击有1次命中目标.由独立重复性知所求的概率为: 2213)1(p p C − 应选（C ）.例18．(摸球问题)袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区别.现将球随机地一只只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率(b a k +≤≤1).解法1 把a 只黑球b 只白球视为不同的(如设想把它们编号)，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 个位置上，则基本事件总数就是a+b 个相异元素的全排列 (a+b )!.若记k A 为“第k 次摸出黑球”，这相当于在第k 个位置上放一黑球，在其余的(a+b -1)个位置上放另外的(a+b -1)个球.所以，k A 包含的基本事件个数为)!1(−+⋅b a a .故所求概率为ba ab a b a a A P k +=+−+⋅=)!()!1()(.解法2 还是将球视作各不相同的，只考虑前k 次摸球.此时样本空间包含的基本事件总数为kb a A +.而k A 这个事件相当于在第k 个位置上放一只黑球(有a C a =1种放法)，在其余k -1个位置上摆放从余下的a+b -1只球中任意取出的k -1只球(有11−−+k b a A 种放法)，总共有11−−+⋅k b a A a 种.故所求概率为b a a A A a A P kba kb a k +=⋅=+−−+11)(. 这个结果与k 无关.也就是说，不管先后次序，不管是放回还是不放回抽样，抽取到黑球的概率都是ba a+，这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中的抽签，摸彩票等等，机会均等且与先后次序无关.例19．(分房问题) 有n 个人每个人都以同样的概率N1被分在)(N n N ≤间房中的每一间中(每间容量不限).试求下列各事件的概率：(1)A ：某指定n 间房中各有一人； (2)B ：恰有n 间房，其中各有一人；(3)C ：某指定房间中恰有)(n m m ≤人.解 由于每一个人可被分配到N 间房中任意一间，所以基本事件总数相当于从N 个元素中选取n 个重复排列数，即为nN ，事件C B A ,,包含的基本事件数分别为m n mn C nN B A N C m n C m n m −−=⋅==)1(,!,!.于是(1)n Nn A P !)(=；(2)n nN N n C B P !)(⋅=；(3)m n mm n nm n mn N N C NN C C P −−−=−=)11()1()1()(.注：某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率(生日相同指几月几日出生相同)。
概率论与数理统计A试卷解答
f ( x, y )dx
1 2 1 1 y 0 ( x xy )dx, 0 y 2 , 0 y 2 3 6 3 0, 其它 其它 0,
(3)因为 f X x fY y f x, y ，所以 X 与 Y 不相互独立. (4) P{Y X }
《 概 率 论 与 数 理 统 计 A 》解 答 试卷一
一、 单项选择题 （本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）
1． A 2.C 3.Ｂ 4.D 5. D 6.B 7. A 8.C
二、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）
2
2
1
2
(n 1)
2 2
2
2 0.025
(8) 17.535 ，
2
2
1
2
2 (n 1) 0.975 (8) 2.180
(
(n 1) S (n 1) S 8 0.982 8 0.982 7.6832 7.6832 , ) ( , ) ( , ) 2 2 (n 1) (n 1) 17.535 2.180 17.535 2.180
三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
cxy, 0 x 3,0 y 2 , f ( x, y) 其它 0,
(1)求常数 c ； （2）求出 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y
的边缘概率密度； (3) 判断 X 和 Y 是否相互独立；(4) 求概率 P{Y
令
d ln L n n ln( xi 1) 0 d i 1
09-10(I)数理统计A试卷A答案
北京林业大学2009--2010学年第一学期数理统计A 考试试卷A 答案一、填空（每空2分，共10分）1. 设A 、B 、C 为三个事件，则至少有两个事件发生可以表示为AC BC AB ++。
2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为7的概率为1/6。
3. 设P (A )=0.4，P (B )=0.3，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P 0.3。
4．X ~P(2)，则EX 2=6 。
5. 已知X ~N (5,32)， 令Y =3X -2，则Y ~N （13，81）。
二、（10分）某商场供应的电冰箱中，甲厂产品占70% ，乙厂产品占30%，甲厂产品合格率是95% ，乙厂产品合格率是80% 。
（1）求此商场电冰箱的合格率。
（2）每卖出一台合格品为商场盈利300元，而每卖出一台不合格品则亏损500元，求卖出一台所得的平均利润。
解：（1）p =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905；（2）300×0.905+(-500)×0.95=224 三、（10分）设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤-=)(0)(2/1)(其它a x a a x f ，其中a >0，且3/1}1{=>X P 。
求(1)a 。
(2) Y =2X ，求Y 的概率密度函数)(y f Y 。
解：（1）(a -1)/2a =1/3，∴a =3；（2）]3,3[~-U X ，]6,6[~2-=U X Y ，⎩⎨⎧≤≤-=)(0)66(12/1)(其它y y f Y四、（10分）X ~B (2,0.2)，定义⎩⎨⎧>≤-=)1(1)1(1X X Y 。
（1）写出Y 的分布列。
（2）求E (Y )和D (Y )。
解：(1)P(X >1)=P(X =2)=(0.2)2=0.04,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04.096.011~Y ；（2）E (Y )=-0.92,D (Y )=EY 2-(EY)2=1-(0.92)2=0.1536 五、（10分）设（X,Y ）在半径为1、圆心在坐标原点的圆内服从均匀分布。
08-09I概率论与数理统计试卷(A)参考答案
| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | ||防灾科技学院2008~2009学年 第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级07601/ 07602/07103 答题时间120分钟一填空题（每题2分，共20分）1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为)0(0,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x ex f x，则分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ；6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2/)(22Y X X +)2(t ；7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率()≥<-32X P 98；8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；9、设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨⎧<≥=.0,0,0,1X X Y ，则Y10、已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本1200=x 小时，则μ的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （96.1025.0=z ）。
二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（ C ）（A ）11-=αβ ；（B ）1+=αβ；（C ）11+=αβ；（D ）不能确定； 3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立； （B ）)(4)()2(Y D X D Y X D +=-；（C ）)(2)()2(Y D X D Y X D +=-； （D ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-；4、若)1,0(~N X ，则)2|(|>X P =（ A ）（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-； 5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。
09数理统计(A)参考答案.docx
浙江工商大学2008/2009学年第一学期数理统计考试趣(A 卷)参给案1> 才(/n), /2 (m -1) , t(m-l), 0.5；5、匸严真,N(0,l)；6、25；7、433二、解⑴ 由X 〜2(76 4)，则元〜N(7.6,4/〃) 2分从而 n > 20⑵根据中心极限定理，可得y _ 7 A QP(5.6 <X< 9.6) = P(| _厂 |< — ) = 2①(乔)一 1 > 0.953 分2/y/n 2/V/i从而 n>3.84三、(1) 缈&的极大似然估计为务X (”)・乂 X (〃)的密度为 p(y) = ny n ~l /O<y<0.— rO riE3 = \ ny n !d n dy =——O T &MTOO .Jo • /7 + 1 E02 =「ny n ^ !0n dy = -^—e\ Jo n + 2P(5.6 <X< 9.6) = P(\X- 7.61< 2)>1- 4/n>0.952、独立，F(l,l);3、Var （0） = -^—02 _（丄刖=n + 2 n +1⑵不是，修偏得&的无偏估计/二山 x （“）.n⑶ MSE （ 7） = Var （疗）= ',考虑6的形如O a = &X （“）估计,其均方毬为n{n + 2）MSE®） = U“（"X （”）） + ©EXg- 0）2 =a 2——?——e 1 + （竺一1）2 &2・ 2分（〃 + 1）~（川 + 2） 川 + 1易得兔=出 时，均方误差达^最小 但〃 + 1P （F 2 < 1） = P （F v 1） = 1 - P （F > 1）n（斤 + 1）（7卄2）2e 1TO ,.r\ [旋（和心）=耐严＜旋（〃）02 /!（/?四、证明:Z （x,-//）2 旦—; ---------- 力2（2对2分CT4卄1__Z （X 厂X ）23—； ------------ 才（2防2分b”4Var （S^ = Var （S ；） = — 2 分n并由两者的独立性可得2分〜F （2n,2n ）2n£（X 「-“）4卄工（X 厂壬）2P(Fvl) = P(丄 vl) = P(F>l)FP(F<l) = 0.5五、⑴宙数据算得方差比的置信区间的两端分别为乱」9,9 丿=需 % 4.03 = 1.00752 分 由此可知其0.95置信区间为[0.0620, 1.0075] 1分⑵两正态总体方差比的置信水平为0.95的置信区间包含1,可以假定两个总体 的方差相等。
08-09(2)《数理统计》(A)卷及解答
08—09（二）数理统计（A ）卷 及 参考解答与评分标准一、（每小题12分，共24分）1．设 123(,,)X X X 是来自总体X 的简单随机样本，2(),()E X D X μσ==，考虑μ的两个估计量3111ˆ3i i X μ==∑，31231ˆiii ii a Xaμ===∑∑，（i a 是常数且310i i a =≠∑）证明：它们都是μ的无偏估计，并说明哪一个更有效．证明：μμμ=⨯===∑∑==331)(31)31()ˆ(31311i ii i X E X E E ，31231()ˆ()ii ii a E X E aμμ====∑∑故1ˆμ和2ˆμ都是μ的无偏估计． ……6分 又3391)(91)31()ˆ(2231311σσμ=⨯===∑∑==i ii i XD X D D332222112332211()ˆ()3()()iii i i i i i aD X aD a a σμσ======≥∑∑∑∑（因为2222123123121323222123()2223()a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++≤++）由于)ˆ()ˆ(21μμD D <，故1ˆμ更有效． ……6分 2．设总体X 的分布密度为： 2(3)01()0x x f x θθ+⎧+<<=⎨⎩其它，其中-3θ>为未知参数。
若12,,,nX X X 是来自总体X 的样本，试求：（1）参数θ的矩估计量，（2）参数θ的极大似然估计量。
