转动物体的动能和“+溜溜球”的机械能守恒

了平动动能 ㊁ 转动动能和重力势能的相互转化 . 论文 讨论了溜溜球的结构 和 常 见 运 动 , 从平动物体的动 能导出了均匀圆环和 圆 盘 的 转 动 动 能 , 借助转动运 动学中的转动惯量和 转 动 定 律 , 证明了溜溜球的运 溜溜球的下行运动与 之 相 似 , 再次体现了两种动能 参 考 文 献 动过程中机械能守恒 . 对斜坡滚动圆盘的分析表明 , 和重力势能的转化 , 以及转化过程中的机械能守恒 .
游戏者 .
问题分析溜溜球的运动 , 最后 , 与斜坡上圆盘的滚动 过程对比 . 2 均匀圆环和均匀圆盘的转动动能 设圆环半径为r, 厚度为δ, 密度为ρ, 宽度为d r,
下面首 先 讨 论 转 动 物 体 的 动 能 , 然后带着上述
圆环转动角速度为 ω, 如图 3 所示 . 其中一小段的质 量为 m 当弧长 足 够 小 时 , 该段物体在某一时刻的 i, 8 5
重力沿 y 轴的分量与支持力平衡 , 沿 x 轴有 由转动定律 s i n θ=maC f-m g
的展开速度即线速度v, 细绳同时约 束 了 转 动 , 所以
a I, ] C 3 )得到 转动定律 [ 得F 代入式 ( r= I αr = 4 r a I C F= 2 r g a C= I 1+ 2 mr
( ) 5 ( ) 6
2 2 所以 式 ( 中 圆 环 的 动 能 可 表 示 为 1m 1) r ω 或 2
常相似 , 溜溜球在水平方向不受力 , 而斜坡运动在垂 直与斜面方向平衡 , 导致转动的力矩分别为细绳拉 则雷同 . 斜坡长度 力和斜坡摩擦力 , 而受力分析 ㊁ 运动过程和运动参数
溜溜球处 B 停止转动后 A 还能持续 转 动 较 长 时 间 ,
运动到斜坡底部的时间
h l= s i n θ h -2 aC s i n θ
擦力的阻碍 , 运动一段时间后逐渐停下来 , 如果每次 1 溜溜球的结构和运动 溜溜球 是 一 种 非 常 受 中 小 学 学 生 喜 爱 的 玩 具, 有几十种玩法 , 比如 : 遛狗 ㊁ 睡眠 ㊁ 前抛 ㊁ 逃 脱㊁ 摇 篮㊁ 爬行者 ㊁ 升降机 ㊁ 卫星回收等等 , 这些丰富多彩的 玩法中包含了中学所 学 的 许 多 物 理 知 识 . 常见的溜 1 所示 溜球有两种类型 , 第一种类型比较简单 , 其结构如图
t=
速度
v a t= C= C
)化简后得到总动能为 代入式 ( 1 1
a h -2 C s i n θ
可见斜坡滚动圆盘的机械能也守恒 . 5 结论
Iö 2 1 1 2 1æ mv2 + I ω = çm + 2 ÷v h =m g r ø 2 2 2è
盘, 圆盘沿斜面向下滚动 , 圆 盘 半 径 为r, 质 量 为 m, 斜坡高度为 h, 如图 4 所示 . 圆盘在滚动的过程中受 重力G, 斜面支持力 N 和摩擦力f, 滚动速度为ω, 圆 盘质心的线速度为 质心的加速度为 圆盘角加 v a C, C, 速度为 则同样有ω= 由于转动方向的切向速 a v r, r, C 度与质心速度相反 , 所以 a r a C =r.
第二种溜 溜 球 在 图 1 的 转 轴 上 套 上 空 轴 B, 转
上而不固定连接 , 但在缠绕时须一层一层用力缠紧 .
是两个对称的圆盘 , 半径为 R, 圆盘通过转轴固定连 接, 转轴半径r ≪ R, 两个圆盘和固定连接的转轴构 成了溜溜球的主体 A, 转轴上缠绕细绳 C, 细绳的一 端固定在转轴上 .
[ 1]
转向
下行上爬 .
时, 轻 往 上 提, 补 充 损 失 的 能 量, 则可反复
轴与空轴 B 之间通过 轴 承 光 滑 连 接 , 细绳空套在 B 这种溜溜球 阻 力 较 小 , 转 动 速 度 更 快, 在下行结束 时, 并不立即上升 , 而 是 在 底 部 持 续 转 动, 这种玩法 称为 睡 眠 . 当 手 指 轻 轻 上 抖, 触发溜溜球迅速上 爬, 称为 唤醒 . 如 果 下 落 时 用 力 往 下 甩, 转动速度 和持续运动的时间会明显增加 , 如果在 睡 眠 时 接 触地面 , 溜溜球将沿地 面 滚 动 , 游 戏 者 收 放 细 绳, 则 可完成 遛狗 问题 : 物体 下 落 时 , 重 力 势 能 转 化 为 动 能, 但溜 爬行 等玩法 .
m =2 π r δ d r ρ
1 2, 2 为圆环的转动惯量 . I ω 其中I=mr 2
为零 , 所以
h, 当细绳长度全部展开时 , 时间t= 2 初速度 aC v=a t= C v ω= = r g h 2 I 1+ 2 m r g h 2 I r + m
2
( ) 7 ( ) 8
所有圆环具有同样的转动速度 ω, 设圆盘半径为 d r, 即 R]区间的积分 ,
能损失和阻尼作用 , 爬升的高度不能达到初始位置 .
