数字滤波器的设计.ppt
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6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
IIR数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
FIR数字滤波器的设计--等波纹最佳逼近法
FIR 数字滤波器的设计--等波纹最佳逼近法一、等波最佳逼近的原理简介等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，即最大误差最小化准则，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。
用等波纹最佳逼近法设计的FIR 数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度，这就是等波纹的含义。
最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。
与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。
阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。
等波纹最佳逼近法的设计思想 。
用)(ωd H 表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR 数字滤波器时,)(ωd H 必须满足线性相位约束条件。
用()ωH 表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。
定义加权误差函数()ωε为()()()()[]ωωωωεH H W d -=式中，()ωW 为幅度误差加权函数，用来控制不同频带（一般指通带和阻带）的幅度逼近精度。
等波纹最佳逼近法的设计在于找到滤波器的系数向量()n h ，使得在通带和阻带内的最大绝对值幅度误差()ωε为最小，这也就是最大误差最小化问题。
二、等波纹逼近法设计滤波器的步骤和函数介绍1.根据滤波器的设计指标的要求：边界频率，通带最大衰减，阻带最大衰等估计滤波器阶数n ，确定幅度误差加权函数()ωW2.采用Parks-McClellan 算法，获得所设计滤波器的单位脉冲响应()n h实现FIR 数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB 信号处理工具函数为firpm 和firpmord 。
firpm 函数采用数值分析中的多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应()n h 。
IIR数字滤波器设计
j代表s平面的虚轴，解析延拓得 :
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) s j H (s)H (s)
版权全部 违者必究
16
模拟滤波器旳设计
由给定旳模平方函数求所需旳系统函数旳措施：
① 解析延拓：令 s j代入模平方函数得：H(s) H(s),
并求其零极点。
②取H(s)H(s) 全部左半平面旳极点作为 H (s) 旳极点。
有关极点旳讨论
在归一化频率旳情况 c=1，极点均匀分布在单位圆上
s e j(2k N 1) / 2N k
k 1,2,, N
对于物理可实现系统,它旳全部极点均应在 s旳左半平面上
版权全部 违者必究
24
模拟滤波器旳设计
Ⅱ 系统函数旳构成
滤波器旳极点求出后，可取左半平面上旳全部极点构
成系统函数。
首先设计一种合适旳模拟滤波器，然后将它 “ 变换 ” 成满足给定 指标旳数字滤波器。
这种措施适合于设计幅频特征比较规则旳滤波器，例如低通、高通 、带通、带阻等。 当把模拟滤波器旳H(s) “ 变换 ” 成数字滤波器旳H(z) 时，其实质就 是实现S平面对Z平面旳 “ 映射 ” 。这必须满足两个条件： ① 必须确保模拟频率映射为数字频率，且确保两者旳频率特征基本
频 p =100krad/s, 通带旳最大衰减为Ap= 3dB，阻带边频
版权全部 违者必究
11
数字滤波类型与指标
措施三：利用 “ 零极点累试法 ” 进行设计 若需设计滤波器旳幅频特征比较规则而且简朴时，可采用 “ 零极点累试法 ”进行设计。例如：数字陷波器
版权全部 违者必究
12
§2 模拟滤波器旳设计
因为IIR数字滤波器旳设计是基于既有旳模拟滤波器设计旳 成熟技术而完毕旳。故讨论 “ IIR数字滤波器旳设计 ”之前 ，必须简介模拟滤波器设计旳某些基本概念，并简介两种常 用旳模拟滤波器旳设计措施 ：巴特沃思(Butterworth)滤波 器和切比雪夫(Chebyshev)滤波器。
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) s j H (s)H (s)
版权全部 违者必究
16
模拟滤波器旳设计
由给定旳模平方函数求所需旳系统函数旳措施：
① 解析延拓：令 s j代入模平方函数得：H(s) H(s),
并求其零极点。
②取H(s)H(s) 全部左半平面旳极点作为 H (s) 旳极点。
有关极点旳讨论
在归一化频率旳情况 c=1，极点均匀分布在单位圆上
s e j(2k N 1) / 2N k
k 1,2,, N
对于物理可实现系统,它旳全部极点均应在 s旳左半平面上
版权全部 违者必究
24
模拟滤波器旳设计
Ⅱ 系统函数旳构成
滤波器旳极点求出后，可取左半平面上旳全部极点构
成系统函数。
首先设计一种合适旳模拟滤波器，然后将它 “ 变换 ” 成满足给定 指标旳数字滤波器。
这种措施适合于设计幅频特征比较规则旳滤波器，例如低通、高通 、带通、带阻等。 当把模拟滤波器旳H(s) “ 变换 ” 成数字滤波器旳H(z) 时，其实质就 是实现S平面对Z平面旳 “ 映射 ” 。这必须满足两个条件： ① 必须确保模拟频率映射为数字频率，且确保两者旳频率特征基本
频 p =100krad/s, 通带旳最大衰减为Ap= 3dB，阻带边频
版权全部 违者必究
11
数字滤波类型与指标
措施三：利用 “ 零极点累试法 ” 进行设计 若需设计滤波器旳幅频特征比较规则而且简朴时，可采用 “ 零极点累试法 ”进行设计。例如：数字陷波器
版权全部 违者必究
12
§2 模拟滤波器旳设计
因为IIR数字滤波器旳设计是基于既有旳模拟滤波器设计旳 成熟技术而完毕旳。故讨论 “ IIR数字滤波器旳设计 ”之前 ，必须简介模拟滤波器设计旳某些基本概念，并简介两种常 用旳模拟滤波器旳设计措施 ：巴特沃思(Butterworth)滤波 器和切比雪夫(Chebyshev)滤波器。
IIR数字滤波器的设计教材教学课件
课程重点与难点
课程重点在于理解IIR数字滤波器的设计方法和实现过程，难点在于如何根据实际需求选 择合适的滤波器类型和参数，以及如何优化滤波器的性能。
教学方法与手段
本课程采用理论教学与实践教学相结合的方式，通过课堂讲解、实验演示、学生实践等多 种手段，使学生全面掌握IIR数字滤波器的设计方法。
未来发展方向
iir数字滤波器的设计教材 教学课件
• 引言 • IIR数字滤波器的基本原理 • IIR数字滤波器的设计方法 • IIR数字滤波器的应用 • IIR数字滤波器的实现 • 课程总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称：iir数字滤波器 的设计
先修课程：信号与系统、 数字信号处理
课程性质：专业必修课
后续课程：数字图像处理、 通信原理
05
IIR数字滤波器的实现
编程语言和开发环境
编程语言
Python、C、Matlab等
开发环境
Python的集成开发环境（IDE）如PyCharm、Jupyter Notebook等，C的IDE 如Visual Studio等，Matlab的IDE等。
实现步骤
确定滤波器类型
根据需求选择合适的滤波器类型，如低通、 高通、带通、带阻等。
验证和优化
通过仿真或实际应用验证滤波器的性能，并根据 验证结果进行必要的优化和调整。
设计实例
• 设计一个低通IIR数字滤波器：首先确定滤波器类型为低通，性 能指标为截止频率为0.5π，通带波动为0.1dB，阻带衰减为 30dB。然后选择巴特沃斯滤波器，设计滤波器系数。接着实现 滤波器结构，最后通过仿真验证滤波器的性能，并进行优化。
04
IIR数字滤波器的应用
音频处理
课程重点在于理解IIR数字滤波器的设计方法和实现过程，难点在于如何根据实际需求选 择合适的滤波器类型和参数，以及如何优化滤波器的性能。
教学方法与手段
本课程采用理论教学与实践教学相结合的方式，通过课堂讲解、实验演示、学生实践等多 种手段，使学生全面掌握IIR数字滤波器的设计方法。
未来发展方向
iir数字滤波器的设计教材 教学课件
• 引言 • IIR数字滤波器的基本原理 • IIR数字滤波器的设计方法 • IIR数字滤波器的应用 • IIR数字滤波器的实现 • 课程总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称：iir数字滤波器 的设计
先修课程：信号与系统、 数字信号处理
课程性质：专业必修课
后续课程：数字图像处理、 通信原理
05
IIR数字滤波器的实现
编程语言和开发环境
编程语言
Python、C、Matlab等
开发环境
Python的集成开发环境（IDE）如PyCharm、Jupyter Notebook等，C的IDE 如Visual Studio等，Matlab的IDE等。
实现步骤
确定滤波器类型
根据需求选择合适的滤波器类型，如低通、 高通、带通、带阻等。
验证和优化
通过仿真或实际应用验证滤波器的性能，并根据 验证结果进行必要的优化和调整。
设计实例
• 设计一个低通IIR数字滤波器：首先确定滤波器类型为低通，性 能指标为截止频率为0.5π，通带波动为0.1dB，阻带衰减为 30dB。然后选择巴特沃斯滤波器，设计滤波器系数。接着实现 滤波器结构，最后通过仿真验证滤波器的性能，并进行优化。
04
IIR数字滤波器的应用
音频处理
《数字滤波器》PPT课件 (2)
《数字滤波器》PPT课件 (2)
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3.1 数字滤波器概述
数字滤波器是数字信号处理的重要根底，在对信 号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。
IIR与FIR滤波器在设计方法上有明显的
3. 按实现方法 (或构造形式) 分类
数字滤波器可用常系数线性差分方程表示：
N
M
y (n ) a ky (n k ) b rx (n r)
k 1
r 0
如果滤波器的当前输出y(n)由输入的当前值x(n) 与过去值x(n-1), x(n-2),…, x(n-M)和输出的过 去值y(n-1), y(n-2),…, y(n-N)确定，该滤波器 称为递归滤波器；如果滤波器的当前输出y(n)仅 由输入的当前值x(n)和过去值x(n-1), x(n-2),…
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e j s ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为 1 ，(6.1.3) 和 (6.1.4) 式那
么表示成： p 20lgH(ejp)dB
(6.1.5)
s 20lgH(ejs)dB
(6.1.6)