解 （1）()1123003(),(3)(3)4E X xf x dx x x dx x dx θθθθθθθ∞++-∞+==+=+=+⎰⎰⎰ ……3分令 ˆ3ˆ4X θθ+=+，得参数θ的矩估计量 43ˆ1X X θ-=- ……3分 （2）似然函数：当01i x <<),,2,1(n i =时，()()211,(3)()nn niii i L f x x θθθθ+====+∏∏()()()()1ln ln(3)2ln n i i l L n x θθθθ=⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭∏()1ln(3)2ln ni i n x θθ==+++∑ ……3分()103ni i dl nlnx d θθθ==+=+∑，解得参数θ的极大似然估计量1ˆ3nii nlnxθ==--∑ ……3分二、（每小题16分，共32分）3．设工厂生产的某种零件的半径2(,)X N μσ ，现从中随机抽取5个样品，测得半径（单位：毫米）分别为：83,78,80,79,81（1）若由以往经验知5σ=,求平均半径μ的置信度为0.95的置信区间 （2）若σ未知，求平均半径μ的置信度为0.95的置信区间 解 由样本得：5n =，80.2, 1.9235x S ==，（1）已知5σ=，置信度10.95α-=，μ的置信区间为/2()x z α± ……4分查表得/20.025 1.96z z α==，所求的置信区间为(80.2 1.96)±，即(75.82,84.58) ； …4分 （2）未知σ，置信度10.95α-=，μ的置信区间为/2((1))x t n α±- ……4分 查表得/20.025(1)(4) 2.7764t n t α-==，所求的置信区间为(80.2 2.7764)±，即(77.81,82.59) . ……4分4．学院为了调查某两个班级的学习状况，从甲班随机抽8个学生，从乙班抽7个学生，他们的综合技能测试结果（单位：分）如下：甲班：78, 66, 64, 84, 70, 67, 82, 52 乙班：76, 57, 62, 69, 65, 68, 71假定综合测试成绩服从正态分布，试检验：（1）甲班和乙班的综合测试成绩的方差是否相等？（0.05α=） （2）甲班平均成绩是否比乙班高？（0.05α=） 解 分别记2212,,,X Y S S 为甲班和乙班成绩的样本平均值和样本方差，那么由样本得：128,7,n n ==70.375,66.857X Y ==,2212112.55,38.48S S ==（1）问题归结为在05.0=α下，进行检验假设，①22012:;H σσ= 22112:H σσ≠； ②检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--；拒绝域为/212(1,1)F F n n α≥--或1/212(1,1)F F n n α-≤-- ……4分 ③计算得112.55 2.9238.48F ==，查表得/2120.025(1,1)(7,6) 5.70F n n F α--==，1/2120.975.02511(1,1)(7,6)0.47(0.195)(6,7) 2.12(5.12)F n n F F α---====， ……4分④因为F 的值未落入拒绝域内，所以接受0H ，即认为两种效果的方差相等； （2）由（1）可知，问题归结为在05.0=α下，进行以下的假设检验： ①012:;H μμ≤ 112:H μμ>②检验统计量12~(2)t t n n =+-，其中W S =，拒绝域为12(2)t t n n α≥+- ……4分③计算得W s =8.85=，8570.768t ==，查表得120.05(2)(13) 1.7709t n n t α+-==④因为t 的值未落入拒绝域内，所以接受0H ，即甲班平均成绩不比乙班高. ……4分三、（每小题18分，共36分）5．粮食加工厂用四种不同方法储藏粮食，储藏一段时间后分别抽样化验，得到粮食含水率（%）如下表，试检验四种不同储藏方法对粮食含水率有无显著影响？（设各种方法粮食含水率均服从正态分布，且方差相等）．方法Ⅰ 方法Ⅱ 方法Ⅲ 方法Ⅳ 7.35.8 8.1 7.9 8.3 7.46.4 9.07.6 7.1 7.08.4 8.3（1）计算组间平方和（因素A 平方和），组内平方和（误差平方和），总离差平方和； （2）完成单因素方差分析表（0.05)α=．总离差平方和=-=∑∑=∙∙=sj n i ijT nT XS j1212757.18-298.613=9.337组间平方和=-=∙∙=∙∑nT n T S sj jj A 212752.653-298.613=4.81组内平方和=-=A T E S S S 9.337-4.81=4.527 ……9分6．考察月平均气温对某种作物产量的影响，测得下列5组数据：气温x （度） 5 10 15 20 25 产量y （千克） 7.28.199.910.9（1）求y 对x 的经验回归方程和2σ的无偏估计；（2）y 与x 的线性相关关系是否显著？（0.05)α=；（3）求当气温030x =度时，产量0y 的置信度为0.95的预测区间. 解i i 21375i x =∑，2415.27i y =∑，722.5i i x y =∑ 2221375515250xx il x nx =-=-⨯=∑，222415.2759.028.468yyil y ny =-=-⨯=∑，xyiil x y nx y =-⋅=∑722.55159.0246-⨯⨯=，46ˆ0.184250xy xxl bl ===，ˆˆay bx =-=9.02(0.18415) 6.26-⨯= 回归方程为ˆ 6.260.184y x =+； ……4分 2xy yy xxl S l l =-=余2468.4680.004250-=，20.004ˆ0.001323S n σ===-余； ……2分（2）用r -检验： 0:0H b =22xy xx yyl r l l ==2460.99952508.468=⨯，0.9998r =(2)(3)0.878r n rα-==因为(2)r r n α>-，所以线性回归显著； ……6分 （3）预测区间为))(ˆ(00x yδ±，其中0/2ˆ()(2)x t n αδσ=-，当030x =时，0ˆ 6.260.1843011.78y=+⨯=， /20.025(2)(3) 3.1824t n t α-==，ˆ0.036σ==0() 3.18420.036x δ=⨯⨯0.166=，故所求的区间是(11.780.166)±，即(11.61,11.95). ……6分四、（共8分）7．设~()T t n ，证明：（1）2~(1,)T F n ；（2） 22()(1,)t n F n αα=（1）~()T t n ，则存在~(0,1)U N ，2~()V n χ，且U 与V独立，使得T =又22U T Vn=，而22~(1)U χ，故2~(1,)TF n ……4分（2）由2~(1,)T F n 得2((1,))P T F n αα>=即((P T P T α>+<=而((P T P T >=<，故(2P T α>=2()t n α=，也即22()(1,)t n F n αα= ……4分。
西安工业大学2009级概率论与数理统计考试试题及答案详解
