2020高一数学新教材必修1教案学案 第二章 一元二次函数、方程与不等式总结与测试(解析版)

从而 b 1. （2）原不等式可以变形为 x c 0 ，所以
2x 1
i 当 c
1
时，原不等式的解集为
x
|
x
1 ；
2
2
ii
当
c
1 2
时，原不等式的解集为
x
|
x
1 2
或x
c
；
iii
当
c
1
时，原不等式的解集为
x
|
x
c或x
1
.
2
2
19．（2019·湖北高一期中）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁
B．1
C． 3
D．3
【答案】A
【解析】由题得 1、2 为方程 ax2 x c 0 的根，
将 1代入 ax2 x c 0 ，得 a 1 c 0 ，即 a c 1，故选：A. 6．（2019·新疆高一期末（理））正数 a, b 满足 1 9 1，若不等式 a b x2 4x 18 m 对任意实数 x
总结与测试
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1
一、单选题(每题 5 分，共 60 分）
1．（2018·全国高二单元测试）设 x R ，则“ x
1 2
”是“ 2x2
x 1 0 ”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得，不等式
33
33 3
又 1 n 5 8 8 n 40 ，因此 1 z 9x y 8 n 5 m 20 ，故本题选 B.
33 3
33
4．（2019·内蒙古高二期中（文））已知 a b 0 ,下列不等式中成立的是（ ）
A． a 4 b
B． a 1 b
C． a2 b2
D． 1 1 ab
x
所以当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是 9240 元．
20．（2019·福建高一期末）已知函数 f (x) 1 x2 (m 2)x(m R) 2
(1)若关于 x 的不等式 f (x) 4 的解集为 2, 4 ,求 m 的值;
即命题 q为真时 0 a 4 ， 故 p 成立是 q成立的充分不必要条件.
故选：A.
11．（2019·天津高三期末（文））若
a，b
均为正实数，则
a
ab 2
b b2
1
的最大值为
(
)
2
A．
3
B． 2
C． 2
D．2
2
【答案】B
【解析】因为 a，b 均为正实数，
则
ab b a 1 a 1 a 1 1
围为 -6,6 .
15．（2019·浙江高一期末）已知正实数 x, y 满足 x + y + 3 = xy ，则 x y 的最小值为__________．
【答案】6
【解析】由题得 x + y + 3= xy （x y)2 , 4
所以（x y)2 4(x y）-12 0 ， 所以（x y 6)(x y 2) 0 ，
ab 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A．[3, )
B． (,3]
C． (, 6]
D．[6, )
【答案】D
【解析】 a 0,b 0, 1 9 1 ， ab
a
b
(a
b)
1 a
9 b
10
b a
9a b
10 2
b 9a 16 ab
当且仅当 3a b ，即 a 4, b 12 时，“=”成立，
2x2
x
1
0
，解得
x
1或
x
1 2
，所以“
x
1 2
”是“
2x2
x
1
0
”
的充分而不必要条件，故选 A．
2．（2017·四川高考模拟（文））如果 a b 0 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A． 1 1 ab
B． a2 ab
C． ab a2
D． 1 1 ab
【答案】D
【解析】同号的数取倒数不等式要变号，故 A 错误，D 正确.两边同时乘以负数，不等号要变号，故 B,C 错
所以，x+y 的最小值为 9． 因此，m≤9． 故答案为：m≤9．
14．（2019·上海高二期末）关于 x 的不等式 x2 kx 9 0 的解集是 R ，求实数 k 的取值范围是 _______.
【答案】 6,6
【解析】关于 x 的不等式 x2 kx 9 0 的解集为 R，∴△=k2-4×9＜0，解得 -6 k 6 ∴实数 k 的取值范
（2）若 a 0 ，解不等式 f x 1 ．
【答案】(1) {x | x 2 或 x ≥1}．(2) {x | a 1 x 1} a
【解析】（1）当 a 1 ，不等式 f (x) 1即 x2 x 1 1 ，即 x 2 x 1 0 ，
解得 x ≤ 2 ，或 x 1，
7
故不等式的解集为{x | x 2 或 x ≥1}．
因为底面长为 x 米，所以底面的宽为 16 ， x
依题意有
y
3000
150
16
120
2
2x
2 16 x
5400
480
x
16 x
，
因为
x
0
，由基本不等式和不等式的性质可得
5400
480
x
16 x
5400
480
2
x 16 ， x
即 y 5400 480 2 16 ，
所以 y 9240 ， 当且仅当 x 16 ，即 x 4 时，等号成立，
p
:
1 a
1 4
，命题
q
: x
R
，ax2
ax
1
0
，则
p
成立是
q成
立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4
【解析】求解不等式 1 1 可得 0 a 4 ， a4
对于命题 q，当 a 0 时，命题明显成立；
a 0 当 a 0 时，有： a2 4a 0 ，解得： 0 a 4 ，
ax2
2x
c
0
的解集是
,
1 3
1 2
,
，则不等式
cx2 2x a 0 的解集是（ ）.
