非线性曲线拟合的实证分析
非线性拟合实验报告
非线性拟合实验报告——10应数 王车凤一、实验目的：1.了解最小二乘拟合的基本原理和方法；2.掌握用MATLAB 作曲线拟合的方法；3.通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。
4.了解各种参数的原理和方法。
5.通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际过程；二.实验原理:1.Isqcurvefit设已知xdata=(xdata1,xdata2, …. xdatan),ydata=( ydata1, ydata2,…ydatan),isqcurve-fit 用以求含参量x 的向量值函数F(x,xdata)=(F(x.xdata1),…,F(x,xdatan))^T中的参量x ，使得（F(x,xdatai)-ydatai ）^2最小。
2.Isqnonlin设已知xdata=(xdata1,xdata2, …. xdatan),ydata=( ydata1, ydata2,…ydatan),Isqnonlin 用以求含参量的向量值函数。
F(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))^T 中的参量x ，使得f^T(x)f(x)=f 最小三.实验内容：1.用MATLAB 中的函数作曲线拟合，做出误差图；2.用MATLAB 中的函数作四元函数的最小二乘拟合，作出误差图；3.针对预测和确定参数的实际问题，建立数学建模，并求解。
四.实验步骤：1.开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口。
2.根据各种数值解法步骤编写M 文件。
3.保存文件并运行。
4.观察运行结果（数值或图形）。
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得。
4.1问题提出在农业生产、农田水利和水土保持工程设计中,土壤水动力学参数及土壤水分常数是非常重要的,而土壤持水曲线又是获得其它土壤水动力学参数及土壤水分常数的基础, 因此对土壤持水曲线的研究一直是土壤物理学家们关注的重点问题。
用Origin软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能处理实验数据
＜
０．５，表明有９５％ 置信度认为可以拒绝零假
第６期
陈旭红：用 Ｏｒｉｇｉｎ 软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能处理实验数据
８９
设，也就是说可以接受拟合的参数的结果。 将相关的数据代入ＱＶ＝ Ｍｍ·Ｃ·ΔＴ，其中Ｃ为水当量，就可以求得ＱＶ：ＱＶ＝－ ５ ５４１．８ｋＪ·ｍｏｌ－１。 如果采用手工作图，不同的操作者处理同一组数据，得到的结果可能不同；即使由同一个操作者在不
摘 要：以物理化学实验中《 燃烧热的测定》实验为例，说明Ｏｒｉｇｉｎ软件在计算机上对实验数据进行作图、线性拟
合和非线性曲线拟合等处理而求得需要的实验参数，从而大大减少数据处理过程中产生的误差，而且方便快捷。
关键词：Ｏｒｉｇｉｎ软件；燃烧热；线性拟合；非线性曲线拟合
中图分类号：ＴＰ３１７
文献标识码：Ｂ
同时间处理同一组数据，其结果也不会完全一致。使用Ｏｒｉｇｉｎ软件可以克服上述问题，能够准确、快速、方 便地处理实验的数据。
参考文献：
［１］ 郝红伟，施光凯． Ｏｒｉｇｉｎ６．０实例教程［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２０００． ［２］ 夏春兰．Ｏｒｉｇｉｎ软件在物理化学实验数据处理中的应用［Ｊ］．大学化学，２００３，１（８ ２）：４４－ ４６． ［３］ 复旦大学，武汉大学，中国科技大学．物理化学实验［Ｍ］． ３版．北京：高等教育出版社，２００４．
０引言
提及Ｏｒｉｇｉｎ软件［１］，许多人都知道它在实验数据作图上的应用。用Ｏｒｉｇｉｎ软件线性拟合和非线性曲线拟 合功能处理数据方面却很少有报道。实际上，Ｏｒｉｇｉｎ软件在线性拟合和非线性曲线拟合时，可屏蔽某些偏 差较大的数据点，以降低曲线的偏差［２］，得到更为准确的结果，且方便快捷。
Ｏｒｉｇｉｎ软件有如下基本功能：①输入数据并作图。②将数据计算后作图。③数据排序。④选择需要的 数据范围作图。⑤数据点屏蔽。⑥Ｏｒｉｇｉｎ软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能。
非线性回归模型的拟合与评估
非线性回归模型的拟合与评估非线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
本文将介绍非线性回归模型的拟合与评估方法。
一、非线性回归模型的拟合方法1. 数据收集与准备拟合非线性回归模型首先需要收集与问题相关的数据。
数据的准备包括数据清洗、变量选择和数据变换等步骤，以确保数据的质量和适应非线性回归模型的要求。
2. 模型选择在准备好数据后，需要选择适合问题的非线性回归模型。
常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型等。
选择合适的模型需要根据问题的特点和理论的支持进行判断。
3. 模型拟合模型拟合是指通过最小化残差平方和或最大似然估计等方法，估计模型的参数。
对于非线性回归模型，常用的拟合方法有最小二乘法、非线性最小二乘法、广义最小二乘法等。
4. 拟合效果评估拟合效果评估是判断非线性回归模型拟合程度好坏的指标。
常用的评估方法有残差分析、决定系数、AIC和BIC等。
残差分析可以检验模型的拟合效果和残差的独立性、常数方差和正态性假设。
二、非线性回归模型的评估方法1. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合程度的指标，其取值范围为0到1之间。
决定系数越接近1，表示模型对观测数据的解释能力越强。
但需要注意，决定系数无法判断模型是否过拟合。
2. 调整决定系数（Adjusted R-squared）调整决定系数是对决定系数进行修正，考虑了自变量数目的影响。
调整决定系数比决定系数更能有效地评估模型的拟合效果。
3. Akaike信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）AIC和BIC是用于比较不同模型的拟合效果的统计准则。
AIC和BIC数值越小，表示模型越好。
这两个指标在非线性回归模型的选择和评估中广泛应用。
4. 拟合图形分析通过绘制拟合曲线与实际观测数据的对比图，可以直观地评估非线性回归模型的拟合效果。
拟合图形分析可以帮助发现模型的不足之处，从而进行进一步的改进。
压力传感器非线性曲线拟合方法及不确定度分析
作者简介 ：赵海鹰 （ １ ９ ７ １～） ，女 ，吉林梅 河人 ，高级 工程 师 ， 硕士 ，从 事无线 电和压力专业计量与测试工作 。
图 ２ 传感器输 出特性
计 测 技 术
误 差与 不确定 度
４：
， 己
・ ７ ５・
（ ５ ）
２ 传感 器输 出特性 的非线性拟合
最小二乘法是求解 直线拟合方程最有效 的实验数 据处理方法 ，用最小二乘法直接求解非线性拟合方程
Байду номын сангаас
０ 引言
随着压 力测 试 技 术 的发 展 ，各 种 工 程 领 域及 科 学
研究 中， 对压力传感器 的测量 准确度提 出了更高的要
求 。本 文 针对压 力 传 感 器 输 出 曲线 拟 合 问题 进 行讨 论
与分 析 。
ｌ 传感器的输 出特性与拟合 曲线
一
般来 说 ，对于两 个变 量 和 Ｙ ，如 果理 论上 存在
・
７ ４・
误差 与不确 定度
２ ０ １ ４年 第 ３ ４卷 第 ４期