幅度下降到0.707时，ω=ωc，αp=3dB，称ωc为3dB
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
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3.1 数字滤波器概述
数字滤波器是数字信号处理的重要根底，在对信 号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。
IIR与FIR滤波器在设计方法上有明显的
3. 按实现方法 (或构造形式) 分类
数字滤波器可用常系数线性差分方程表示：
N
M
y (n ) a ky (n k ) b rx (n r)
k 1
r 0
如果滤波器的当前输出y(n)由输入的当前值x(n) 与过去值x(n-1), x(n-2),…, x(n-M)和输出的过 去值y(n-1), y(n-2),…, y(n-N)确定，该滤波器 称为递归滤波器；如果滤波器的当前输出y(n)仅 由输入的当前值x(n)和过去值x(n-1), x(n-2),…
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e j s ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为 1 ，(6.1.3) 和 (6.1.4) 式那
么表示成： p 20lgH(ejp)dB
(6.1.5)
s 20lgH(ejs)dB
(6.1.6)
幅度下降到0.707时，ω=ωc，αp=3dB，称ωc为3dB
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
第6章FIR数字滤波器的设计
16
表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性 类型 h(n) h(n)=h(N-1-n) N为奇数 h(n)=h(N-1-n) N为偶数
H ( )
( )
1型
关于 0, ,2 偶对称
( )
2型
关于 0,2 偶对称 关于 奇对称
N 1 2
第一类线性相位
H()
1 H ( ) d ( n) sin ( n ) 2 n 1 o N N 其中：d ( n) 2h( n) n 1,2,3, , 2 2 由此看出：
N /2
2
1 （）由于sin ( n ) 在 0，处为0， 1 2 2 即H ( )在 0,2处为零。即H ( z )在z 1处有一零点。 H ( )对 0，处呈奇对称，对 呈偶对称。 2 （2 ）此类型不能用于设计 低通、带阻滤波器。
0
N 1 2
N 1 π
N/2 1 H () b(n) cos n 2 n1
N-1 n H() o
2
2型
情 况 2
b(n)
0
N 2
n
19
奇对称单位冲激响应
相位响应
h(n)=-h( N-1-n)
3型
情 况 3
7
H (e j ) sin 4e j 3 | sin 4 | e j ( )
1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
1 0.5 0
-1
-2
-0.5 -1
-3
表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性 类型 h(n) h(n)=h(N-1-n) N为奇数 h(n)=h(N-1-n) N为偶数
H ( )
( )
1型
关于 0, ,2 偶对称
( )
2型
关于 0,2 偶对称 关于 奇对称
N 1 2
第一类线性相位
H()
1 H ( ) d ( n) sin ( n ) 2 n 1 o N N 其中：d ( n) 2h( n) n 1,2,3, , 2 2 由此看出：
N /2
2
1 （）由于sin ( n ) 在 0，处为0， 1 2 2 即H ( )在 0,2处为零。即H ( z )在z 1处有一零点。 H ( )对 0，处呈奇对称，对 呈偶对称。 2 （2 ）此类型不能用于设计 低通、带阻滤波器。
0
N 1 2
N 1 π
N/2 1 H () b(n) cos n 2 n1
N-1 n H() o
2
2型
情 况 2
b(n)
0
N 2
n
19
奇对称单位冲激响应
相位响应
h(n)=-h( N-1-n)
3型
情 况 3
7
H (e j ) sin 4e j 3 | sin 4 | e j ( )
1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
1 0.5 0
-1
-2
-0.5 -1
-3
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
数字滤波器的性能要求
通带截止频率 误差容限 阻带截止频率
具有误差容限的的滤波器具有三个特征范围： 通带 过渡带
阻带
1 1 H (e j ) 1,
c
c st
H (e j ) 2 , st
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
z e j
H ( z)H ( z 1) 的零极点特征：
1 若 z re ji 是H(z)的极点，则 z e ji 是H(z-1)的极点。 r 即 H ( z)H ( z 1) 的极点是以单位圆镜像对称的，同时也是共轭的。
jIm[z]
满足上述条件的极点可能有几种情况。 对于可实现的系统，系统函数的极点都在单位圆内。 对于零点的分析类似极点，只是系统函数的零点没
0 1
Re[z]
4
有只在单位圆内的限制。
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
M
设计IIR数字滤波器的方法 数字滤波器可用系统函数表示
H ( z)
1 ak z k
k 0
k 0 N
