2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答

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2019-2020年高二上学期期末考试数学试题(普通班)含答案

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题（普通班）含答案一、填空题（每题5分，共70分） 1、已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0，则命题P 的否定是2、过点且平行于直线的直线方程为3、已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、，则这个长方体的外接球的表面积为 .4、抛物线的焦点坐标为5、过点作圆的切线方程为6、双曲线的离心率为，实轴长4，则双曲线的焦距等于7、已知集合A 为数集，则“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的条件8、已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：① ②③ ④其中正确命题的序号是。

9、两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是10、在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于11、已知直线的倾斜角的范围为[，]，则直线斜率的范围为12、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是13、以下说法正确的有．．．．（1）命题“若则x =1”的逆否命题为“若1,则”.（2）“”是“”的充分不必要条件.（3）若为假命题,则均为假命题.（4）若命题p :R,使得则R,则.14、已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是________二、解答题（共90分）15、（14分）已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．16、（14分）如图，在正三棱柱ABC ―A 1B 1C 1中，点D 在边BC上，AD ⊥C 1D ．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)如果点E 为B 1C 1的中点，求证：A 1E ∥平面ADC 1．17、（14分）过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为．18、（16分）过抛物线y 2=4x 的焦点F ,引倾斜角为的直线,交抛物线于A 、B 两点.（1）求AB 的中点M 到抛物线准线的距离（2）如果O 是坐标原点,求△AOB 的面积.19. （16分）椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线（1）、求椭圆的离心率；（2）、设是椭圆上任意一点，是右焦点，是左焦点，求的取值范围20、（16分）已知⊙和点. (Ⅰ)过点向⊙引切线，求直线的方程； (Ⅱ)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；(Ⅲ)设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.淮阴师院附属中学xx~xx 学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（普通班）（答案）姚冠冕王大贵分值：160 考试时间：120分钟1、 2、 3、 4、（0，）5、 6、 7、必要不充分 8、（1）（4）9、1 10、 11、 12、13、（1）（2）（4） 14、45515、M x y o · 第20题16、略17、解：设直线为交轴于点，交轴于点，14165545,4025102S k k k k =⨯-⨯-=--= 得，或解得或，或为所求。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_9

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质得到答案.【详解】1，a，9成等差数列，故，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（）名学生．A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】B试题分析：用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取容量为的样本，则从高二年级抽取，故选B．考点：分层抽样．3.若展开式中常数项为60.则常数a的值为（）A. 4B. 2C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到，解得答案.【详解】展开式的通项为：.取得到常数项为，解得.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意得到双曲线中，，，得到答案.【详解】椭圆长轴的两个端点为，椭圆的焦点为.故双曲线中，，，故双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5.已知等比数列的公比大于1，，，则（）A. 2B.C. 或4D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意，，解得，得到答案.【详解】，，且，解得.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.6.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（）A. 3B.C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设，则，解得，故，计算得到答案.【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.点M到该抛物线焦点的距离为.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A. 36B. 72C. 600D. 480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知，是椭圆的左，右焦点，若满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故的轨迹为以为直径的圆，即，根据题意得到，计算得到离心率范围.【详解】，故的轨迹为以为直径的圆，即.点M总在椭圆内部，故，即，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围，确定的轨迹方程是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.如图是导数的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（）A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上是增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极小值.【答案】BC【解析】【分析】时，函数单调递增，再依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故错误；故当时，取得极小值，正确；正确；当时，不是取得极小值，错误；故选：.【点睛】本题考查了根据导函数图像判断函数单调性，极值，意在考查学生的应用能力和识图能力.10.在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（）A. 曲线E经过坐标原点B. 曲线E关于x轴对称C. 曲线E关于y轴对称D. 若点在曲线E上，则【答案】BC【解析】【分析】设，根据得到，（），再依次判断每个选项得到答案.【详解】设，则，则，（）.故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y 轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，曲线对称问题，意在考查学生的综合应用能力.11.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依次计算每个选项中的导数，计算是否有解得到答案.【详解】，故，无解，故排除；，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确；，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.12.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（）A. 3B. 2C. 7D. 5【答案】AD【解析】【分析】计算到，，，，，，，，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，，，，，，，.故，不是“谷值点”；，，故是“谷值点”；，，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.【点睛】本题考查了数列新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调减区间是______．【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.14.已知向量，，若，则实数m的值是________.若，则实数m的值是________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接根据向量的平行和垂直公式计算得到答案.【详解】，，若，则，解得；若，则，解得.故答案：和.【点睛】本题考查了根据向量的平行和垂直求参数，意在考查学生的计算能力.15.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．【答案】【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D （X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．16.已知曲线在处的切线与y轴交点的织坐标为，其中，则数列的前50项和的值为________.【答案】【解析】【分析】求导得到，根据切线公式得到切线方程，故，，再计算前50项和得到答案.【详解】，则，故，故切线方程为：，取，得到.，前50项和为.故答案为：.【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，（1）求第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）求展开式中的系数.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）计算通项式为，再计算第5项的二项式系数及第5项的系数得到答案.（2）取得到，代入二项式的通项计算得到答案.【详解】（1）的展开式的通项为：，第5项的二项式系数为：；第5项的系数为：.（2）取解得，故的系数为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.设函数的图象与直线相切于点.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值；【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求导得到，根据，，解方程得到答案.（2），得到函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，计算极值和端点值，比较大小得到答案.【详解】（1），，根据题意，，解得，.故.（2），取，解得，.故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，，，.故函数的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了函数的切线问题，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.设数列{an}是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且a1，a2，a4 成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列的前项和Tn ．【答案】（1）（2）Tn【解析】试题分析：（1）由等差数列的求和公式代入已知条件可得d 的值，进而可得a1的值，可得通项公式；（2）可得,裂项相消法可得其和．试题解析：（1）设数列{an}的前项和为，∵S10= 110，∴．则．①∵a1，a2，a4 成等比数列，∴，即．∴．∵d¹ 0，∴a1 = d．②由①，②解得，∴．（2）∵=，∴．∴．考点：等差数列的通项公式和求和公式，裂项相消法求数列的和.20.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.（1）求x的值，并估算该班此次期中考试数学成绩的平均分；（2）从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩在数为，求的数学期望.【答案】（1），平均分为；（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为计算得到，再计算平均值得到答案.（2）的可能取值为：，根据计算概率，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）根据题意：，解得，平均分：.（2）成绩不低于80分的学生共有人，成绩在的人数为人.的可能取值为：，故，，.故.【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，其中，点E是线段的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角正弦值为，求点的位置.【答案】（1）；（2）为的中点【解析】【分析】（1）如图所示，以为建立空间直角坐标系，故，，计算夹角得到答案.（2）设平面的法向量为，设，故，设平面的法向量为，根据二面角的正弦值为计算得到答案.【详解】（1）侧棱底面，底面为正方形，故以为建立空间直角坐标系，如图所示.，，，，故，.设异面直线与所成角大小为，，，故，即异面直线与所成角为.（2）设平面的法向量为，则，即，取，则；设，故，故，设平面的法向量为，则，即，取，则；二面角的正弦值为，故，解得.故,即为的中点.【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求参数，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，若圆的一条切线（斜率存在）与椭圆C有两个交点A，B，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）求圆O的标准方程；（3）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且，求直线MN的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据离心率得到，代入点得到，计算得到答案.（2）设切线方程为，，，联立方程得到，，根据得到，计算圆心到直线的距离得到答案.（3），设，，根据得到，代入椭圆得到，得到直线方程.【详解】（1）椭圆的离心率为，点在椭圆上，故，，解得，，即.（2）设切线方程为，，，则，化简得到，故，，，代入化简得到：，验证满足.故，故圆方程为.（3），设，，，即，故，代入椭圆方程：，化简，故，即，故.【点睛】本题考查了椭圆方程，圆的方程，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质得到答案.【详解】1，a，9成等差数列，故，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（）名学生．A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】B【解析】试题分析：用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取容量为的样本，则从高二年级抽取，故选B．考点：分层抽样．3.若展开式中常数项为60.则常数a的值为（）A. 4B. 2C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到，解得答案.【详解】展开式的通项为：.取得到常数项为，解得.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到双曲线中，，，得到答案.【详解】椭圆长轴的两个端点为，椭圆的焦点为.故双曲线中，，，故双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5.已知等比数列的公比大于1，，，则（）A. 2B.C. 或4D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意，，解得，得到答案.【详解】，，且，解得.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.6.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（）A. 3B.C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设，则，解得，故，计算得到答案.【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.点M到该抛物线焦点的距离为.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A. 36B. 72C. 600D. 480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知，是椭圆的左，右焦点，若满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故的轨迹为以为直径的圆，即，根据题意得到，计算得到离心率范围.【详解】，故的轨迹为以为直径的圆，即.点M总在椭圆内部，故，即，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围，确定的轨迹方程是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.如图是导数的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（）A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上是增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极小值.【答案】BC【解析】【分析】根据图像得到，时，函数单调递减，，时，函数单调递增，再依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故错误；故当时，取得极小值，正确；正确；当时，不是取得极小值，错误；故选：.【点睛】本题考查了根据导函数图像判断函数单调性，极值，意在考查学生的应用能力和识图能力.10.在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（）A. 曲线E经过坐标原点B. 曲线E关于x轴对称C. 曲线E关于y轴对称D. 若点在曲线E上，则【答案】BC【解析】【分析】设，根据得到，（），再依次判断每个选项得到答案.【详解】设，则，则，（）.故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，曲线对称问题，意在考查学生的综合应用能力.11.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依次计算每个选项中的导数，计算是否有解得到答案.【详解】，故，无解，故排除；，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确；，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.12.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（）A. 3B. 2C. 7D. 5【答案】AD【解析】【分析】计算到，，，，，，，，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，，，，，，，.故，不是“谷值点”；，，故是“谷值点”；，，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.故选：.【点睛】本题考查了数列新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调减区间是______．【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.14.已知向量，，若，则实数m的值是________.若，则实数m的值是________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接根据向量的平行和垂直公式计算得到答案.【详解】，，若，则，解得；若，则，解得.故答案：和.【点睛】本题考查了根据向量的平行和垂直求参数，意在考查学生的计算能力.15.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．【答案】【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．16.已知曲线在处的切线与y轴交点的织坐标为，其中，则数列的前50项和的值为________.【答案】【解析】【分析】求导得到，根据切线公式得到切线方程，故，，再计算前50项和得到答案.【详解】，则，故，故切线方程为：，取，得到.，前50项和为.故答案为：.【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，（1）求第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）求展开式中的系数.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）计算通项式为，再计算第5项的二项式系数及第5项的系数得到答案.（2）取得到，代入二项式的通项计算得到答案.【详解】（1）的展开式的通项为：，第5项的二项式系数为：；第5项的系数为：.（2）取解得，故的系数为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.设函数的图象与直线相切于点.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值；【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求导得到，根据，，解方程得到答案.（2），得到函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，计算极值和端点值，比较大小得到答案.【详解】（1），，根据题意，，解得，.故.（2），取，解得，.故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，，，.故函数的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了函数的切线问题，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.设数列{an}是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且a1，a2，a4 成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列的前项和Tn ．【答案】（1）（2）Tn【解析】试题分析：（1）由等差数列的求和公式代入已知条件可得d的值，进而可得a1的值，可得通项公式；（2）可得,裂项相消法可得其和．试题解析：（1）设数列{an}的前项和为，∵S10= 110，∴．则．①∵a1，a2，a4 成等比数列，∴，即．∴．∵d¹ 0，∴a1 = d．②由①，②解得，∴．（2）∵=，∴．∴．考点：等差数列的通项公式和求和公式，裂项相消法求数列的和.20.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.（1）求x的值，并估算该班此次期中考试数学成绩的平均分；（2）从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩在数为，求的数学期望.【答案】（1），平均分为；（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为计算得到，再计算平均值得到答案.（2）的可能取值为：，根据计算概率，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）根据题意：，解得，平均分：.（2）成绩不低于80分的学生共有人，成绩在的人数为人.的可能取值为：，故，，.故.【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，其中，点E是线段的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角正弦值为，求点的位置.【答案】（1）；（2）为的中点【解析】【分析】（1）如图所示，以为建立空间直角坐标系，故，，计算夹角得到答案.（2）设平面的法向量为，设，故，设平面的法向量为，根据二面角的正弦值为计算得到答案.【详解】（1）侧棱底面，底面为正方形，故以为建立空间直角坐标系，如图所示.，，，，故，.设异面直线与所成角大小为，，，故，即异面直线与所成角为.（2）设平面的法向量为，则，即，取，则；设，故，故，设平面的法向量为，则，即，取，则；二面角的正弦值为，故，解得.故,即为的中点.【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求参数，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，若圆的一条切线（斜率存在）与椭圆C有两个交点A，B，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）求圆O的标准方程；（3）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且，求直线MN的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据离心率得到，代入点得到，计算得到答案.（2）设切线方程为，，，联立方程得到，，根据得到，计算圆心到直线的距离得到答案.（3），设，，根据得到，代入椭圆得到，得到直线方程.【详解】（1）椭圆的离心率为，点在椭圆上，故，，解得，，即.（2）设切线方程为，，，则，化简得到，故，，，代入化简得到：，验证满足.故，故圆方程为.（3），设，，，即，故，代入椭圆方程：，化简，故，即，故.【点睛】本题考查了椭圆方程，圆的方程，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线l：，则直线l的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为，．则，．故选：C．设直线l的倾斜角为，可得，即可得出．本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的标准方程为，，开口朝上，准线方程为，故选：D．先把抛物线化为标准方程为，再求准线．在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．3.命题“，使”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“，使”的否定为“，”，故选：A．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.由点引圆的切线的长是A. 2B.C. 1D. 4【答案】C【解析】解：点P到圆心的距离为，圆的半径为3，切线长为：，故选：C．两点间的距离公式求出点P到圆心的距离，易知半径为3，使用勾股定理求出切线长，点P到圆心的距离、圆的半径、切线长，三者构成直角三角形，勾股定理成立．5.已知函数在点处的切线与直线垂直，则a的值为A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】解：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为3，由切线与直线垂直，可得，故选：B．求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查方程思想，属于基础题．6.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：椭圆的焦点为，可得双曲线的，即，由双曲线的渐近线方程为，可得，解得，，则双曲线的方程为．故选：D．求得椭圆的焦点，可得双曲线的，由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，解方程可得a，b的值，进而得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦点，同时考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．7.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面，，给出下列四个命题，错误的命题是A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】B【解析】解：对于A，若，，，则是正确的，因为两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的；对于B，若，，则是错误的，因为a也可能在内；对于C，若，，，则是正确的，因为由面面垂直与线面垂直的性质与判定，即可得出；对于D，若，，，则是正确的，因为线面平行的性质定理转化为线线平行，得出．故选：B．根据空间中的线线、线面与面面之间的位置共线，对选项中的命题判断正误即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中的平行与垂直的应用问题，是中档题．8.实数x，y满足，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：设，则与圆由交点，圆心到直线的距离，解得．故选：C．设，则与圆由交点在根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，则p的值为A. 2B. 4C.D. 8【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，直线AB的方程为，代入可得，，由抛物线的定义可知，，，，解得．故选：C．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到p．本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．故选：D．由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故，故选：C．令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12.已知双曲线的左、右顶点分别为A，点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点连接AE，EA延长线交QF于点M，且，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. 3 D. 5【答案】C【解析】解：由题意可得，，，可得BP的方程为：，时，，，，则AE的方程为：，则，由，可得M是线段QF的中点，可得，即，即，则，故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的a，c关系，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在边长为1的正方体中，与平面ABCD所成角的正弦值为______．【答案】【解析】解：正方体中，底面ABCD，即为与底面ABCD所成角，易知，，故答案为：．作出正方体，易知即为所求角，容易得解．此题考查了斜线与平面所成角，属容易题．14.已知函数，则的单调递增区间为______．【答案】【解析】解：的定义域是，，令，解得：，故在递增，故答案为：．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．【答案】【解析】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，该几何体的体积为：．故答案为：．由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的合理运用．16.设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为______．【答案】【解析】解：椭圆中的，即焦点坐标为，，点M在椭圆的外部，则，当且仅当M，，P三点共线时取等号，故答案为：，根据条件求出a，和c的值，结合椭圆的定义进行转化，利用三点共线的性质进行求解即可．本题主要考查椭圆定义的应用，利用椭圆定义转化为三点共线是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题：；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根．若为真命题，求实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：当命题q为真时，则，解得分若为真，则p真q真，，解得，即实数m的取值范围为分若为真命题，为假命题，则p，q一真一假，，解得；分若p真q假，则或若p假q真，则，解得分综上所述，实数m的取值范围为分【解析】根据为真，则p真q真，求出命题p，q为真命题的等价条件即可为真命题，为假命题，则命题p，q一个为真命题，一个为假命题，讨论即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.已知方程C：，若方程C表示圆，求实数m的范围；在方程表示圆时，该圆与直线l：相交于M、N两点，且，求m的值．【答案】解：根据题意，若方程C：表示圆，则有，解可得，即m的取值范围为；根据题意，方程C：，其圆心为，圆心到直线的距离，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且，则有，解得；则．【解析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得m的取值范围，即可得答案；根据题意，由圆C的方程分析圆心，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及二元二次方程表示圆的条件以及弦长的计算，属于基础题．19.如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，，M是的中点，N是中点．证明：平面；若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．【答案】解：证明：，连接C，是的中点，又N是的中点，C，又平面，平面，平面解：，是的中点，到平面的距离是C到平面的距离的一半，如图，作交AB于P，由正三棱柱的性质，易证平面，设底面正三角形边长为a，则三棱锥的高，，解得．故该正三棱柱的底面边长为．【解析】连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值．此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20.已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的解析式．求在上的最小值．【答案】解：，．曲线在点P处的切线方程为，即在处有极值，所以，由得，，，所以分由知．令，得，．当时，；当时，；当时，，极小值．又因，所以在区间上的最小值为．【解析】由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21.如图，中，，ACDE是边长为6的正方形，平面底面ABC．求证：平面EAB；求几何体AEDCB的体积．【答案】证明：为正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ACDE，平面ABC，．又，，．又，平面分解：取AC的中点G，连BG，，且，，且，又平面平面ABC平面ACDE，几何体AEDCB的体积分【解析】推导出，平面ABC，由此能证明平面EAB．取AC的中点G，连BG，推导出平面ACDE，由此能求出几何体AEDCB的体积．本题考查线面垂直的证明，考查几可体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.已知椭圆C：，P为C的下顶点，F为其右焦点，点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程；已知点，直线l：交椭圆C于不同的两点A，B，求面积的最大值．【答案】解：由题意得，即有，，，，，所求椭圆的方程为；设直线l的方程为，由，得，由题意得，，得，即或，设，，则，，又由题意得，到直线的距离，的面积，当且仅当，即时取等号，且此时满足，所以的面积的最大值为1．【解析】由离心率公式可得a，b，c的方程，解得a，b，即可得到所求椭圆方程；设直线l的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题附解答

2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知空间直角坐标系中，2，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：空间直角坐标系中，2，，．故选：B．利用两点间距离公式直接求解．本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.直线的倾斜角大小为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，直线的斜率为，即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于且小于，故直线的倾斜角为，故选：A．先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围．3.以为准线的抛物线的标准方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以为准线的抛物线，开口向左，可得，所以抛物线的标准方程为：．故选：D．利用抛物线的准线方程，判断抛物线的开口方向，然后求解抛物线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基本知识的考查．4.“若，则”的否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】解：若p则q的否命题为若￢则￢，即命题的否命题为：若，则，故选：A．根据否命题的定义进行判断即可．本题主要考查四种命题之间的关系，根据否命题的定义由若p则q的否命题为若￢则￢进行判断即可．5.已知直线l：与圆N：相切，则a为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，直线l：与圆N：相切，则有，解可得：；故选：D．根据题意，由直线与圆相切的性质可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．6.设某高中的学生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据2，，，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD. 若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加【答案】C【解析】解：根据y与x的线性回归方程为，则，y与x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心，B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加，D正确．不正确的结论是C．故选：C．根据线性回归方程的意义，逐一判断四个选项得答案．本题考查了线性回归方程的意义与应用问题，是基础题．7.“”是“方程为椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若方程为椭圆方程，则，解得：，且，故“”是“方程为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．求出方程为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．8.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度单位：组成一个样本，得到如图所示的茎叶图若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用，表示，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，，．故选：C．由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，由此能求出结果．本题考查平均数、标准差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为A. 16B. 18C. 48D. 143【答案】C【解析】解：初始值，，程序运行过程如下表所示：，，，，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．10.小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则，，记“两人能会面”为事件A，则事件A：，由图知：两人能会面的概率是：多边形的面积，正方形的面积故选：B．由几何概型中的面积型，不妨设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则，，记“两人能会面”为事件A，则事件A：，再观察图象可得解．本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．11.双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为A. 16B.C.D. 18【答案】D【解析】解：双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，可得，，，．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，的周长为，当P点在第二象限时，的最小值为，故的周长的最小值为．故选：D．利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用．12.已知A，B是以F为焦点的抛物线上两点，且满足，则弦AB中点到准线距离为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，由抛物线的定义知，，中，，，，直线AB方程为，与抛物线方程联立消y得，所以AB中点到准线距离为．故选：A．设，由抛物线的定义知和，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．本题主要考查了抛物线的简单性质考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题常需要利用抛物线的定义来解决．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.把二进制数转化为十进制的数为______．【答案】19【解析】解：故答案为：19本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权即该数位上的1表示2的多少次方，然后相加之和即是十进制数大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：要知道二进制每位的权值；要能求出每位的值14.已知双曲线，则它的右焦点到它的渐近线的距离是______．【答案】【解析】解：双曲线，可得，，，则右焦点到它的渐近线的距离为．故答案为：．将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c的值，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．15.若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：命题“，”是假命题，命题“，”是真命题，即对应的判别式，即，，即，故答案为：．根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．16.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，抛物线且与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，所以，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．，则，可得离心率．当时，离心率为，合乎题意；当时，离心率为，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为．故答案为：．作PE垂直于抛物线的准线l于点E，由抛物线的定义得出，并设，则，由椭圆定义可得出2a，在中利用余弦定理可求出2c的值，再由得出离心率，从而对2c的值分类讨论，可得出椭圆C的离心率的值．本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知直线：，：．Ⅰ若，求，间的距离；Ⅱ求证：直线必过第三象限．【答案】解：Ⅰ若，直线：，：，则有，求得，故直线即：，故，间的距离为．Ⅱ证明：直线：，即，必经过直线和直线的交点，而点在第三象限，直线必过第三象限．【解析】Ⅰ由求得k的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得，间的距离．Ⅱ在直线方程中，分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标，再根据此定点在第三象限，得出结论．本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，还考查了直线经过定点问题，属于基础题．18.已知命题p：实数m满，其中；命题q：点在圆的内部．Ⅰ当，为真时，求m的取值范围；Ⅱ若￢是￢的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ当，命题p：，，命题q：点在圆的内部，，，为真，的取值范围为；Ⅱ命题p：，，，设命题q：，设￢是￢的充分不必要条件，￢￢，￢推不出￢，，p推不出q，，，，的取值范围为．【解析】Ⅰ当，命题p：，命题q：，由为真，取交集即可；Ⅱ命题p：，设，命题q：，设由题意得，得，得．本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解法，考查了推理能力，属于基础题．19.已知线段AB的端点B在圆：上运动，端点A的坐标为，线段AB中点为M，Ⅰ试求M点的轨迹方程；Ⅱ若圆与曲线交于C，D两点，试求线段CD的长．【答案】解：Ⅰ设，，则由题意可得：，解得：，点B在圆：上，，，即．轨迹方程为；Ⅱ由方程组，解得直线CD的方程为，圆的圆心到直线CD的距离为，圆的半径为4，线段CD的长为．【解析】Ⅰ设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆的方程得答案；Ⅱ求出圆的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．20.随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间单位：分钟将学生分成六个组：，，，，，经统计得到了如图所示的频率分布直方图．Ⅰ求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．Ⅱ若两个同学诵读诗词的时间x，y满足，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得：，解得．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：．的频率为：，的频率为：，估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：．Ⅱ从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数，两个同学诵读诗词的时间x，y满足，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数．选取的两人能组成一个“Team”的概率．【解析】Ⅰ由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．Ⅱ从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数由此能求出选取的两人能组成一个“Team”的概率．本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.已知椭圆C：，过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆相切．求椭圆C的方程；设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．【答案】解：椭圆C的右顶点，上顶点，设直线l的方程为：，化为：，直线l与圆相切，，，解得．椭圆C的方程为．当直线AB的斜率不存在时，设，则，由得，得．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，，得，，即，由，，即，故直线AB过定点．【解析】椭圆C的右顶点，上顶点，设直线l的方程为：，化为：，由于直线l与圆相切，可得，，解得a，即可得出椭圆C的方程．对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用，及其斜率计算公式即可得出当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；Ⅱ若l和C相交于A，B两点，求的值．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，即，的直角坐标方程为，即．联立，得，，设，，则，，．【解析】直线l的参数方程消去参数，能求出l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程转化为，由此能求出C的直角坐标方程．联立，得，利用韦达定理、弦长公式能求出．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.设函数，．Ⅰ求不等式的解集．Ⅱ若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得：，解得：，故不等式的解集是；Ⅱ若存在，使得不等式成立，即存在，使得成立，当时，即在上有解，故，当时，不成立，当时，即在上有解，故，当时，即在上有解，故，综上，或．【解析】Ⅰ两边平方求出不等式的解集即可；Ⅱ通过讨论x的范围，去掉绝对值，分离参数a，结合x的范围从而求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_3

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列，则是这个数列（）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义条件，解一元二次不等式即可求得定义域.【详解】函数，所以定义域满足，解不等式可得，即定义域为，故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有量词命题的否定即可得解.【详解】由含有量词命题的否定可知，“，”的否定为，故选：C.【点睛】本题考查了含全称量词命题的否定，属于基础题. 4.等差数列中，，则数列前9项的和等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.【详解】等差数列中，，则，解得，因而，由等差数列前n项和公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为能推出，而不能推出，所以“”是“”充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.6.在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.7.曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力8.若，则的最小值为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线,则p 的值为（）A. －2B. －4C. 2D. 4【答案】D【解析】由双曲线方程可得双曲线为等轴双曲线，其离心率为，则抛物线焦点坐标为，所以，则.10.双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【详解】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.12.函数由下表定义：4若，则数列的前2010项的和（）A. 6021B. 6023C. 6025D. 6027【答案】D【解析】【分析】根据递推公式，代入计算可知数列为周期数列.求得周期并根据一个周期内的和，即可求得.【详解】，结合表格可得，，，，，由以上可知，数列是以4为周期的周期数列，一个周期内的和为，而，所以，故选：D.【点睛】本题考查了数列的周期性应用，数列递推公式的应用，属于基础题.13.等比数列{an}前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A. 12B. 20C. 11D. 21【答案】C【解析】【分析】等价于，即，由此可解得的值，进而求得【详解】解：设等比数列的公比为则等价于因为故，即因为所以故故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论．14.已知、是椭圆（a>b>0）的两个焦点，以线段为边作正三角形M，若边M的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|＝c且|QF2|c，根据椭圆的定义得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【详解】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2＝60°，∠QF2F1＝30°Rt△QF1F2中，|F1F2|＝2c（椭圆的焦距），∴|QF1||F1F2|＝c，|QF2||F1F2|c根据椭圆的定义，得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c∴椭圆的离心率为e1故选：B．点评：解决该试题的关键是对于定义的灵活运用，以及正三角形中线是高线的性质的运用，属于基础题．15.已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则（为坐标原点）的面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点，因为抛物线上的点到焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，即，代入抛物线的方程，得，解得，即，所以的面积为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点P的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.若关于的不等式的正整数解有且只有1，2，3，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，x，解此不等式，求出a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2，∴x，∴34，∴916，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）17.已知x，y满足，若的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，其中解得A（3，1）设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝3+2＝5故答案为5．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．18.的内角的对边分别为，若，则 ________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.若函数的两个零点是-2和3，则不等式的解集是______________.【答案】【解析】【分析】根据函数零点，求得函数解析式；并求得的解析式，解一元二次不等式即可求得不等式的解集.【详解】函数的两个零点是-2和3，即的解为，代入方程可得，解方程组可得所以，则则，即，解得，所以的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查了由函数零点确定参数，函数零点与方程的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.【答案】【解析】【分析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围.【详解】函数在R上是减函数，则当时，在上不能恒成立，所以不成立；当时，在上恒成立，需，解得即a的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.21.给出如下四种说法：①四个实数依次成等比数列的必要而不充分条件是.②命题“若且，则”为假命题.③若为假命题，则均为假命题.④若数列的前项n和，则该数列的通项公式.其中正确说法的序号为________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①当出现0项时，不能为等比，结合充分必要条件的概念即可判断；对于②利用命题与否命题真假关系即可判断；对于③由复合命题真假的性质可判断；对于④根据的性质可求得通项公式.【详解】对于①，若四个实数依次成等比数列，则由等比数列性质可得；当时，若，则不满足等比数列条件，所以是依次成等比数列的必要而不充分条件，故①正确；对于②，命题“若且，则”，当，满足且，但是不满足，即命题为假命题，所以②正确；对于③，若为假命题，则中至少有一个为假命题，所以③错误；对于④，若数列的前项n和，则由可得，当时，，也符合通项公式，即，故④正确；综上可知，正确的为①②④故答案为：①②④【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，命题真假的判断，由求数列通项公式，综合性强，属于中档题.三、解答题（本题共5小题,共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.22.已知，设命题函数在R上为单调函数；命题曲线与x轴交于不同两点，若命题为真，为真，求c的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据已知条件可得p真，q假，由指数函数单调性及二次函数性质可得不等式组，即可求得c的取值范围.【详解】因为命题为真，为真，可得p真，q假，∵p为真命题，则，∵q为假命题，则.又∵，得.因为p真q假，则：得.综上c的取值范围为.【点睛】本题考查了复合命题真假判断，由复合命题真假确定参数取值范围，属于基础题.23.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由正弦定理得（2）由余弦定理所以考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积．点评：中档题，本题考查知识点较多，但解题思路比较明确，牢记公式（定理），细心计算关键．24.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【答案】648【解析】【分析】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，可得出，并利用、表示出蔬菜的种植面积，再利用基本不等式求出的最大值，并利用等号成立的条件求出与的值，即可对问题进行解答．【详解】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则蔬菜的种植面积，所以当时，即当，时，.答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，在解题过程中寻找定值条件，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时特别要注意等号成立的条件，考查计算能力与应用能力，属于中等题．25.如图，直棱柱中，分别是的中点，，（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1C．（2）以C为坐标原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【详解】（1）如图，连接交于点F，则点F为的中点，连接.因为D是的中点，所以在中，是中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以，即.则以C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，则，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，，则.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，，则.所以，所以，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．26.若函数,当时,函数有极值为.(1)求函数的解析式；(2)若有个解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.27.已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.（3）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列性质及即可求得首项与公差，进而求得数列的通项公式；（2）根据裂项求和法，即可求得的值.（3）将数列合并后，根据等差数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为是等差数列，所以当时，则，所以，由，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得，，所以.（3）由（1）得所以【点睛】本题考查了等差数列的性质应用，等差数列前n项和公式应用，裂项求和法的应用，属于基础题.28.已知椭圆的中心为坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于两点，且直线l的斜率.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，根据题意求得，即可得椭圆的标准方程.（2）设直线l的方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出.由直线方程可得.由可得，结合平面向量数量积的坐标表示，即可求得斜率，进而得直线方程.【详解】（1）因为有右焦点，所以椭圆方程可设为.∵长轴长为，离心率，即，，所求椭圆方程为.（2）设直线l的方程为，由，可得.，.因为，所以，由，得，，.∴所求直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，由韦达定理求参数的应用，平面向量数量积的坐标表示，属于中档题.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列，则是这个数列（）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义条件，解一元二次不等式即可求得定义域.【详解】函数，所以定义域满足，解不等式可得，即定义域为，故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有量词命题的否定即可得解.【详解】由含有量词命题的否定可知，“，”的否定为，故选：C.【点睛】本题考查了含全称量词命题的否定，属于基础题.4.等差数列中，，则数列前9项的和等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.【详解】等差数列中，，则，解得，因而，由等差数列前n项和公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为能推出，而不能推出，所以“”是“”充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.6.在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.7.曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力8.若，则的最小值为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线,则p的值为（）A. －2B. －4C. 2D. 4【答案】D【解析】由双曲线方程可得双曲线为等轴双曲线，其离心率为，则抛物线焦点坐标为，所以，则.10.双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【详解】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.12.函数由下表定义：4若，则数列的前2010项的和（）A. 6021B. 6023C. 6025D. 6027【答案】D【解析】【分析】根据递推公式，代入计算可知数列为周期数列.求得周期并根据一个周期内的和，即可求得.【详解】，结合表格可得，，，，，由以上可知，数列是以4为周期的周期数列，一个周期内的和为，而，所以，故选：D.【点睛】本题考查了数列的周期性应用，数列递推公式的应用，属于基础题.13.等比数列{an}前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A. 12B. 20C. 11D. 21【答案】C【解析】【分析】等价于，即，由此可解得的值，进而求得【详解】解：设等比数列的公比为则等价于因为故，即因为所以故故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论．14.已知、是椭圆（a>b>0）的两个焦点，以线段为边作正三角形M，若边M的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|＝c且|QF2|c，根据椭圆的定义得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【详解】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2＝60°，∠QF2F1＝30°Rt△QF1F2中，|F1F2|＝2c（椭圆的焦距），∴|QF1||F1F2|＝c，|QF2||F1F2|c根据椭圆的定义，得2a＝|QF1|+|QF2|＝（1）c∴椭圆的离心率为e1故选：B．点评：解决该试题的关键是对于定义的灵活运用，以及正三角形中线是高线的性质的运用，属于基础题．15.已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则（为坐标原点）的面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点，因为抛物线上的点到焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，即，代入抛物线的方程，得，解得，即，所以的面积为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点P的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.若关于的不等式的正整数解有且只有1，2，3，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，x，解此不等式，求出a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2，∴x，∴34，∴916，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）17.已知x，y满足，若的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，其中解得A（3，1）设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝3+2＝5故答案为5．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．18.的内角的对边分别为，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.若函数的两个零点是-2和3，则不等式的解集是______________.【答案】【解析】【分析】根据函数零点，求得函数解析式；并求得的解析式，解一元二次不等式即可求得不等式的解集.【详解】函数的两个零点是-2和3，即的解为，代入方程可得，解方程组可得所以，则则，即，解得，所以的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查了由函数零点确定参数，函数零点与方程的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.【答案】【解析】【分析】。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列是等比数列，且，则的公比为（）A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】因为数列是等比数列，且，所以, ,故选B.2.已知，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】D【解析】试题分析：，，则．考点：导数的计算．3.在中，已知，则等于( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．4.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．.考点：复合命题的真假.5. 下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】A选项中为0时不能成立，B选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C不成立，选D6.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )A. 5B. 8C. 5或8D. 3或5【答案】D【解析】【分析】讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得；当椭圆的焦点在y轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.7.下列曲线中离心率为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，选B.【此处有视频，请去附件查看】8.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.【详解】因为是抛物线的方程，所以；因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.9.设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，解得故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.10.已知数列的前n项和，则的值为( )A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】C【解析】试题分析：，．故选C．考点：已知数列的前项和，求项．11.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该直线与椭圆交于，则，则，则，所以.故选B.点睛：本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，其主要步骤是：（1）代点：；（2）作差：；（3）确定中点坐标和直线斜率的等量关系：. 12.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上.13.命题，则为___________；.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定方法：修改量词，否定结论，得到的结果.【详解】因为修改为，修改为，所以.故答案为：【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意修改量词的同时否定结论.14.等差数列中，，则．【答案】．【解析】试题分析：．考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和．15.曲线在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】先根据导函数求解出在点处切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为：即.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，难度较易.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程.16.过点双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________.【答案】8【解析】【分析】根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，设双曲线方程为：，所以，所以，连接，由双曲线定义可知：，所以，取等号时三点共线，又因为，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列的前项和记为，已知．（1）求通项；（2）若，求．【答案】（1）；（2）n=11.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；（2）先求出，再令解方程即可.试题解析：1设等差数列的公差为，由得方程组，解得所以2由得方程，解得18.已知命题：方程表示焦点在y轴上椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准方程确定 ,再由确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.试题解析：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题q等价于;若p真q假，则；若p假q真，则综上：的取值范围为19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.【解析】【详解】(1)∵为，的等差中项，∵,∴A(2)△ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20.设为实数，函数.（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．21.设椭圆C：过点，右焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】试题分析：Ⅰ将Q的坐标代入椭圆方程，以及的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；Ⅱ求出直线l与轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长．试题解析：Ⅰ椭圆过点，可得，由题意可得，即，解得，即有椭圆C的方程为；Ⅱ直线l：与x轴交点轴交点，联立，消y得，设，则，，由，得：，解得由得代入得，，可得．22.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为,求线段AB的长.【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k 的范围．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.∵-<k<且k≠±1,∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列是等比数列，且，则的公比为（）A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】因为数列是等比数列，且，所以,,故选B.2.已知，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】D【解析】试题分析：，，则．考点：导数的计算．3.在中，已知，则等于( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．4.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．.考点：复合命题的真假.5. 下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】DA选项中为0时不能成立，B选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C不成立，选D6.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )A. 5B. 8C. 5或8D. 3或5【答案】D【解析】【分析】讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得；当椭圆的焦点在y轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.7.下列曲线中离心率为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，选B.【此处有视频，请去附件查看】8.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )A. B. 1 C. D.【答案】D【分析】由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.【详解】因为是抛物线的方程，所以；因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.9.设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，解得故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.10.已知数列的前n项和，则的值为( )A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】C【解析】试题分析：，．故选C．考点：已知数列的前项和，求项．11.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该直线与椭圆交于，则，则，则，所以.故选B.点睛：本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，其主要步骤是：（1）代点：；（2）作差：；（3）确定中点坐标和直线斜率的等量关系：.12.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上.13.命题，则为___________；.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定方法：修改量词，否定结论，得到的结果.【详解】因为修改为，修改为，所以.故答案为：【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意修改量词的同时否定结论.14.等差数列中，，则．【答案】．【解析】试题分析：．考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和．15.曲线在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】先根据导函数求解出在点处切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为：即.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，难度较易.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程.16.过点双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________.【答案】8【解析】【分析】根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，设双曲线方程为：，所以，所以，连接，由双曲线定义可知：，所以，取等号时三点共线，又因为，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列的前项和记为，已知．（1）求通项；（2）若，求．【答案】（1）；（2）n=11.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；（2）先求出，再令解方程即可.试题解析：1设等差数列的公差为，由得方程组，解得所以2由得方程，解得18.已知命题：方程表示焦点在y轴上椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准方程确定 ,再由确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.试题解析：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题q等价于;若p真q假，则；若p假q真，则综上：的取值范围为19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.【解析】【详解】(1)∵为，的等差中项，∵,∴A(2)△ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20.设为实数，函数.（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．21.设椭圆C：过点，右焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】试题分析：Ⅰ将Q的坐标代入椭圆方程，以及的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；Ⅱ求出直线l与轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长．试题解析：Ⅰ椭圆过点，可得，由题意可得，即，解得，即有椭圆C的方程为；Ⅱ直线l：与x轴交点轴交点，联立，消y得，设，则，，由，得：，解得由得代入得，，可得．22.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为,求线段AB的长.【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.∵-<k<且k≠±1,∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019-2020学年贵州贵阳高二上数学期末试卷(附答案解析)