绝密★启用前西安工业大学2010级概率论与数理统计考试试题（A 卷）注意事项： （1）所有题一律在试卷上做答，第三至第八题要有计算过程； （2）可能用到的数据如下： 1.96, 0.025U =，()2.50.9938Φ=5小题，每小题3分，总计15分） 1、设 A B 、为任意两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则下列选项必然 成立的是（ ）.()A ()()P A P A B <； ()B ()()P A P A B ≤ ； ()C ()()P A P A B >； ()D ()()P A P A B ≥.2、设随机变量X 的期望()E X 与方差()D X 都存在，则对任意0ε>， 有（ ）.()A (){}()2D X P XE X εε-≥≤； ()B (){}()2D X P XE X εε-≥≥；3、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为23，将此硬币连掷4次，则恰好3次正面朝上的概率为（ ）.()A 881; ()B 827; ()C 3281; ()D 34.4、设随机变量)1,(~u N X ，)(~2n Y χ，又X 与Y 独立，令T =，则下列结论正确的是（ ）.()A )1(~-n t T ； ()B )(~n t T ； ()C )1,0(~N T ； ()D ),1(~n F T .5. 样本()12,,n X X X 取自总体ξ，E ξμ=，2D ξσ=，则（ ）可以 作为2σ的无偏估计.()A 当μ已知时，统计量()21ni i X nμ=-∑；()B 当μ已知时，统计量()()211ni i X n μ=--∑；()C 当μ未知时，统计量()21ni i X nμ=-∑；()D 当μ未知时，统计量()()211ni i X n μ=--∑.5小题，每小题4分，总计20分） 1. 若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 1()8P A C =, 则事件A、B 、C 至少有一个发生的概率为 ;2. 设二维随机变量(),X Y 的分布律为则{}0P XY == ；{}P X Y == ;3. 设连续型随机变量X 的概率密度为：sin , 0()0, x x a f x ≤≤⎧=⎨⎩其它则常数a =__________; 6P X π⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭__________; 4. 设总体(,0.09)X N μ~，测得一组样本观测值为：12.613.412.813.2 ，则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为__________；5. 设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P ________. 10分）设甲袋中有3个红球及1个白球，乙袋中有4个红球及2个白球.现从甲袋中任 取1个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取1个球，求最后取得红球的概率.9分）设连续型随机变量X的分布函数为()2,0;0, 0xA B e x F x x -⎧+>=⎨≤⎩试求：（1）, A B 的值； （2）{}11P X -<<； （3）概率密度函数()f x .分）设二维随机变量(),X Y 的密度为6,01;(,)0, x x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它，（1）求边缘概率密度()X f x ，()Y f y ； （2）求{}1P X Y +≤.分）已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布()21, 3N 和()20, 4N ，且与的相关系数12XY ρ-=.设32X YZ =+. （1）求的数学期望()E Z 和方差()D Z ； （2）求X 与Z 的相关系数X Z ρ； （3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？分）设随机变量X 2, 01()0, ax bx c x f x ++<<⎧=⎨⎩其它，已知()0.15()0.5, D X E X ==，求常数,,.a b c分）设总体X 的概率密度为：()1,01,0,.x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其它, 其中θ未知，1θ>，12,,n X X X 是从该总体抽取的一个样本.试求θ的极大似然估计.绝密★启用前2009级概率论与数理统计考试试题（A 卷）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填 空 题（20分）1、0.2;2、27,312; 3、1,24、 (12.706,13.294) ; 5、14三、解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则()()()()3154, , , 4477P A P A P B A P B A ====……….……………4分由全概率公式有()()()()()351419.474728P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=……………10分四、解：（1） 因为()F x 为连续函数，则()()2lim1xx F A Be -→+∞+∞=+=，即1A =……………………………………2分又由()()()20lim lim 00x x x F x A Be F ++-→→=+==，所以0A B +=，即1B A =-=-…………………………………………4分 (2) {}()()211111P X F F e --<<=--=-……………………………….. 6分(3) ()22,0,()0, 0.x e x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩…………………………………….…………. 9分 五、解：（1）101,6,()(,)0,xX x xdy f x f x y dy +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它． 6(1),01,0,x x x -<<⎧⎨⎩＝其它．……………………2分201,6,()(,)0,01,3,0,y Y y xdx f y f x y dx y y +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧⎨⎩⎰⎰其它． ＝其它．