bk z k
对IIR系统，N>0,且一般有MN。
设计的目的就是要求出ak和bk，使对应的传输函数逼近所要求的特性。
对于因果稳定的LSI系统，其单位冲击响应 h(n)为实函数，因而满足共轭 对称条件，即 H (e j ) H (e j )
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
幅度平方响应：
H (e
j 2
) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H ( z ) H ( z 1 )
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
2019/10/17
数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
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换称为系统函数。IIR滤波器和FIR滤波
器的系统函数分别是：
N
bk z 1
H (z)
k 0 N
1
ak z 1
k 1
2020/10/29
N1
H(z) h(n)zn n0
7.1.2 数字滤波器的性能要求
一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是 一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但 一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响 应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及 阻带三个范围。
低通滤波器为原型滤波器，一旦归一化低通滤波器的
系统函数确定后，其它巴特沃思低通滤波、高通、带
通、带阻滤波器的传递函数都可以通过变换法从归一
化低通原型的传递函数 H a s 得到。归一化原型滤波器
是指截止频率
c
已经归一化成
c
1
的低通滤波器。
对于截止频率为某个 c 的低通滤波器，则令 s c 代替
第七章 数字滤波器的设计
滤波器在实际信号处理中起到了非常重要的作 用。任何检测的信号都含有噪声，而滤波是去除噪 声的基本手段。本章介绍IIR滤波器和FIR滤波器的 设计。IIR滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、 切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和 双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通 和带阻滤波器的设计。而FIR滤波器是直接采用的 数字式设计方法。针对FIR滤波器特征，首先介绍 了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和 频率抽样法的设计方法。
2020/10/29
§ 7.1 概述
7.1.1 滤波器的分类 这里主要讨论经典滤波器的设计。 按功能划分经典滤波器又可分为低通、
高通、带通、带阻四种滤波器
H e j
低通
0
2
0
高通
2
0
带通
2
带阻
0
2
图7-1 2020/10/29 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性
经典滤波器设计从实现方法上分为IIR滤波器和 FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如 果滤波器用单位脉冲响应序列h ( n ) 表示，其输入 x ( n ) 与输出 y ( n ) 之间的关系可以表示为：
Ha
sHa
s
1
1
s jC
2N
令上式分母为零可以得到 HasHas 的2N个极点Sk
2N
1
sk jC
0
并解得当N为偶数时则
j2k1
Sk ce2N ,k1,2,...,2N
2020/10/29
N为奇数：
j2k
Sk ce2N ,k1,2,...,2N
HasHas 的极点均匀分布在s平面的单位圆
2020/10/29
阻带最小衰减 s
H (ej0)
s20lgH (ejst)dB
s越 大 ,阻 带 衰 减 越 大
当幅度下降到
2 2
，
c ，此时 p 3dB
，称
为
c
3dB通带截止频率。
2020/10/29
7.1.3 数字滤波器设计方法概述
设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法： • 1. 模拟滤波器:首先设计一个合适的模拟滤
• δ1 ：通带衰减 • ωc ：通带截止频率 • ωc －ωst ：过渡带
δ2 ：阻带衰减 ωst：阻带截止频率
2020/10/29
H (e j )
1 1
1 1
2
ω
p
ωc
ωst
s
。
图7-2 逼近理想低通滤波器得容限图
通带最大衰减 p
p20lgH H ((eej j0 c))dB p越 小 ,通 带 越 平 坦
上，共有2N个角度间隔为/N的极点，极点关
于j轴对称，不会落在虚轴上。将左半平面的
极点构成
H a (s)
。
(3)设计过程
巴特沃思低通滤波技术指标关系式为
p 20logH aj , p； p 为通带边界频率
s 2 0lo gH aj , s； s 为阻带边界频率
2020/10/29
代入（7.2.1）
法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带 阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计 过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟/数字变 换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方 法。
