九年级数学上册例析如何求解旋转扫过的面积(人教版)
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE
例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，求证： ．
5、如图正方形ABCD中， ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．
【分析】：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
【解析】：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形
观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。
∴△AEP中，AE＝PE
初三数学旋转的题解题方法
初三数学旋转的题解题方法
解题方法如下：
1. 首先，理解旋转的概念。
在数学中，旋转是指将一个图形或点绕某个中心点旋转一定角度得到的新图形或点。
2. 确定旋转的中心点。
题目中通常会给出旋转的中心点，可以根据题意来确定中心点的位置。
3. 确定旋转的角度。
题目中通常会给出旋转的角度，可以根据题意来确定旋转的角度。
4. 根据旋转的中心点和角度，确定旋转后的新图形或点的位置。
5. 利用几何知识和旋转的特性，解题。
根据题目要求，可以利用旋转的特性来求解问题。
需要注意的是，解题过程中要注意几何知识的灵活应用，学会将问题转化为几何图形的性质和关系，通过旋转将问题简化为解决直角三角形或相似三角形的问题。
另外，需要熟练掌握旋转的基本性质，例如旋转角度的正负、逆时针旋转和顺时针旋转等。
例说计算旋转扫过的面积
ABC OD计算旋转扫过的面积河北 欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转利用旋转解决问题教案
人教课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转利用旋转解决问题教案《利用旋转解决问题》教案教学目标:1.巩固旋转的性质。
2.利用旋转构全等三角形，转移角和线段解决问题。
教学重点：利用旋转构全等解决几何问题。
教学难点：如何旋转构全等三角形解决几何问题。
教学过程：一． 旋转的性质回顾 二．利用旋转解决问题例1：如图等腰RT △ABC 中，∠C=90°，∠CPB=135°，CP=2，BP=3，求AP 的长。
（1） 组织学生分析思考：① 由已知条件你能想到哪些隐含条件？ ② 所给条件能直接求出AP 的长吗？如何求AP 的长？启发：①利用什么方法改变线段和角的位置来求AP 的长？（2） 教师组织学生利用旋转构全等三角形求AP 的长（略） （3） 小结归纳： E FBCAOD旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等。
2.对应点到旋转中心连线的夹角都是旋转角。
3.旋转前后图形全等。
方法小结：1.如图，正方形ABCD 中，点P 为正方形ABCD内一点，已知BP=2，CP=3，∠BPC=135°求DP.2.如图，P 为等边△ABC 内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB.3.如图，两块三角板如图摆放，D 为BC 中点，E,F 分别在AB,AC 上，BE,CF,EF 间有何数量关系？并证明。
4.如图，△ABC 中，以AB,AC 为直角边向外作等腰RT △ABD 和等腰RT △ACE ，M 为BC 的中点，求证：DE=2AMABCDPFNABDEMDABC。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
人教2011课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转-利用旋转解决问题教案
突破方法：利用多媒体教学手段，如动画、立体模型等，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力。
（4）旋转在实际问题中的应用：学生难以将旋转知识应用于实际问题中，缺乏解决实际问题的能力；
突破方法：结合生活实例，设计实际应用题，让学生在实际操作中学会运用旋转知识解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“图形旋转在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
此外，在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们动手动脑，提高了他们的参与度。但在小组讨论过程中，我发现有些学生并没有充分发表自己的观点，这可能是因为我在引导讨论时，没有给予他们足够的空间和时间。因此，在今后的教学中，我要注意调整讨论的节奏，鼓励更多学生参与到讨论中来。
在学生小组讨论环节，我对各组的成果分享进行了点评，并及时给予了反馈。但我意识到，在点评过程中，我可能过于注重结果，而忽视了学生在讨论过程中的思考。在今后的教学中，我应该更加关注学生的思考过程，引导他们如何分析问题、解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调旋转中心、旋转角以及旋转前后图形的关系。对于难点部分，如旋转后图形的求解，我会通过具体例子和步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形旋转相关的实际问题，如旋转后图形的面积和周长计算。
武汉专版九年级数学上册第二十三章旋转专题20旋转中的计算问题二_求长度和面积课件新版新人教版
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
2
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阴影部分的面积＝1×1－2×(1×1× 3)＝1－ 3.