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． １ １ ８ ２ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４— ５ ７ ９ ５ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ４ ． １ ９
压 力传 感 器 非 线 性 曲线 拟 合 方 法 及 不 确 定 度 分 析
图 １ 直线拟合 曲线
方程 Ｙ＝ａ＋ ，则 说 和 Ｙ成 线 性 关 系或 直 线 关 系 ，
通过实验便可 获知反映 两个变 量之 间关 系的一 系列数 据
的要求 ，理论上拟合 出输入输 出的直线关 系，这种数 据处 理方 法 必 然 会 引入 较 大 的偏 差 。 因此 ，应 对 传 感
报告中非线性数据分析和拟合的方法
报告中非线性数据分析和拟合的方法一、引言非线性数据分析和拟合是数据科学中的重要任务，它广泛应用于各个领域，包括经济学、生物学、工程学等。
在这些领域中，许多现象都不能用简单的线性模型进行描述，因此需要采用更为复杂的非线性模型进行分析和拟合。
本篇报告将着重介绍几种常用的非线性数据分析和拟合的方法。
二、多项式拟合法多项式拟合是一种简单但有效的非线性数据拟合方法。
该方法通过采用多项式函数来对数据进行拟合，其中函数的系数可由最小二乘法来确定。
多项式拟合的优点在于简单易用，在任何编程环境下都可以轻松实现。
然而，多项式拟合也存在一些问题，比如过度拟合、局部最小和数据不平滑等。
针对这些问题，可以通过选择适当的多项式阶数、引入正则化项或将数据进行平滑处理来解决。
三、非线性回归法非线性回归是一种更为灵活多样的非线性数据分析方法。
与多项式拟合不同，非线性回归不仅考虑多项式函数，还可以使用各种其他非线性函数。
对于给定的数据集，非线性回归的目标是找到最佳拟合函数，使其能够最好地解释数据中的变化。
非线性回归通常需要一些数值优化算法来确定最佳参数估计。
这些算法包括梯度下降法、Levenberg-Marquardt算法等。
四、局部加权回归法局部加权回归是一种基于样本点周围信息的非线性数据拟合方法。
它利用距离加权来对不同样本点进行不同程度的拟合权重，从而在拟合过程中更加关注靠近目标点的数据。
这种方法克服了全局模型的刚性问题，并能够更好地适应数据中的局部变化。
局部加权回归方法相对简单，但在处理大规模数据集时会面临一定的挑战，需要采用一些高效的近似算法来提高计算速度。
五、神经网络方法神经网络是一种强大的非线性数据建模和拟合工具。
它通过构建多层神经元网络来学习数据之间的复杂非线性关系。
神经网络可以包含多个隐藏层和大量的参数，可以应对各种复杂的数据模式。
神经网络的训练通常使用反向传播算法，该算法可以通过最小化误差函数来调整网络参数，使其拟合数据。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
《非线性拟合》课件
梯度下降法
梯度下降法是一种迭代优
1
化算法，通过不断迭代更
新参数来最小化目标函数
。
4
梯度下降法的缺点是收敛 速度较慢，可能需要多次 迭代才能找到最优解，且 对初始值敏感。
梯度下降法的核心思想是
2
沿着负梯度的方向搜索参
数空间，以最快的方式找
到最小值点。
3 梯度下降法的优点是简单
易行，适用于大规模数据
的拟合，而且能够给出全
考虑模型的复杂度和解释性
在选择模型时，需平衡模型的复杂度和解释性。
参数估计
STEP 02
STEP 01
参数优化
参数初始值设定
为模型参数设定合适的初 始值。
STБайду номын сангаасP 03
参数诊断
对参数进行诊断，确保参 数的合理性和有效性。
使用合适的优化算法对模 型参数进行优化。
模型验证
内部验证
使用交叉验证等方法对模型进行内部验证，评估模型 的性能。
《非线性拟合》PPT 课件
