函数的微分及其在近似计算中的应用
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
微分和其在近似计算中的应用
六、微分形式旳不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可
微函数 x (t), 则
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部(.微分旳实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
函数旳变化率问题
导数旳概念
函数旳增量问题
微分旳概念
求导数与微分旳措施,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用旳科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分旳联络: 可导 可微.
★ 导数与微分旳区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数, 它的
该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分旳几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
三角函数的微分与微分近似计算
三角函数的微分与微分近似计算微积分是数学的一个重要分支，其中包括了微分和积分两个方面。
微分主要研究函数在某一点的变化率，而三角函数则是微积分中常见的函数之一。
本文将介绍三角函数的微分以及如何使用微分近似计算三角函数的值。
一、三角函数的微分1. 正弦函数的微分正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，表示为sin(x)。
我们可以计算其微分来研究其变化率。
根据微分的定义，我们有：在某一点x上的正弦函数的微分为cos(x)。
2. 余弦函数的微分余弦函数是另一个常见的三角函数，表示为cos(x)。
它的微分可以通过微分的定义计算得出：在某一点x上的余弦函数的微分为-sin(x)。
3. 正切函数的微分正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为tan(x)。
我们可以通过微分的定义计算其微分：在某一点x上的正切函数的微分为sec^2(x)。
二、微分近似计算微分近似计算是一种通过使用微分来估计函数在某一点的值的方法。
其中一个常用的方法是泰勒级数展开。
泰勒级数展开可以将一个函数表示为一个无限级数之和。
对于函数f(x)在某一点a的泰勒级数展开，我们可以将其近似表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + 1/2!f''(a)(x - a)^2 + 1/3!f'''(a)(x - a)^3 + ...其中，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
通过截取泰勒级数展开的有限项，我们可以使用微分来近似计算函数在某一点的值。
通常情况下，使用较低阶的近似项可以得到较为准确的结果。
三、三角函数的微分近似计算1. 正弦函数的近似计算对于正弦函数sin(x)，我们可以使用泰勒级数展开来近似计算其值。
假设我们要计算sin(a)的近似值，我们可以使用一阶近似项，即：sin(a) ≈ sin(a) + cos(a)(x - a)这个近似式可以用来计算sin(a)的近似值。
第五节 函数的微分与近似计算
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通 常 把 自 变 量 x的 增 量 x称 为 自 变 量 的 微 分,
记作dx, 即dx x.
dy f (x)dx
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d(sin t) d( 1 sin t);
d
(
1
sin
t
C
)
cos
tdt
.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
当 x 很小时, 有近似公式
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
d(a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d (log a
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用微分是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
在微分中，有一些运算法则可以帮助我们简化复杂的函数求导过程，而微分在近似计算中也有广泛的应用。
一、微分的运算法则1.常数微分法则：如果常数函数f(x)=C，其中C为常数，那么它的导数f'(x)=0。
2.幂微分法则：如果函数f(x) = x^n，其中n为常数，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3.和差微分法则：如果函数f(x)=g(x)±h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)±h'(x)。
4.乘积微分法则：如果函数f(x)=g(x)*h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
5.商微分法则：如果函数f(x)=g(x)/h(x)，那么它的导数f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^26.复合函数微分法则：如果函数f(x)=g(h(x))，那么它的导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
7.反函数微分法则：如果函数y=f(x)有反函数x=g(y)，那么f'(x)*g'(y)=1，也就是说f'(g(y))=1/g'(y)。
微分在近似计算中有很多应用，以下介绍其中的几种常见应用。
1.切线近似法：利用微分的定义，可以得出函数在其中一点的切线方程。
利用切线方程，我们可以近似得到函数在该点附近的函数值。
这在物理学中常用于速度和加速度的计算中。
2.极值问题的求解：在求解函数的极值问题时，可以利用函数在临界点附近的导数信息。
通过求导找到函数的临界点，计算函数在这些临界点处的函数值，比较函数值的大小，就可以得到函数的极值。
3.弧长的计算：将弧长表示为函数关于自变量的微分形式，通过计算微分形式的积分，就可以得到两个点之间的弧长。
函数的微分在近似计算中的应用
函数的微分在近似计算中的应用函数的微分在近似计算中有着非常重要的应用。
通过对函数进行微分，我们可以获得函数在其中一点的局部线性近似，从而可以用这个近似来进行计算。
这种方法有着广泛的应用，比如在工程、计算机科学、物理学等领域中经常会用到。
首先，函数的微分在近似计算中可以用来求解函数在其中一点的近似值。
通过对函数进行微分，我们可以得到函数在该点的切线，切线方程可以用来计算函数在该点附近的近似值。
这个方法可以用来解决很多实际问题，比如在物理学中，可以用来计算物体在其中一点的速度，加速度等。
其次，函数的微分在数值计算和优化问题中也有着广泛的应用。
在数值计算中，常常需要对函数进行数值积分或求解方程。
通过利用函数的微分，可以将这些计算问题转化为求解微分方程或微分方程组的问题，从而简化计算过程。
在优化问题中，函数的微分可以用来找到函数的最小值或最大值的位置。
通过求解函数的导数为零的方程，可以找到函数的极值点，从而解决优化问题。
