[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换
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信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
信号与系统课件第9章 拉普拉斯变换
信号 f (t )，乘以衰减因子 e
t
( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 F f (t ) e
t
t j t f ( t )e e d t
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
Thus,
t 1 ( s ) tlim 1 e s s
For convergence, we require that Re{s + α} > 0, or Re{s} > –α ,
1 X ( s) = , Re{s} > - a s+ a
region of convergence (ROC ) (收敛域)
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅 氏变换，将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式 ，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统 一和规范化的方法。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X ( j ) x(t )e e
t
jt
dt
Let s = σ+ jω, and using X(s) to denote this integral, we obtain
t
( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 F f (t ) e
t
t j t f ( t )e e d t
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
Thus,
t 1 ( s ) tlim 1 e s s
For convergence, we require that Re{s + α} > 0, or Re{s} > –α ,
1 X ( s) = , Re{s} > - a s+ a
region of convergence (ROC ) (收敛域)
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅 氏变换，将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式 ，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统 一和规范化的方法。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X ( j ) x(t )e e
t
jt
dt
Let s = σ+ jω, and using X(s) to denote this integral, we obtain
5-1拉普拉斯变换 《信号与系统》课件
t
f (t) e( j)td t F ( j)
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
F s f t es t dt
2．拉氏逆变换
F j f t e j t dt F s f t es t dt
对于f t e t 是F j 的傅里叶逆变换
f
(t) e t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4.lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增 长快，找不到收敛坐标，
为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范 围。
f t e t 1 F j ejtd
2 π
两边同乘 以 e t f t 1 F j e jt d
2 π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 :
对s :
j
j
f t 1
j
F
s
estd s
2 π j j
例题及说明
1.满足 lim t
号与系统 信
§5.1 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛域
哈尔滨理工大学
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子 e t ( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件,依傅氏变换定义 :
F1
F f (t) e t
f
(t
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
t
e
j
td
例题
例题
例题
例题
信号与系统-拉普拉斯变换(中)
α = ω0 第三种情况： R 1 = 2L LC
p1 = p2 = − α
E 1 此刻有重根，I ( s ) 表示式即： I ( s ) = 2 L s + α) ( R − t E − αt E i ( t ) = ⋅ e = ⋅ t e 2L L L R越大，阻尼越大，不能产生振荡，是临界情况。
vR ( 0 + ) = 2 E
(4) 原方程取拉氏变换
1 VR ( s ) + sVR ( s ) − 2 E = 0 RC 2E 所以 VR ( s ) = s + 1 RC
例4-5-2
− E t < 0 已知 e( t ) = E t>0 利用s域模型求vC ( t ) = ?
− Eu (−t ) + Eu (t ) = e(t )
t − RC 所以vC ( t ) = E − 2 E e
(t ≥ 0)
vC ( t )
E
O
♣ vc(t) 从0-的-E充电到E； ♣在求vc(t) 时，其0-和0+符合换
t
−E
路定则，采用0-和0+均可。
求v R ( t ) = ?