2019-2020学年贵州贵阳高二上数学期末试卷一、选择题1. 下列赋值语句中正确的是（） A.4=M B.M =−M C.B =A =3 D.x +y =02. 下列命题中的假命题是（） A.∃x >0，lg x =0 B.∃x ∈R ，tan x =1 C.∀x ∈R ，2x >0 D.∀x ∈R ，x 3>03. 已知空间直角坐标系中A(4,1,3)、B(2,−5,1)，点C 满足AC →=CB →，则C 的坐标为（） A.(3,−2,2) B.(−2,−6,−2)C.(6,−4,4)D.(0,−11,−1)4. 学校某课题组为了解本校高二年级学生的饮食均衡发展情况，现对各班级学生进行抽样调査．已知高二（3）班共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（） A.13 B.19C.20D.515. 与命题“若x =y ，则sin x =sin y ”等价的命题是( ) A.若sin x =sin y ，则x =y B.若x =y ，则sin x ≠sin y C.若x ≠y ，则sin x ≠sin y D.若sin x ≠sin y ，则x ≠y6. 如图所示的程序框图中，输入x =2，则输出的结果是（）A.1B.2C.3D.47. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线互相垂直，那么其中一条渐近线的方程是（） A.y =−x B.y =−2xC.y =2xD.y =12x8. 我国古代“伏羲八卦图”中的八卦与二进制、十进制的互化关系如下表，依据表中规律A 、B 处应分别填写（）A.101、10B.101、5C.110、6D.110、129. 某单位为了解用电量y （单位：度）与气温x （单位：∘C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并制作了如下对照表：̂+a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量为（）（提示：线性回归方程经过样本中心点(x ¯,y ¯)） A.67度 B.68度 C.69度 D.70度10. 已知椭圆x 29+y 25=1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A(0, 2√3)，则△APF 的周长最大值等于（） A.10 B.12C.14D.16二、填空题某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ=π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是________．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则直线AC1与平面ADD1A1所成角的余弦值等于________．椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M 的轨迹，若已知A(−2,0)，B(2,0)动点M满足|MA||MB|=√2，此时阿波罗尼斯圆的方程为________.三、解答题甲乙二人有4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲乙抽到牌的所有情况．（2）甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？已知实数m>0，命题p:x2−2x−8≤0，命题q:2−m≤x≤2+m．(1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围；(2)若m=5，且“p∨q” 为真命题，“p^q”为假命题，求实数x的取值范围.从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这些成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；…；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)估计这40名学生的众数和中位数，（中位数保留两位小数）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90∘，E是BC的中点，AC=AB=AA1=2．（1）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（2）若G为CC1中点，求二面角C−AG−E的余弦值．四、阅读与探索探究与发现：为什么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线？我们知道，平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线，这是抛物线的定义，也是其本质特征，因此，只要说明二次函数的图象符合抛物线的本质特征，就解决了为什么二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象是抛物线的问题，进一步讲，由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将y=ax2+bx+c(a≠0)转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以判定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线了，下面我们就按照这个思路来展开；对二次函数式y=ax2+bx+c(a≠0)的右边配方，得y=a(x+b2a)2+4ac−b24a由函数图象平移（一般地，设Γ是坐标平面内的一个图形，将Γ上所有点按照同一方向，移动同样的长度，得到图形Γ'，这一过程叫做图形的平移．）的知识可以知道，沿向量m→=(b2a,−4ac−b24a)平移函数y=a(x+b2a)2+4ac−b24a的图象（如图），函数图象的形状、大小不发生任何变化，平移后图象对应的函数解析式为y=ax2；我们把它改写为x2=1a y的形式（方程），这是顶点为坐标原点，焦点为(0,14a)抛物线．这样就说明了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线．请根据以上阅读材料，回答下列问题：(1)由函数y=x2+2x+2的图象沿向量m→平移，得到的图象对应的函数解析式为y=x2，求m→的坐标；（2）过抛物线y=x2的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与OF的长分别是p、q．试探究1 p +1q是否为定值？并说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年贵州贵阳高二上数学期末试卷一、选择题1.【答案】B【考点】赋值语句【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】四种命题间的逆否关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为互为逆否命题的两个命题是等价命题，因此与命题“若x=y，则sin x=sin y”等价的命题是“若sin x≠sin y，则x≠y”.故选D.6.【答案】B【考点】程序框图【解析】执行程序框图，根据赋值语句的功能即可求出y的值．【解答】解：执行程序框图，有x=2满足条件x>1，y=2输出y的值为2故选：B．7.【答案】A【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】进位制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|=√22+(2√3)2=4＝|AF′|，|PF|+|PF′|＝2a＝6，利用|PA|−|PF′|≤|AF′|，即可得出．【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′，|AF|=√22+(2√3)2=4＝|AF′|，则|PF|+|PF′|＝2a＝6，∵|PA|−|PF′|≤|AF′|，∴△APF的周长＝|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+6−|PF′|≤4+6+4＝14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于14．故选C．二、填空题【答案】25【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．【解答】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为45900=120，则应抽取的男生人数是500×120=25人，【答案】1−√3 2【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为√3−1，面积为4−2√3；故飞镖落在阴影区域的概率4−2√34=1−√32．【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】x2+y2−12x+4=0.【考点】两点间的距离公式轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设M(x,y)，由于|MA||MB|=√2，根据两点间的距离公式得√(x+2)2+y222=√2，整理得x2+y2−12x+4=0. 故答案为：x2+y2−12x+4=0.三、解答题【答案】解：（1）方片4用4′表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：(2, 3)，(2, 4)，(2, 4′)，(3, 2)，(3, 4)，(3, 4′)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4′)，(4′, 2)，(4′, 3)，(4′, 4)，共12种不同的情况；（2）甲抽到的牌的数字比乙大，有(4, 2)，(4, 3)，(4′, 2)，(4′, 3)，(3, 2)共5种情况，甲胜的概率为P1=512，乙胜的概率为P2=712，∵512<712，∴此游戏不公平．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）方片4用4′表示，则甲乙抽到牌的所有情况为： (2, 3)，(2, 4)，(2, 4′)，(3, 2)，(3, 4)，(3, 4′)， (4, 2)，(4, 3)，(4, 4′)，(4′, 2)，(4′, 3)，(4′, 4)，共12种不同的情况；（2）甲抽到的牌的数字比乙大，有(4, 2)，(4, 3)，(4′, 2)， (4′, 3)，(3, 2)共5种情况，甲胜的概率为P 1=512，乙胜的概率为P 2=712，∵ 512<712，∴ 此游戏不公平．【答案】【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、阅读与探索【答案】【考点】圆锥曲线的综合问题直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.在中，若，则的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”的否定为“”，故选D.3.已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限的点，故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解.【详解】,故选：C.【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.6.抛物线一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.【详解】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.7.已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知，，注意到倾斜角．故选B.9.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：如图，延长到，使得，连，设，则，所以就是异面直线所成的角，由于为等边三角形，故应选答案D．法二、如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，所以，应选答案D．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解．10.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解.【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB 的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.12.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，又，故选D．考点：抛物线与双曲线的几何性质．第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量，所以，又由，解得．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.设，满足约束条件，记的最小值为，则函数的图象恒过定点__________．【答案】【解析】由题可得如下图形：可得目标函数经过（1，-1）时取得最小值-2，所以函数的图象恒过定点15.正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】.【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点、、、、、，设平面的一个法向量为，则，.由，即，得，令，则，.可知平面的一个法向量为，又.，因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为.【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.16.下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)(2)(4)【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），，，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题表示双曲线，命题．（1）若命题为真命题，求实数取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据命题为真命题可知异号即可（2）根据“或”为真，“且”为假知命题、中一个为真，另一个为假，即可求解.【详解】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，∴（2）命题为真，则因为命题“或”为真，“且”为假，所以命题、中一个为真，另一个为假当真、假时，，所以当假、真时，，所以综上，或【点睛】本题主要考查了命题，复合命题及命题真假的判断，属于中档题.18.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19.已知抛物线：，双曲线：若抛物线与双曲线在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为2．求双曲线的渐近线方程及其离心率；求直线l被抛物线所截得的弦长．【答案】（1），离心率为2 （2）【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求出，先求出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：双曲线：，则渐近线方程为，离心率，由，解得，点P在第一象限，，直线l的方程为，即，由，消y可得，从而，，直线l被抛物线所截得的弦长【点睛】本题考查了双曲线性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题20.已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值.【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为．利用累加法即可求得的通项公式．（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值．【详解】（Ⅰ）由，得，.故公差，.即数列的通项公式为.当时，，而，故，即数列的通项公式为.（Ⅱ），，上述两式相减，得得.设，显然当时，，，且单调递增. 而，，，故的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列．21.如图，平面，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值．【详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，则，，，因为，所以．因为平面，且，所以平面．（2）设平面的法向量为，则因为，所以．令，则．所以是平面的一个法向量．因为平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，与的夹角的余弦值为．根据图形可知，二面角的余弦值为．【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．22.焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在满足条件,详见解析【解析】【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求解即可．（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出、、，则可求．【详解】解：（1）由已知可得，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）若直线的斜率不存在时，，，所以；当斜率存在时，设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程，消去y，得，所以．因为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，得，解得．，，同理，，因为，，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆综合问题，属于中档题．学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.在中，若，则的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”的否定为“”，故选D.3.已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限的点，故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解.【详解】,故选：C.【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.6.抛物线一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.【详解】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.7.已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知，，注意到倾斜角．故选B.9.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：如图，延长到，使得，连，设，则，所以就是异面直线所成的角，由于为等边三角形，故应选答案D．法二、如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，所以，应选答案D．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解．10.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解.【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.12.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，又，故选D．考点：抛物线与双曲线的几何性质．第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量，所以，又由，解得．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.设，满足约束条件，记的最小值为，则函数的图象恒过定点__________．【答案】【解析】由题可得如下图形：可得目标函数经过（1，-1）时取得最小值-2，所以函数的图象恒过定点15.正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】.【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点、、、、、，设平面的一个法向量为，则，.由，即，得，令，则，.可知平面的一个法向量为，又.，因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为.【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.16.下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)(2)(4)【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），，，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题表示双曲线，命题．（1）若命题为真命题，求实数取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据命题为真命题可知异号即可（2）根据“或”为真，“且”为假知命题、中一个为真，另一个为假，即可求解.【详解】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，∴（2）命题为真，则因为命题“或”为真，“且”为假，所以命题、中一个为真，另一个为假当真、假时，，所以当假、真时，，所以综上，或【点睛】本题主要考查了命题，复合命题及命题真假的判断，属于中档题.18.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19.已知抛物线：，双曲线：若抛物线与双曲线在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为2．求双曲线的渐近线方程及其离心率；求直线l被抛物线所截得的弦长．【答案】（1），离心率为2 （2）【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求出，先求出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：双曲线：，则渐近线方程为，离心率，由，解得，点P在第一象限，，直线l的方程为，即，由，消y可得，从而，，直线l被抛物线所截得的弦长【点睛】本题考查了双曲线性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题20.已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值.【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为．利用累加法即可求得的通项公式．（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值．【详解】（Ⅰ）由，得，.故公差，.即数列的通项公式为.当时，，而，故，即数列的通项公式为.（Ⅱ），，上述两式相减，得得.设，显然当时，，，且单调递增.而，，，故的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列．21.如图，平面，，，，，是的中点.。

江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(后附答案与详细解析)

2019—2020学年高二第一学期期末检测试题参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线28y x =的准线方程是（）A．2x =-B．4x =-C．2y =-D．4y =-2.如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A．22a b<B．22ab a b<<D．||||a b >3.已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.已知2a =+，2b =-a b ,的等比中项为（）A.B.1C.1- D.1±5.不等式102xx -≤+的解集为（）A．(]2,1-B．[]2,1-C．()[).21,-∞-⋃+∞D．(][),21,-∞-⋃+∞6.已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（）A．－4B．－6C．－8D．－107.空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A．6πB．3πC．6π或56πD．3π或23π8.如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A．(1,2)- B.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞ D.(2,1)-9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A．46S S >B．45S S =C．65S S <D．65S S =10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A．22C．322D．11.已知0x >，0y >，228++=x y xy，则的最小值是（）B．2C．2D．412.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A．1012+B．C．512二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14.已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15.已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16.若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为3，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题1、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B12、A13、x R ∀∈, 14、101115、+1316.41]3（，17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分所以2a ≤；…………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+，…………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分所以22m +≤，即0m ≤。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_42

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.命题“R，”的否定是（）A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定规则进行判断【详解】命题“R，”的否定是R，。

故选：A.【点睛】此题是容易题，考查基本概念。

2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线的定义求得。

【详解】双曲线的渐近线方程是，故选：B.【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。

3.“M＜N”是“”（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域是单调性可判断。

【详解】若，则，故可以推出若，不能推出，比如不满足，故选：C.【点睛】此题为容易题，考查充分条件和必要条件的概念和对数函数的定义域和单调性。

4.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（）A. 2B. 6C. ﹣2D. ﹣6【答案】C【分析】根据向量平行的性质求解【详解】因为∥，所以，解得。

故选：C.【点睛】此题考查向量平行的性质，属于基础题5.已知点F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，点P为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，则△PF1F2的周长是（）A. 10B. 11C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】先算出椭圆的长轴长和焦距，再结合椭圆定义算得周长。

【详解】根据椭圆定义，到和的距离之和为长轴长，而,故而三角形的周长为。

故选:D.【点睛】此题考查椭圆的定义，为基础题。

6.等差数列中，已知，，则的值是（）A. 23B. 30C. 32D. 34【答案】C【分析】根据已知可以先求出首项和公差d，再利用等差数列前n项和公式求出。

【详解】由题是等差数列，则有，，解得，，故.故选：C.【点睛】此题考查等差数列的性质，属于基础题。

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题含答案

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题含答案一、选择题1．如果函数的定义域为，那么函数的定义域为A. B.C. D.2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A． B． C． D．3．下列说法错误的是（）A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面4．若命题所有对数函数都是单调函数，则为（）A．所有对数函数都不是单调函数 B．所有单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数 D．存在一个单调函数不是对数函数5．已知，且，则函数与函数的图像可能是（）6．函数的定义域为（）A． B． C． D．7．设若，则的值为（）A． B． C． D．8．（xx秋•枣庄期末）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．若函数，则（其中为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．11．设奇函数在区间上是增函数，且.当时，函数，对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.或C.或D.或或12．已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{} （D）[，）{}二、填空题13．点关于直线的对称点为，则点的坐标为．14．如图所示，程序框图的输出结果是 .15．已知集合，则从集合P到集合Q的映射共有种.16．设函数.若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围为 .三、解答题17．已知是偶函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．18．某同学参加高校自主招生门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望．19．如图，在直三棱柱中，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．参考答案ABCCB AABDC11．D12．C13．14．15．916．或17．（1）；（2）.（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．考点：函数的奇偶性，解不等式.18．（1），（2）见解析用表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3．由题意得，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为及，解得，（Ⅱ）由题设知的可能取值为0，1，2，3，，，0123∴．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅰ）证法一：由已知，又，∴平面，∴，又，∴，∴平面；证法二：由已知条件可得两两互相垂直，因此取以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，∵，且，∴，且，∴平面；（Ⅱ）∵，，设平面，则，取，∴；由（Ⅰ）知，为平面的法向量，设二面角的大小为，由题意可知为锐角，∴111cos cos ,105m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯⋅．即二面角的余弦值为．。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_24