a I C r= I a r =f r
得
a I C f =- 2 r g s i n θ a C =I 1+ 2 mr
( ) 1 0 ( ) 1 1
下行 - 转向 - 上爬 的过程 . 若 每 次 转 向 的 时 候,
) ㊁ ( )和式 ( ) ㊁ ( ) , 式( 当θ =9 在数值 上 1 0 1 1 5 6 0 ʎ时 , 相等 ( 忽略 x 轴方向设定 ) . 可见 , 圆盘的斜坡滚动与溜溜球的下行运动非
R
2 3 0
均匀 圆 盘 可 看 作 无 数 圆 环 构 成 , 圆环宽度为
图3
均匀圆环的动能
)和式 ( )得到 动动能 , 代入式 ( 7 8
此时 , 溜溜球的动能包含向下的平动动能和转 1 1 2 mv2 + I ω = 2 2
)在 [ 圆盘质量为 m =πR2 则其动能为式 ( R, δ 1 0, ρ, π δ r= mR ω = I ω ρω r d ʏ 4 2 1
, 图 2 是溜溜球的剖 面 图 . 图1的左右两侧
溜球到达底部时 , 速度v 迅速减小为零 , 重力势能转 化到哪里去了 , 机械 能 是 否 守 恒 ? 平 动 物 体 的 动 能 为 1mv2 , 转动物体是否有动能 , 动能大小是多少 ? 2
图1 溜溜球的结构 图2 下行时的受力分析
[ ] 2
1 mR2 . 2 3
溜溜球的运动过程分析和机械能守恒 下面分 析 第 一 种 结 构 的 溜 溜 球 的 运 动 过 程 , 设
后, 向下运动的惯性拉伸细绳 , 平动动能转化为细绳 的弹性势能 , 至最大形变后平动速度降为零 , 细绳的 弹性恢复使溜溜球向上加速 , 对理想的弹性体 , 细绳 的弹性势能完全转化 为 向 上 的 平 动 动 能 , 转化结束 的瞬时速度大小与细 绳 完 全 展 开 瞬 间 相 同 . 但由于 细绳不是理想的弹性体 , 转向后动能会有损失 , 这个 转化过程在短时间内 完 成 , 游戏者的手指能感觉到 短暂的抖动 . 另一方面 , 细绳完全展开后由于转动惯 性, 溜溜球继续沿原有方向转动 , 并将细绳反向缠绕 在转轴上 , 实现快速 转向 , 开始 上 爬 运 动 . 转化
其中负号表示加速度方向沿 x 轴负方向 . 比较
转化 . 在第二代溜溜球结构中 , 空轴B 的质量和动能 远低于 A, 但 B 在下行过程中受缠紧的细绳的约束 , 达到底部后 , 平动动能也转化为转动动能 , B 在细绳 转动中的摩擦阻力小于 B, 当 A 的转动速度高于 B , 于 睡眠 状态 . 在 睡眠 中 , 手指向上轻轻抖动 , 产 生向上的初速度 , 溜溜 球 将 迅 速 向 上 回 收 , 这个 唤 醒 过 程 触 发 了 转 动 动 能 向 平 动 动 能 的 转 化. 而溜 溜球的前抛 ㊁ 遛狗 ㊁ 爬行 ㊁ 猴子上树等玩法中 , 有更多 平动和转动相互转化的现象 . 4 斜坡滚动圆盘与溜溜球运动的相似性 从角度为θ 的斜坡顶点由静止开始释放均匀圆 细 绳末端是空套在B 上的 , 而 A 通过轴承与B 连接 . 末端的套结中转动 , 轴 承 均 匀 光 滑, A 在B 中 转 动,
可见 , 在下落起始时刻的势能与细绳全部展开
m g h I g h h + =m g I I 2 1+ r + 2 m mr
1 2 在下落的任意时刻 , 时间t 对 应 的 下 落 高 度 I ω . 2 不同 , 但机械能都是守恒的 . 上述结论的前提条件是 忽略细绳质量 ㊁ 摩擦力和空气阻力 . 溜溜球 为 什 么 能 自 动 上 爬 呢 ? 细 绳 完 全 展 开
速度可近似为该处的切线线速度 , 线速度为v=ω r,
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2 2 相应的动能为 1 m 整个圆环的动能为 iω r . 2
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由于圆环质量
1 2 2 2 3 ω r ð mi =π δ r ρω r d 2 i
ð
i
1 2 2 m iω r = 2
力 F 对转动轴心的力矩为F 由 v=ω r且 aC = r αr, r, ( ) 1 ( ) 2
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转动物体的动能和 溜溜球 的机械能守恒
王岱川
( 电子科技大学实验中学 四川 成都 ( ) 收稿日期 : 2 0 1 6 0 3 3 0 ) 6 1 1 7 3 0
摘
沿斜坡滚动的过程具有相似性 . 关键词 : 溜溜球 转动惯量
要: 借助转动物体的力学知识 , 对溜溜球的运动过程进行了分析和解释 , 证明其满足机械能守恒 , 且与 圆 盘 转动定律 机械能守恒 斜坡滚动
8 6
溜溜球 在 下 落 的 同 时 发 生 转 动 , 细绳在切点处
maC =m g -F
( ) 4
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