数形结合毕业论文

数形结合思想在解题中的应用

摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。

关键词：数形结合解题应用

数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。下面，我将从3个方面来说明数形结合思想在解题中的应用

(一)、解决集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

图1

例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，

已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），

参赛情况如下：

① 40个学生每人都至少解出一道题

②在没有解出第一道题的学生中，

图2

解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍

③仅解出第一道题的人数比余下的

学生中解出第一道题的人数多1个

④ 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题

试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？

（2）解出第一道题的学生有几个？

分析 本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、

“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.

解答 设集合A ={解出第一道题的学生数}，集合B ={解出第二道题的学生

数}，集合C ={解出第三道题的学生数}，如图2，可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+=+=++++++c

b a g e d a f

c f b g f e

d c b a 1)(240 解之得a =11，b =10，c =1，d+e+g =10

所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.

(二)、解决函数问题

利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用

数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。

例 3: 对于 x ∈R, y 取 4 - x, x + 1，2

1(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。

分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先

分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = 2

1(5 - x)的图像，如图3。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y 与x 的函数关系式是: y=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--+x x x 4)5(211 3) >(x 3)1<(1)1(≤≤x

图3

它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的

最大值是 2。

例 4:若函数 f(x)是定义在R 上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)=

0 ,求 f(x)< 0的x 的范围。

解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y 轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为

减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图4,由图像可知f(x)< 0 ，所以x ∈（- 2，2)

图4

(三)、解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不

等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图

形上找出解题的思路。

例 5: 已知关于x 的方程22)34(+-x x =px ，有 4个不同的实根, 求实数

p 的取值范围。

分析: 设y =22)34(+-x x =342+-x x 与y=px 这两个函数在同一坐标系

内, 画出这两个函数的图像, 如图5。可知：

图5

(1)直线y= px 与y= -(x 2- 4x+ 3) , x ∈[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应

介于这两者之间, 由:⎩⎨⎧=+--=px

y x x y )34(2 得

x 2+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时, x= - 3∉ [1, 3 ]舍去, 所以实数p 的取值范围是 0< p< 4- 23 。

例 6: 若不等式 x 2- ㏒a x < 0, 在（0,2

1)内恒成立, 则a 的取值范围是什么?

分析: 原不等式可化为x 2 < ㏒a x ，x ∈（0,2

1)，设y 1= x 2与y 2= ㏒a x ，在坐标系中作出y 1= x 2，x ∈（0,21)的图像，如图当x=21时，y 1= x 2 =4

1，显然, 当x ∈（0,21)时，y 1< 4

1就恒成立。 ①当a >1 时, 在（0,2

1)上y 2= ㏒a x 图像( 如图6 )在y 1= x 2的图像下方, 不合题意。

图6

②当 0< a< 1 时，y 2= ㏒a x 在（0,2

1)上的图像（ 如图7 ）是减函数。