（） 1 v R (0− ) = 0, v R (0+ ) = 2 E
VR ( s ) = RI R ( s )
VR ( s ) 或I R ( s ) = R
R +
I R ( s)
−
还记得基尔霍夫定律吧？欧姆 定律总记得吧？这里所谓的s 域模型只不过是这两个基础定 律的一个提高。为什么一直强 调要打好基础，有了扎实的基 础，才能更快、更好、触类旁 通地掌握后续知识！
信号与系统拉普拉斯变换分析法二课件
商的规则表明对两个函数的商进行拉普拉斯变换，等于被除 数的拉普拉斯变换除以除数的拉普拉斯变换。
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
信号与系统 第9章
= ln
z变换和 变换和s 9.1.4 z变换和s变换的关系
2. 位移性 （1）双边变换 设 x ( n ) ↔ X ( z ) ，则
x ( n − m) ↔ z − m X ( z )
x(n + m) ↔ z m X ( z )
（2）单边变换 ① x(n) 是双边序列，设 x(n)u (n) ↔ X ( z ) ，则 是双边序列，
m 为整数， m + n > 0 ，收敛域不变。 为整数， 收敛域不变。
x ( n) ↔ zm n+m
∫
∞
X (v ) v
m +1
dv
z
令 m = 0 ，有
X ( n) ↔ n
∫
∞
z
X (v ) dv v
9.2例 9.2-6 解
n
a n u (n − 1) a n u ( n) 变换。 求 n +1 和 的 z 变换。 n
( z > a )
序列线性加权( 域微分) 4. 序列线性加权( z 域微分) ，则 ， 设 x(n) ↔ X ( z ) （ r1 < z < r2 ） 则
d nx ( n) ↔ − z X ( z) dz
d n x ( n) ↔ − z d z X ( z)
m
m
2 例 9.2-4 求 nu(n) 和 n u (n) 的 z 变换。 9.2变换。
n+ 2 9.2变换。 例 9.2-2 已知 x(n) = 2 − 1 ，求 y(n) = x(n − 1)u (n) 的 z 变换。
解 求得 及 x(−1) = 2
−1+ 2
x(n)u (n) = 4 ⋅ 2 n u (n) − u (n) ↔ X ( z ) = 4
信号与系统 拉普拉斯变换
第四章
拉普拉斯变换、连续时 间系统的S域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉普拉斯变换的定义、 4.3 拉氏变换的基本性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 用拉普拉斯变换法分析电路、 域元件模型 4.6 系统函数（网络函数）H(s) 系统函数（网络函数） 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 由系统函数零、 4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 全通函数与最小相移函数的零、 4.10 线性系统的稳定性 4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 中来解决这些问题。 中来解决这些问题。
本章引入复频率 s = σ + jω ，以复指数函数 e st 为 基本信号， 基本信号，任意信号可 分解为不同复频率的复 指数 分量之和。 分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率 ，故称 这里用于系统分析的独立变量是复频率s， 复频率 域分析， 拉普拉斯变换。 为s域分析，所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 域分析 所采用的数学工具为拉普拉斯变换 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题， 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题，在解决 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。
σ0
0
σ
• 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题，并非任何 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题， 信号的拉氏变换都存在。 信号的拉氏变换都存在。 • 不同的信号可能有完全相同的拉氏变换表达式，只是它 不同的信号可能有完全相同的拉氏变换表达式， 们的收敛域不同。 们的收敛域不同。 • 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域， 建立一一对应关系。 建立一一对应关系。 • 如果拉氏变换的ROC包含了jω轴，则有F ( jω ) = F ( s ) s = jω 。 如果拉氏变换的ROC包含了j ROC包含了
拉普拉斯变换、连续时 间系统的S域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉普拉斯变换的定义、 4.3 拉氏变换的基本性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 用拉普拉斯变换法分析电路、 域元件模型 4.6 系统函数（网络函数）H(s) 系统函数（网络函数） 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 由系统函数零、 4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 全通函数与最小相移函数的零、 4.10 线性系统的稳定性 4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 中来解决这些问题。 中来解决这些问题。
本章引入复频率 s = σ + jω ，以复指数函数 e st 为 基本信号， 基本信号，任意信号可 分解为不同复频率的复 指数 分量之和。 分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率 ，故称 这里用于系统分析的独立变量是复频率s， 复频率 域分析， 拉普拉斯变换。 为s域分析，所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 域分析 所采用的数学工具为拉普拉斯变换 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题， 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题，在解决 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。
σ0
0
σ
• 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题，并非任何 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题， 信号的拉氏变换都存在。 信号的拉氏变换都存在。 • 不同的信号可能有完全相同的拉氏变换表达式，只是它 不同的信号可能有完全相同的拉氏变换表达式， 们的收敛域不同。 们的收敛域不同。 • 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域， 建立一一对应关系。 建立一一对应关系。 • 如果拉氏变换的ROC包含了jω轴，则有F ( jω ) = F ( s ) s = jω 。 如果拉氏变换的ROC包含了j ROC包含了
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
5-4拉普拉斯变换的基本性质 《信号与系统》课件
0 df (t)est dt df (t)est dt f (0 )
0 dt
0 dt
f
(t)
0 0
df (t)est dt 0 dt
f (0 ) f (0 )
df (t)est dt f (0 ) 0 dt
f (0 ) df (t)est dt 0 dt
对上式取极限 s ，其中lim[
所以
L
[ f1(t) * f2 (t)]
dF(s) d
f (t)est dt
f (t) d est dt
[tf
(t )]est dt
L[tf
(t)]
ds ds 0
0
ds
0
同理可推出
d nF(s) dsn
(t)n f (t)est dt L[(t)n f (t)]
0
例题
八.S域积分特性
对于 f (t) 有拉氏变换F(s) ，则对于 f (t) 的拉氏变换
s0
s0 0 dt
十一.卷积定理
若 f1(t) ，f2 (t)的拉氏变换分别为为 F1(s) ，F2 (s)，则可推
出 f1(t)* f2 (t) 的拉氏变换 f1(t)* f2 (t) F1(s)F2 (s)
证明：由卷积定义可得
f1(t)* f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
f ( )d
s
所以可推导出
0
t
f ( )d F(s)
f ( )d
s
s
七.S 域微分特性
若f (t)的拉氏变换为 F(s) ，则对于tf (t) 的拉氏变换
有
dF (s)
tf (t)
且对于其
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：
单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点 有限长 左边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC 整个S平面 某一左半平面
右边时间信号
双边时间信号
某一右半平面
某一带状收敛域
9.3 拉氏反变换 信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
第九章 拉普拉斯变换
信号与系统第九章_拉普拉斯变换
分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 X ( s) 的分母的根(极点)相对应。
9
(s ) N (s) 若 X ( s) 是有理函数 X ( s) M D( s ) (s )
i i i i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了
1 例3. X ( s ) 2 s 3s 2 1 1 s 1 s 2
j
2
1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[ s] 1
2) ROC：Re[ s] 2
此时x(t ) 是右边信号。 此时 x(t )是左边信号。 此时x(t ) 是双边信号。
16
3) ROC： 2 Re[ s] 1
11
性质4的证明： 若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内， 则有 x(t )e
0t
绝对可积，即：
T
x(t )e 0t dt
若 1 0 ，则
e
T
x(t )e 1t dt
x(t )e 0t e (1 0 )t dt
bt
j
b
1 b e u (t ) , Re[ s] b sb 1 bt e u (t ) , Re[ s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X (s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明X ( s ) 不存在。
直接由极点向
s a
信号与系统 拉普拉斯反变换
信号与系统
§ 5.4 拉普拉斯逆变换
信号与系统
部分分式展开法
通常F(s) 具有如下的有理分式形式：
A( s) am s m am1s m1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
ai,bi为实数，m,n为正整数。 当 m n , F ( s ) 是真分式
4 4e t u ( t ) s 1
4 4te2t u(t ) ( s 2) 2
t 2 2t
4 4e 2t u(t ) s2
所以
f (t )=(4e -2t e
4te
2t
4e )u(t )
2t
Байду номын сангаас
信号与系统
部分分式展开法
F(s)两种特殊情况
非真分式—— 化为真分式＋多项式
sα e t cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
3( s 2) 3e2t cos(2t )u (t ) ( s 2)2 22
ω0 e t sin(ω0t )u (t ) 所以有： 2 ( s α )2 ω0
2 e2t sin(2t )u (t ) ( s 2)2 22
e
t
ω0 sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α )2 ω0
信号与系统
部分分式展开法(m<n)
2 s 3 8s 2 4 s 8 例：求 F ( s) s( s 1)( s 2 4s 8)
解：
的逆变换
2s3 8s 2 4s 8 C1 C2 As B F ( s) 2 2 s(s 1)(s 4s 8) s s 1 s 4s 8
§ 5.4 拉普拉斯逆变换
信号与系统
部分分式展开法
通常F(s) 具有如下的有理分式形式：
A( s) am s m am1s m1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
ai,bi为实数，m,n为正整数。 当 m n , F ( s ) 是真分式
4 4e t u ( t ) s 1
4 4te2t u(t ) ( s 2) 2
t 2 2t
4 4e 2t u(t ) s2
所以
f (t )=(4e -2t e
4te
2t
4e )u(t )
2t
Байду номын сангаас
信号与系统
部分分式展开法
F(s)两种特殊情况
非真分式—— 化为真分式＋多项式
sα e t cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
3( s 2) 3e2t cos(2t )u (t ) ( s 2)2 22
ω0 e t sin(ω0t )u (t ) 所以有： 2 ( s α )2 ω0
2 e2t sin(2t )u (t ) ( s 2)2 22
e
t
ω0 sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α )2 ω0
信号与系统
部分分式展开法(m<n)
2 s 3 8s 2 4 s 8 例：求 F ( s) s( s 1)( s 2 4s 8)
解：
的逆变换
2s3 8s 2 4s 8 C1 C2 As B F ( s) 2 2 s(s 1)(s 4s 8) s s 1 s 4s 8
拉普拉斯变换-信号与系统
F (s) e2 e2s s1
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
三、 时移特性（3）
[例] 求图示信号的拉氏变换。
解:
f (t) tu(t)
1 s2
f1(t) (t t0 )u(t t0 )
1 s2
e st 0
f2 (t) (t t0 )u(t)
1 s2
t0
1 s
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
3) t00
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
三、 时移特性（2）
[例] 试求如图所示信号f(t)的单边Laplace变换。
f(t) E
0
Tt
[例] 已知L[f(t)]=F(s),求L[f(at-t0)u(at-t0)]，a0，t00。
[例] 若 f (t) etu(t 2), 求F(s).
