函数的微分及其在近似计算中的应用

dy 求 ：dy, . dx dy d (cos2 2 x) 2 cos2 xd(cos2 x)
2 cos2 x sin2 xd(2 x )
2 cos2 x ( sin2 x ) 2 dx 2 sin 4 xdx
dy 2 si n4 x . dx
12
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
d arccosx
1
dx,
2.函数的和、差、积、商的微分法则
10
函数和、差、积、商的求导法则
函数和、差、积、商的微分法则
u v u v ,
uv

d u v du dv ,
d Cu CduC是常数，
Cu CuC是常数 ，
d tan x sec2 xdx,
d secx secx tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x

a ln a ,
x
e
x

e ,
x
d e e
x
d a x a x lnadx,
x
dx,
9
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
13
例4 y sin( 2 x 1), 求 dy.
解 把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
若y Ax (x ), 则称dy Ax为函数的微分 .
Ax： 称 为 y的 线 性 主 部 ， 即 dy。 x 很 小 时 ， y dy
3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A ? 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 可微, 则有(1)成立，即
y Ax o(x )
d x x 1dx,
x


x 1 ,
sin x cos x ,

2
d sinx cos xdx,

cos x sin x ,
d cos x sinxdx,
d cot x csc2 xdx,
tan x sec x , cot x csc 2 x , sec x sec x tan x , csc x csc x cot x ,
1、等式右边第一项， x的线性式，是函数增量 的主要部分。
x ，当x 0时，是 2、第二项 x的高阶无穷小 .
2
2
2、微分的定义
设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0及 x 0 x在这 区间内，如果函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可表示为
6
例1 求函数 y x 2在x 1和x 3处的微分。
2 解 函数 y x 在x 1处的微分为
dy ( x 2 ) | x 1 x 2x;
在x 3处 的 微 分 为 dy ( x 2 ) | x 3 x 6x
例2 求函数 y x 3当x 2, x 0.02 时的微分 . 解 先求函数在任意点的微分
1 d si n t , 可见， cos tdt d sin t 1 即 ，d si nt costdt,
1
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
A f ( x 0 ).
lim 反之, 如果 y f ( x ) 在 x0可导, 即 x 0
y f ( x 0 )存在, x
4
根据极限与无穷小的关系, 上式可写为
则
y f ( x 0 ) ，（x 0, 0） x y f ( x0 )x x.
1 3 x ) e 1 3 x d (cos x) dy d (e 13 x cos x ) cos xd(e
cos x e 13 x 3dx e 13 x sinxdx
e 13 x (3 cos x sinx)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
第八节 微分在近似计算中的应用
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) dy f ( x 0 ) f ' ( x 0 )dx
例1： 用于研磨水泥原料用的 铁球直径为 40毫米, 使用一段时间
以后其直径缩小了 0.2毫米, 试估计铁球体积减少了 多少？ 4 2 解： 体积V R 3 ,V 4R 2 V V R 4R R. 3 铁球的体积的改变量的 近似值为：
(1)d (__) xdx ; (2)d (__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
2 x 1 , 可见，xdx d x 2 d 2 2 2 x 即，d 2 xdx,

15
(2)因为 d (si n t ) costdt,
例5 y ln(1 e ), 求 dy.
x2
解 dy d ln 1 e

x2
1 e d 1 e 1 e
1
x2
1
x2
x2
e d x2
x2


e
x2 x2
1e
2 xdx
2 xe 1 e
x2 x2
dx.
14
例6 y e 13 x cos x, 求 dy. 解 应用积的微分法则得：
利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
2、分别按照dx、dy合并同类项。
得到g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx
dy g 2 ( x , y ) 3、 求 得 导 数 ： dx g1 ( x , y ) 或微分 g 2 ( x, y) dy dx g1 ( x , y )
16
在 x 很小时 , y dy,即f x0 x f x0 dy
微 分 在 近 似 计 算 中 主有 要两方面的应用： 1、 利 用 x 0点 的 微 分 ， 求 函 数 的 应 相增量 y y dy f ' ( x 0 )dx (dx x ) 2、 求x 0点 附 近 的 点 x 0 x的 函 数 值 f ( x 0 x )
5
5、微分的几何意义 y T N
P
y f(x)
M0
Q
dy y
O
x0
x
x0 x
x
几何意义 : y是 曲 线 y f ( x )上 点 的 纵 坐 标 的 增 量 ， 时 dy就 是 曲 线 的 切 线 上 点 纵 的坐 标 的 相 应 增 量 。
当 x 很小时，dy y .
微分的定义
函 数 的 微 分
微分的几何意义
基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则
基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则
复合函数的微分法则
微分的近似计算 误差估计
微分在近似计算中的应用
1
第七节
一.微分的定义： 1.实例——函数增量的构成
函数的微分
x0
x0 x
x
2 x x
x0 x x0
V 4R 2 R R20 4 3.14 202 0.1 -502.40毫米3
R0.1


17
解： 设f x sinx, 则f x cos x; 30 30 6 360 取x 0 , x , 应用2式得： 6 360
则函数 y f ( x ) 的微分又可记作：
dy f ( x0 )dx.
dy 从而有： f ( x 0 ). dx
这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫“微商”. 导数（微商）即微分之商。
8
二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式
正方形金属薄片，因受 热 , 边长由 x0变到x0 x , 此时面积改变了多少？
解：正方形边长与面积 的函数关系为 A x2 当边长增量为x时，面积增量为
2 Fra Baidu bibliotek x0
2 A ( x 0 x ) 2 x 0 2 x 0 x x
2
函数的增量由两部分构成：
uv uv ,
d uv vdu udv ,
u vdu udv v 0. d 2 v v
u uv uv v 0. 2 v v
3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 设y f (u), u ( x)都可导 , 则复合函数 y f [ ( x)] 的微分为 :
dy ( x 3 )x 3 x 2 x.
再求函数当 x 2 , x 0.02时的微分
dy
x 2 x 0.02
3 x 2 x
x 2 x 0.02
3 2 2 0.02 0.24 .
7
通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx . 即
dx x
dy y x dx f ( u) ( x )dx.
du ' ( x )dx
或写为： dy f (u)du或dy y u du
由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 dy f ( u)du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。
11
4、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 例3： y cos2 2 x
定义
y Ax o(x )
（1）
其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 o( x ) 是比 x 高阶无穷小， 那么称函数 y f ( x ) 在点 x 0 是可微的，而 A x 叫做函数
y f ( x )在点x 0 相应于自变量增量x的微分， 记作dy，即：
dy Ax .
因x o（x） , 且f ( x0 )不依赖于 x, 故上式相当于(1)式,
则 f ( x ) 在点 x 0 可微。 4.函数可微的充要条件：
函数y f ( x)在x0处可微 f ( x)在x0处可导 , 且A f ' ( x0 ).
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 dy或df ( x ), 即 dy f ( x )x. 如函数 y cos x 的微分为 dy (cos x )' x sinxx 显然，函数的微分 dy f ( x )x 与 x 和 x 有关。
1 arc cot x . 2 1 x

1 d log a x dx , x ln a 1 d ln x dx , x 1 d arcsinx dx, 2 1 x
1 x2 1 d arctan x dx , 2 1 x 1 d arc cot x dx . 2 1 x