二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解

3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
特解形式
y
=
C1e
2x

C2e3x

1 2
(
x
2

2
x)e
2
x

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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=max{l n} 而k按i(或i)不是特征 方程的根或是特征方程的单根依次取0或1
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
(3)如果是特征方程r2prq=0的重根 则
=[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]exp[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex
=[Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
把它代入所给方程 得
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=

1 2

b1=1
ห้องสมุดไป่ตู้
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
y*=xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单 根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2
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例1 求微分方程y2y3y=3x1的一个特解
解 齐次方程y2y3y=0的特征方程为r22r3=0
因为f(x)=Pm(x)ex=3x1 =0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Qm(x)
其中Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
其根为r1=2 r2=3 因为f(x)=Pm(x)ex=xe2x =2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=

1 2

b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
因此所给方程的通解为
>>>
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历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
特解形式
=2b03b0x3b1
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
其根为r1=2 r2=3 因为f(x)=Pm(x)ex=xe2x =2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0xb1)e2x
y*=b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b1=3x1
比较两端 x 同次幂的系数
得 b0=1
b1
=
1 3

因此所给方程的特解为 y*= x 1 3
提示
[b30bx0=b31]2[b0xb1]3[b0xb1] =23bb00x3b21=b10 3b1
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例 题讲解
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
提示 y*py*qy*
=[Q(x)ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex]