用平面的法向量解高考立体几何试题

图1

用平面的法向量解高考立体几何试题

张靖松

平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法

向量与平面垂直 如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。

平面的法向量 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：

在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或

(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ⋅=且 0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。有时为了需要，也求法

向量n 上的单位法向量0n ，则0n n n

=

。 例1 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中， 求平面1ACD 的法向量n 和单位法向量0n 。 解：建立空间直角坐标系，如图1，则(1,0,0)A ，

(0,1,0)C 。设平面1ACD 的法向量(,,1)n x y =。

得(1,1,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-。 又n ⊥面1ACD ，得n AC ⊥，1n AD ⊥。有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ⋅-=⎧⎨

⋅-=⎩，得1

1x y =⎧⎨=⎩

。

∴(1,1,1)n =

，0n n n =

==。 二、平面法向量的三个引理

为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以 顺利地解决立体几何问题。

图

2

图 3

引理1 设向量0n 是平面α的单位法向量，点B 是平面α外一定点，点A 是α内任意一点，则点B 到平面α的距离0d AB n =⋅。 证明：如图2，过B 作BO 垂直平面α于O ，在 平面α上任取一点A ，则ABO ∠为AB 与n 的夹 角，设为θ。

在Rt ABO ∆中，BO d =， 得0cos AB n AB n d AB AB AB n n

AB n

θ⋅⋅=⋅=⋅

==⋅

⋅。

例2 在例1中，求点1A 到平面1ACD 的距离。 解析：由例1的解答知，平面1ACD 的单位法向量0

(

333

n =， 又1(0,0,1

)AA =

，设点1A 到平面1ACD 的距离为d ，则 10

(0,0,1)(

)3333

d AA n =⋅=⋅=。 所以，点1A 到平面1ACD 。 说明：利用引理1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。 引理2 设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=, 向量AB 与n 的夹角ABO ψ∠=（见图2），则sin cos AB n AB n

θψ⋅==⋅。（证略）

例3 在例1中，求直线

1AA 与平面1ACD 所成的角。 解析：由例1知，(1,1,1)n =，1(0,0,1

)AA =，

∴11sin AA n

AA n

θ⋅=

==⋅θ=。 引理3 如图3，设向量1n 与2n 分别是二面角

l αβ--中的两个半平面α，β的法向量，

图4

则向量1n 与2n 的夹角12,n n <>的大小就是 所求二面角或其补角的大小。（证略）

例4 在例1中，求二面角1D AC D --的大小。

解：由例1知，平面1ACD 的法向量是1(1,1,1)n =，平面DAC 的法向量是2(0,0,1)n =， 设二面角1D AC D --的大小为θ，则

1212cos 3n n n n θ⋅=

==

⋅

，得arccos 3θ=。 说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量1n 与2n 的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若2(0,0,1)n =-，

则121212cos ,cos 3

n n n n n n θ⋅<>=

=-=-⋅，

于是12,(n n θπππ=-<>=--=。 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它

是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等， 若方向相反，则互补。

三、利用法向量解2005年高考立体几何试题 例5 （05江西 理）如图4，在长方体ABCD -

1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB

上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面

1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为

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π。 分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。