2
3
3
4．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正
方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．
(1)求两个正方形重叠部分的面积；
(2)若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．
第二十三章 旋转
专题20 旋转中的计算问题(二 )——求长度和面积
武汉专版·九年级上册
一、利用旋转求长度 1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°， 若BD＝2CE.求DE的长．
【解析】由 AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，设 CE＝x，BD＝2x，则 DE＝6－3x，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 120°到△ACF 位置，连接 EF，由题意可证△ADE≌△AFE，则 EF＝DE＝6 －3x，过 F 做 FG⊥BC 于 G，则由∠ECF＝60°，∴CG＝CE＝x，即点 E 与点 G 重合，∴FG⊥ CE，∴FE＝ 3CE，∴6－3x＝ 3x，解得 x＝3－ 3，∴DE＝6－3x＝3 3－3.
九年级数学上册 23.3课题学习图案设计 旋转后的计算问题素材 新人教版
旋转后的计算问题学习了弧长的计算公式及扇形面积的计箅公式，我们可以解决有关的计箅问题，但在中考试题中常会出现一些旋转型的计箅问题，需要我们认真分析，探究解题的技巧.一、旋转后求弧长例 1.如图在Rt△ABC中,∠C=cmACA3,60,90=︒=∠︒将△ABC绕点B旋转到△A’BC’的位置，且A,B,C’使点三点在同一条直线上，则点A经这的最短路线的长度 .解析：点A经过的最短路线是以B为圆心，AB为半经，圆心角为'ABA∠的扇形'BAA的弧长.因为︒=∠-︒=∠==150''180',32cosBCAABAAACAB，所以点A经这的最短路线的长度()cmππ33518032150=⨯.二、旋转后求面积例2.如图把直角△ABC的斜边AB放在定直线L上，按顺时针方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C1的位置，设1,3==BCAC则顶点A运动到点A2的位置时，A所经过的路线与直线l围成的面积为 .解析：本题中△ABC旋转了两次，第一次是B以为圆心，AB为半经转了︒120（因为︒=∠==∠60,3tan ABCBCACABC），第二次以C1为圆心，A1C1为半经转了︒90，所以点A经过的路线与直线L所围成的面积为() 231225318090213121218012021SS22C1A1A2A1BC1BAA1+=⨯⋅⋅+⨯⨯+⨯⋅⋅=++=∆πππ扇形扇形SS三、旋转后求圈数例3.如图把⊙O 放在边长等于其周长的正三角形ABC 上，沿着A →B →C →A 线路无滑动的滚动一周回到原位置，则⊙O 将转动几周？说明理由？解析：⊙O 的初始位置有OA ⊥AC 当它题意要在AB 上滚动时，⊙O 必须先绕点A 转动一个角β使其半经OA ⊥AB 显然β∠是A ∠的补角︒=∠-︒=∠120180A β尽管这一过程⊙O 是绕点A 旋转完成的，实际上⊙O 自身也正好是转动了这个角β，图就很直观地显示了这一点，我们不妨在⊙O 上取一点M ，使AM 为⊙O 的直经当⊙O 绕点A 旋转一β之后，点M 到达M ’的位置，显然这一过程可分解为西部分，圆心O 移到O ’的位置，而⊙O 绕圆心旋转了一角β.⊙O 分别在AB,BC,CA 上滚动时，各旋转一周，共计3周，⊙O 又分别在点A,点B,点C 处从一边过渡到另一条边时又各旋转了︒120，共计︒=⨯︒3603120即又是一周所以⊙O 沿A →B →C →A 滚动一周回到原来位置时，将转动4周.。
初中数学旋转求面积教案
初中数学旋转求面积教案教学目标：1. 理解旋转的性质，掌握旋转的基本概念和操作方法。
2. 学会运用旋转求解几何图形的面积。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 旋转的性质和基本概念。
2. 运用旋转求解几何图形的面积。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形模型或实物模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入旋转的概念：什么是旋转？2. 展示旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解旋转的基本性质：旋转中心、旋转角度、旋转后的位置。
2. 示例讲解：如何运用旋转求解几何图形的面积。
三、课堂练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题目，巩固旋转求面积的方法。
2. 老师巡回指导，解答学生的疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课的主要内容和旋转求面积的方法。
2. 提问学生：旋转求面积的方法还可以应用到哪些场景？3. 展示旋转在实际生活中的应用实例，如旋转门、旋转餐厅等。
教学反思：本节课通过讲解旋转的基本性质和示例讲解，让学生掌握运用旋转求解几何图形的面积的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题目，巩固所学知识。
