太原理工大学数值计算方法题库概要
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（），=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1), (2), (3), (4)三、1、2、（15(1)(1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
太原理工大学数值计算方法题库讲解
数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
(完整word版)《数值计算方法》复习资料全
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =（ ),c =( ）.4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk k x l)(( ），∑==nk k j kx lx 0)(（ ）,当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数,当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
(完整word版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
太原理工大学——计算方法上机题
上机练习题一、求非线性方程的根。
1、 求方程()cos 0f x x x =-=在0 1.5x =附近的是根，要求精度满足3110k k x x -+-<.(牛顿切线法)>> NewtonIterationx0=1.5 del=0.001 N=20k x(k)0 1.500000 1 0.784472结果：0.7395192、 求方程32()0.80f x x x =--=在01x =附近的是根，求出具有四位有效数字的根近似值..(简单迭代法))(1n n x x ϕ=+312)8.0()(+=x x ϕ程序clear clcphi=inline('(x^2+0.8)^(1/3)'); %迭代函数 x0=input('x0='); del=input('del='); N=input('N='); n=1;fprintf('\n %2d %f ',0,x0); while n<N x=phi(x0); if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n 近似解=%f \n',x); return endfprintf('\n %2d %f ',n,x); n=n+1; x0=x; endfprintf('\n \n %f d 次迭代后未达到精度要求. \n',N);运行结果 x0=1del=0.00001N=200 1.000000 1 1.216440 2 1.316116 3 1.363004 4 1.385180 5 1.395688 6 1.400671 7 1.403034 8 1.404155 9 1.404687 10 1.404939 11 1.405059 12 1.405116 13 1.405143 14 1.405155近似解=1.405162二、求解线性方程组（直接法或迭代法）1、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----22118118344108318311231224321x x x x x使用高斯-赛德尔迭代法求解代码clear clcn=input('n=');%矩阵的阶数 A=input('A=');%系数矩阵 b=input('b='); x=input('x=');%自变量 epsilon=input('\n 精度='); N=input('\n 最大迭代次数N=');fprintf('\n %d:',0);for i=1:nfprintf('%f',x(i));end%以下是迭代过程for k=1:N%这是第k步迭代，迭代前的向量在x0[]中，迭代后的向量在x[]中； normal=0;for i=1:nt=x(i);x(i)=b(i);for j=1:nif j~=ix(i)=x(i)-A(i,j)*x(j);endendx(i)=x(i)/A(i,i);temp=abs(x(i)-t);% 求范数于迭代在同一个循环中；if temp>normalnormal=temp; %这里用的是无穷范数endend%第i不迭代结束；fprintf('\n %d: ',k);for i=1:nfprintf('%f',x(i));%输出迭代过程endif normal<epsilonreturnendendfprintf('\n \n 迭代% d 次后仍未求得满足精度的解\n',N);结果n=4A=[2,2,1,-3;-2,1,-1,-3;8,-1,3,8;10,4,4,3]b=[8,1,-1,8]x=[1,-1,2,-2]精度=0.001最大迭代次数N=100:1.000000-1.0000002.000000-2.0000001: 1.000000-1.0000002.000000-2.000000>>故原方程的解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2211x。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题及答案
数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
2. 若132)(356++-=x x x x f ，则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）A. 都发散；B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）A. 02≤≤-h ；B. 0785.2≤≤-h ；C. 02≤≤-h λ；D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分）1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2x 5，=1Ax 16 ，=2A 22115+2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。
3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值；解：1.用复化梯形公式计算 取2.048.16.2,4=-==h n 1分分分分7058337.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))()(2)((231114=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f hT k n k k10.466758.030146.042414.425693.12014f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x2. 用复化Simpson 公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值。
《数值计算方法》试题集及答案资料
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
(完整版),数值计算方法试题及答案,推荐文档
数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
xk 1
1 2 (xk
a xk
)
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
六、（9
3
分）数值求积公式 0
f
( x)dx
（ ）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2 三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下
数据：
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
2、（15 分）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算
2、设函数 f (x) 于区间a,b上有足够阶连续导数， p a,b为 f (x) 的
一个 m
重零点，Newton
迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f '(xk )
的收敛阶至
少是 __________阶。
３、区间a,b上的三次样条插值函数 S(x) 在a,b上具有直到
__________阶的连续导数。
数值计算方法试题二
一、判断题：（共 16 分，每小题２分）
１、若 A 是 n n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L 和上三角阵
U ，使 A LU 唯一成立。 （ ）
２、当 n 8 时，Newton－cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）
3、形如
ab
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题卷和的答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
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数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-)22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101aaa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
二、选择题1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx xk k +=+)()1(收敛的充要条件是（2）。
（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中，当系数)(n iC 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（1）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（3）。
(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、12bx a y +=解：},1{x span =Φ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222383125191111TA []3.730.493.320.19=Ty 解方程组y A AC A T T = 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b2、用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxe x ⎰-10时，(1)试用余项估计其误差。
（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。
解：001302.0768181121)(12][022==⨯⨯≤''--=e f h a b f R T η])()(2)([2)8(71∑=++=k k b f x f a f hT ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[161++++++⨯+=6329434.0= 四、1、方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)xx 11+=对应迭代格式nn x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。
判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
解：（1）321(31)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛； （2）xx x 1121)(2+-='ϕ，117.05.1<='）（ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。
选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，32476.15=x ，32472.16=x Steffensen 迭代：k k k k k k k x x x x x x x +---=+)(2))(())((21ϕϕϕϕ11211)1(33323++-++-+-=k k k k k x x x x x计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。
2、已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
(2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
解：Jacobi迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k kGauss-Seidel迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-0430430430430)(1U L D B J ，790569.0)410(85)(==或J B ρSOR迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1()1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)(2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω五、1、取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
解：改进的欧拉法：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()0(111)0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y所以1)1.0(1==y y ；经典的四阶龙格—库塔法：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6342312143211hk y h x f k k hy h x f k k hy h x f k y x f k k k k k hy y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。
2、求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =解：设)(3x H 为满足条件⎩⎨⎧='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式，则 21203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得：212202232)()()()(x x x x x H x f k ---=六、（下列2题任选一题，4分） 1、数值积分公式形如⎰'+'++=≈1)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 1,试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；2,设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。
解：将32,,,1)(x x x x f =分布代入公式得：201,301,207,203-====D B B A构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足⎩⎨⎧='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x则有：⎰=103)()(x S dx x xH ， 22)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξdx x x f dx x S x f x x R 213)4(10)1(!4)(])()([)(-=-=⎰⎰ξ1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f=⨯=-=⎰2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。