太原理工大学数值计算方法题库概要

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数值计算方法试题一

一、 填空题

1、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分(10)次。

2、迭代格式)2(2

1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在(

)0,22(-

)22

,0()。

3、已知

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=3

1)1()1()1(21

10)(233

x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,

则a =(3),b =(3),c =(1)。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则

∑==

n

k k

x l

)((1),

∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((j x ),当2≥n 时

=

++∑=)()3(20

4

x l x x

k k n

k k (32

4++x x )。

5、设

1326)(2

47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.2364945

26!77==⨯。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9,5个节点的求

积公式最高代数精度为9。

7、{}∞

=0)(k k

x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=

1

4)(dx x x ϕ0。

8、给定方程组⎩⎨

⎧=+-=-2211

21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足1

SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题

00

(,)

()y f x y y x y '=⎧⎨

=⎩的改进欧拉法

⎪⎩⎪

⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]

0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是

2阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡=110

1a

a

a a A ,当∈a (

22

,

22-

)时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足(0>ii l )条件时,

这种分解是唯一的。

二、选择题

1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x

k k +=+)

()

1(收敛的充要条件是(2)。

(1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ

2、在牛顿-柯特斯求积公式:

⎰∑=-≈b

a

n

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中,当系数)

(n i

C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当(1)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

(1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n ,

(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 4、若用二阶中点公式

)),(4,2(1n n n n n n y x f h

y h x hf y y ++

+=+求解初值问题

1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为(3)。

(1)20≤

三、12

bx a y +=

解:

},1{x span =Φ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=22

22

38312519

1111

T

A []3.730.493.320.19=T

y 解方程组

y A AC A T T = 其中

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得:

⎦⎤

⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b

2、用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx

e x ⎰-1

0时,

(1)试用余项估计其误差。(2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。

解:

001302.07681

81121)(12][022==⨯⨯≤''--

=e f h a b f R T η

]

)()(2)([2)8(7

1∑=++=k k b f x f a f h

T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16

1

++++++⨯+=

6329434.0= 四、1、方程013

=--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等

价形式(1)3

1+=x x 对应迭代格式3

11+=+n n x x ;(2)

x

x 11+

=对应迭

代格式

n

n x x 111+

=+;(3)13

-=x x 对应迭代格式13

1-=+n n x x 。判断迭

代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精

确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。

解:(1)3

2

1(31

)(-+=')x x ϕ,118.05.1<=')(

ϕ,故收敛; (2)

x

x x 1

121)(2+

-

='ϕ,117.05.1<=')(

ϕ,故收敛; (3)23)(x x ='ϕ,

15.135.12>⨯=')(ϕ,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x ,

32476.15=x ,32472.16=x Steffensen 迭代:

k k k k k k k x x x x x x x +---

=+)(2))(())((2

1

ϕϕϕϕ

1

1211)1(333

2

3++-++-+-

=k k k k k x x x x x

计算结果:5.10=x ,324899.11=x ,324718.12=x 有加速效果。 2、已知方程组f AX =,其中

⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣

⎡--=41

143

34A ,

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f

(1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2)求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。

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