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）试卷说明：1、本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，请将正确的选项填在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，请在试卷指定位置作答.交答题卡.2、全卷满分150分，考试时间120分钟.3、命题范围：平面解析几何初步，圆锥曲线，空间向量与立体几何.4、适用对象：高二全体学生.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（共12道小题，每道小题5分，共60分）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法计算公式计算，由复数的概念即可得到结果.【详解】因为，所以虚部是1，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.2.已知函数，且，则的值为（）A. 1B.C. -1D. 0【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为，因为，即，所以，故选A．3.复数的共轭复数在复平面上对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求得，得到，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，则，所以对应点在第三象限，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A. –4B. –2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.5.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.6.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，焦点为又，由得，因此，渐近线方程为，故选A【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键7.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A. B. 平面C. D. 平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.已知函数，则曲线在处切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出时，的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程．【详解】当时，，，所以，，曲线在处切线方程为即，故选A．【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程．9.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 位置关系不确定【答案】B【分析】由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).利用向量的数量积可得PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.得到结论.【详解】由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).故=0,=0,即,故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.【点睛】本题考查利用向量证明平面与平面的垂直关系，属基础题.10.若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】【分析】由函数有两个极值点，得到有两个零点，转化为函数与的图象有2个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，则，要使得函数有两个极值点，则有两个零点，即方程有2个实数根，即与的图象有2个交点，又由，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，，当时，，所以当是满足函数与的图象有2个交点，即函数有两个极值点，故选A．【点睛】本题主要考查了利用导数求得函数的极值问题，其中熟记函数的导数与函数的单调性与极值之间的关系，以及结合函数点图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．11.如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取上靠近的四等分点为E，由题易知，再利用空间向量证得，即当F在上时，平面，然后求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为E，连接,当点F在上时，平面，证明如下：因为直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，所以平面，所以以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；所以即此时，即所以平面，故当F在上时，平面，很明显，当E、F重合时，线段最长，此时故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题.12.已知函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可得，设，求得导数，构造，求得导数，判断单调性，即可得到的单调性，可得的范围，即可得到所求的范围．【详解】由题意，函数，令，可得，设，则，由的导数为，当时，，则函数递增，且，则在递增，可得，则，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（共4道小题，每道小题5分，共20分）13.已知复数满足（为虚数单位），则的模为______【答案】【解析】【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.14.如图，在三棱锥中，，，，，则BC和平面ACD所成角的正弦值为．【答案】.【解析】【详解】解：在三棱锥A−BCD中，∵AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，∵BC＝BD＝2，AB＝1，∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），∴＝（−2，0，0），＝（−2，0，1），＝（−2，2，0），设平面ACD的法向量为＝(x，y，z)，则，∴，∴＝（1，1，2），设直线BC和平面ACD所成角为θ，则sinθ＝．故答案为：．15.直线与曲线相切于点，则_________.【答案】40【解析】【分析】把点代入直线方程，求得，再由导数的几何意义，得到，求得，进而代入曲线方程，求得的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线与曲线相切于点，把点代入直线，可得，又由，则，所以，解得，即，把点代入，解得，所以.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.【详解】，.①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得；②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题（共6道小题，17题10分，18~22题每道小题12分，共70分）17.设，函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数单调区间.【答案】（1）；（2）当，单调递增区间为；当，单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导数，当时，求出即切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；（2）对参数分类讨论，分别求出函数的单调性；【详解】解：因为，所以函数的定义域为.（1）当时，则切线方程为，即；（2）若，则，是在区间上的增函数，若，令得：.在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.18.如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC1⊥平面BDE．（2）求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角F ﹣BE﹣D为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),,,,,与BE是平面BDE内两条相交直线平面BDE（2）由（1）进一步可得F(0，)，设平面BDE的法向量为，可取，设平面FBE的法向量为，由,可得，取x=1，可得(1,-2,).由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.（1）由题意，椭圆C的标准方程为，所以，从而，因此，故椭圆C的离心率.（2）设点A，B的坐标分别为，其中，因为，所以，即，解得，又，所以====，因，且当时间等号成立，所以，故线段AB长度的最小值为.考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.20.如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，从而求出的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式求解．（2）求出平面的法向量，求出与的夹角余弦值，从而求出与平面所成的角的正弦值．【详解】(1)建系以为原点，如图，，所以(2），，设是平面的法向量，则，即，取所以与平面所成的角的正弦值.【点睛】（1）主要考查了空间向量的应用---空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题，还考查了向量的坐标运算．（2）主要考查了空间向量的应用---空间线面角问题转化成向量夹角问题求解，还考查了向量的坐标运算．21.已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.（1）求抛物线的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，所以，所以抛物线的方程为；（2）【解法一】因为点与点关于轴对称所以设，，，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，，所以，即，所以直线的方程为，必过定点.【解法二】设，，，因为点与点关于轴对称，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，所以，即，所以直线方程为，必过定点.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.22.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；（3）当时，求证：对任意，恒成立.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.（2）求导，取导数为0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.【详解】（1）当时，．∴∴，又∵∴，即∴函数在点处的切线方程为．（2）由题意知，函数的定义域为，，令，可得，当时，方程仅有一解，∴，∴令则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．∵∴当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数．又∵，，且当时，∴，∴∴实数的取值范围为．（3）∵∴要证对任意，恒成立即证成立即证成立设∴∵时，易知在上为减函数∴∴在上为减函数∴∴成立即对任意，恒成立．【点睛】本题考查了函数的导数，切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）试卷说明：1、本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，请将正确的选项填在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，请在试卷指定位置作答.交答题卡.2、全卷满分150分，考试时间120分钟.3、命题范围：平面解析几何初步，圆锥曲线，空间向量与立体几何.4、适用对象：高二全体学生.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（共12道小题，每道小题5分，共60分）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法计算公式计算，由复数的概念即可得到结果.【详解】因为，所以虚部是1，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.2.已知函数，且，则的值为（）A. 1B.C. -1D. 0【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为，因为，即，所以，故选A．3.复数的共轭复数在复平面上对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求得，得到，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，则，所以对应点在第三象限，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A. –4B. –2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.5.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.6.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，焦点为又，由得，因此，渐近线方程为，故选A【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键7.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A. B. 平面C. D. 平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N （0，1，1），∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.已知函数，则曲线在处切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出时，的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程．【详解】当时，，，所以，，曲线在处切线方程为即，故选A．【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程．9.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 位置关系不确定【答案】B【解析】【分析】由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).利用向量的数量积可得PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.得到结论.【详解】由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).故=0,=0,即,故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.【点睛】本题考查利用向量证明平面与平面的垂直关系，属基础题.10.若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数有两个极值点，得到有两个零点，转化为函数与的图象有2个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，则，要使得函数有两个极值点，则有两个零点，即方程有2个实数根，即与的图象有2个交点，又由，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，，当时，，所以当是满足函数与的图象有2个交点，即函数有两个极值点，故选A．【点睛】本题主要考查了利用导数求得函数的极值问题，其中熟记函数的导数与函数的单调性与极值之间的关系，以及结合函数点图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．11.如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取上靠近的四等分点为E，由题易知，再利用空间向量证得，即当F在上时，平面，然后求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为E，连接,当点F在上时，平面，证明如下：因为直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，所以平面，所以以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；所以即此时，即所以平面，故当F在上时，平面，很明显，当E、F重合时，线段最长，此时故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题.12.已知函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可得，设，求得导数，构造，求得导数，判断单调性，即可得到的单调性，可得的范围，即可得到所求的范围．【详解】由题意，函数，令，可得，设，则，由的导数为，当时，，则函数递增，且，则在递增，可得，则，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（共4道小题，每道小题5分，共20分）13.已知复数满足（为虚数单位），则的模为______【答案】【解析】【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.14.如图，在三棱锥中，，，，，则BC和平面ACD所成角的正弦值为．【答案】.【解析】【详解】解：在三棱锥A−BCD中，∵AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，∵BC＝BD＝2，AB＝1，∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），∴＝（−2，0，0），＝（−2，0，1），＝（−2，2，0），设平面ACD的法向量为＝(x，y，z)，则，∴，∴＝（1，1，2），设直线BC和平面ACD所成角为θ，则sinθ＝．故答案为：．15.直线与曲线相切于点，则_________.【答案】40【解析】【分析】把点代入直线方程，求得，再由导数的几何意义，得到，求得，进而代入曲线方程，求得的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线与曲线相切于点，把点代入直线，可得，又由，则，所以，解得，即，把点代入，解得，所以.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.【详解】，.①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得；②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题（共6道小题，17题10分，18~22题每道小题12分，共70分）17.设，函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数单调区间.【答案】（1）；（2）当，单调递增区间为；当，单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导数，当时，求出即切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；（2）对参数分类讨论，分别求出函数的单调性；【详解】解：因为，所以函数的定义域为.（1）当时，则切线方程为，即；（2）若，则，是在区间上的增函数，若，令得：.在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.18.如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC1⊥平面BDE．（2）求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角F﹣BE﹣D为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),,,,,与BE是平面BDE内两条相交直线平面BDE（2）由（1）进一步可得F(0，)，设平面BDE的法向量为，可取，设平面FBE的法向量为，由,可得，取x=1，可得(1,-2,).由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.（1）由题意，椭圆C的标准方程为，所以，从而，。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试教学统一检测试题(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末考试教学统一检测试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设z=i(2+i)，则=A. 1+2iB. –1+2iC. 1–2iD. –1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【详解】，所以，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．2.设抛物线上一点P到y轴距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】抛物线准线方程为．因为到轴的距离为2，所以到准线的距离为3.由抛物线的几何性质可知，到抛物线焦点的距离为3，故选C3.设等差数列的前项和是，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由题, ,故,故.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,包括等和性与“当为奇数时,”等.属于基础题.4.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可.【详解】椭圆中.故双曲线中有,因为,解得.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.5.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A. 条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.6.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题. 8.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若构成公比为的等比数列，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据构成公比为的等比数列可知,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.【详解】由题, .故离心率.故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.9.设等比数列的的前项和是，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化解，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的的公比为，则，所以，即“”是“”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.10.在棱长为的正方体中，点在底面内运动，使得△的面积为，则动点的轨迹为（）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】A【解析】【分析】分析可知动点到弦的距离为定值,再分析所有动点的轨迹与面的交线形状即可.【详解】易得,又的面积为,设到弦的距离为,则为定值.故点在以为中轴线,底面半径为的圆柱的侧面上.故动点的轨迹是平面截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面与该圆柱的截痕为椭圆,又点在底面内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知复数是纯虚数，则实数为__________．【答案】2【解析】解：因为复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，所以实部为零，即m2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.12.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为_____【答案】【解析】【分析】代入可求得双曲线的方程,继而求得渐近线方程.【详解】因为双曲线经过点,故.故该双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与渐近线方程,属于基础题.13.在等比数列中，，，则公比________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.14.用组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________.【答案】【解析】【分析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为其中一个时,奇数的个数为个.当百位为其中一个时, 奇数的个数为.故共有个奇数.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.15.已知椭圆的左焦点为，若存在过原点的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】根据可知为直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点满足再列式求解即可.【详解】由题, 为直角三角形,故.故原题转化为椭圆上存在一点满足.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长,故.故.故离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.数列满足，，且为等差数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），.【解析】【分析】(Ⅰ)设公比为,公差为,再利用基本量法求解即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.因为,,所以.解得或（舍）.又因为,,成等差数列,所以.解得.所以,,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.因此数列的前项和为,所以,数列的前项和为,.【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.17.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.且因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,再证明即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）,证明与平面的法向量垂直即可.（Ⅲ）分别计算平面与平面的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.【详解】解：（Ⅰ）因为平面,所以,,且底面为正方形,所以.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则,, ,,,.,,.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,.且,所以平面.所以是平面的法向量.因为,且平面,所以∥平面.（Ⅲ）设平面的法向量为,则即令,则,.于是.平面的法向量为.设平面与平面所成二面角（锐角）为,则.所以平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行的方法,同时也考查了利用空间直角坐标系求解二面角夹角的问题,属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线分别交直线于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求线段的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于的等式再求解即可.（Ⅱ）设直线方程为,再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标,利用韦达定理可得,再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（Ⅰ）解得.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）显然直线斜率存在.设过点点的直线方程为.（,否则直线与直线无交点.）直线与椭圆的交点为.由得.恒成立.则,.所以.令.直线方程为,令,.所以.①当时,.当且仅当时,即时取“” .②当时,.当且仅当时取“”.此时.综上,线段的最小值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程求点的坐标,并表示所求量的参数关系,再利用基本不等式求最值的问题.属于难题.20.定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.（Ⅰ）已知等比数列（）满足：，，判断数列是否为“数列”；（Ⅱ）设为正整数，若存在“数列”（），对任意不大于的正整数，都有成立，求的最大值.【答案】（Ⅰ）数列是“数列”（Ⅱ）5【解析】【分析】（Ⅰ）利用基本量法, 设等比数列的公比为再根据“数列”的定义辨析即可.（Ⅱ）先证明对于时,不存在对应的,再分布求解当时均存在“数列”满足条件即可.【详解】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为.因为等比数列满足,所以.解得.又因为,所以.得或.满足首项为,公比为正数,所以数列是“数列”（Ⅱ）对于时,因为对任意不大于的正整数,都,即.取,有,且,即且.所以且即,无解.所以不存在满足题意的.因此所求的最大值小于.对于时,找到满足,,解不等式组解得所以,存在满足题意.即存在“数列”（）,满足题意,综上的最大值等于.【点睛】本题主要考查了数列新定义的应用,需要根据所给的定义判断数列是否满足.同时也考了数列中不等式成立的问题,属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试教学统一检测试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设z=i(2+i)，则=A. 1+2iB. –1+2iC. 1–2iD. –1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【详解】，所以，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．2.设抛物线上一点P到y轴距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】抛物线准线方程为．因为到轴的距离为2，所以到准线的距离为3.由抛物线的几何性质可知，到抛物线焦点的距离为3，故选C3.设等差数列的前项和是，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由题, ,故,故.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,包括等和性与“当为奇数时,”等.属于基础题.4.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可.【详解】椭圆中.故双曲线中有,因为,解得.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.5.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A. 条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.6.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.8.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若构成公比为的等比数列，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据构成公比为的等比数列可知,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.【详解】由题, .故离心率.故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.9.设等比数列的的前项和是，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化解，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的的公比为，则，所以，即“”是“”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题. 10.在棱长为的正方体中，点在底面内运动，使得△的面积为，则动点的轨迹为（）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】A【解析】【分析】分析可知动点到弦的距离为定值,再分析所有动点的轨迹与面的交线形状即可.【详解】易得,又的面积为,设到弦的距离为,则为定值.故点在以为中轴线,底面半径为的圆柱的侧面上.故动点的轨迹是平面截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面与该圆柱的截痕为椭圆,又点在底面内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知复数是纯虚数，则实数为__________．【答案】2【解析】解：因为复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，所以实部为零，即m2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.12.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为_____【答案】【解析】【分析】代入可求得双曲线的方程,继而求得渐近线方程.【详解】因为双曲线经过点,故.故该双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与渐近线方程,属于基础题.13.在等比数列中，，，则公比________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题. 14.用组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________.【答案】【解析】【分析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为其中一个时,奇数的个数为个.当百位为其中一个时, 奇数的个数为.故共有个奇数.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.15.已知椭圆的左焦点为，若存在过原点的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】根据可知为直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点满足再列式求解即可.【详解】由题, 为直角三角形,故.故原题转化为椭圆上存在一点满足.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长,故.故.故离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.数列满足，，且为等差数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），.【解析】【分析】(Ⅰ)设公比为,公差为,再利用基本量法求解即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.因为,,所以.解得或（舍）.又因为,,成等差数列,所以.解得.所以,,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.因此数列的前项和为,所以,数列的前项和为,.【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.17.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.且因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,再证明即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）,证明与平面的法向量垂直即可.（Ⅲ）分别计算平面与平面的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.【详解】解：（Ⅰ）因为平面,所以,,且底面为正方形,所以.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则,,,,,.,,.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,.且,所以平面.所以是平面的法向量.因为,且平面,所以∥平面.（Ⅲ）设平面的法向量为,则即令,则,.于是.平面的法向量为.设平面与平面所成二面角（锐角）为,则.所以平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行的方法,同时也考查了利用空间直角坐标系求解二面角夹角的问题,属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线分别交直线于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求线段的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于的等式再求解即可.（Ⅱ）设直线方程为,再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标,利用韦达定理可得,再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（Ⅰ）解得.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）显然直线斜率存在.设过点点的直线方程为.（,否则直线与直线无交点.）直线与椭圆的交点为.由得.恒成立.则,.所以.令.直线方程为,令,.所以.①当时,.当且仅当时,即时取“” .②当时,.当且仅当时取“”.此时.综上,线段的最小值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程求点的坐标,并表示所求量的参数关系,再利用基本不等式求最值的问题.属于难题.20.定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.（Ⅰ）已知等比数列（）满足：，，判断数列是否为“数列”；（Ⅱ）设为正整数，若存在“数列”（），对任意不大于的正整数，都有成立，求的最大值.【答案】（Ⅰ）数列是“数列”（Ⅱ）5【解析】【分析】（Ⅰ）利用基本量法, 设等比数列的公比为再根据“数列”的定义辨析即可.（Ⅱ）先证明对于时,不存在对应的,再分布求解当时均存在“数列”满足条件即可.【详解】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为.因为等比数列满足,所以.解得.又因为,所以.得或.满足首项为,公比为正数,所以数列是“数列”（Ⅱ）对于时,因为对任意不大于的正整数,都,即.取,有,且,即且.所以且即,无解.所以不存在满足题意的.因此所求的最大值小于.对于时,找到满足,,解不等式组解得所以,存在满足题意.即存在“数列”（）,满足题意,综上的最大值等于.【点睛】本题主要考查了数列新定义的应用,需要根据所给的定义判断数列是否满足.同时也考了数列中不等式成立的问题,属于难题.。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_36