在总结与拓展环节，学生能够理解旋转求面积的方法在实际生活中的应用。
整体来说，本节课达到了预期的教学目标。
需要注意的是，在教学过程中，要注重学生的空间想象能力的培养，可以通过展示实物模型或几何模型，帮助学生更好地理解旋转的性质和应用。
此外，可以适当增加一些拓展题目，提高学生的解决问题的能力。
秋人教版九级上册数学专题课件：专题旋转中的计算问题——求长度和面积(共3张PPT)
专题20 旋转中的计算问题(二)—— 求长度和面积
武汉专版·九年级上册
一、利用旋转求长度1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC
上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE.求DE的长．
3
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置， 连接BC′，求BC′的长．
43． ．如如图图，，正边方长形为A1的BC正D方的形面A积B为CD4，绕对点角A逆线时交针于旋点转O3，0点°O到是正正方方形形ABA′1CB′D1′C，1求O的图一中个阴顶影点部，分如面果积这．两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转． (1)求两个正方形重叠部分的面积； 一2．、如利图用，旋在转△求A长BC度中1．，(∠2C01＝79·武0°汉，)如A图C＝，B在C△＝AB，C将中△，AABBC＝绕A点CA＝顺2 时，针∠方BA向C旋＝转12600°°，到点△DA，B′EC都′的在位边置B，C连上接，B∠CD′A，E求＝B6C0′°的，长若．BD＝2CE. 一、利用旋转求长度1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE. 求4(专求1．)D题D求如EE2两的的图0 个长长，旋正．．正转方方中形形的重A计叠BC算部D问分的题的面(面积二积为)—；4—，求对长角度线和交面于积点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转． 二、利用旋转求面积 3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分面积．
2一．、如利图用，旋在转△求A长BC度中1．，(∠2C01＝79·武0°汉，)如A图C＝，B在C△＝AB，C将中△，AABBC＝绕A点CA＝顺2 时，针∠方BA向C旋＝转12600°°，到点△DA，B′EC都′的在位边置B，C连上接，B∠CD′A，E求＝B6C0′°的，长若．BD＝2CE. 一求、DE利的用长旋．转求长度1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE. 一、利用旋转求长度1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE. 二32求． ．、D如如E利的图图用长，，旋．边在转长△求为A面B1C积的中正，方∠形C＝AB9C0°D绕，点ACA＝逆B时C针＝旋，转将30△°A到B正C绕方点形AA顺B′时C′D针′，方求向图旋中转阴60影°部到分△面AB积′C．′的位置，连接BC′，求BC′的长．
2018年秋武汉九年级数学上册第二十三章旋转专题20旋转中的计算问题(二)—求长度和面积课件新人教版
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位 置，连接BC′，求BC′的长．
【解析】连接 BB′，由题意，得 AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形， ∴AB＝BB′＝AB′.延长 BC′交 AB′于点 D ，又∵AC′＝B′ C′，∴BD 垂直平分 AB′，∴ AD＝B′D.∵AB＝2，∴AB′＝2，∴AD＝B′D＝1，∴BD＝ 3，．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分面积．
【解析】 设 B′C′与 CD 的交点为 E， 连接 AE， 可证 Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL)， ∴∠DAE 1 3 ＝∠B′AE.∵旋转角为 30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝ ×60°＝30°，∴DE＝ ，∴ 2 3 1 3 3 阴影部分的面积＝1×1－2×( ×1× )＝1－ . 2 3 3
一、利用旋转求长度
1．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，
若BD＝2CE.求DE的长．
【解析】由 AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，设 CE＝x，BD＝2x，则 DE＝6－3x，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 120°到△ACF 位置，连接 EF，由题意可证△ADE≌△AFE，则 EF＝DE＝6 －3x，过 F 做 FG⊥BC 于 G，则由∠ECF＝60 °，∴CG＝CE＝x ，即点 E 与点 G 重合，∴FG⊥ CE，∴FE＝ 3CE，∴6－3x＝ 3x，解得 x＝3－ 3，∴DE＝6－3x＝3 3－3.