………………………….4分(2)⎰⎰⎰⎰+-==≤+2/1016),(}1{x xGxdy dx dxdy y x f Y X P ………………………6分⎰=+-=+-=2/10234/102/1]34[)12(6x x dx x x ……………..8分其它．,0,0,0),1)(1(23>>⎩⎨⎧--=--y x e e y x ………………………10分六、解：因()21, 3X N ，()20, 4Y N ，故1, 0EX EY ==23DX =，24DY = …………………………………………………2分则()()1,1262XY Cov X Y -==⨯=-………………………4分（1）()()()132323E XE Y X Y E Z E ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭………………………………6分()()()()2,3232XY X Y D Z D D Cov =++……………………………8分()()()112,39432D X D YC ov X Y ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………10分 (2) ()()(),,,,3232X Y C ov X X C ov X Y C ov X Z C ov X ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1633032D X =+-⨯=-=……………………………12分,0XZ C ov X Z ρ==…………………………………………13分(3) 因,X Y 均是正态随机变量，其线性组合Z 也是正态随机变量，但()Z X ,不一定是正态随机变量，所以由0XZρ=，即,X Z 不相关知X 与Z不一定相互独立.………………………………………………………15分七、解：12()(),32a b f x dx ax bx c dx c +∞-∞=++=++⎰⎰……………3分 12()()(),432a b c E X xf x dx x ax bx c dx +∞-∞==++=++⎰⎰…………6分 12222()()(),543a b c E X x f x dx x ax bx c dx +∞-∞==++=++⎰⎰……9分由()1,f x dx +∞-∞=⎰22()0.5,()()[()]0.4E X E X D X E X ==+=得1320.54320.4543a bc a b c a b c⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩， 解之得12123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩…………………………12分八、解：似然函数为：()11,n ni i L x θθθ-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏………………………………………………2分()()1ln ln 1ln n i i L n x θθθ==+-∑……………………………………4分()1ln ln 1ln ni i L n x θθ==+-∑，ln d Ld θ1ln ni i nx θ==+∑，令ln 0d L d θ=，得似然方程为1ln 0,ni i nx θ=+=∑ (6)分解得：1ˆ,ln nii nxθ==-∑………………………………………………………8分θ因此,的极大似然估计量为1ˆ.ln nii nXθ==-∑………………………………9分。
2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答
2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .解：(9)t ．2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nXN ； （B ）22()nS n χ；（C ）(1)()n Xt n S-； （D ）2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =回，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111ni i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，得 1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩未知参数0λ>，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦，1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为 2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==．另一方面()1E X λ=， 21V a r ()X n λ=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1λ的UMVUE ． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=， 具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--，222222(1)(1)Yn S n χσ--，由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n S S n σσσσ--==----．对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．二、单项选择题 （每题1分，共10分）1．重点调查中的重点单位是指( )A.处于较好状态的单位B.体现当前工作重点的单位C.规模较大的单位D.在所要调查的数量特征上占有较大比重的单位2．根据分组数据计算均值时，利用各组数据的组中值做为代表值，使用这一代表值的假定条件是（ ）。
2009级《概率论与数理统计》第二次考试试卷(A)答案及评分标准