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：1.已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 一条线段D. 两条射线【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义进行判断可得答案.【详解】解：由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质，属于基础题型.2.在空间直角坐标系中，与点A（1，2，3）关于平面对称的点的坐标是（）A. （1，2，-3）B. （-1，-2，-3）C. （-1，-2，3）D. （1，-2，3）【答案】A【解析】【分析】根据空间中对称的点的坐标的求法,代入点坐标可得答案.【详解】解：由空间中任意一点关于平面对称的点为,可得点关于平面对称的点的坐标是，故选：.【点睛】本题主要考查空间中点坐标的计算，空间中对称点的坐标的求法，属于基础题型.3.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式求得弦长.【详解】解：由圆，可得圆心，半径为，可得圆心到直线的距离，故弦长为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.4.某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何体三视图，得出该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥，求出它的体积即可.【详解】解：由题意可得: 该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥,其体积为：，故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体体积的计算问题，属于基础题目.5.已知直线和平面内的两条直线，则“”是“且”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由直线和平面内的两条直线，可得：充分性：因为“”，所以必垂直于平面内的所以直线，所以“且”；必要性：由“且”，若，则不一定垂直与平面，综上可得, “”是“且”的充分不必要条件，故选:C.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型.6.已知分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【解析】【分析】易得直线与平行，当的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】解：由直线与，可得直线与平行，当长度为两平行线间的距离时，线段的长度的最小值，可得与的距离为：，即线段的长度的最小值为1，故选：B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角,设,则,,,故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.8.棱长都相等的正三棱柱中，是侧棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为，直线与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念以及各种角的计算，利用三角函数知识求解，进而比较大小即可.【详解】解：如图：由题意得：由为正三棱柱，可得,可得，，可得即为二面角，可得；在平面中作,交与D点，连接,在中，,由为正三角形，由大边对大角得原理可得,即与直线所成的角大于，；易得,即为直线与底面所成的角，其中,故，即，故可得：，故选：C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等相关知识，综合性大，属于难题.9.在平面直角坐标系中，是圆上的动点，满足条件的动点构成集合，则集合中任意两点间的距离的最大值为（）A. 4B.C. 6D.【答案】D【解析】【分析】设,由求出M得轨迹方程，结合圆得对称性可得集合中任意两点间的距离的最大值.【详解】解：设，可得，设，由，，可得，，化简可得，可得是以为圆心，半径为的圆，由在圆上，由圆的对称性可得，集合中任意两点间的距离最大时，此两点关于原点对称，此时，故选：D.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法及圆的性质，属于中档题型.10.已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为（）A. B. 4 C. D.【答案】C【解析】【分析】设,设,O为坐标原点，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，为等边三角形，且,可得根据点到直线的距离公式可得的最大值，可得答案.【详解】解：已知是椭圆上两个不同点,可得，设，设,O为坐标原点，可得，,可得，且，可得两点均在圆的圆上，且，可得为等边三角形，且,根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，设中点为,到直线的距离，则,可得的最大值为；可得，可得的最大值为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.二、填空题11.双曲线的离心率为_________，渐近线方程为___.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得的值，可得离心率和渐近线方程.【详解】解：由双曲线的方程为：，可得，可得：离心率为，渐近线方程为，故答案为：；.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，离心率及渐近线的求法，相对简单.12.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的标准方程为_____，其半径为_____【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设圆的标准方程为:,代入各点坐标求出的值,可得答案.【详解】解:设圆的标准方程为:,代入各点坐标可得:,解之可得:,故圆的标准方程为,半径为,故答案为: ;.【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，需注意运算的准确性.13.已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为，首先截去三棱锥，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为___.【答案】【解析】【分析】用正方体的表面积减去所有三棱锥的三个侧面积的表面积再加上三棱锥下底面的面积可得答案.【详解】解：易得：，所有三棱锥的三个侧面积的表面积，所有三棱锥的底面积，可得余下的几何体的表面积,故答案为：.【点睛】本题主要考查空间几何题的表面积计算，相对简单，属于基础题型.14.椭圆的长轴右顶点、短轴上顶点分别为，点M 是椭圆上第一象限内的点，O为坐标原点，当四边形AOBM面积最大时，点的坐标是___.【答案】【解析】分析】设,可得,代入M点坐标可得答案.【详解】解: 由题意,点M是椭圆上第一象限内的点,设,即:,,,可得四边形AOBM面积可表示为三角形与三角形之和,即,可得当时, 四边形AOBM面积最大,此时的坐标是,故答案为: .【点睛】本题考查的是椭圆的方程与性质及椭圆参数方程与应用,综合性大,属于中档题.15.过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，若，为坐标原点，则=___ .【答案】【解析】【分析】由抛物线的性质可得，可得的值，代入可得的值.【详解】解：由题意过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，可得，,，其中，可得，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，由已知得出是解题的关键.16.在矩形中，，点为线段中点，如图3所示，将沿着翻折至（点不在平面内），记线段中点为，若三棱锥体积的最大值为，则线段长度的最大值为___.【答案】4【解析】【分析】取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,可求出直线到面的最大值, ,设,可得F点到平面的距离为,代入三棱锥体积的计算公式可得答案.【详解】解:由题意得:设F点到平面距离为d,由线段中点为,可得点到平面的距离为2d,如图取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,易得直线到平面的距离小于等于直线到直线的距离,再中,设,直线到直线的距离为,可得,可得,,由三棱锥体积的最大值为,可得,,可得,可得,故答案为:4.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的求法,综合性大,属于难题.三、解答题：17.已知点及圆：.（Ⅰ）若点在圆内部，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求线段的中垂线所在直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将代入方程,得到关于a的不等式,解之可得答案;（Ⅱ）求出线段的中点的坐标及,可得线段为的中垂线所在直线的斜率,可得答案.【详解】解:（Ⅰ）圆可以化为，若点P在圆内部，则，解得：，（Ⅱ）当时，线段的中点的坐标为（），，故线段为的中垂线所在直线的斜率为-2，所求直线方程为【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系,及直线的点斜式方程,属于基础题型.18.已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P的坐标为,由,可得的值,代入抛物线的方程,可得点的坐标;（Ⅱ）利用相关点法,设设，，，可得,由点是抛物线上,代入可得点的轨迹方程.【详解】解:（Ⅰ）设点P的坐标为由已知可得，，代入抛物线方程得，所以点的坐标为或（Ⅱ）设，，，由已知，得：，又因为点是FA的中点得，，，点在抛物线上，即，所以点C轨迹方程为：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】【分析】连接，由已知得，，又是的中点，所以,计算可得,由，可得,可得平面;（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，可得OD∥BN, 由CD⊥OD，CD⊥SD，,可得,, OP⊥面SCD, 计算可得OP的值,由可得AB//面SCD, 可得直线所成角的正弦值.【详解】解:（Ⅰ）连接，由已知得，，又是的中点，所以.再由，所以，由，∴，，故. （Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，由已知OD= OS=，OD∥BN根据（1）有CD⊥OD，CD⊥SD，所以.又作OP⊥SD，则OP⊥面SCD△SOD中，OD=OS=，SD=3，∵，∴AB//面SCD，点A到平面SCD的距离等于点O到平面SCD的距离设直线所成角为，.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定及线面角的求法,属于中档题.20.如图，椭圆的长轴长为4，离心率，右焦点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，点关于原点的对称点为，的重心为点，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求出的值,可得椭圆的标准方程;（Ⅱ）求出焦点，设，，，可得,联立直线与椭圆方程可得关于m得表达式, 可得面积的取值范围.【详解】解:（Ⅰ）由题意得:,,故椭圆的标准方程:（Ⅱ）由已知，，设，，，由题意可知，，由，得到，所以，，令，则，因为，是增函数，所以【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合问题,综合性大,属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：1.已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 一条线段D. 两条射线【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义进行判断可得答案.【详解】解：由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质，属于基础题型.2.在空间直角坐标系中，与点A（1，2，3）关于平面对称的点的坐标是（）A. （1，2，-3）B. （-1，-2，-3）C. （-1，-2，3）D. （1，-2，3）【答案】A【解析】【分析】根据空间中对称的点的坐标的求法,代入点坐标可得答案.【详解】解：由空间中任意一点关于平面对称的点为,可得点关于平面对称的点的坐标是，故选：.【点睛】本题主要考查空间中点坐标的计算，空间中对称点的坐标的求法，属于基础题型.3.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式求得弦长.【详解】解：由圆，可得圆心，半径为，可得圆心到直线的距离，故弦长为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.4.某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何体三视图，得出该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥，求出它的体积即可.【详解】解：由题意可得: 该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥,其体积为：，故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体体积的计算问题，属于基础题目.5.已知直线和平面内的两条直线，则“”是“且”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由直线和平面内的两条直线，可得：充分性：因为“”，所以必垂直于平面内的所以直线，所以“且”；必要性：由“且”，若，则不一定垂直与平面，综上可得, “”是“且”的充分不必要条件，故选:C.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型.6.已知分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】易得直线与平行，当的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】解：由直线与，可得直线与平行，当长度为两平行线间的距离时，线段的长度的最小值，可得与的距离为：，即线段的长度的最小值为1，故选：B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角,设,则,,,故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.8.棱长都相等的正三棱柱中，是侧棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为，直线与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. B. C. D.【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念以及各种角的计算，利用三角函数知识求解，进而比较大小即可.【详解】解：如图：由题意得：由为正三棱柱，可得,可得，，可得即为二面角，可得；在平面中作,交与D点，连接,在中，,由为正三角形，由大边对大角得原理可得,即与直线所成的角大于，；易得,即为直线与底面所成的角，其中,故，即，故可得：，故选：C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等相关知识，综合性大，属于难题.9.在平面直角坐标系中，是圆上的动点，满足条件的动点构成集合，则集合中任意两点间的距离的最大值为（）A. 4B.C. 6D.【分析】设,由求出M得轨迹方程，结合圆得对称性可得集合中任意两点间的距离的最大值.【详解】解：设，可得，设，由，，可得，，化简可得，可得是以为圆心，半径为的圆，由在圆上，由圆的对称性可得，集合中任意两点间的距离最大时，此两点关于原点对称，此时，故选：D.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法及圆的性质，属于中档题型.10.已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为（）A. B. 4 C. D.【答案】C【解析】【分析】设,设,O为坐标原点，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，为等边三角形，且,可得根据点到直线的距离公式可得的最大值，可得答案.【详解】解：已知是椭圆上两个不同点,可得，设，设,O为坐标原点，可得，,可得，且，可得两点均在圆的圆上，且，可得为等边三角形，且,根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，设中点为,到直线的距离，则,可得的最大值为；可得，可得的最大值为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.二、填空题11.双曲线的离心率为_________，渐近线方程为___.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得的值，可得离心率和渐近线方程.【详解】解：由双曲线的方程为：，可得，可得：离心率为，渐近线方程为，故答案为：；.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，离心率及渐近线的求法，相对简单.12.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的标准方程为_____，其半径为_____【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设圆的标准方程为:,代入各点坐标求出的值,可得答案.【详解】解:设圆的标准方程为:,代入各点坐标可得:,解之可得:,故圆的标准方程为,半径为,故答案为: ;.【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，需注意运算的准确性.13.已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为，首先截去三棱锥，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为___.【答案】【解析】【分析】用正方体的表面积减去所有三棱锥的三个侧面积的表面积再加上三棱锥下底面的面积可得答案.【详解】解：易得：，所有三棱锥的三个侧面积的表面积，所有三棱锥的底面积，可得余下的几何体的表面积,故答案为：.【点睛】本题主要考查空间几何题的表面积计算，相对简单，属于基础题型.14.椭圆的长轴右顶点、短轴上顶点分别为，点M是椭圆上第一象限内的点，O为坐标原点，当四边形AOBM面积最大时，点的坐标是___.【答案】【解析】分析】设,可得,代入M点坐标可得答案.【详解】解: 由题意,点M是椭圆上第一象限内的点,设,即:,,,可得四边形AOBM面积可表示为三角形与三角形之和,即,可得当时, 四边形AOBM面积最大,此时的坐标是,故答案为: .【点睛】本题考查的是椭圆的方程与性质及椭圆参数方程与应用,综合性大,属于中档题.15.过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，若，为坐标原点，则=___ .【答案】【解析】【分析】由抛物线的性质可得，可得的值，代入可得的值.【详解】解：由题意过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，可得，,，其中，可得，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，由已知得出是解题的关键.16.在矩形中，，点为线段中点，如图3所示，将沿着翻折至（点不在平面内），记线段中点为，若三棱锥体积的最大值为，则线段长度的最大值为___.【答案】4【解析】【分析】取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,可求出直线到面的最大值, ,设,可得F点到平面的距离为,代入三棱锥体积的计算公式可得答案.【详解】解:由题意得:设F点到平面距离为d,由线段中点为,可得点到平面的距离为2d,如图取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,易得直线到平面的距离小于等于直线到直线的距离,再中,设,直线到直线的距离为,可得,可得,,由三棱锥体积的最大值为,可得,,可得,可得,故答案为:4.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的求法,综合性大,属于难题.三、解答题：17.已知点及圆：.（Ⅰ）若点在圆内部，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求线段的中垂线所在直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将代入方程,得到关于a的不等式,解之可得答案;（Ⅱ）求出线段的中点的坐标及,可得线段为的中垂线所在直线的斜率,可得答案.【详解】解:（Ⅰ）圆可以化为，若点P在圆内部，则，解得：，（Ⅱ）当时，线段的中点的坐标为（），，故线段为的中垂线所在直线的斜率为-2，所求直线方程为【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系,及直线的点斜式方程,属于基础题型.18.已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P的坐标为,由,可得的值,代入抛物线的方程,可得点的坐标;（Ⅱ）利用相关点法,设设，，，可得,由点是抛物线上,代入可得点的轨迹方程.【详解】解:（Ⅰ）设点P的坐标为由已知可得，，代入抛物线方程得，所以点的坐标为或（Ⅱ）设，，，由已知，得：，又因为点是FA的中点得，，，点在抛物线上，即，所以点C轨迹方程为：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】【分析】连接，由已知得，，又是的中点，所以,计算可得,由，可得,可得平面;（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，可得OD∥BN,由CD⊥OD，CD⊥SD，,可得,, OP⊥面SCD, 计算可得OP的值,由可得AB//面SCD, 可得直线所成角的正弦值.【详解】解:（Ⅰ）连接，由已知得，，又是的中点，所以.再由，所以，由，∴，，故.（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，由已知OD= OS=，OD∥BN根据（1）有CD⊥OD，CD⊥SD，所以.又作OP⊥SD，则OP⊥面SCD△SOD中，OD=OS=，SD=3，∵，∴AB//面SCD，点A到平面SCD的距离等于点O到平面SCD的距离设直线所成角为，.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定及线面角的求法,属于中档题.20.如图，椭圆的长轴长为4，离心率，右焦点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，点关于原点的对称点为，的重心为点，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求出的值,可得椭圆的标准方程;（Ⅱ）求出焦点，设，，，可得,联立直线与椭圆方程可得关于m得表达式, 可得面积的取值范围.【详解】解:（Ⅰ）由题意得:,,故椭圆的标准方程:（Ⅱ）由已知，，设，，，由题意可知，，由，得到，所以，，令，则，因为，是增函数，所以【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合问题,综合性大,属于难题.。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_30