解: f (t) e e u(t 2 (t2) 2)
f
(0 ) ( n1)
dt n
式中，f(0-)及f(k)(0-)分别表示在t=0-时f(t)及f(k)(t)的值。
思考:
L[ f (t)] L[ f (t)u(t)] , L[df (t)] L{d[ f (t)u(t)]}是否正确?
dt
dt
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
五、 时域微分特性（2）
0
eat
e
(
j)t
dt
令s j 若 a
0 e(sa)t dt 1
s a
5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（3）
推广到一般情况
F[
f
(t)e t ]
f
(t)e t e jt dt
f (t)e( j)t dt
信号与系统教案第9章
复频域函数 F(s)
变量 t
变量s (复频率）
t（实数）
s jw (复数）
即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；
拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：
1）自变量不同:傅氏变换自变量w是一个实变量，它有明 确的物理意义--频率；拉氏变换自变量s是一个复变量： s=σ+jw，其物理意义不明确，通常称其为复频率。
收敛域
s=σ+jw，只有选择适当的值才能使积分收敛，信号 f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为F(s)的收敛域。
s平面是一个复平面，σ轴是实轴，虚轴用jw来记。平 面上不同的点s，对应着不同的时间信号est。
est e( jw)t et e jwt
e st
H (s)est
y(t) est h(t) h(t)
H (s)est
这里如果s=σ+jw，(σ是实数，可表示为Re{s})
H (s) h(t)est dt
是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，也称系统的系统函 数。一般的，信号f(t)的拉普拉斯变换，定义为
ROC的边界总是与 X (s) 的分母的根相对应的。
若
X
(s)
是有理函数
X
(s)
N (s)
M
(s i
i
)
D(s) (s i )
i
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指 jt 数信号集 {e }
拉普拉斯变换的收敛域与X(S)的零极点图 收敛域：
一般把使积分 X ( s)
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。 • 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“O”表 示。 • 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
1 , u (t ) s2
L
L
Re{s} 2
Re{s} 2
x(t ) (e e
2 t
1 )u (t ) , ( s 1)( s 2)
1 X 设： (s) (s 1)(s 2)
2 ( s) 1
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s) 1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
二、二阶和高阶极点 当N(s)＝0有r重根，其余为单根的分解式为：
D( s ) A11 A12 A1r D1 ( s) X ( s) r r r 1 ( s a1 ) N1 ( s) ( s a1 ) ( s a1 ) ( s a1 ) N1 ( s)
1 d k 1 A1k [(s a1 ) k X ( s)] |s a1 (k 1)! dsk 1
信号与系统 拉氏变换定义,性质PPT共48页
谢谢！
48
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
信号与系统 拉氏变换定义,性质
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
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系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t 发散
拉普拉斯变换的性质
• 许多性质类似于连续时间傅里叶变换，但我们需要确定 ROC（拉斯变换收敛域）的含义。
u
t
d ds
s
1
a
s
1
a2
,
Re
s
a
(推导与 d s类似) dt
卷积性质
xt ht y t ht xt
由于 则
xt X s, yt Y s,ht H s Y s H s X s
• Y(s)=H(s)X(s)的收敛域：包括H(s)&X(s)的收敛域的交集； • 如果与H(s)&X(s)的收敛域无重叠，那么Y(s)的收敛域必是
x
t
et e jtdt F
x t et
2 处理拉普拉斯变换的关键性问题是收敛性
— X s只在s是某些值的时候存在
这个就叫做收敛域（ROC）
绝对可积条件
ROC= s j
满足
-
x t et 14 2 43
只跟 有关，跟无关
dt
3如果s j在收敛域中（换句话说 =0），那么
那么收敛域是整个s平面。
X s x t estdt x T2 t estdt
1T1 44 2 4 43
有限积分间隔
,如果 T1 x t dt T2
4)如果x t 是右边信号（在某个时刻之前是零），如果Res 0
在收敛域中，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是右半平面（RHP）
5)如果x t 是左边信号（在某个时刻之后是零），如果Res 0
在收敛域内，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是左半平面（LHP）
6)如果x
t
是双边信号，如果Re
s
这条线在收敛域内，那么
0
收敛域由s平面中的一条带状区域所组成，直线
Re
s
=
位于带中。
0
例9.7
xt ebt
xt
ebtu t ebtu t
est h t H s est
H s h t estdt
—est是任何一个LTI系统的本征函数
—s j一般来说是复的。
假设收敛
（双向）拉普拉斯变换
x
t
X
s
x
t
est dt
Lx
t
s j是复变量，现在我们探讨s的取值范围
基本想法
要求绝对可积
1 X s X j
—实际上，傅里叶变换不能分析很大一类（重要）信号和
不稳定系统，比如
x t dt
拉普拉斯变换的作用（接上）
• 在很多的应用中，我们确实需要处理不稳定系统 —稳定一个倒立摆 —稳定飞机或者航天飞机 —在一些应用中需要不稳定，比如振荡器和激光
• 我们如何分析以下信号/系统， LTI系统的本征函数性质
例子：
系统是稳定的
-
ht
dt
H
s 的收敛域包含j轴.
有理拉普拉斯变换的几何求值
例#1：
X1(s) s a (一阶零点)
给定一点 s1 ，X1(s1) s1 a的几何求值 ： 做复数 s1 和复数a 表示的向量，然后做向量
s1与 a 的和。
X1 s 向量长度 X1 s -向量辐角
例#2：一个一阶极点
第九章 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换（双向的）的定义 2.拉普拉斯变换和他们的收敛域（ROCs） 3.收敛域的性质
拉普拉斯变换
·连续系统傅里叶变换让我们能做很多事：
—分析LTI系统的频率响应；
—抽样；
—调制。
·我们为什么还需要其他变换
—对于拉普拉斯变换的一种观点是为了分析更多种类信号 的系统而对傅里叶变换做的拓展
渐近近似
20dB / decade
H j tan1
0
/ 4 / 2
0 1 1
渐近近似 以- /2改变
二阶系统
H
s
s2
n2 2n
n2
收敛域Res Re极点
0 1
复极点 —欠阻尼
1
在s=-n处的双极点
—临界阻尼
1
2极点在负实数轴
—过阻尼
演示：零极点图表，频率响应，以及一阶 和二阶连续时间因果系统的阶跃响应
线性性质
ax1 t bx2 t aX1 s bX2 s
收敛域至少是X1 s和X2 s收敛域的交集.