绝密★启用前2009级《概率论与数理统计》期末考试试卷（二）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填 空 题（5×4分）1、 0.2;2、 21, 99 ; 3、 1,24; 4. 0.5328 0.6977 ； 5、(12.706,13.294)三、解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P ………………2分于是（1） 任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是()()()()()P B P A P B A P A P B A =+0.950.980.050.030.9325=⨯+⨯=……………………………………………6分 （2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P ………………………………10分四、解：()1由题意知，()1,010, X x f x others <<⎧=⎨⎩……………………………2分又相互独立，故与的联合概率密度为()()21, 01, 0,,()20, ,y X Y e x y f x y f x f y others -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩…………….5分()2因｛a 有实根｝=｛判别式22440X Y =-≥ ｝{}2X Y =≥，故P ｛a 有实根｝{}2P X Y =≥…………………………………………6分()2,x yf x y dxdy >=⎰⎰21212y x dx e dy -=⎰⎰…………………………………………8分 ()2121xe dx -=-⎰222110222011x x x edx e dx e dx ----∞-∞⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()221221110x x e dx e dx ---∞-∞⎤=⎥⎦=Φ-Φ⎤⎦………………………………10分1 2.50640.34130.1446=-⨯=…………………………………………………11分五、解：由于2i X (1,...,36)(52,6.3),i N =故36111)36523636i i X X X ==⨯⨯∑＝，E(，2221 6.3D()36 6.3(),366X =⨯⨯=……2分故26.3(52,())6X N ，从而52(0,1)6.36X N - ………………………………….5分 设52=,6.36X ξ-故50.8525253.852(50.853.8)()6.3 6.3 6.3666X P X P ---<<=<< -81212-8()()()7777P ξφφ=<<=- 128()()10.8293.77φφ=+-≈………………………………………………….10分六、解：()1()()11,E X xf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………….……………………………….2分由对称性得()0E Y =…………………………………………………….3分()()11,E XY xyf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………………………………….…………………….5分 而()()()()cov ,0X Y E XY E X E Y =-=，于是0XY ρ=，X 与Y 不相关……………………………………………….…………6分()2()()1,0,1X x f x f x y dy x +∞-∞⎧≤⎪==⎨⎪>⎩⎰……………..……………..8分 由对称性得()()1,0,1 Y y f y f x y dx y +∞-∞⎧⎪≤==⎨⎪>⎩⎰……………………9分当1,1x y ≤≤时，()()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 不独立………………………………………………………………11分七、解：()()01;x E X xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰……………………………2分按矩估计法取()1,E X A X ==得1ˆXλ=………………………………………………………………4分 设1,,n x x 为总体X 的一个样本值，则似然函数为1nii x nn nx L e e λλλλ=--∑==………………………………………………………6分 取对数 ln ln L n nx λλ=-由对数似然方程()ln 0d L nnx d λλ=-=…………………………………9分解得1xλ=，……………………………………………………………………10分 故得极大似然估计为1ˆXλ= ………………………………………………11分编辑：张永锋2010-12-8。
09年7月概率论与数理统计(经管类)试题答案
X 1 ～ N (0,1) ． 2
15．设随机变量 X 的概率分布为
F (x) 为其分布函数，则 F (3) ____________．
X
P
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
湘大09级数理统计试卷及答案
09级数理统计试卷及答案1、已知(X,Y)的联合密度函数⎩⎨⎧=-其他,0＜y＜0,),(xe y xf x ，(1)求X,Y 的边缘密度函数，并验证独立性；/*第一章 p7-p8，与04级一.（1），06级第一题同类型*/(2)求条件密度f x|y (x|y); /*p8-p9*/ (3)求条件期望E （X|Y=0.5）。
/*p16,与08级第一题同类型*/ /*注意积分区间，分情况取值*/解：1）⎰⎰+--⎪⎩⎪⎨⎧===∞∞x 0x -0﹤y ﹤x0,e y)dy f(x,)(，其他x x xe dy x f ⎰⎰+-+-⎪⎩⎪⎨⎧===∞∞∞yx -y 0﹤y ﹤x 0,e y)dx f(x,)(，其他y e dx y f ⎩⎨⎧=+-其他,0＜y＜x0,)()()(y x Y X xe y f x f ),()()(y x f y f x f Y X ≠，则X 与Y 不相互独立2）⎩⎨⎧==-其他,0＜y＜x0,)(),()|(|x y Y Y X e y f y x f y x f3）5.1xe xe )y |x (xf )(f y)f(x,x5.0|∞∞5.0x -0.5x -y ∞∞Y |X ∞∞Y ======⎰⎰⎰⎰+++-+-y dx dx dx dx y Y X E ）（2、设X 1,X 2,....,X n 是来自总体X~B(1,p)的样本，试证明:（1）i=1niX∑是参数p 的充分完备统计量；/*课本p36,p38,p39 同课本例2.4.8，二项分布，与07级第3题同类型，与08级第三题同类型*/（2）i=1niX∑是参数np 的无偏估计。
/*第三章p45，同07级第4题（3）类型，同10级第3题（1）类型，同13级第4题类型*/证明：样本X 1,X 2,....,X n 的联合概率函数为:2）∑∑∑∑====∴=∙==ni i ni i n i i ni x np x E x E n n x n n E x E 1111)()(1)1,()(，是参数np 的无偏估计。
试卷09-10(2)概率论与数理统计A答案
四、（12分）已知连续型随机变量 的概率密度函数 ，
（1）确定常数 ；（2）求 的分布函数 ；（3）求 .
解：（1）因 ，故 .…………3’
则随机变量 的概率密度函数 …………1’
（2） 的分布函数 ……5’
(3） …………3’
五．（7分）已知 的概率密度 ， ，求 的概率密度函数 .