4．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正 方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转． (1)求两个正方形重叠部分的面积； (2)若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．
人教版数学九年级上册例说旋转考点的解题策略
人教版数学九年级上册例说旋转考点的解题策略在近几年的中考中，旋转变换一直是这个舞台上的年轻的老主角，不同的旋转主体，带来奇趣的结论，带来了不同求解思路，折射出精彩的数学智慧，展示出深厚的数学功底，积累起富有成效的解题方法，当再次面对旋转题，能做到胸有成竹、有的放矢.现结合2017年各地中考试题进行说明与剖析,希望能给教师和学生的解题带来一定的启示与帮助.一、旋转点例1 （2017年孝感）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（）。
（A）（0，﹣2）（B）（1，﹣3）（C）．（2，0）（D）（3，﹣1）图1解析：如图1，连接OA，作AB⊥y轴，垂足为B，则3则OA=2,∠AOB=30°，，则O A'=2, 作A' D⊥x轴，垂足为D，则∠A'OD=30°，所以A'3,所以点A′3，﹣1），故选D．点评构造一条有动点与原点构成的线段，把点的旋转转化为线段的旋转，借助坐标的意义，求得线段的长，线段与坐标轴的夹角，为旋转后解题奠定基础，其次，在坐标系中解题时，要熟练掌控点的坐标与对应线段之间的转化关系，这也是解题的关键点之一.二、旋转线例2 （2017年株洲）．如图2示直线33x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为．图2解析：如图2，则0A=1,OB=3,则AB=2,∠BAO=60°，点B运动的路径是以点A为圆心，以2为半径，圆心角为60°的扇形的弧长，所以长为：602180π⨯⨯=23π.故应该填23π．点评清楚点B的运动路径是解题第一要素，其次，确定弧在圆的半径，圆心角是解题的关键.例3 （2017年连云港）如图3，在平面直角坐标系xoy中，过点A(-2,0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C.(1)若OB=4，求直线AB的函数关系式；(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长.图3解析：(1)略；（2）设点B的坐标为（0，m）(m＞0),则0B=OD=m,AD=m+2,所以1m(m+2)2=5，解得1111舍去)，点B运动的路径是以点O11为半径，圆心角为90°的扇形的弧长，所以长为：90(111)π⨯⨯-111-,所以点B的运动111-点评确定点B运动路径是解题的核心，抓住旋转的实质，确定弧在圆的半径，圆心角是解题的基础工程，要熟练操作和计算.三、旋转角例4 （2017年襄阳）如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是中线，AC=BC.一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC,BC 的延长线相交，交点分别为点E,F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N. （1）如图4，若CE=CF ，求证：DE=DF ；（2）如图4，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段AB,CE,CF 之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4,CF=2，求DN 的长.图 4解析：(1)略；（2）解：①因为∠DCF=∠DCE=135°，所以∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°， 因为∠CDF+∠CDE=45°，所以∠F=∠CDE ，所以△CDF ∽△CED ，所以CD CF =CE CD, 即2CD =CE•CF，因为∠ACB=90°，AC=BC ，AD=BD ，所以CD=12AB ，所以2AB =4CE•CF ； ②如图4，过D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG ，当CE=4，CF=2时，由2CD =CE•CF，得2，所以在Rt △DCG 中，CG=DG=CD•sin∠2×sin45°=2，因为∠ECN=∠DGN ，∠ENC=∠DNG ，所以△CEN ∽△GDN ，所以CN CE GN DG ==2,所以GN=13CG=23， 所以22222DG +GN 2()3=+210点评 这里旋转的主要作用有两个，一个是保持定角；二是提供变化的图形，生成能探索新结论的图形空间.四、旋转直角三角形例5 （2017年毕节）如图5，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF=45°将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ＇处，则下列判断不正确的是（ ）（A）△AEE＇等腰直角三角形（B） AF垂直平分EE＇（C）△E＇EC∽△AFD （D）△AE＇F是等腰三角形图5解析：因为将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，所以AE′=AE，∠E′AE=90°，所以△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；因为将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，所以∠E′AD=∠BAE，因为∠BAE+∠DAF=45°，∠E′AD+∠FAD=45°，所以∠E′AF=∠EAF，因为AE′=AE，所以AF垂直平分EE'，故B正确；因为AF⊥E′E，∠ADF=90°，所以∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，所以∠FE′E=∠DAF，所以△E′EC∽△AFD，故C正确；因为AD⊥E′F，但∠E′AD 不一定等于∠DAE′，所以△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．点评紧紧抓住旋转的本质，旋转前后两个图形是全等形；牢牢把握旋转角的确定方法，准确确定旋转角，为进一步判断结论的真伪提供知识的支撑.五、旋转一般三角形例6（2017年淮安）【操作发现】如图6，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′；（2）在图6-1所画图形中，∠AB′B=．【问题解决】如图6-2，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图6-3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB （k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．