[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换

est h t H s est
H s h t estdt
—est是任何一个LTI系统的本征函数
—s j一般来说是复的。
假设收敛
（双向）拉普拉斯变换
x
t
X
s
x
t
est dt
Lx
t
s j是复变量，现在我们探讨s的取值范围
基本想法
要求绝对可积
1 X s X j
渐近近似
20dB / decade
H j tan1
0
/ 4 / 2
0 1 1
渐近近似 以- /2改变
二阶系统
H
s
s2
n2 2n
n2
收敛域Res Re极点
0 1
复极点 —欠阻尼
1
在s=-n处的双极点
—临界阻尼
1
2极点在负实数轴
—过阻尼
演示：零极点图表，频率响应，以及一阶 和二阶连续时间因果系统的阶跃响应
9）如果X s的收敛域包括j 轴,那么xt的傅里叶变换存在。
例子：
X (s) (s 3) (s 1)(s 2)
傅立叶变换 是否存在？
x t 是右边信号 x t 是左边信号 x t 是双边信号
收敛域： III 收敛域： I 收敛域：II
不存在 不存在 存在
4.拉普拉斯逆变换 5.拉普拉斯变换的性质 6.线性时不变系统的系统函数 7.拉普拉斯变换及其频率响应的几何求值
dx t sX s，其收敛域包含X s的收敛域.
dt
如果有零极点抵消，其收敛域可以比X s 的收敛域大一些,如：
xt ut 1,
s
Res 0
dx t = t 1=s 1
dt
s
ROC=全部s平面
s-域微分
-tx t dX s ,与X s 有相同的收敛域.
ds
例如：
teat
LTI系统的脉冲响应可用线性常微分方程来表示
X
s
N D
s s
,
D s —s中的多项式
·N s的根=X s的零点
·D s的跟 X s的极点
·任何一个包含复指数线性复杂组合的x t 在t 0和t 0(就像例1和例2)
都有一个有理的拉普拉斯变换。
例9.3
都要求 收敛域有 交集
x t 3e2tu t 2etu t
第九章 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换（双向的）的定义 2.拉普拉斯变换和他们的收敛域（ROCs） 3.收敛域的性质
拉普拉斯变换
·连续系统傅里叶变换让我们能做很多事：
—分析LTI系统的频率响应；
—抽样；
—调制。
·我们为什么还需要其他变换
—对于拉普拉斯变换的一种观点是为了分析更多种类信号 的系统而对傅里叶变换做的拓展
u
t
d ds
s
1
a
s
1
a2
,
Re
s
a
(推导与 d s类似) dt
卷积性质
xt ht y t ht xt
由于 则
xt X s, yt Y s,ht H s Y s H s X s
• Y(s)=H(s)X(s)的收敛域：包括H(s)&X(s)的收敛域的交集； • 如果与H(s)&X(s)的收敛域无重叠，那么Y(s)的收敛域必是
线性性质
ax1 t bx2 t aX1 s bX2 s
收敛域至少是X1 s和X2 s收敛域的交集.
收敛域可以更大一些（因为零极点对消）
例子： x1 t= x2 t以及a b
则 ax1 t bx2 t 0 Xs 0
ROC整个s平面
时移
xt T esT X s, 与X s具有相同的收敛域。
: 0
0 a ? a
8.连续时间系统函数的性质 9.系统函数的代数属性和方框图表示 10.单边拉普拉斯变换及其应用
连续时间系统函数的性质
xt H s y t
Y s H s X s
H（s）=系统函数
1)系统是稳定的 ht dt H (s)的收敛域包含j轴； -
2）因果性 ht 是右边信号 H s的收敛域是右半平面。
—实际上，傅里叶变换不能分析很大一类（重要）信号和
不稳定系统，比如
x t dt
拉普拉斯变换的作用（接上）
• 在很多的应用中，我们确实需要处理不稳定系统 —稳定一个倒立摆 —稳定飞机或者航天飞机 —在一些应用中需要不稳定，比如振荡器和激光
• 我们如何分析以下信号/系统， LTI系统的本征函数性质
H s 1 1 , Res 1
s 1 s 1
ht 1 et u t
s t 1 et u t （阶跃响应）
H j 的几何求值：H j 1 1 . 1
j 1 j 1
一阶系统的波特图
H j 1
j 1
H j 1 2 1 2
1 1 2
1
0 1 1
一个二阶系统的波特图
顶部是平坦的,当 1 2 0.707 一个<n的低通滤波器
一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应
当 1时无震荡 1临界阻尼
1过阻尼
一阶全通系统
H s s a , Res a a 0
sa
1.两个向量长度相同
2.H j 1 2
2 2
22
2
(a)x t Cet , t (, ). 由于 x t et dt ，为任意值 - P Ce 1t
(b)x t e j0t ,t (-,). FT : X j 2 0
x t et dt et ,为任意值
X s只在收敛域中有定义；在拉普拉斯变换中不允许用脉冲
收敛域（ROC）的性质
X2
s
s
1 a
1
X1 s
X2 s
1
X1 s
或者log X2 s log X1 s
X2 s X1 s
例#3：一个高阶有理拉普拉斯变换
X s M
R
i 1
s i
P j 1
s j
X s M
R i 1
s
i
P j 1
s
j
R
P
X s M s i s j
i 1
j 1
一阶系统
例子：
系统是稳定的
-
ht
dt
H
s 的收敛域包含j轴.