收敛域可以更大一些（因为零极点对消）
例子： x1 t= x2 t以及a b
则 ax1 t bx2 t 0 Xs 0
ROC整个s平面
时移
xt T esT X s, 与X s具有相同的收敛域。
问题：如果H（s）的收敛域是一个右半平面，那么系 统是因果性的吗？
例：H s esT , Res 1 h t 是右信号
s 1
ht
L1
esT s 1
L1
s
1
1t
t
T
etu t
tt T
etT u t T 0,t 0
非因果
连续时间有理系统函数的性质
a）如果H(s)是有理的，那么
一个二阶系统的波特图
顶部是平坦的,当 1 2 0.707 一个<n的低通滤波器
一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应
当 1时无震荡 1临界阻尼
1过阻尼
一阶全通系统
H s s a , Res a a 0
sa
1.两个向量长度相同
2.H j 1 2
2 2
22
2
LTI系统的脉冲响应可用线性常微分方程来表示
X
s
N D
s s
,
D s —s中的多项式
·N s的根=X s的零点
·D s的跟 X s的极点
·任何一个包含复指数线性复杂组合的x t 在t 0和t 0(就像例1和例2)
都有一个有理的拉普拉斯变换。
例9.3
都要求 收敛域有 交集
x t 3e2tu t 2etu t
·收敛域只取少量的几种不同形式
1）收敛域在s平面内由平行于j-轴的带状区域所组成（也就是说，
收敛域只跟 有关）
x t est dt x t et dt ,只取决于 = Res。
-
2）如果X s是有理的，那么收敛域中不存在极点.
极点是D s 0的地方
X
s
N D
s s
不收敛
3）如果xt 是有限持续期（有限时宽）而且绝对可积，
X s
0
3e2t
2et
estdt
3 es2t dt 2 es1t dt
1 04 2 4 3 1 04 2 4 3
要求 Res 2
要求 Res 1
X
s
s
3
2
s
2 1
s
s7
2s
1
s2
s7 s
2
注意： —极点 o—零点
问题：x t 有傅里叶变换吗
Res 2
拉普拉斯变换和收敛域
·有些信号没有拉普拉斯变换（没有收敛域）
拉普拉斯逆变换
X s x t estdt, F xt et
s j ROC
固定 ROC并利用傅里叶逆变换
x t et 1 X j e jt d
2
x t 1 X j e jt d
2
又s j 固定 ds jd
x t 1
j
例子：
e3s ， s+2
Re s 2
?
esT ， s+2
Re s 2
e2t u t tt T
T 3
e3s ， s+2
Re s 2
e2t3u t 3
时域微分
x t 1
j
X
s est ds,
2 j j
dx t 1
j
sX
s est ds
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
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1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t 发散
拉普拉斯变换的性质
• 许多性质类似于连续时间傅里叶变换，但我们需要确定 ROC（拉斯变换收敛域）的含义。
u
t
d ds
s
1
a
s
1
a2
,
Re
s
a
(推导与 d s类似) dt
卷积性质
xt ht y t ht xt
由于 则
xt X s, yt Y s,ht H s Y s H s X s
• Y(s)=H(s)X(s)的收敛域：包括H(s)&X(s)的收敛域的交集； • 如果与H(s)&X(s)的收敛域无重叠，那么Y(s)的收敛域必是
x
t
et e jtdt F
x t et
2 处理拉普拉斯变换的关键性问题是收敛性
— X s只在s是某些值的时候存在
这个就叫做收敛域（ROC）
绝对可积条件
ROC= s j
满足
-
x t et 14 2 43
只跟 有关，跟无关
dt
3如果s j在收敛域中（换句话说 =0），那么
那么收敛域是整个s平面。
X s x t estdt x T2 t estdt
1T1 44 2 4 43
有限积分间隔
,如果 T1 x t dt T2
4)如果x t 是右边信号（在某个时刻之前是零），如果Res 0
在收敛域中，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是右半平面（RHP）
5)如果x t 是左边信号（在某个时刻之后是零），如果Res 0
在收敛域内，那么Re
s
的全部s值都在收敛域内。
0
收敛域是左半平面（LHP）
6)如果x
t
是双边信号，如果Re
s
这条线在收敛域内，那么
0
收敛域由s平面中的一条带状区域所组成，直线
Re
s
=
位于带中。
0
例9.7
xt ebt
xt
ebtu t ebtu t
est h t H s est
H s h t estdt
—est是任何一个LTI系统的本征函数
—s j一般来说是复的。
假设收敛
（双向）拉普拉斯变换
x
t
X
s
x
t
est dt
Lx
t
s j是复变量，现在我们探讨s的取值范围
基本想法
要求绝对可积
1 X s X j
—实际上，傅里叶变换不能分析很大一类（重要）信号和
不稳定系统，比如
x t dt
拉普拉斯变换的作用（接上）
• 在很多的应用中，我们确实需要处理不稳定系统 —稳定一个倒立摆 —稳定飞机或者航天飞机 —在一些应用中需要不稳定，比如振荡器和激光
• 我们如何分析以下信号/系统， LTI系统的本征函数性质
例子：
系统是稳定的
-
ht
dt
H
s 的收敛域包含j轴.