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】是焦点位于轴上的抛物线所以即焦点坐标为故选:B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2.直线:在轴上的截距为( )A. B. C. 2 D. -2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义,令即可求得直线在轴上的截距.详解】直线:由直线方程截距的定义可知,令,解得即直线与轴的交点坐标为,所以直线:在轴上的截距为2故选:C.【点睛】本题考查了截距的定义,直线在坐标轴上截距的求法,属于基础题.3.已知点､与圆:,则( )A. 点与点都圆外B. 点在圆外,点在圆内C. 点在圆内,点在圆外D. 点与点都在圆内【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.【详解】因为点､将的坐标代入圆的方程,可得,所以点A在圆内将的坐标代入圆的方程,可得,所以点在圆外故选:C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.4.空间中，是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；若，，则l∥α或l⊂α，故B错误；若，，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；本题选择C选项.5.已知直线:和:互相平行,则( )A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得的值.【详解】因为直线:和:互相平行当时两条直线不平行,即则,且化简可得解方程可得或经检验或都满足题意故选:D【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.6.已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出长方体,由长方体性质可知与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得.【详解】画出长方体如下图所示:在长方体中，，则与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角，因为平面，平面，所以，即，因为,，所以，故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A. (4,6)B. [4,6]C. (4,5)D. (4,5]【答案】A【解析】由圆，可得圆心的坐标为圆心到直线的距离为：由得所以的取值范围是故答案选点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果8.已知不等式的解集是,,则不等式的解集是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集,判断出的符号,利用韦达定理表示出和与的关系. 设不等式的解集为,利用韦达定理建立与的关系,进而用表示出,即可得不等式的解集.【详解】不等式的解集是所以的两个根分别为因为,所以,所以由韦达定理可知,由,可知因为,所以可设的解集为.由于,所以则因为,所以解方程组可得所以不等式的解集为故选:A【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.设，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把转为展开后利用基本不等式求得最小值24，然后由24得m的范围．【详解】解：∵∴．当且仅当时取等号，∴，故选C．【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．10.正方体中,过作直线,若直线与平面中的直线所成角的最小值为,且直线与直线所成角为,则满足条件的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意,由与平面中的直线所成角的最小值可得直线的运动轨迹为以为轴的圆锥母线(母线与成).由直线与直线所成角,可得此时直线的运动轨迹为以为轴的圆锥母线(母线与成).两个圆锥的交线,即为满足条件的直线的条数.【详解】设立方体的棱长为1,过作直线,若直线与平面中的直线所成角的最小值为即与平面所成角为,为轴的圆锥母线(母线与成)是直线的运动轨迹,连接易证;直线与直线所成角为;直线与直线所成角为.此时为轴的圆锥母线(母线与成)是直线的运动轨迹两个圆锥相交得到两条交线,故选:B.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的夹角,根据空间位置关系判断直线的数量,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于难题.二､填空题11.双曲线的焦距为______,渐近线为______.【答案】 (1). 6 (2).【解析】【分析】根据双曲的定义及关系即可求得焦距和渐近线方程.【详解】双曲线所以即所以焦距为渐近线方程为故答案为:;【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,双曲渐近线方程的求法,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示(单位:),该几何体的表面积为______,体积为______.【答案】 (1). 76 (2). 40【解析】【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:所以原几何体为直四棱柱,底面是正视图所示的直角梯形,高为4所以表面积故答案为:;【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱柱的结构特征及表面积和体积求法,属于基础题.13.已知圆:,圆:,则两圆位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______.【答案】 (1). 相交 (2). 2【解析】【分析】将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量.【详解】圆:,圆:化为标准方程为圆:,圆:所以两个圆的半径由两点间距离公式可得因为圆心距满足所以两圆的位置关系为相交根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条故答案为:相交;2【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题.14.设为抛物线的焦点(为坐标原点),为抛物线上一点,若,则点的横坐标的值是______,三角形的面积是______.【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,求得的值.由抛物线定义即可求得点的横坐标.将点的横坐标代入抛物线,求得点的纵坐标,即可求得三角形的面积.【详解】因为抛物线则所以抛物线的准线方程因为,由抛物线的定义知到准线的距离等于所以,即的横坐标为代入抛物线方程可得的纵坐标为所以故答案为: 2;【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质的简单应用,抛物线中三角形面积问题的解法,属于基础题.15.已知向量,,并且､共线且方向相同,则______.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量共线基本定理,可设.由坐标运算求得的值,进而求得.即可求得的值.【详解】根据空间向量共线基本定理,可设由向量的坐标运算可得解方程可得所以.故答案为:【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.16.已知椭圆:与直线:,:,过椭圆上的一点作,的平行线,分别交,于,两点,若为定值,则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】方法一:由题意可知, 点的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设和,即可表示出交点的坐标.求得的长,令两种情况下的相等,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.方法二:根据椭圆的参数方程,可设,进而表示出直线与,由直线交点的求法求得交点的坐标.即可根据两点间距离公式表示出.根据同角三角函数关系式的性质,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.【详解】方法一:特殊位置分析法当时,:,:由解得,同理.所以当时,:,:由解得,同理,所以;因为定值,所以,此时故答案为:方法二:设,则::,由所以同理所以若定值,则所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及综合应用,直线交点坐标的求法,两点间距离公式及椭圆的参数方程应用,综合性强,属于难题.17.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：设，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三､解答题18.过定点的直线和圆:相交于,两点.(1)当直线的斜率为1时,求线段的长;(2)当线段最短时,求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线的斜率与点可得直线方程.由圆的一般方程化为标准方程,可得圆心坐标和半径.结合点到直线距离公式及垂径定理,即可求得弦长.（2）当最短时,可知.由定点即可求得直线的方程.【详解】（1）因为,直线的斜率为1，所以直线的方程为:，即，由圆的方程化为标准方程为,可得圆心，半径所以由点到直线距离公式可得圆心到的距离，所以由垂径定理得；（2）当最短时，可知，因为，所以此时直线的方程为.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及弦长求法，直线方程点斜式的写法，属于基础题.19.如图所示,平面,为正方形,,､､分别为､､的中点.(1)求证:直线平面;(2)求直线与直线所成角余弦值的大小.【答案】（1）见证明（2）【解析】【分析】（1）取中点,连接､.可证明,即､､､四点共面.再由中位线定理可证明,即可证明直线平面.（2）易知即为与所成角的大小. 可证明平面,从而,求得的长,即可求得,即直线与直线所成角的余弦值.【详解】（1）证明:取中点,连接､.如下图所示:∵､为､中点，∴，四边形为正方形，且，又∵､为､中点，则且，四边形为平行四边形，∴,所以､､､四点共面，又∵在中,,平面,平面，∴平面；（2）∵，∴与所成角的大小等于与所成角的大小,即为或其补角，因为平面,所以，又∵,，所以平面，平面，∴，在中,,，∴，所以由锐角三角函数定义可知，故直线与直线所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，异面直线夹角的求法，核心在于辅助线作法，找到线线平行或异面直线的夹角，属于中等题.20.已知椭圆:的左､右顶点分别为,,为坐标原点,且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点为直线在第一象限内的一点,连接交椭圆于点,连接并延长交椭圆于点.若直线的斜率为1,求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何意义,求得进而求得,即可得椭圆的标准方程.（2）根据直线的斜率为1,可设直线的方程,联立椭圆方程,利用直线与椭圆有两个交点可知得的范围.由两点求得斜率并表示出直线与直线,结合韦达定理即可求得的值.即可得点的坐标.【详解】（1）根据椭圆的几何意义,可知，所以，故椭圆:；（2）因为直线的斜率为1，所以设:,,，与椭圆联立，整理得，，则,，直线:与直线:交于点，则，故，点在第一象限则，由于点，直线的方程为，联立，解得，故.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,韦达定理研究圆锥曲线问题的综合方法,计算量较为复杂,属于难题.21.多面体,,,,,,,在平面上的射影是线段的中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过作交于,连接.根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明,进而证明平面.（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面和平面的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角的余弦值.【详解】（1）过作交于,连接,如下图所示:由梯形中位线知,所以，又，故四边形是平行四边形，所以，又平面,平面，所以平面；（2）由平面,则平面，又平面，所以平面平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：则，,,,，,,，设平面的法向量为，则，即，取,得设平面的法向量为，则，即，取,得，所以，因为所求二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定, 平面法向量的求法,利用空间向量求二面角的大小,属于基础题.22.已知抛物线:上的点到焦点的距离最小值为1.(1)求的值;(2)若点在曲线:上,且在曲线上存在三点,,,使得四边形为平行四边形.求平行四边形的面积的最小值.【答案】（1）（2）最小值为.【解析】【分析】（1）由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知到准线的距离为最小值,即可求得的值;（2）方法一:设出直线的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出中点的坐标.将点代入曲线可得.根据平行四边形性质可知,关于点对称,即可表示出B点坐标,可得方程.利用三角形面积公式表示出平行四边形的面积,根据等量关系即可求得面积的最小值.方法二: 设,,表示出直线的方程,由点在曲线上,可得.由,关于点对称,可得B点坐标,将B 的坐标代入抛物线方程,可得的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形的面积,进而由不等式关系即可求得最小值.【详解】（1）根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离抛物线上的点到焦点的距离最小值为1即到准线的距离为1即,所以（2）方法一:设直线:,当不存在时,此时直线为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去.设,联立方程,得,.故线段中点而点在曲线:上故若要满足四边形为平行四边形,则,关于点对称.则.又点在抛物线上,故满足方程,即①,代入①得:,所以所以平行四边形的面积的最小值为.方法二:设,,直线:,点在曲线:上,故.线段中点,若要满足四边形为平行四边形,则,关于点对称,则.又点在抛物线上故满足方程,即①.所以平行四边形的面积的最小值为.【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程,过定点的直线与抛物线的位置关系,抛物线中四边形面积问题的综合应用,计算量大,综合性强,属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】是焦点位于轴上的抛物线所以即焦点坐标为故选:B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2.直线:在轴上的截距为( )A. B. C. 2 D. -2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义,令即可求得直线在轴上的截距.详解】直线:由直线方程截距的定义可知,令,解得即直线与轴的交点坐标为,所以直线:在轴上的截距为2故选:C.【点睛】本题考查了截距的定义,直线在坐标轴上截距的求法,属于基础题.3.已知点､与圆:,则( )A. 点与点都圆外B. 点在圆外,点在圆内C. 点在圆内,点在圆外D. 点与点都在圆内【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.【详解】因为点､将的坐标代入圆的方程,可得,所以点A在圆内将的坐标代入圆的方程,可得,所以点在圆外故选:C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.4.空间中，是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；若，，则l∥α或l⊂α，故B错误；若，，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；本题选择C选项.5.已知直线:和:互相平行,则( )A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得的值.【详解】因为直线:和:互相平行当时两条直线不平行,即则,且化简可得解方程可得或经检验或都满足题意故选:D【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.6.已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出长方体,由长方体性质可知与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得.【详解】画出长方体如下图所示:在长方体中，，则与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角，因为平面，平面，所以，即，因为,，所以，故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A. (4,6)B. [4,6]C. (4,5)D. (4,5]【答案】A【解析】由圆，可得圆心的坐标为圆心到直线的距离为：由得所以的取值范围是故答案选点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果8.已知不等式的解集是,,则不等式的解集是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集,判断出的符号,利用韦达定理表示出和与的关系. 设不等式的解集为,利用韦达定理建立与的关系,进而用表示出,即可得不等式的解集.【详解】不等式的解集是所以的两个根分别为因为,所以,所以由韦达定理可知,由,可知因为,所以可设的解集为.由于,所以则因为,所以解方程组可得所以不等式的解集为故选:A【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.设，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把转为展开后利用基本不等式求得最小值24，然后由24得m的范围．【详解】解：∵∴．当且仅当时取等号，∴，故选C．【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．10.正方体中,过作直线,若直线与平面中的直线所成角的最小值为,且直线与直线所成角为,则满足条件的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意,由与平面中的直线所成角的最小值可得直线的运动轨迹为以为轴的圆锥母线(母线与成).由直线与直线所成角,可得此时直线的运动轨迹为以为轴的圆锥母线(母线与成).两个圆锥的交线,即为满足条件的直线的条数.【详解】设立方体的棱长为1,过作直线,若直线与平面中的直线所成角的最小值为即与平面所成角为,为轴的圆锥母线(母线与成)是直线的运动轨迹,连接易证;直线与直线所成角为;直线与直线所成角为.此时为轴的圆锥母线(母线与成)是直线的运动轨迹两个圆锥相交得到两条交线,故选:B.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的夹角,根据空间位置关系判断直线的数量,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于难题.二､填空题11.双曲线的焦距为______,渐近线为______.【答案】 (1). 6 (2).【解析】【分析】根据双曲的定义及关系即可求得焦距和渐近线方程.【详解】双曲线所以即所以焦距为渐近线方程为故答案为:;【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,双曲渐近线方程的求法,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示(单位:),该几何体的表面积为______,体积为______.【答案】 (1). 76 (2). 40【解析】【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:所以原几何体为直四棱柱,底面是正视图所示的直角梯形,高为4所以表面积故答案为:;【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱柱的结构特征及表面积和体积求法,属于基础题.13.已知圆:,圆:,则两圆位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______.【答案】 (1). 相交 (2). 2【解析】【分析】将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量.【详解】圆:,圆:化为标准方程为圆:,圆:所以两个圆的半径由两点间距离公式可得因为圆心距满足所以两圆的位置关系为相交根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条故答案为:相交;2【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题.14.设为抛物线的焦点(为坐标原点),为抛物线上一点,若,则点的横坐标的值是______,三角形的面积是______.【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,求得的值.由抛物线定义即可求得点的横坐标.将点的横坐标代入抛物线,求得点的纵坐标,即可求得三角形的面积.【详解】因为抛物线则所以抛物线的准线方程因为,由抛物线的定义知到准线的距离等于所以,即的横坐标为代入抛物线方程可得的纵坐标为所以故答案为: 2;【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质的简单应用,抛物线中三角形面积问题的解法,属于基础题.15.已知向量,,并且､共线且方向相同,则______.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量共线基本定理,可设.由坐标运算求得的值,进而求得.即可求得的值.【详解】根据空间向量共线基本定理,可设由向量的坐标运算可得解方程可得所以.故答案为:【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.16.已知椭圆:与直线:,:,过椭圆上的一点作,的平行线,分别交,于,两点,若为定值,则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】方法一:由题意可知, 点的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设和,即可表示出交点的坐标.求得的长,令两种情况下的相等,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.方法二:根据椭圆的参数方程,可设,进而表示出直线与,由直线交点的求法求得交点的坐标.即可根据两点间距离公式表示出.根据同角三角函数关系式的性质,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.【详解】方法一:特殊位置分析法当时,:,:由解得,同理.所以当时,:,:由解得,同理,所以;因为定值,所以,此时故答案为:方法二:设,则::,由所以同理所以若定值,则所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及综合应用,直线交点坐标的求法,两点间距离公式及椭圆的参数方程应用,综合性强,属于难题.17.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：设，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三､解答题18.过定点的直线和圆:相交于,两点.(1)当直线的斜率为1时,求线段的长;。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_34