统计量 的观察值 ,…………2’
故接受 ,即认为总体均值没有显著变化.…………1’
(1)一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率为多少？
(2)如果该客户在购买保险后一年内出一次事故，他是第一类人的概率有多大？
解：设事件 ：新客户是第一类人，事件 ：新客户是第二类人;
事件B：新客户出事故,即需要理赔,
(1) …………3’
(2) …………3’
故一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率为0.26
8．衡量估计量优良性的三个标准为一致性，无偏性，有效性_____.
9．已知随机变量 ,则 28/5.
10．设离散型随机变量 只能取0,1,2三个值,且取相应值的概率分别为 ，则 的分布律为 .
三、(6分)保险公司认为人可以分为两类：第一类是易出事故的人，第二类是比较谨慎，不易出事故的人。统计数字表明，第一类人一年内某时刻出一次事故的概率为0.4，第二类人在一年内某时刻出一次事故的概率为0.2,若第一类人占30%,问
令 ,…………1’
解得 的最大似然估计值为 …………1’
八、（7分）已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 ,现测了5炉铁水，得其平均含碳量为4.364。若方差未变，问总体均值是否有显著变化？（ ）
解:假设 …………1’
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09数理统计试卷A盐城师范学院考查试卷2010 - 2011 学年 第 二学期数学科学学院 统计学专业《数理统计》试卷（A ）班级 学号 姓名一、 填空题（本大题6空 ,每空3分,共18分 ）1．设总体ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0;1||,23)(2其他x x x f 12,,,n ξξξL 为来自总体ξ的一组样本，ξ为样本均值，则()E ξ=____________.()21,_______________.T t n T::2.设随机变量则()21234,,,,,N ξμσξξξξξ:3.设总体为取自总体的一组样本,42212()___________ii ξξχσ=-∑则服从自由度为的分布.()2123,,,,________,N ξμσξξξξ:4.设总体为取自总体的一组样本, 则当常数a=时12311ˆ36a μξξξμ=++是未知参数的无偏估计. 5.一台自动车床加工的零件长度ξ（单位：cm ）服从正态分布()2,N ξμσ:,μ未知，从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差()222111,8n i i s n ξξ===-∑其中S ，则总体方差2σ的置信度为95%的置信区间为_______________.（附：484.0)4(,143.11)4(,216.0)3(,348.9)3(2975.02025.02975.02025.0====χχχχ）ˆˆ6.4,ya x =+已知一元线性回归方程为ˆ1.5,5,________.x y a ===且则二、单项选择题(本大题共6小题，在每小题的4个备选答案中，选出一个最佳答案，每小题3分，共18分)1.设总体ξ服从[],3θθ上的均匀分布（θ>0），12,,,n ξξξL 是来自该总体的样本,ξ为样本均值，则θ的矩估计θˆ=（ ） A ．2ξ B ．ξ C ．2ξ D ．12ξ2.在假设检验问题中，检验水平α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率3.设12,,,n ξξξL 为总体),(2σμN 的一个样本，则下列选项中正确的是（ ）A.()2212~(1)ni i n ξμχσ=--∑B.()2212~()ni i n ξμχσ=-∑C.()2212~(1)ni i n n ξμχσ=--∑D.()2212~(1)ni i n n ξμχσ=--∑()()()12221212124.,,,,,,,,,,,n n N N ξξξηηημσμσξηξη-L L 设和分别为取自总体与的两个样本它们相互独立,且与分别为两组样本的均值则服从的分布为A ．))11(,(22121σμμn n N +- B ．))11(,(22121σμμn n N -- C ．))11(,(2222121σμμn n N +- D ．))11(,(2222121σμμn n N --. ()()()()212222210011(,),,,,11,,:1n n n ni n i i i N S S n n ξμσσξξξξξξξξμμ-===-=-=-∑∑:L 5.设总体已知是取自总体的一组样本,为样本均值,检验假设H时采用的统计量为A ．U ξ=B ．T ξ=C ．T ξ= D ．T ξ=6．要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(),1,2,,i i x y i n =L ，得到的回归方程ˆˆˆya bx =+是否有实际意义，需要检验假设（ ） A ．01:0,:0H a H a =≠B ．01:0,:0H b H b =≠C ．01ˆˆ:0,:0H aH a =≠ D ．01ˆˆ:0,:0H b H b =≠ 三、解答题(本大题 共5小题,共54分 )1.设总体ξ的概率密度为1()0x f x θθ-⎧=⎨⎩其他,10,<<x其中0>θ是未知参数，12,,,n ξξξL 为来自总体ξ的一组样本， 试分别用矩法估计和极大似然估计求θ的估计量. （12分）2.假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩61=x 分，标准差15n s =分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为70分？（附：()0.051224 2.0639t-=） （10分）3.设从两个正态总体()()()22212,,,N N μσμσσ未知中分别取容量为10和12的样本，两样本相互独立，经计算得1220,24,5,6x y s s ====. 求12μμ-的置信度为95%的置信区间.（附：10.025(20) 2.086t -=，2210.0250.025(20)34.17,(20)9.591.χχ-==）(10分)4.为考查不同训练方法对磷酸肌酸增长的影响，我们采用了四种不同的训练方法。