2020/10/29
模拟低通滤波 器设计
模拟低通变高 通、带通等
模拟滤波器变换 为数字滤波器
IIR滤波器
模拟低通滤波 器设计
2020/10/29
如图7-4，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器 阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率 c 处的函 数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值 接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。
图7-4 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数
2020/10/29
在以后的设计和分析时，经常用归一化巴特沃思
波器，然后将它转换成满足给定指标的数 字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性 比较规则的滤波器，例如低通、高通、带 通、带阻等。 • 2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器 设计，由于要联立方程，设计时需要计算 机作辅助设计。
2020/10/29
7.2无限脉冲响应数字滤波器的设计
1.设计的一般方法 IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方
p
10log
1
1 p c
2N
s
10log
模拟滤波器变换为 数字滤波器
数字低通变换为 高通、带通等
IIR滤波器
图7-3 IIR滤波器的设计流程
2.巴特沃思低通滤波器 （1）基本性质
巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的 系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带 内具有最平坦特性定义的滤波器。
2020/10/29
巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示
归一化原型滤波器系统函数中的
S
，即
S S c
对于
其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的
频带变换法，由其变换得出。
2020/10/29
(2)系统函数和极点分布
设巴特沃斯的系统函数 H a s ，则频率响应是
H aj H assj
H a j 2 H a j H a * j H a s H a s s j
|H a(j )|21( 1 / c)2N N1 ,2,
(7.2.1).下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征
a.对所有的N，Ha
j2 0
1
。
b. 对所有的N， 2
1
Ha
j
c
2
Ha
j 0.707 c
即
20lgH aj c 3dB
c. H a j 2 是 的单调下降函数。
d. Ha j 2 随着阶次N的增大而更接近于理想低通 滤波器。
器的系统函数分别是：
N
bk z 1
H (z)
k 0 N
1
ak z 1
k 1
2020/10/29
N1
H(z) h(n)zn n0
7.1.2 数字滤波器的性能要求
一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是 一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但 一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响 应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及 阻带三个范围。
低通滤波器为原型滤波器，一旦归一化低通滤波器的
系统函数确定后，其它巴特沃思低通滤波、高通、带
通、带阻滤波器的传递函数都可以通过变换法从归一
化低通原型的传递函数 H a s 得到。归一化原型滤波器
是指截止频率
c
已经归一化成
c
1
的低通滤波器。
对于截止频率为某个 c 的低通滤波器，则令 s c 代替
第七章 数字滤波器的设计
滤波器在实际信号处理中起到了非常重要的作 用。任何检测的信号都含有噪声，而滤波是去除噪 声的基本手段。本章介绍IIR滤波器和FIR滤波器的 设计。IIR滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、 切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和 双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通 和带阻滤波器的设计。而FIR滤波器是直接采用的 数字式设计方法。针对FIR滤波器特征，首先介绍 了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和 频率抽样法的设计方法。
2020/10/29
§ 7.1 概述
7.1.1 滤波器的分类 这里主要讨论经典滤波器的设计。 按功能划分经典滤波器又可分为低通、
高通、带通、带阻四种滤波器
H e j
低通
0
2
0
高通
2
0
带通
2
带阻
0
2
图7-1 2020/10/29 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性
