随机信号分析课件第6章

比较： Y = a X + b C Y (u ) e jb u C X (a u )
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6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩
（1）一维正态随机变量
一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：
fX (x)
1 e(x2a2)2
2
记为
wenku.baidu.com
X ~N(a,2)
特征函数为:
jau2u2
CX(u)e 2
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多维随机变量的特征函数性质：
① 若X1，X2 统计独立，则：
推广到n个：
C x 1 ,x 2(u 1 ,u 2 ) C x 1(u 1 )C x 2(u 2 ) C x 1 ,...x n ( u 1 ,...u n ) C X 1 ( u 1 ) ...C X n ( u n )
证明：
CX(u) ejuX
1 2
x2
e2d
u2
xe2
详细解答见教材P8例题1.2。
解答： 结论：
X~N (a ,2)求 ,C X(u )?
C X(u) ejuX
1 2
e dxe (x 2 a 2 ） 2
jau2u2
2
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（2）特征函数的性质 ① 具有 CX(u)CX(0)1 ② X 的特征函数为CX (u) ，则 Y=aX+b 的特征函数为：
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同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率 密度函数是一对fourier变换对：
特征函数：
+
C x 1...x n(u 1 ...u n) eju 1 x 1 ju 2 x 2 ....ju n x nf(X T )d x 1 ...d x n
-
概率密度函数：
fx 1 ...x n (x 1 ...x n ) (2 1 )n+ - e - (ju 1 x 1 ju 2 x 2 ....ju n x n )C X T (u T )d u 1 ...d u n
fX1 (x)
1
e(x12a112)2
21
fX2 (x)
1
(x2a2)2
e 222
22
因此其边际分布为一维正态分布 ：X1~N(a1,12) X，2~N(a2,22)
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二维正态分布的协方差矩阵可表示为：
CC C1 21 1 C C1 22 2 1 12 2 12 2 2
CY(u)eju bCX(a)u
证明：
CY(u)=E[eju(aXb)]ejubE[ejuaX] ejubCX(ua)
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③
E[Xn](j)ndnC duXn(u)|u0
证明：（归纳法证明）
当n=1时：
j 1
dCX (u) du
|u 0
j 1
d du
[e
jux
f
( x)dx ]
|u 0
eju1x1f1(x1)dx1 eju2x2
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f2(x2)dx2CX1(u1)CX2(u2)
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② 边际特征函数： C X1,X2(u1,0)C X1(u1)
推广到n个：
证明：
C X 1 ,...X n ( u 1 ,... u n 1 ,0 ) C X 1 ...X n 1 ( u 1 ... u n 1 )
随机过程
第六章：正态随机过程
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第六章： 正态随机过程
6.1 随机变量特征函数的回顾 6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩 6.3 n 维正态随机变量的性质 6.4 正态随机过程的定义 6.5 正态随机过程的性质
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正态随机过程定义：
如果对一个随机过程任意选取 n 个时刻，则得到 n 个相应的随机变量, 若此 n 个随机变量的联合分布是 n 维正态分布，则称随机过程 X(t) 是正态随机过程（高斯 过程）。
CX1,X2(u1,0)E[eju1x1ju2x2]|u20 E[eju1x1]CX1(u1)
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③ 已知
C X T ( u T ) E [ e j u T X ] , 且 Y A X b , 则 C Y T(vT)ejvT bC X T(vTA )
证明： 已知CXT(uT)E[ejuTx],则: CYT(vT)E[ejvTY]E[ejvT(AX+b)]ejvTbE[ej(vTA)X] ejvTbCXT(vTA)
的特征函数。记为： CX(u)E[eiuX]
连续型 离散型
CX(u) ejuxf(x)dx
CX(u) ejuxiP{xxi}
i1
已知特征函数，求概率密度函数(Fourier反变换)：
f(x)21 CX(u)e-juxdu
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例题6-1： X~N (0,1)求 ,C X(u)
解：
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6.1 随机变量特征函数的回顾
随机变量的特征函数：
随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对 应关系，这个关系就是 Fourier 变换对，因此在得知随
机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。
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（1）特征函数的定义
设 X为随机变量，称 e juX 的数学期望为随机变量 X
C x 1 ,x 2 ( u 1 ,u 2 ) E [ e ju 1 x 1 ju 2 x 2 ] e ju 1 x 1 ju 2 x 2f(x 1 ,x 2 )d x 1 d x 2
若独立，则
f(x1,x2)f1(x1)f2(x2)
Cx1,x2(u1,u2) eju1x1ju2x2f1(x1)f2(x2)dx1dx2
exp(jau2u2)
2
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（2）二维正态随机变量
若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为：
f(x1,x2)212112exp{2(1 12)[(x11a1)22(x1a 1)1 (x22a2)
(x22a2)2]}
则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ为X1和X2的相关系 数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为：
j1 jxe jux f (x)dx |u0
xf (x)dx E[ X ]
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④
证明省略。
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（3）多维随机变量的特征函数
多维随机变量的特征函数定义：
定义： 若
x1
X
.
.
xn
u1
u
.
.
un
特征函数： C x 1 .x n .( u .1 .u .n ). E [ e j1 u x 1 j2 u x 2 ..j. n u x n .] 即： C X T(u T)E [eju TX ]