此外，函数的微分在图像处理和计算机图形学中也有着重要的应用。
在图像处理中，常常需要对图像进行平滑、边缘检测等操作。
通过利用函数的微分，可以设计出滤波器等算法来实现这些操作。
在计算机图形学中，常常需要对曲面进行光线跟踪、着色等计算。
通过利用函数的微分，可以计算曲面在其中一点的法向量，从而进行光线跟踪等计算。
此外，函数的微分还在机器学习和数据分析中有着重要的应用。
在机器学习中，常常需要对损失函数进行最小化。
通过利用函数的微分，可以找到损失函数的最小值，从而进行模型学习。
在数据分析中，常常需要对数据进行拟合、回归等操作。
通过利用函数的微分，可以对模型进行参数估计，从而进行数据分析。
最后，需要指出的是，函数的微分在实际应用中并不是一种绝对准确的近似方法，因为近似值的精度取决于所选择的近似点。
如果近似点选得不好，那么近似值的误差就会较大。
因此，在应用函数的微分进行近似计算时，需要选择合适的近似点，并根据具体问题进行误差分析和合理的精度控制。
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
微分在近似计算中的应用教案
微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。
1．函数增量的近似计算如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '∆=∆+∆=+∆, 当||x ∆很小时,有 0()y f x x '∆≈∆例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ∆=厘米，则22100.05A dA r r πππ∆≈=⋅∆=⨯⨯=（2厘米）例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。
因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ∆，所以它就是球体体积343V R π= 当R 自0R 取得增量R ∆时的增量，我们求V 对R 的导数:003204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π∆≈⋅∆ 将0 1, 0.01 R R =∆=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ∆≈⨯⨯⨯= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ⨯=2．函数值的近似计算由00()()y f x x f x ∆=+∆-，00()()dy f x dx f x x ''==∆，y dy ∆≈得000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,令0x x x =+∆, 有000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+说明：（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
微分与函数的常用近似公式
微分与函数的常用近似公式微分与函数是微积分的基本概念，它们相互关联，相互影响。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行近似处理，以简化计算和分析。
为了实现这一目的，我们可以利用一些常用的近似公式。
本文将介绍一些常见的微分与函数的近似公式及其应用。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种重要的函数近似方法，它将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，使得我们可以用有限项来近似计算。
泰勒展开的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)、f''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶导数等。
泰勒展开适用于函数具有足够多的可导性质的情况，可以通过增加展开项数来增加近似的精度。
2. 线性近似线性近似是泰勒展开的特殊情况，当我们只保留泰勒展开的前两项时，即取a处的函数值和一阶导数，得到线性近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)线性近似常用于计算简单函数的近似值，特别是在计算微小变化范围内的函数值时，可以快速估算结果。
3. 二次近似当我们保留泰勒展开的前三项时，即取a处的函数值、一阶导数和二阶导数，得到二次近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!二次近似在某些情况下比线性近似更精确，特别是当函数曲线在点a附近呈现凸性或凹性时。
4. 拉格朗日余项在使用泰勒展开进行近似计算时，我们可以通过引入拉格朗日余项来估计近似误差。
拉格朗日余项的一般形式如下：Rn(x) = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，Rn(x)表示拉格朗日余项，f^(n+1)(c)表示函数的(n+1)阶导数在a和x之间某一点c的函数值。
微分在近似计算中的应用
微分在近似计算中的应用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，微分的近似计算在实际问题的求解中具有重要意义。
本文将从近似计算的思想、微分的近似计算方法以及应用实例三个方面，对微分在近似计算中的应用进行详细阐述。
一、近似计算的思想在实际问题中，我们往往需要求解一些复杂的函数或方程。
这些函数或方程可能没有解析解，或者解析解十分复杂难以计算。
此时，我们可以考虑利用微分的近似计算方法，通过对原函数进行适当的近似，得到问题的近似解。
近似计算的思想是基于函数的局部性质，即在一个小区间内，函数的变化是平滑且连续的。
我们可以选择一个足够小的区间，然后利用函数在该区间上的局部性质来近似整个函数的行为。
这种思想也体现了微分的基本概念，即通过函数的导数来描述函数变化的速率。
二、微分的近似计算方法微分的近似计算方法主要有以下两种：1.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒公式的近似计算方法。
对于一个光滑的函数f(x)，其在其中一点a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
当我们取展开式的前几项作为近似，可以得到：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这也是函数f(x)在点a处的线性近似。
通过泰勒展开法，我们可以利用函数在其中一点的导数来近似整个函数的行为。
2.有限差分法有限差分法是一种基于函数的导数定义进行近似的方法。
对于一个函数f(x)，其在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h为了近似函数f(x)在其中一点的导数，我们可以选择一个足够小的步长h，然后计算f(x+h)和f(x)之间的差别，再除以步长h，得到近似的导数值。
函数的微分及其应用
自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=12gt2，当时 间从t到t+Δt时，路程s
上式中，gtΔt是Δt的线性函数，12g(Δt)2是当Δt→0时 比Δt高阶的无穷小.因此，当|Δt|很小时，可以把12g(Δt)2忽
Δs≈gtΔt.
