太原理工大学数值计算方法题库概要
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数值计算方法试题一
一、 填空题
1、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分(10)次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在(
)0,22(-
)22
,0()。
3、已知
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=3
1)1()1()1(21
10)(233
x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,
则a =(3),b =(3),c =(1)。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
)((1),
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x ),当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k (32
4++x x )。
5、设
1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.2364945
26!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9,5个节点的求
积公式最高代数精度为9。
7、{}∞
=0)(k k
x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=
1
4)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨
⎧=+-=-2211
21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足1 SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,) ()y f x y y x y '=⎧⎨ =⎩的改进欧拉法 ⎪⎩⎪ ⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 2阶方法。 10、设⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=110 1a a a a A ,当∈a ( 22 , 22- )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足(0>ii l )条件时, 这种分解是唯一的。 二、选择题 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是(2)。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ⎰∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当(1)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , (1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 4、若用二阶中点公式 )),(4,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y ++ +=+求解初值问题 1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为(3)。 (1)20≤ 三、12 bx a y += 解: },1{x span =Φ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=22 22 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得: ⎥ ⎦⎤ ⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b 2、用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx e x ⎰-1 0时, (1)试用余项估计其误差。(2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。 解: 001302.07681 81121)(12][022==⨯⨯≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++⨯+= 6329434.0= 四、1、方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等 价形式(1)3 1+=x x 对应迭代格式3 11+=+n n x x ;(2) x x 11+ =对应迭 代格式 n n x x 111+ =+;(3)13 -=x x 对应迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭 代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精 确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 解:(1)3 2 1(31 )(-+=')x x ϕ,118.05.1<=')( ϕ,故收敛; (2) x x x 1 121)(2+ - ='ϕ,117.05.1<=')( ϕ,故收敛; (3)23)(x x ='ϕ, 15.135.12>⨯=')(ϕ,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x , 32476.15=x ,32472.16=x Steffensen 迭代: k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ϕϕϕϕ 1 1211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果:5.10=x ,324899.11=x ,324718.12=x 有加速效果。 2、已知方程组f AX =,其中 ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡--=41 143 34A , ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f (1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2)求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。