图6解析：【操作发现】（1）如图7所示，△AB′C′即为所求；图7（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，所以AB=AB′，∠B′AB=90°，所以∠AB′B=45°，故答案为：45°；【问题解决】如图8，图8将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，所以△AP P′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°,所以AP=P P′，∠AP′P=∠AP P′=60°， 所以PP′=32PC ，即AP=32PC ，因为222AP +PC =AC ，即2223(PC)+PC =72， 所以PC=27，所以AP=21，所以S APC V =12AP•PC=73； 【灵活运用】如图9，因为AE ⊥BC ，BE=EC ，所以AB=AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG ，连接DG ．则BD=CG ，因为∠BAD=∠CAG ，所以∠BAC=∠DAG ，因为AB=AC ，AD=AG ，所以∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD ，所以△ABC ∽△ADG ，DG=kBC=4k ，因为∠GDC=90°，所以CG=22DG +CD =216K +25，所以BD=CG=216K +25．图 9点评 通过作图，感悟旋转的真谛，通过问题解决，探寻旋转问题解决的有效方法，通过灵活运用，使得所学能学以致用，并在原有的基础上提升解决问题的能力，培养自主学习的能力，分析问题，解决问题的能力，确实提高自身的数学素养.六、旋转正方形例7（2017四川省南充市）如图10，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG ；②BE ⊥DG ；③222222DE BG a b +=+，其中正确结论是 （填序号）图10解析：设BE，DG交于O，则∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，BC=DC∠BCE=∠DCGCE=CG⎧⎪⎨⎪⎩,所以△BCE≌△DCG（SAS），所以BE=DG，∠1=∠2，所以∠BOC=90°，所以BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图10所示，所以222222DO+BO=BD=BC+CD=2a，222222EO+GO=EG=EC+CG=2b，则22222222BG+DE=OB+OG+OD+OE=2a+2b，故③正确．故答案为：①②③．点评旋转变化为新结论的生成提供发展的空间，有了这个问题空间，充分发挥已有的全等知识，互余知识，垂直知识，勾股定理知识，结合正方形的性质，这顿知识大宴就成功做成，并成功吸收，成功消.下面是广东初中数学教师交流群，有丰富资源分享，欢迎你的加入！。
如何求解旋转扫过的面积
如何求解旋转扫过的面积我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030,∴AD=2121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=2π3例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A．7π3-B．4π3+C ．πD．4π3+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =， ∴AB=2BC=4,∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C ,∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.AH BOC 1O 1H1A1C。
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例析如何求解旋转扫过的面积
我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积，如何计算图形旋转扫过的面积呢？ 下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.
例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.
例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB′，B′A′，弧A′C ，CB
围成的阴影部分的面积是 ．
析解: 本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质，连接BO ，O B '，阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积，欲求扇形B BO '面积，需要计算OB 的长，于是连接AC ，则AC ⊥OB ，
∵120A =∠，∴∠AOC=060，
∴∠AOB=21∠AOC=030，∴AD=2
121=AO ，
根据勾股定理得，OD=22AD OA -=23， ∴OB=3，
∵旋转角∠A AO '=，090
∴∠A CO '=，030 ∴∠B BO '=，
090 ∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影
=31211243⨯⨯--ππ=23π32
-.
例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋
转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．77π338-
B ．47π338+
C ．π
D ．4π33
+ 析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算，中位线定理和直角三角形的有关性质等，连接BH 和1BH ，
∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，
∴AB=2BC=4，
∴AC=,32242222=-=-BC AB
∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，
∴OB=1OB =2，CH=32
111==AC H C ， ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ，
易证△HOB ≌△B O H 11，∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120，半径分别为7和3的两扇形的面积差，
即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437. A H B O C 1O 1H 1A 1C。