一、 引例
引列2
一块正方形均匀铁板(见 图3-5)，受热膨胀后边长由x0 变到x0+Δx，问面积y改变了 多少？
五、 微分在近似计算中的应用
【例53】
利用微分计算cos30°30′的近似值.
五、 微分在近似计算中的应用
【例54】
计算31.02的近似值. 解令f(x)=31+x,x=0.02，由近似公式
QP=MQtan α=f′(x0)Δx 即dy=QP.
由此可见，当自变量有增量Δx时，y=f(x)在点x0处的微
分dy等于曲线在点M(x0,y0)
.
四、 微分基本公式及运算法则
由微分定义知，函数的微 分是函数的导数f′(x)乘以自变 量的微分dx，所以只要把导数 表中的导数运算公式都乘以dx， 就得到相应函数的微分表和微 分的运算法则.
【例50】
四、 微分基本公式及运算法则
【例51】
y=eaxcosbx，求dy. dy=cos bxdeax+eaxd(cosbx)=acos bxeaxdx－be
axsin bxdx =eax(acos bx－bsin bx)dx.
四、 微分基本公式及运算法则
【例52】
在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.
Δy≈2x0Δx,
一、 引例
由此式作为Δy
Δx2是比
Δx高阶的无穷小.
这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系
微积分在近似运算中的应用
例3 正方形边长为2.41 0.005米, 求出它的面积 ,
并估计绝对误差与相对 误差.
解 设正方形边长为 x , 面积为y, 则 y x .
2
当x 2.41时,
y (2.41) 2 5.8081(m 2 ).
x 2.41
y
x 2.41
2x
4.82.
边长的绝对误差为 x 0.005,
一、计算函数增量的近似值
若y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
, 半径伸长了 例1 半径10厘米的金属圆片加热后 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
2 设 A r , r 10厘米, r 0.05厘米. 解
二、 利用微 分计算当 x 由45 变 到 4510 时 ，函数 y cos x 的增量的近似值(1 0.017453弧度).
,ห้องสมุดไป่ตู้
练 习 题
三、 已知单摆的振动周期T 2
l ，其中g 980 厘 g
米/秒 2， l 为摆长（单位为厘米） ，设原摆长为 20 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多 厘米，为使周期 少？
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x ) x . 1 1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) n 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x f ( x ) f ( 0) f ( 0) x 1 . n
2.5函数的微分及其在近似计算中的应用
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
例2.5.10 要在一个半径为10cm的球的外侧, 镀上一层厚度为0.1cm的铜， 估计要用多少克铜 ?(已知铜的密度为8.9( g / cm3 ), 取 3.14).
