《任意角的三角函数一》 教案苏教版
2021_2022学年新教材高中数学第7章三角函数7.27.2.1任意角的三角函数学案苏教版必修第一
7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。
2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第七章第3课时 任意角的三角函数(1)
第3课时任意角的三角函数(1)一、学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.二、问题导引预习教材P166——170的内容,思考下面的问题.在前面的学习中,我们在初中角的基础上将角的概念进行了推广,得到了任意角的概念,另外,还学习了角的另一种度量方法——弧度制.在初中学习了锐角后,我们研究了锐角的三角函数,现在,学习了任意角,那么我们能研究任意角的三角函数吗?如果能,又该如何研究呢?能通过锐角的三角函数来研究任意角的三角函数吗?三、即时体验1.填表:角正弦余弦正切2.已知角α的终边过点P(-3, 4),则sinα=, cosα=, tanα=.3.角-1328°的正弦值、余弦值、正切值的符号分别是、、.四、导学过程类型1由角的终边上的点求三角函数值【例1】已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.类型2三角函数值的符号的判定【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos; (2) sin(-565°); (3) tan.类型3由三角函数值求角的终边上的点的坐标【例3】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点, 且sinθ=-,求y的值.五、课堂练习1. (多选)若sinθcosθ<0,则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若<θ<π,则点P(cosθ, sinθ)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.4. sin1 cos2 tan3值的符号是.5.已知角α的终边经过点P(5t, 12t)(t≠0),求sinα+cosα的值.六、课后作业1. 若－<θ<－π,则点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角α的终边过点P(2sin30°, －2cos30°),则sinα的值等于 ()A. B. － C. － D. －3.若sinαcosα>0, cosαtanα<0,则角α的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. (多选)已知θ是第二象限角,则下列判断中正确的是()A. sin cos>0B. sin<0C. cos<0D. tan>05.已知角α的终边经过点P,则sinα=, tanα=.6. sin cos tan的值的符号是(填“正”或“负”).7. 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,那么sinα·cosα=.8.设是第一象限角,且|cosα|=－cosα,则α可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. (多选)函数y=++的可能取值为()A. －3B. －1C. 1D. 310.已知角θ的终边过点P(x, 3)(x≠0),且cosθ=x,那么tanθ=.11.若角α的终边过点P(－4m, 3m)(m≠0),求2sinα+cosα的值.12.已知角α的终边在直线y=kx上,若sinα=－,且cosα<0,试求k的值.13.已知角α的终边上一点P到x轴、y轴的距离之比为4∶3,且cosα<0,求cosα－sinα的值.。
任意角的三角函数教学设计方案1113
2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三
角函数的定义域，填写下表：
从而就必然能够最终算出三角函数值.
教学活动 4
四、1. 探索定义域
（情景 4）1、函数概念域.
正弦函数 sinα的对应法则是什么？
正弦函数 sinα的对应法则，实质上就是 sinα的定义：
对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值 y/r 与之对应，
即α→ y/r= sinα.
教学活动 1
一、复习引入、回想再认
（情景 1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐
角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函
数分别是怎样规定的？
学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：
对 边
α
邻边
对边
邻边
sinα=
，conα=
，
斜边
斜边
教学活动 2
（图 1）
二、1. 引伸铺垫、创设情景
课题名称 科目 教学时间 学习者分 析
任意角的三角函数教学设计方案
任意角的三角函数
数学 一课时（40 分钟）
年级
高一
广汉中学 周毅
在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生
来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生
要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的
锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问
对边 y
sinα=
= ，conα=
= ，tanα=
=
斜边 r
斜边 r
邻边 x
O
Mx
r
?=
r
?=
x
?=
任意角的三角函数教案
1.2.1任意角的三角函数一、教学目标1、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。
2、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。
3、让学生在任意角三角函数知识的形成过程中，感悟数学概念的严谨性与科学性，体会函数思想，体会数形结合思想。
二、教学重点与难点1、教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。
2、教学难点：任意角的三角函数概念的理解。
三、教学方法引导法、讲授法。
四、教学过程 1、问题情境在初中学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的函数。
c b =αsin c a =αcos ab=αtan前几节课的内容我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来学习任意角的三角函数。