经典滤波器设计从实现方法上分为IIR滤波器和 FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如 果滤波器用单位脉冲响应序列h ( n ) 表示，其输入 x ( n ) 与输出 y ( n ) 之间的关系可以表示为：
Ha
sHa
s
1
1
s jC
2N
令上式分母为零可以得到 HasHas 的2N个极点Sk
2N
1
sk jC
0
并解得当N为偶数时则
j2k1
Sk ce2N ,k1,2,...,2N
2020/10/29
N为奇数：
j2k
Sk ce2N ,k1,2,...,2N
HasHas 的极点均匀分布在s平面的单位圆
2020/10/29
阻带最小衰减 s
H (ej0)
s20lgH (ejst)dB
s越 大 ,阻 带 衰 减 越 大
当幅度下降到
2 2
，
c ，此时 p 3dB
，称
为
c
3dB通带截止频率。
2020/10/29
7.1.3 数字滤波器设计方法概述
设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法： • 1. 模拟滤波器:首先设计一个合适的模拟滤
• δ1 ：通带衰减 • ωc ：通带截止频率 • ωc －ωst ：过渡带
δ2 ：阻带衰减 ωst：阻带截止频率
2020/10/29
H (e j )
1 1
1 1
2
ω
p
ωc
ωst
s
。
图7-2 逼近理想低通滤波器得容限图
通带最大衰减 p
p20lgH H ((eej j0 c))dB p越 小 ,通 带 越 平 坦
上，共有2N个角度间隔为/N的极点，极点关
于j轴对称，不会落在虚轴上。将左半平面的
极点构成
H a (s)
。
(3)设计过程
巴特沃思低通滤波技术指标关系式为
p 20logH aj , p； p 为通带边界频率
s 2 0lo gH aj , s； s 为阻带边界频率
2020/10/29
代入（7.2.1）
法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带 阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计 过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟/数字变 换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方 法。
2020/10/29
模拟低通滤波 器设计
模拟低通变高 通、带通等
模拟滤波器变换 为数字滤波器
IIR滤波器
模拟低通滤波 器设计
2020/10/29
如图7-4，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器 阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率 c 处的函 数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值 接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。
图7-4 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数
2020/10/29
在以后的设计和分析时，经常用归一化巴特沃思
波器，然后将它转换成满足给定指标的数 字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性 比较规则的滤波器，例如低通、高通、带 通、带阻等。 • 2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器 设计，由于要联立方程，设计时需要计算 机作辅助设计。
2020/10/29
7.2无限脉冲响应数字滤波器的设计
1.设计的一般方法 IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方
p
10log
1
1 p c
2N
s
10log
模拟滤波器变换为 数字滤波器
数字低通变换为 高通、带通等
IIR滤波器
图7-3 IIR滤波器的设计流程
2.巴特沃思低通滤波器 （1）基本性质
巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的 系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带 内具有最平坦特性定义的滤波器。
2020/10/29
巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示
归一化原型滤波器系统函数中的
S
，即
S S c
对于
其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的
频带变换法，由其变换得出。
2020/10/29
(2)系统函数和极点分布
设巴特沃斯的系统函数 H a s ，则频率响应是
H aj H assj
H a j 2 H a j H a * j H a s H a s s j
|H a(j )|21( 1 / c)2N N1 ,2,
(7.2.1).下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征
a.对所有的N，Ha
j2 0
1
。
b. 对所有的N， 2
1
Ha
j
c
2
Ha
j 0.707 c
即
20lgH aj c 3dB
c. H a j 2 是 的单调下降函数。
d. Ha j 2 随着阶次N的增大而更接近于理想低通 滤波器。