解 设球半径为R，体积为V
4 3 则球体的体积函数为 V R ,V 4R 2 , 3
(6) arcsin x x (7) arctan x x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
证：
n
1 1 x 1 x n
1 n n
1 n (1)设f ( x) 1 x ，则f ( x) (1 x) n
1 n n (1 x)
n 1
,
f (0) 1 0 1, f (0)
(1) d (C ) 0(C为常数 ； )
(2)d ( xu ) uxu 1 dx;
1 (5)d (loga x) dx; x ln a (8)d (cos x) sin x dx;
(4)d (e ) e dx;
x
x
(3)d (a x ) a x ln a dx; 1 (6)d (ln x) dx; x (9)d (tan x) sec 2 dx;
1 1 x
2
dx; (14)d (arccos x)
dx;
1 (15)d (arctan x) dx; 2 1 x
1 (16)d (arc cot x) dx. 2 1 x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
2.微分的四则运算法则 设u和v都是x的可微函数, 则
(2) cos t dt
1
函数的微分及其在近似计算中的应用
函数的微分及其在近似计算中的应用一、函数的微分1.导数的定义对于函数y=f(x)，如果函数在一些点x0处的导数存在，那么这个导数称为函数在这个点的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数的几何意义可以理解为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
2.导数的计算常见的函数导数的计算公式包括：常数函数的导数为0；幂函数的导数为幂次-1乘以系数；指数函数和对数函数的导数；三角函数和反三角函数的导数。
3.高阶导数对于函数的导数也可以再进行求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数的理解可以理解为导数的导数，可以表示函数的更加详细的变化情况。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有广泛的应用。
利用导数的定义，可以利用线性近似来计算函数在其中一点的近似值。
设函数在x0点处的导数为f'(x0)，那么在x0+h处的函数值可以表示为f(x0+h) = f(x0) + hf'(x0)，这种方法又被称为泰勒展开。
因此，我们可以利用导数来计算复杂函数在一些点的近似值，从而简化计算过程。
2.最优化问题在求解最优化问题时，微分也是一个重要的工具。
对于单变量函数，通过求导可以得到函数的极值点，进而求解最大值或最小值。
对于多变量函数，微分可以帮助我们找到最优解的方向，通过迭代方法逐步逼近最优解。
3.数值计算微分在数值计算中也有重要的应用。
在数值积分中，我们可以利用导数来进行数值积分，例如利用梯形法则或辛普森法则。
在数值解微分方程的过程中，也需要计算函数的导数来逼近微分方程的解。
4.概率论和统计学微分在概率论和统计学中也有广泛的应用。
通过对概率密度函数进行微分，可以得到概率密度函数的导数（即概率密度函数的变化率），从而求得随机变量的期望、方差等统计特征。
总结：函数的微分是微积分的基本概念，它描述了函数在其中一点的局部变化率。
微分的计算和应用在近似计算中有广泛的应用，包括数值计算、优化问题等。
通过近似计算、最优化问题、数值计算以及概率论和统计学等领域的应用，微分帮助我们简化计算过程、求解最优解、逼近函数的解以及分析概率分布等问题。
微分在近似计算中的应用
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05
4
0.025
当 |x| << 1 时， 由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
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什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
微分及其在近似计算中的应用
9
复合函数的微分的求法
（1）用微分定义直接去求； （2）利用复合函数的微分法则去求。
（例1）4、求下y列函ln数s的in微x1分
解：
dy
1 sin
1
d (sin
1) x
1 sin
1
cos
1 x
d(1) x
1 x2
cot
1 x
dx
x
x
10
（2） y e13x cosx
解：
函数 y＝f(x)在点 x 处的微分 dy 就是曲线 y＝f(x)在点
M (x , f (x )) 处的切线的纵坐标对应于 x 的增量。
例1、 计算函数 y＝ x 2 在点 x 1处的微分。
解： dy y dx 2dx 。 x1
例 2、求函数 y ln(1 2x) 在点 x 1处的微分。
dx (t)dt
dy f (t)dt
dy f (t)dt f (t) dx (t)dt (t)
19
x 例 9、设
y
t t
1 t
1
，求dy dx
。
t
解： dx (1 1 )dt t2
dy
(1
1 t2
)dt
1 1 dy t 2
t2 1
dx 1 1 t 2 1
t2
20
例
10、已知椭圆的参数方程为xy
s gtt 1 (t)2 s gtt s(t)t
2
2
二、微分的概念
y
y＝f（x）
M
y
P
Q
O
x
x x x O
y＝f（x）
M
T
P
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例1 求函数 y x 2在x 1和x 3处的微分。
2 解 函数 y x 在x 1处的微分为
dy ( x 2 ) | x 1 x 2x;
在x 3处 的 微 分 为 dy ( x 2 ) | x 3 x 6x
例2 求函数 y x 3当x 2, x 0.02 时的微分 . 解 先求函数在任意点的微分
d x x 1dx,
x
x 1 ,
sin x cos x ,
2
d sinx cos xdx,
cos x sin x ,
d cos x sinxdx,
d cot x csc2 xdx,
tan x sec x , cot x csc 2 x , sec x sec x tan x , csc x csc x cot x ,
微分的定义
函 数 的 微 分
微分的几何意义
基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则
基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则
复合函数的微分法则
微分的近似计算 误差估计
微分在近似计算中的应用
1
第七节
一.微分的定义： 1.实例——函数增量的构成
函数的微分
x0
x0 x
x
2 x x
x0 x x0
V 4R 2 R R20 4 3.14 202 0.1 -502.40毫米3
R0.1
17
解： 设f x sinx, 则f x cos x; 30 30 6 360 取x 0 , x , 应用2式得： 6 360
则函数 y f ( x ) 的微分又可记作：
dy f ( x0 )dx.
dy 从而有： f ( x 0 ). dx
这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫“微商”. 导数（微商）即微分之商。
8
二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式
dy ( x 3 )x 3 x 2 x.