2、讲授新课对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来学习。
bacα设α是一个任意角，其顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取（异于原点）一点P （x ,y ）， 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r ， 因此有比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。
设α是一个任意角，它终边与单位圆交于点P （x ,y ），则： （1）y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。
三角函数：是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
《任意角的三角函数》 教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）掌握三角函数在各象限的符号。
（3）能够根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。
2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）通过三角函数的定义的探究，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过数学知识的探究和应用，感受数学的严谨性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课（1）复习锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
（2）提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、新课讲授（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
（2）任意角三角函数的定义设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则定义：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）（3）三角函数在各象限的符号根据角α终边上点的坐标的正负，确定三角函数值在各象限的符号。
3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
解：因为 x ＝ 3，y ＝－4，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定角α所在的象限，使得sinα ＞ 0 且cosα ＜ 0。
解：因为sinα ＞ 0，所以角α的终边在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为cosα ＜ 0，所以角α的终边在第二、三象限或 x 轴的负半轴上。
高中数学新苏教版精品学案《任意角的三角函数》
任意角的三角函数【学习目标】1．借助单位圆理解任意角的三角函数正弦、余弦、正切定义。
2．熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号。
【学习重难点】重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
【学习过程】【第一课时】知识梳理1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为，，它与原点的距离为r，则in α＝________，co α＝________，tan α＝________。
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号【达标检测】一、填空题1．若角α的终边过点3a，n是α终边上一点，且O－n＝________。
二、解答题11．确定下列各式的符号：（1）tan 12021in 273°；（2）错误!；（3）in 错误!·co 错误!·tan 错误!π。
12．已知角α终边上一点3a，n位于＝3在第三象限的图象上，且m0，∴式子符号为正。
（2）∵108°是第二象限角，∴tan 108°0从而错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 15a8a17a17a”连接。
5．集合A＝[0，2π]，B＝{α|in α错误!，则角α的取值范围是________。
7．如果错误!错误!错误!0的解集是______________。
9．已知α，β均为第二象限角，若in αin 1．2>in 1解析∵1，1．2，1．5均在错误!内，正弦线在错误!内随α的增大而逐渐增大，∴in 1．5>in 1．2>in 1．5．错误!∪错误!6．错误!∪错误!7．co α<in α<tan α解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线M、正切线AT，很容易地观察出OM<MP＝错误!in α，＝错误!α，S△AOT＝错误!OA·AT＝错误!tan α，S扇形AOP＝错误!αOA2又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，所以错误!in α<错误!α<错误!tan α，即in α<α<tan α。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
苏教版高中学案数学必修第一册精品课件 第7章 三角函数 任意角的三角函数-第1课时 任意角的三角函数
D.sin 3cos 4tan 5 > 0
2 5
5
1
2
[解析]对于A，由题可得 < ，则是第二或者第四象限角，
又 < ，则是第二或者第三象限角或终边落在轴的负半轴上.综上,是第二
象限角，A正确;
对于B，设扇形的圆心角为( > )，半径为，圆心角所对的弧长为，则
轴上的角，所以 > 一定成立， 的正负不确定.又 <
∈
<
+ ，
，所以 为第一象限角或第三象限角，所以 ， 不一定为正值.故选B.
10.（多选题）以下式子中符号为正号的有( ACD
A.tan 485∘ sin(−447∘ )B.sin
⋅ (− ) > ，故A符合题意；因为 是第三象限角，所以 < .
因为 是第二象限角，所以 < .因为 是第四象限角，所以
< ，所以
< ，故B不符合题意；因为∘ 是第三象限角，故
第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
A层 基础达标练
1.已知角终边上一点的坐标为(−1,2)，则cos 的值为()
B
2 5
5
5 2 5
A.− B.− C. D.