每种方法选取条件相仿的6名运动员，通过三个月的训练以后，其磷酸肌酸的增长值（单位：mg/100ml ）如下表。
试检验训练方法对运动员磷酸肌酸增长值有无显著性影响？即四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差异有无显著性意义？ (附()10.053,20 3.10F -=) (10分)5．设市区的社会商品零售总额y 和当地居民的可支配收入总额x 之间的年 统计数据（单位：亿元）为(),,1,2,,10.i i x y i =L10101110101022111417.2,932.3,19842.2,106266.01,45716.22i i i i ii i i i i i x y xy x y ==========∑∑∑∑∑经计算得（1）试求y x 对的线性回归方程 ;（2）检验线性回归方程的显著性（0.05α=）.(附()10.051,8 5.32F -=)（12分）四、 证明题(本大题1小题,共10分 )()()12121222121212122211222221212,,,,,,,.2n n n n n n w N N T n n n S n S S S n n ξξξηηημσμσξημμξη---=+=+-L L 设和,,,为分别取自正态总体和两组样本且这两组样本相互独立,证明随机变量+-2的t 分布.其中,分别为这两组样本的样本均值,分别是这两组样本的样本方差,且S盐城师范学院2010—2011学年第 二 学期期末考查《数理统计》（A ）试卷参考答案一、填空题(本大题共6空，每题3分，共18分)1. 0 .2. (),1F n .3.3 .4.12. 5.()0.0535,2.315.6．1- .二、单项选择题(本大题6题，每题3分，共18分)三、解答题(本大题5题，共54分)1.解：矩法估计()110(),1E xf x dx x x dx θθξθθ+∞--∞===+⎰⎰ (3分)(),1E θξξθ==+ˆ1ξθξ=- (6分) 极大似然估计θ的极大似然函数为()()112,n n L x x x θθθ-=L (2分)两边取对数()()()12ln ln 1ln ,n L n x x x θθθ=+-L()1ln ln 0,ni i d L n x d θθθ==+=∑ (4分) 1ˆln nii nθξ==-∑且0ln 22<∂∂θL，故1ˆln nii nθξ==-∑是θ的极大似然估计量. (6分)2.解：根据题意待检假设可设为()01:70;:70.2H H μμ=≠分 因σ未知, 在0H成立的条件下，故构造统计量~(24),t t ξ=(4分)0.05,α=查表得()()10.0524 2.0639,6t -=分.计算统计量的观测值，25,n =61,x =15n s =x t ===()10.05024 2.0639,.t t -==因为所以拒绝原假设H (8分) 即认为全体考生的数学平均成绩不是70分. (10分) 3.解：()1210.025*******(),5(20) 2.086,20,24,5,6,10,120.959.2t t x y s s n n μμαξηξημμ-----=======--的置信度为的置信区间为分查分布临界值表得将代入上式得-的置信度为的置信区间为()()2,1.22.10分 4.解：进行单因子方差分析01234:.H μμμμ=== ()2269.7202.42024ij X C N ∑∑===计算如下：4589017.28828.602E T A S S S ⋅=-=-= 1241231413T A n N n k ''=-=-==-=-= （6分）17.2885.7623A A AS MS n===' 28.602 1.43020E E E S MS n ===' 5.762 4.029 4.031.430A E MS F MS ===≈ （8分） 4.03>3.10 认为训练方法对运动员磷酸肌酸增长值有显著性影响，即四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差异有显著性意义. （10分）()()101010111210102111ˆ5.1 2.8,ˆˆ23.59.ˆ23.59 2.8.6i i i i xyi i i xxi i i i x y x y L n b L x x ay bx y x yx =====-===⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-+∑∑∑∑∑解:所以对的回归方程为分()()()()01012:0,:0,1,2,21,7 5.59ˆ37.149,50.95,13.80.xy T yy T H b H b H S F F n S n S bL S L S S S αα-=≠=--======-=:回剩回剩回在成立的条件下构造统计量对于给定的检验水平=0.05,查F 分布表得临界值F()()1018.84.18.84 5.591,8,.6f f H α-===因为＞F 所以拒绝即线性回归效果明显.分2248.31202.42045.890T ij S X c =∑∑-=-=()2222213.416.513.826.0202.42017.2886666ij A iX S c n ∑=∑-=+++-=四、 证明题(本大题1题，共10分)()()()()()()1212222121212122222112211222221212222211,,,,,0,1.31,1,2,6n n n n N N N n n n n N n S n S n S n S n n n n σσξμημξημμσξημμχχχσσσσξημμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----++----:::::::证明:因为,所以分又从而分()()()121222.10t n n T t n n ξημμ+----=+-::即分()9.t :故 （10分）。