再求函数当 x 2 , x 0.02时的微分
dy
x 2 x 0.02
3 x 2 x
x 2 x 0.02
3 2 2 0.02 0.24 .
7
通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx . 即
dx x
uv uv ,
d uv vdu udv ,
u vdu udv v 0. d 2 v v
u uv uv v 0. 2 v v
3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 设y f (u), u ( x)都可导 , 则复合函数 y f [ ( x)] 求 dy.
x2
解 dy d ln 1 e
x2
1 e d 1 e 1 e
1
x2
1
x2
x2
e d x2
x2
e
x2 x2
1e
2 xdx
2 xe 1 e
x2 x2
dx.
14
例6 y e 13 x cos x, 求 dy. 解 应用积的微分法则得：
第八节 微分在近似计算中的应用
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) dy f ( x 0 ) f ' ( x 0 )dx
例1： 用于研磨水泥原料用的 铁球直径为 40毫米, 使用一段时间
以后其直径缩小了 0.2毫米, 试估计铁球体积减少了 多少？ 4 2 解： 体积V R 3 ,V 4R 2 V V R 4R R. 3 铁球的体积的改变量的 近似值为：
定义
y Ax o(x )
（1）
其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 o( x ) 是比 x 高阶无穷小， 那么称函数 y f ( x ) 在点 x 0 是可微的，而 A x 叫做函数
y f ( x )在点x 0 相应于自变量增量x的微分， 记作dy，即：
dy Ax .
d tan x sec2 xdx,
d secx secx tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x lnadx,
x
dx,
9
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
dy y x dx f ( u) ( x )dx.
du ' ( x )dx
或写为： dy f (u)du或dy y u du
由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 dy f ( u)du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。
11
4、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 例3： y cos2 2 x
1 d si n t , 可见， cos tdt d sin t 1 即 ，d si nt costdt,
1
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
(1)d (__) xdx ; (2)d (__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
2 x 1 , 可见，xdx d x 2 d 2 2 2 x 即，d 2 xdx,
15
(2)因为 d (si n t ) costdt,
13
例4 y sin( 2 x 1), 求 dy.
解 把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
若y Ax (x ), 则称dy Ax为函数的微分 .
Ax： 称 为 y的 线 性 主 部 ， 即 dy。 x 很 小 时 ， y dy
3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A ? 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 可微, 则有(1)成立，即
y Ax o(x )
1 3 x ) e 1 3 x d (cos x) dy d (e 13 x cos x ) cos xd(e
cos x e 13 x 3dx e 13 x sinxdx
e 13 x (3 cos x sinx)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
d arccosx
1
dx,
2.函数的和、差、积、商的微分法则
10
函数和、差、积、商的求导法则
函数和、差、积、商的微分法则
u v u v ,
uv
d u v du dv ,
d Cu CduC是常数，
Cu CuC是常数 ，
5
5、微分的几何意义 y T N
P
y f(x)
M0
Q
dy y
O
x0
x
x0 x
x
几何意义 : y是 曲 线 y f ( x )上 点 的 纵 坐 标 的 增 量 ， 时 dy就 是 曲 线 的 切 线 上 点 纵 的坐 标 的 相 应 增 量 。
当 x 很小时，dy y .
利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
2、分别按照dx、dy合并同类项。
得到g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx
dy g 2 ( x , y ) 3、 求 得 导 数 ： dx g1 ( x , y ) 或微分 g 2 ( x, y) dy dx g1 ( x , y )
A f ( x 0 ).
lim 反之, 如果 y f ( x ) 在 x0可导, 即 x 0
y f ( x 0 )存在, x
4
根据极限与无穷小的关系, 上式可写为
则
y f ( x 0 ) ，（x 0, 0） x y f ( x0 )x x.
1 arc cot x . 2 1 x
1 d log a x dx , x ln a 1 d ln x dx , x 1 d arcsinx dx, 2 1 x
1 x2 1 d arctan x dx , 2 1 x 1 d arc cot x dx . 2 1 x
1、等式右边第一项， x的线性式，是函数增量 的主要部分。
x ，当x 0时，是 2、第二项 x的高阶无穷小 .