有理拉普拉斯变换的几何求值
例#1：
X1(s) s a (一阶零点)
给定一点 s1 ，X1(s1) s1 a的几何求值 ： 做复数 s1 和复数a 表示的向量，然后做向量
s1与 a 的和。
X1 s 向量长度 X1 s -向量辐角
例#2：一个一阶极点
第九章 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换（双向的）的定义 2.拉普拉斯变换和他们的收敛域（ROCs） 3.收敛域的性质
拉普拉斯变换
·连续系统傅里叶变换让我们能做很多事：
—分析LTI系统的频率响应；
—抽样；
—调制。
·我们为什么还需要其他变换
—对于拉普拉斯变换的一种观点是为了分析更多种类信号 的系统而对傅里叶变换做的拓展
渐近近似
20dB / decade
H j tan1
0
/ 4 / 2
0 1 1
渐近近似 以- /2改变
二阶系统
H
s
s2
n2 2n
n2
收敛域Res Re极点
0 1
复极点 —欠阻尼
1
在s=-n处的双极点
—临界阻尼
1
2极点在负实数轴
—过阻尼
演示：零极点图表，频率响应，以及一阶 和二阶连续时间因果系统的阶跃响应
线性性质
ax1 t bx2 t aX1 s bX2 s
收敛域至少是X1 s和X2 s收敛域的交集.
收敛域可以更大一些（因为零极点对消）
例子： x1 t= x2 t以及a b
则 ax1 t bx2 t 0 Xs 0
ROC整个s平面
时移
xt T esT X s, 与X s具有相同的收敛域。
问题：如果H（s）的收敛域是一个右半平面，那么系 统是因果性的吗？
例：H s esT , Res 1 h t 是右信号
s 1
ht
L1
esT s 1
L1
s
1
1t
t
T
etu t
tt T
etT u t T 0,t 0
非因果
连续时间有理系统函数的性质
a）如果H(s)是有理的，那么
一个二阶系统的波特图
顶部是平坦的,当 1 2 0.707 一个<n的低通滤波器
一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应
当 1时无震荡 1临界阻尼
1过阻尼
一阶全通系统
H s s a , Res a a 0
sa
1.两个向量长度相同
2.H j 1 2
2 2
22
2
LTI系统的脉冲响应可用线性常微分方程来表示
X
s
N D
s s
,
D s —s中的多项式
·N s的根=X s的零点
·D s的跟 X s的极点
·任何一个包含复指数线性复杂组合的x t 在t 0和t 0(就像例1和例2)
都有一个有理的拉普拉斯变换。
例9.3
都要求 收敛域有 交集
x t 3e2tu t 2etu t
·收敛域只取少量的几种不同形式
1）收敛域在s平面内由平行于j-轴的带状区域所组成（也就是说，
收敛域只跟 有关）
x t est dt x t et dt ,只取决于 = Res。
-
2）如果X s是有理的，那么收敛域中不存在极点.
极点是D s 0的地方
X
s
N D
s s
不收敛
3）如果xt 是有限持续期（有限时宽）而且绝对可积，
X s
0
3e2t
2et
estdt
3 es2t dt 2 es1t dt
1 04 2 4 3 1 04 2 4 3
要求 Res 2
要求 Res 1
X
s
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3
2
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s
s7
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1
s2
s7 s
2
注意： —极点 o—零点
问题：x t 有傅里叶变换吗
Res 2
拉普拉斯变换和收敛域
·有些信号没有拉普拉斯变换（没有收敛域）
拉普拉斯逆变换
X s x t estdt, F xt et
s j ROC
固定 ROC并利用傅里叶逆变换
x t et 1 X j e jt d
2
x t 1 X j e jt d
2
又s j 固定 ds jd
x t 1
j
例子：
e3s ， s+2
Re s 2
?
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Re s 2
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T 3
e3s ， s+2
Re s 2
e2t3u t 3
时域微分
x t 1
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2 j j
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