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆左焦点的坐标为________.【答案】【解析】【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆的标准方程得，所以左焦点的坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题.2.若，则________.【答案】【解析】【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵，∴，故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由是直线的一个法向量，所以可知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为，可得，所以直线的倾斜角为。

故答案为：。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。

4.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________.【答案】【解析】【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。

【详解】双曲线的标准方程为，虚轴的长是 2，实轴长 2，由题意知 2=4，∴，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的，属于基础题.5.圆心为且经过点的圆的方程为________.【答案】【解析】【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为,则圆的半径为:，所以所求的圆的方程为: ，故答案为: .【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题.6.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点，则______.【答案】4【解析】【分析】由抛物线得焦点，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线得焦点，∴倾斜角为的直线过焦点的方程为：，与抛物线联立得，令，，则，由抛物线的定义得，∴，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.8.在△中，，，则的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得，，可求得最值.【详解】在△中，，，由正弦定理得, ,∴,，，，，，所以最大值为，故答案为：.【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．9.已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的定义设|AF|＝x∈[1，3]，则|BF|＝4﹣x，构造函数，利用导数求其范围即可．【详解】取椭圆左焦点F′，连接AF，BF，AF′，BF′，易知四边形AFBF′为平行四边形，即有|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝2a＝4，设|AF|＝x∈[1，3]，则|BF|＝4﹣x，故，令，则，易知函数f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，∴，即的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．10.已知点在以为圆心的圆弧上运动，且，若，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】设为直角坐标系的x轴，建立平面直角坐标系.记与夹角为,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到(其中),结合三角函数的图象和性质,可得答案.【详解】设为直角坐标系的x轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记与夹角为,则，，代入,有,∴，∴，故(其中),,，而，,当时，取最大值，当,即时,取最小值2，∴的取值范围为，故答案为: .【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、选择题11.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+2i﹣2+b bi+c＝0，即∴，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．选C．14.已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系得，设，∵，∴，∴，，，∴，，，∴，解得，故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.三、解答题15.设关于的方程的两根的绝对值的和为2，求实数的值.【答案】【解析】【分析】设关于的方程的两根为，根据根与系数的关系得,同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于的方程的两根为，则,同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则,解得,此时方程为,方程无解,所以舍去;若全为负，则,解得,此时方程为方程有两个负根,且绝对值的和为2,综上所述,m的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点在双曲线上.(1)求双曲线的两条渐近线方程；(2)求点到两条渐近线距离的乘积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由双曲线得，，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点在双曲线上，求得，再根据点到直线的距离公式可求得点到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线得，，所以双曲线的渐近线的方程为：，(2)∵点在双曲线上，∴，，∴，到的距离为，到的距离为，，所以点到两条渐近线距离的乘积为.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆（）经过点，直线与椭圆交于、两点，，.(1)求椭圆的方程；(2)若，直线经过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1) 根据椭圆（）经过点，代入可求得得椭圆的方程；(2)显然直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于的方程，可求得，从而得到直线的方程.【详解】(1) ∵椭圆（）经过点，，，，∴椭圆的方程为：；(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，，显然不满足，∴直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，∵、，则，又，，即，，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线（）经过点，直线与抛物线有两个不同的交点、，直线交轴于，直线交轴于.(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过点，设，，，求的值；(3)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，，，求的值.【答案】(1)且且；(2)；(3).【解析】【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据，，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出,与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值.(3) 设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值.【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，所以，所以抛物线的解析式为。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_1

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

第I卷第1页，第II卷第2页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第I卷一、选择题：（每题3分）1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.【详解】命题“，”的否定是：，故选【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.2.复数（为虚数单位）等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，化简，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设是不为零的实数，则“且”是“抛物线的焦点在点的左侧”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】计算抛物线的焦点在点的左侧等价于且，根据范围大小得到答案.【详解】抛物线的焦点为在点的左侧，等价于且且是且的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生推断能力.4.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算得到长轴长为短轴长为，根据数量关系计算得到答案.【详解】椭圆的焦点在轴，故长轴长为短轴长为故选：【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，即，又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，因此，直线的方程为：，即.故选A【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.6.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，根据函数的最值得到答案.【详解】点和点分别为椭圆的中心和左焦点，则设则，当时，函数有最大值为故选：【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.7.双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，解得，根据计算得到答案.【详解】设，则解得：，同理，根据得到解得故选：【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.8.在平面直角坐标系中，双曲线右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】联立方程得到，计算得到，计算得到答案.【详解】联立方程，故渐近线为故选：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：（每题4分）9.已知复数（为虚数单位，为实数)为纯虚数，则_____________.【答案】.【解析】【分析】化简得到，计算，代入计算模长得到答案.【详解】为纯虚数，故故答案为：【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.10.若，为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则到轴的距离为_____________．【答案】.【解析】【分析】根据余弦定理得到，计算，再利用面积公式得到，计算得到答案.【详解】根据余弦定理得到：故故答案为：【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键.11.已知直线，抛物线图像上的一动点到直线与它到抛物线准线距离之和的最小值为______________．【答案】【解析】【分析】计算焦点为，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】抛物线焦点为抛物线上动点到直线与它到抛物线准线距离之和等于点到直线和点到焦点的距离和最小值为焦点到直线的距离故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆交于点，则椭圆的方程为__________________．【答案】.【解析】【分析】根据，和得到椭圆方程.【详解】根据题意知：，故椭圆的方程为故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出的关系,再化简求得离心率即可.【详解】如图,由题可知,则,,则,又,,又作,可得.则.在中,；即,得,又.化简可得,,双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.14.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为___________________．【答案】.【解析】【分析】如图所示：过点作垂直于准线于，过点作垂直于准线于，根据相似得到，，，在利用相似得到，计算得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直于准线于，过点作垂直于准线于故，故抛物线方程为：故答案为：【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键.三、解答题：（共52分）15.已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的双曲线；命题：实数满足不等式．（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，计算得到答案.（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案.【详解】（1）方程所表示的曲线为焦点在轴上的双曲线，故，（2）命题：实数满足不等式．故命题是命题充分不必要条件，则【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.16.已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点（1）若，求的面积；（2）是否存在着直线，使得当经过椭圆左顶点且与椭圆相交于点，点与点关于轴对称，满足，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或，理由见解析.【解析】【分析】（1）联立方程解得，，，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.（2）联立方程计算，根据计算得到答案.【详解】（1），，（2）设故且，故即故或【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.17.已知曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，若过的两条直线，的斜率之积为，且，分别交曲线于，两点和，两点，（1）求曲线方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）32.【解析】【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设方程为，联立方程计算得到，，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）根据抛物线的定义知：（2）设方程为，，，，设方程为同理当时等号成立【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.18.已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于，两点，且（1）椭圆的方程；（2）求的面积的最大值.（3）若椭圆的右顶点为，上顶点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，该直线与直线交于点，且点，均在第四象限.若的面积是面积的倍，求该直线方程．【答案】（1）；（2）3；（3）.【解析】【分析】（1）直接计算得到答案.（2）联立方程利用韦达定理得到，，计算得到利用均值不等式得到答案.（3）联立方程得到，，代入计算得到答案.【详解】（1）根据题意知：，，故（2）联立方程则，，式等号成立.（3）须：只需：只需：只需：设：只需：或(舍)直线方程为：【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

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2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。

【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是。

【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。

【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是。

【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于。

【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为。

【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是。

【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是。

【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为。

【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于。

【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。

若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是。

【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ，机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。

若点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为。

【答案】8【解析】222()()()()1PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- 同理，PD PC ⋅=12-，P32=；PM 1422222-=-=-+=⋅+⋅∴82142=⎪⎭⎝-≥ 二、选择题（每小题3分，共12分）13.已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )【A 】2>m 或1-<m【B 】2->m 【C 】21<<-m【D 】2>m 或12-<<-m 【答案】D14. 若点A 的坐标为()3,2，F 是抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF MA +取得最小值的M 的坐标为（）【A 】()00，【B 】⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 【C 】()2,1 【D 】()2,2 【答案】D15.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。

若,a b 是同一正方体中两条异面的面对角线，则,a b 所成的角的所有可以取得的值构成的集合是（）【A 】{,}32ππ【B 】{}2π【C 】{}3π【D 】2{,,}323πππ【答案】A16.下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]。

【A 】4 【B 】1 【C 】2 【D 】3 【答案】B【解析】（1）复数z 对应的动点是在点）（0,1和点）（0,1-之间的线段上运动；（2）复数z 对应的动点的轨迹是双曲线的一支；（3）正确；（4）z 的取值范围是[]5,0 三、解答题（共52分）17. (8分）设,m n R ∈，关于x 的方程20x mx n ++=的两个根分别是α和β，（1）当1i α=+时，求β与,m n 的值；（2）当2,4m n ==时，求||||αβ+的值。

【答案】（1）i -1=β；2-=m ；2=n （2）4【解析】（1）当1i α=+时，1i β=-，(11)2m m i αβ+=-⇒=-++-=-，(1)(1)2n i i αβ==+-=，（2）依题意，2240x x ++=，其416120∆=-=-<得,1αβ=-，所以||||4αβ+=。

或416120∆=-=-<，由4||||2αβαααβ==⇒==，所以||||4αβ+=。

18. (8分)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B （其中点A 在第一象限），交其准线l 于点C ，同时点F 是AC 的中点。

（1）求直线AB 的倾斜角；（2）求线段AB 的长。

【答案】（1）3π （2）316【解析】（1）依题意：(1,0)F ，准线l ：1x =-，设1122(,),(,)Axy B x y ，设0(1,)C y -，由已知可得1112x -+=，故13x =，代入24y x =，得10y =>，故AB AF k k ===，直线AB 的倾斜角为3π。

（2）由24y x =与1)y x =-联立可得，1(3,,(,3A B ，故16||3AB =。

或121016||||||(1)(1)233AB AF BF x x =+=+++=+=。

19. (10分)已知M 为圆O ：221x y +=上的动点，过点M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，连接BA 延长至点P ，使得2AP BA = ，记点P 的轨迹为曲线C 。

(1)求曲线C 的方程；(2)直线1l ：y kx m =+与圆O 相切，直线2l ：y kx n =+与曲线C相切，求22m n的取值范围。

【答案】（1） 14922=+y x （2）⎥⎦⎤ ⎝⎛41,91 【解析】(1)设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)A x ，0(0,)B y ，且22001x y +=，因为2A P B A =，即000(,)2(,)x x y x y -=-，∴0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入22001x y +=，得22194x y +=，故曲线C 的方程为22194x y +=。

(2)∵1l 与圆O 相切，∴圆心O 到1l的距离11d ==，得221m k =+，① 联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(49)189360k x knx n +++-=，由0∆=，得2294n k =+，②由①②得222221151949994m k n k k +==+⋅++，22119440944k k +≥⇒<≤+，故2211(,]94m n ∈。

20. (12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若四点12(1,1),(0,1),P P3(1,),2P-4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上。

（1）指出四点1234,,,P P P P 中，可能不在椭圆C 上的点，并说明理由；同时求出椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0) 。

设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠。

【答案】（1）1222=+y x （2）见解析【解析】（1）根据椭圆图形的对称性可知，椭圆C 必过点34,P P 。

又1P与4P 点的横坐标均为1，且1P 与4P 不关于x 轴对称，故椭圆必不过1P 。

由此可知，椭圆C 必过234,,P P P 三点，将这三点的坐标代入椭圆C 的方程，得222111214b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=。

（2）分以下三种情况：（i ）当l 与x 轴垂直时，,A B 两点关于x 轴对称，显然OM A OM B ∠=∠。

（ii ）当l 与x 轴重合时，显然0OMA OMB ∠=∠=︒。

（iii ）当l 与x 轴不垂直也不重合时，过(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，且0k ≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，联系22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，故22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，则12121212(1)(1)2222MA MB y y k x k x k k x x x x --+=+=+----121212[23()4](2)(2)k x x x x x x =-++--0=，结合图形可知，直线MA 与MB 的倾斜角互补，故OM A OM B ∠=∠。

综上所述，OM A OM B ∠=∠成立。

21.(14分)双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>（1）已知双曲线Γ的实轴长为4，渐近线方程为y =．求双曲线Γ的标准方程；（2）若双曲线Γ与直线10x y +-=交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅= (O 为原点)，求证：行列式22231132b a 的值为常数；（3）可以证明：函数1y x=的图像是由双曲线222x y -=的图像逆时针旋转45︒得到的。

用类似的方法可以得出：函数23y x x =+的图像也是双曲线。

按教材对双曲线的性质的研究，请列出双曲线2y x x=+的性质（不必证明）。

【答案】（1）112222=-y x （2）（3）见解析【解析】（1）依题意，242a a =⇒=，又双曲线的渐近线方程为y =，所以bb a==，双曲线的标准方程是221412x y -=。

（2）由222211x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，得2222222()2()0b a x a x a a b -+-+=，显然220b a -≠，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2222121222222,a a a b x x x x b a b a -++==---因为121212121212(1)(1)2()10OP OQ x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=，所以2222222222210a a b a a b a b +-+=--，即22222a b b a =-，所以22231132ba =22112a b -=为常数。