《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）

第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。

3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

二、过程与方法

1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；

3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

三、情感、态度与价值观

1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；

2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

【教学重点与难点】：

重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

难点：任意角的三角函数概念的建构过程

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

3. 教学模式：启发、诱导发现教学.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，

● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？

二、研探新知

1.三角函数的定义

【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

● 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？

一般地，对任意角，我们规定：

（1）比值叫做的正弦，记作，即；

（2）比值叫做的余弦，记作，即；

（3）比值叫做的正切，记作，即；

【说明】：①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；

③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

2.三角函数的定义域、值域：函数定义域值域【注意】：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合.

(2) 是任意角，射线是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与转了几圈，按什么方向旋转到的位置无关. (3)sin是个整体符号，不能认为是"sin"与""的积.其它三角函数也是这样

(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，"r"同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；

②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；

③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

【说明】：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。yyy

+ +- +-+

O xO xOx

- -- ++-

sincostan

记忆法则：一全二正弦，三切四余弦

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材例1）已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、

正切值

解：因为，所以，于是；；；

【举一反三】

1.变式：若将变为，情况又如何？

2.角终边上一点，且，则等于_____

3.已知角的终边上一点，则的值为（）

或或 1或或

4.（1）已知角的终边上一点，且，求角的四个三角函数值；（2）已知角的终边在直线上，求角的四个三角函数值。

例2 （教材例2）确定下列三角函数的符号：（1）；（2）；（3）

【举一反三】

1.若，则，（用"""""="填空）

2.在中，若，则此三角形必为______三角形

3.设是第三象限角，且，则是第_____象限角

【触类旁通】

例1 （1）函数的值域是_____

（2）求函数的定义域

四、巩固深化，反馈矫正

1.已知角的终边经过点，且，则的值为______

2.若角的终边过点，则等于_______

3.不求值，式子的值的符号是______

4.已知，则等于______

5.函数的定义域为______

6.为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为_____

7.确定下列各三角函数的符号

（1）（2）（3）（4）

8.函数的值域为______

9.已知，且，则

10.若，则的取值范围为______

11.（1）已知角的终边经过点，求

（2）已知角的终边经过点，且，求及

（3）已知角的终边经过点，求,

12.求的值

五、归纳整理，整体认识