数形结合毕业论文

数形结合思想在解题中的应用
摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。

把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。

关键词：数形结合解题应用
数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。

应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。

下面，我将从3个方面来说明数形结合思想在解题中的应用
(一)、解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。

如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

图1
例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，
已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），
参赛情况如下：
① 40个学生每人都至少解出一道题
②在没有解出第一道题的学生中，
图2
解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍
③仅解出第一道题的人数比余下的
学生中解出第一道题的人数多1个
④ 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题
试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？
（2）解出第一道题的学生有几个？
分析 本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、
“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.
解答 设集合A ={解出第一道题的学生数}，集合B ={解出第二道题的学生
数}，集合C ={解出第三道题的学生数}，如图2，可得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+=+=++++++c
b a g e d a f
c f b g f e
d c b a 1)(240 解之得a =11，b =10，c =1，d+e+g =10
所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.
(二)、解决函数问题
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用
数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。

例 3: 对于 x ∈R, y 取 4 - x, x + 1，2
1(5 - x)三个值的最小值。

求y 与x 的函数关系及最大值。

分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先
分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = 2
1(5 - x)的图像，如图3。

易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y 与x 的函数关系式是: y=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--+x x x 4)5(211 3) >(x 3)1<(1)1(≤≤x
图3
它的图像是图形中的实线部分。

结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的
最大值是 2。

例 4:若函数 f(x)是定义在R 上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)=
0 ,求 f(x)< 0的x 的范围。

解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y 轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为
减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图4,由图像可知f(x)< 0 ，所以x ∈（- 2，2)
图4
(三)、解决方程与不等式的问题
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不
等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图
形上找出解题的思路。

例 5: 已知关于x 的方程22)34(+-x x =px ，有 4个不同的实根, 求实数
p 的取值范围。

分析: 设y =22)34(+-x x =342+-x x 与y=px 这两个函数在同一坐标系
内, 画出这两个函数的图像, 如图5。

可知：
图5
(1)直线y= px 与y= -(x 2- 4x+ 3) , x ∈[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应
介于这两者之间, 由:⎩⎨⎧=+--=px
y x x y )34(2 得
x 2+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时, x= - 3∉ [1, 3 ]舍去, 所以实数p 的取值范围是 0< p< 4- 23 。

例 6: 若不等式 x 2- ㏒a x < 0, 在（0,2
1)内恒成立, 则a 的取值范围是什么?
分析: 原不等式可化为x 2 < ㏒a x ，x ∈（0,2
1)，设y 1= x 2与y 2= ㏒a x ，在坐标系中作出y 1= x 2，x ∈（0,21)的图像，如图当x=21时，y 1= x 2 =4
1，显然, 当x ∈（0,21)时，y 1< 4
1就恒成立。

①当a >1 时, 在（0,2
1)上y 2= ㏒a x 图像( 如图6 )在y 1= x 2的图像下方, 不合题意。

图6
②当 0< a< 1 时，y 2= ㏒a x 在（0,2
1)上的图像（ 如图7 ）是减函数。

只需 y 2≥41 ，就可以使x 2< ㏒a x ，x ∈（0,2
1)恒成立。

图7
故㏒a 21≥41，㏒2
1a ≤4，所以a ≥（21）4=161 , 综上有a ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,161 。

从以上几个例子可以看出，在数学中只要我们注意运用数形转化思想，既可增加学生们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。

掌握数学”双基”,培养数学能力是数学教学最重要的目的.而“培养思维品质是发展智力与能力的突破口”，”学生数学能力的差异通过数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”。

数形结合有利于提高思维的深刻性，因此，中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的”桥”来学习研究和掌握应用。

要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数”的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题，分析其几何意义，找出其中所反映的“形”之间的关系,借助形的直观来解决。

二者都是数形结合，不可偏废。

数形结合法要求教师在长期的教学过程中潜移默化的让学生掌握，仅仅靠几节课专门讲数形结合法解题的例子,是不能使学生真正理解和掌握数形结合方法的。

参考文献：
陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力[J]. 青年探索 , 2005,(06)
董涛. 建构主义视野中的数学概念教学[J]曲阜师范大学学报(自然科学版) , 2004,(02) 从以上三个题目看出:用数形结合这种特殊思
想方法来探寻不等式中此类问题的解题思路，是另
辟蹊径，几乎可一墩而就.一般而言，满足下列条件
的不等式问题的求解，都可考虑使用数形结合:10经
转化几何意义明显;20看作函数或曲线，图象易于作
出或易于变换而得;3。

两图象的交点较易求得.为了
达到举一反三、触类旁通的目的，下面几个习题都可
用数形结合简解，不妨一试..。