A．
1 2
,
1 3
【答案】D
B．
1 3
,
1 2
C．[-2，3]
D．[-3，2]
3
【解析】因为不等式
ax2
2x
c
0
的解集是
,
1 3
1 2
,
，
a 0
所以
2 a
1 3
1 2
，解得
a c
能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在
保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到
立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为 2 米，容积为 32 立方
米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，沼气池盖子的造
（2）若
a
0
，不等式为
ax2
x
a
1
0
，即
(
x
1)
x
a
a
1
0
，
∵1
a 1 a
2a 1 a
，
∴当 1 a 0 时，1 a 1
2
a
，不等式的解集为
x
|
1
x
a
a
1
；
当 a 1 时，1 a 1 ，不等式即 (x 1)2 0 ，它的解集为 ；
2
a
当 a 1 时，1 a 1 ，不等式的解集为{x | a 1 x 1} ．
8
价为 3000 元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是 9240 元．
【解析】设沼气池的底面长为 x 米，沼气池的总造价为 y 元，
因为沼气池的深为 2 米，容积为 32 立方米，所以底面积为 16 平方米，
x 3y
1 7
6
x
3y
2 y
1 x
1 7
(7 3 y 2 x)
6
xy
2
2
1 7
6
72
6
2.
2
当 3y 2x 时等号成立.故答案为：2.
三、解答题（17 题 10 分，其余 12 分）
17．已知 f (x) ax2 x a, a R ．
（1）若 a 1 ，解不等式 f x 1 ；
a2 b2 1
a2 1 b b
2 a2 1b b
2 a2 1
2
a2 2a 1 1 a2 1 2
1
2a a2 1
1 2
1 2a 2 2 a2 1 2
，
当且仅当 a2 1 b ，且 a=1 取等，即 a=1,b= 2 取等 b
即则 ab b 的最大值为 2 ，
a2 b2 1
2Fra Baidu bibliotek
故选：B．
12．（2019·河北高考模拟（文））在 R 上定义运算 ： x y x(1 y) ，若不等式 (x a) (x a) 1 对
任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 1 a 1
B． 1 a 3
2
2
C． 3 a 1
2
2
D． 0 a 2
【答案】B
【解析】由题意，可知不等式 (x a) (x a) 1对任意实数 x 都成立，
又由 (x a) (x a) (x a)(1 x a) ，
误.
3．（2019·浙江高一月考）已知实数 x ， y 满足 4 x y 1， 1 4x y 5 ，则 9x y 的取值范围
是（ ）
A．[7, 26]
B．[1, 20]
C． [4,15]
D． [1,15]
【答案】B
【解析】令
m
x
y
，
n
4x
y
，
x y
n n
m, 3 4m
3
,
则 z 9x y 8 n 5 m 4 m 1 5 5 m 20 ,
B．有最小值10 2
C．有最大值 10 【答案】A
D．有最小值 10
【解析】由不等式的性质有： m2 n2 2
（
m
2
n
）2，当且仅当
m
n
5
2 ，等号成立
即（ m n ）2≤50，又 m＞0，n＞0，所以 m n 5
2
2
2 ，即 m n 10
2 ，故选：A．
10．（2019·天津高考模拟（理））已知命题
C．
3
1
D．
4
【解析】因为 x ，y 0, ，x y 1，所以有1 x y 2 xy xy ( 1) 2 1 ，当且仅当 x y 1
24
2
时取等号，故本题选 D.
9．（2019·河北高一月考）已知正数 m, n 满足 m2 n2 100 ，则 m n （ ）
A．有最大值10 2
5
即 x2 x a2 a 1 0 对任意实数 x 都成立，
所以
1
4( a 2
a
1)
0
，即
4a2
4a
3
0
，解得
1 2
a
3 2
，
故选 B。
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．（2019·江苏高考模拟）已知正实数 x ， y 满足 x 4 y xy 0 ，若 x y m 恒成立，则实数 m 的取
所以 x+y≥6 或 x+y≤-2(舍去)，
6
所以 x+y 的最小值为 6. 当且仅当 x=y=3 时取等. 故答案为：6
16．（2019·天津高考模拟（理））已知 x，y 均为正实数，且 2x y 7 6 ，则 x+3y 的最小值为_____________ xy 2
【答案】2;
【解析】x，y 均为正实数, 2x y 2 1 7 6 , xy y x 2
值范围为_____________．
【答案】 m 9
【解析】由于 x+4y﹣xy＝0，即 x+4y＝xy，等式两边同时除以 xy 得， 4 1 1， xy
由基本不等式可得
x
y
x
y
4 x
1 y
4y x
x y
5
2
4y x 59， xy
当且仅当 4 y x ，即当 x＝2y=6 时，等号成立， xy
2
a
a
18．（2019·安徽高一月考）已知关于 x 的不等式 ax2 4x 2 0 的解集为{x | x b}.
（1）求实数 a, b 的值；
（2）解关于
x
的不等式
xc ax b
0
.（
c
为常数）
【答案】(1) a 2 ; b 1 (2)见解析
【解析】（1）由不等式解集为{x | x b}得方程 ax2 4x 2 0 仅有一解，由 0得， a 2 ，
若不等式 a b x2 4x 18 m 对任意实数 x 恒成立，
则 x2 4x 18 m 16 ， 即 x2 4x 2 m 对任意实数 x 恒成立， x2 4x 2 (x 2)2 6 6
m 6
实数 m 的取值范围是[6, ) .故选 D.
7．（2019·贵州高一月考）若不等式
12 2
，
c a
1 3
1 2
所以不等式 cx2 2x a 0 可化为 2x2 2x 12 0 ，即 x2 x 6 0 ，
解得 3 x 2 .
故选 D
8．（2019·新疆高二期末）已知 x ， y 0, ， x y 1，则 xy 的最大值为（ ）
A．1 【答案】D
1
B．
2
1
【答案】A
【解析】A 选项，因为 a b 0 ，所以 a 0 b 4 b .当 a 2, b 1时即不满足选项 B,C,D.故选 A.
2
5．（2019·北京高二期末）已知关于 x 的不等式 ax2 x c 0 的解集为 x | 1 x 2 ，则 a c 等于（ ）
A． 1