有理拉普拉斯变换的几何求值
例#1：
X1(s) s a (一阶零点)
给定一点 s1 ，X1(s1) s1 a的几何求值 ： 做复数 s1 和复数a 表示的向量，然后做向量
s1与 a 的和。
X1 s 向量长度 X1 s -向量辐角
例#2：一个一阶极点
系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s
0
3e2t
2et
estdt
3 es2t dt 2 es1t dt
1 04 2 4 3 1 04 2 4 3
要求 Res 2
要求 Res 1
X
s
s
3
2
s
2 1
s
s7
2s
1
s2
s7 s
2
注意： —极点 o—零点
问题：x t 有傅里叶变换吗
Res 2
拉普拉斯变换和收敛域
·有些信号没有拉普拉斯变换（没有收敛域）
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re a
X
2
s
s
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
x
t
et e jtdt F
x t et
2 处理拉普拉斯变换的关键性问题是收敛性
— X s只在s是某些值的时候存在
这个就叫做收敛域（ROC）
绝对可积条件
ROC= s j
满足
-
x t et 14 2 43
只跟 有关，跟无关
dt
3如果s j在收敛域中（换句话说 =0），那么
X
s est ds
2 j j
通过部分分式展开和性质计算拉普拉斯逆变换
例子：
X
s
s
s3
1 s
2
s
A 1
s
B 2
A2,B 5 33
三个可能的ROC—对应三个不同的信号
回顾
s
1
a
,
Re
s
a
eat
u
t
左边
s
1
a
,
Re
s
a
eat
u
t
右边
ROCⅠ：左边信号
x t Aetu t Be2tu t
5)如果x t 是左边信号（在某个时刻之后是零），如果Res 0
在收敛域内，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是左半平面（LHP）
6)如果x
t
是双边信号，如果Re
s
这条线在收敛域内，那么
0
收敛域由s平面中的一条带状区域所组成，直线
Re
s
=
位于带中。
0
例9.7
xt ebt
xt
ebtu t ebtu t
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t 发散
拉普拉斯变换的性质
• 许多性质类似于连续时间傅里叶变换，但我们需要确定 ROC（拉斯变换收敛域）的含义。
利用例9.1和例9.2： 1 , Res b
sb
1 , Res b
sb
如果b
0, 重叠
X
s
2b s2 b2
, 有收敛域:
b
Res
b
如果b 0会怎样？ 无重叠 无拉普拉斯变换
性质
7）如果X s是有理的，那么它的收敛域被极点界定 或者延伸到无穷远。另外，X s的极点都不在收敛域内。 8）假设X s是有理的，那么 a如果x t 是右边信号，收敛域就在最右边极点的右边； b如果x t 是左边信号，收敛域就在最左边极点的左边。
收敛域
关键点（与傅里叶变换的关键区别）：需要X s和ROC才能唯一确定的
x t ，这种问题在傅里叶变换中不存在。
图形显示的收敛域
例1：
X1
s
s
1
a
,
Res
Rea
x1 t eatu t —右边信号
例子2：
X
2
s
s
1
a
,
Res
Rea
x2 t -eatu -t —左边信号
有理变换
·很多（但绝不是全部）拉普拉斯变换对我们来说，感 兴趣的是s的有理函数（比如例1、例2）一般来说，
拉普拉斯逆变换
X s x t estdt, F xt et
s j ROC
固定 ROC并利用傅里叶逆变换
x t et 1 X j e jt d
2
x t 1 X j e jt d
2
又s j 固定 ds jd
x t 1
j
空集。
例如： xt etu t , ht etu t
• 收敛域可以比二者重叠的部分更大些,如:
xtht t
H s X s 1, ROC为整个s平面。
线性时不变系统的系统函数
x(t ) h(t ) y(t )
ht H s 系统函数
系统函数描绘了系统
系统的性质与H(s)的性质及其收敛域相对应。
例子：
e3s ， s+2
Re s 2
?
esT ， s+2
Re s 2
e2t u t tt T
T 3
e3s ， s+2
Re s 2
e2t3u t 3
时域微分
x t 1
j
X
s est ds,
2 j j
dx t 1
j
sX
s est ds
dt
2 j j
·收敛域只取少量的几种不同形式
1）收敛域在s平面内由平行于j-轴的带状区域所组成（也就是说，
收敛域只跟 有关）
x t est dt x t et dt ,只取决于 = Res。
-
2）如果X s是有理的，那么收敛域中不存在极点.
极点是D s 0的地方
X
s
N D
s s
不收敛
3）如果xt 是有限持续期（有限时宽）而且绝对可积，
问题：如果H（s）的收敛域是一个右半平面，那么系 统是因果性的吗？
例：H s esT , Res 1 h t 是右信号
s 1
ht
L1
esT s 1
L1
s
1
1t
t
T
etu t
tt T
etT u t T 0,t 0
来自百度文库非因果
连续时间有理系统函数的性质
a）如果H(s)是有理的，那么
那么收敛域是整个s平面。
X s x t estdt x T2 t estdt
1T1 44 2 4 43
有限积分间隔
,如果 T1 x t dt T2
4)如果x t 是右边信号（在某个时刻之前是零），如果Res 0
在收敛域中，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是右半平面（RHP）