5
5
5
5
[解析]因为 = −， = ，所以 =
7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
谢 谢观看
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即 可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符 号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置 是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三 角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
___ ___ ____ ____ ____ ____ ____
__
___
不存
任意角的三角函数(教案)
任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。
2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。
2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。
4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。
8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。
答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
答案：见附图。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。
2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。
重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
连云港市灌云县四队中学高中数学教案：任意角的三角函数1 (苏教版必修4)
sin 当 a 0时，
4．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
2
课外作业
已知点 P (3r , -4r ) (r 0) ，在角 的终边上，求 sin 、 cos 、 tan 的 值。
y y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ； r r x x （2）比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ； r r y y （3）比值 叫做 的正切，记作 tan ，即 tan ； x x 说明： ① 的始边与 x 轴的非负半轴重合， 的终边没有表明 一定是正角或负角， 以及 的 大小，只表明与 的终边相同的角所在的位置；
教学反思
3
例 2 已知角 的终边过点 (a, 2a)(a 0) ，求 的三个三角函数值。 解：因为过点 (a, 2a)(a 0) ，所以 r 5 | a | ，
sin 当 a 0时，
x a, y 2a
y 2a 2a 2 5 x a 5a ； cos ； tan 2 ； r 5 r 5 5|a| 5a 5a y 2a 2a 2 5 x a 5a ； cos ； tan 2 ． r 5 r 5a 5 5 | a | 5a
四队中学教案纸 备课 时间 教学 目标 重点 难点 教学 课题
（学科： 高一数学 ）
教时 2 计划
教学 1 课时
1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角 终边上一点，会求角 的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域 根据定义求三角函数值 根据定义求三角函数值
任意角的三角函数一
任意角的三角函数学习目标 ：1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.学习重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
学习难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.知识链接：1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上； （2）第二象限.2：锐角的三角函数如何定义？如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r =. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP rα==；cos α= = ； t a n MP OM α== . 新课导学：1.任意角的三角函数的定义问题1： 将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OM OPα== ； tan MP OM α== . 问题2：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 ，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α；（2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）_______叫做α的正切(tangent)，记做tan α.即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y x xα=≠.试试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= . 反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r >，则：sin y rα=；cos α= ； tan α= . 典例解析： 例1、 求35π角的正弦、余弦和正切值．变式练习： 求56π角的正弦、余弦和正切值。
任意角的三角函数,(第一课时)教案
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。
【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。
2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。
案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。
学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。
学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。
师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。
同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。
教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。
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数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）
第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。
3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
二、过程与方法
1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
三、情感、态度与价值观
1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。
【教学重点与难点】：
重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。
难点：任意角的三角函数概念的建构过程
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
3. 教学模式：启发、诱导发现教学.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，
● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？
二、研探新知
1.三角函数的定义
【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。
当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,
● 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？
一般地，对任意角，我们规定：
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即；
（3）比值叫做的正切，记作，即；
【说明】：①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
2.三角函数的定义域、值域：函数定义域值域【注意】：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合.
(2) 是任意角，射线是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与转了几圈，按什么方向旋转到的位置无关. (3)sin是个整体符号，不能认为是"sin"与""的积.其它三角函数也是这样
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，"r"同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3.三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
【说明】：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
yyy
+ +- +-+
O xO xOx
- -- ++-
sincostan
记忆法则：一全二正弦，三切四余弦
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、
正切值
解：因为，所以，于是；；；
【举一反三】
1.变式：若将变为，情况又如何？
2.角终边上一点，且，则等于_____
3.已知角的终边上一点，则的值为（）
或或 1或或
4.（1）已知角的终边上一点，且，求角的四个三角函数值；（2）已知角的终边在直线上，求角的四个三角函数值。
例2 （教材例2）确定下列三角函数的符号：（1）；（2）；（3）
【举一反三】
1.若，则，（用"""""="填空）
2.在中，若，则此三角形必为______三角形
3.设是第三象限角，且，则是第_____象限角
【触类旁通】
例1 （1）函数的值域是_____
（2）求函数的定义域
四、巩固深化，反馈矫正
1.已知角的终边经过点，且，则的值为______
2.若角的终边过点，则等于_______
3.不求值，式子的值的符号是______
4.已知，则等于______
5.函数的定义域为______
6.为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为_____
7.确定下列各三角函数的符号
（1）（2）（3）（4）
8.函数的值域为______
9.已知，且，则
10.若，则的取值范围为______
11.（1）已知角的终边经过点，求
（2）已知角的终边经过点，且，求及
（3）已知角的终边经过点，求,
12.求的值
五、归纳整理，整体认识
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域、符号。
3.数学思想方法：数形结合思想；类比法。
六、承上启下，留下悬念
1. 确定下列三角函数值的符号：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2. 求值：
sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°．
3. 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′ (2) （3）
4.求下列函数的定义域：（1）；（2）
5.（1）求函数的定义域
（2）已知x∈（0，2），求函数的定义域
6.①设是角终边上一点，如果，求
②设为第二象限的角，P（）是其终边上一点，且，求
7.（1）求函数的定义域； (2)求函数的定义域
(3)已知是-360°到360°之间的角，则函数的定义域
七、板书设计（略）
八、课后记：。