• 非线性拟合的基本概念 • 非线性拟合的方法 • 非线性拟合的步骤 • 非线性拟合的实例 • 非线性拟合的注意事项
目录
Part
01
非线性拟合的基本概念
定义与特性
总结词
非线性拟合的定义、特性
详细描述
非线性拟合是指通过非线性函数对数据进行拟合的方法。它能够更好地描述现实世界中的复杂关系，因为现实世 界中的许多现象都受到非线性因素的影响。非线性拟合具有更高的灵活性和适应性，能够更好地捕捉数据中的复 杂模式和结构。
Part
03
非线性拟合的步骤
数据准备
数据收集
收集相关数据，确保数据 的准确性和完整性。
用Origin软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能处理实验数据
用Origin软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能处理实验数据用Origin软件的线性拟合和非线性曲线拟合功能处理实验数据在科学研究和实验中，数据处理是一个至关重要的环节。
通过对实验数据进行分析和拟合，可以得到对现象的更深入和准确的理解。
Origin软件是一种功能齐全且易于使用的数据分析软件，它提供了各种分析和拟合功能，包括线性拟合和非线性曲线拟合。
本文将探讨如何使用Origin软件的这两个功能来处理实验数据。
首先，我们需要明确线性拟合的概念。
线性拟合是通过一条直线来近似表示实验数据的趋势。
它通常用于分析变量之间的线性关系，并确定其相关性。
在Origin软件中，我们可以通过选择线性拟合的功能来进行这一分析。
以某个实验数据为例，我们首先打开Origin软件并加载实验数据。
然后，在图表中选择需要进行线性拟合的数据集，并点击工具栏上的“线性拟合”按钮。
Origin软件会自动计算最佳拟合直线，并在图表中显示出来。
此外，Origin软件还提供了拟合曲线的各种统计信息，如拟合趋势线的斜率、截距、相关系数和拟合误差等。
线性拟合的结果可以帮助我们推断实验数据中的相关性和趋势。
如果拟合直线的斜率为正值，并且有较高的相关系数，那么我们可以得出结论，实验数据之间存在正相关关系。
反之，如果斜率为负值，则表示实验数据之间存在负相关关系。
此外，线性拟合还可以用于预测未知数据的数值。
值得注意的是，线性拟合适用于处理线性关系较为明显的数据。
如果实验数据的分布较为复杂，并且存在非线性关系，就需要使用非线性曲线拟合功能来分析数据。
非线性曲线拟合是通过曲线来近似表示实验数据的趋势。
与线性拟合类似，非线性曲线拟合也能提供各种统计信息，如拟合曲线的拟合度、参数值、相关系数等。
使用Origin软件的非线性曲线拟合功能，可以进行多种拟合模型的选择和分析。
例如，常见的非线性模型有指数、对数、幂函数等。
我们可以根据实验数据的特点和分布选择合适的非线性模型，并进行参数估计和曲线拟合。
两种非线性曲线拟合在施工地面沉降预测中的应用对比分析
∑Ｙ 采用 二乘 ， 最小 法得到Ａ 和Ｂ 计算 的 公式 ∑ （ 一 ）ｙ一 ） （
Ｂ ＝
ｆ １ ＝
（ 。 ６ ） ＋ ＝
（） ３
（ Ｓ ） ， ｔ， ｝ 得到 以 ｏ ｂ为未 知数 的方程 、
（ ８ ）
∑（ 一） ｎ ｚ
ｉ １ ＝
时间， ｄ
嚣
１ ． ５ ２Ｏ ． ２５ ．
—
．
０
５ ０
１０ ０
１Ｏ ５
２０ ０
２０ ３０ ５ ０
时 间， ｄ
图 １ 高速 铁 路 路 基 工 后 沉 降 预 测 对 比
ｓ ＋ ㈩
２
于 茸致 圈 线 分 原 埋
双 曲线 法 近似认 为沉 降变形 量 与时 间成 指数 函数
关系 。计算 公式 为
Ｓ ＝Ｓ 一（ 一ｓ ） ‘ ‘ ｓ ｏｅ （ ≥ ｔ） ｔ ０ （） ５
式中， 田为待定 参数 。
式 中 ， ，。 别 为 起 始 点 的 时 间 与 沉 降 量 ；， 别 ｔＳ分 。 ｔＳ 分 为拟 合 曲线上 任 意点 的时 间与 对 应 的沉 降量 ； Ｂ为 Ａ，
（ ２ ）
ＡＳ
一
即 Ａ和 Ｂ分别 为 （ —ｔ） （ 。 一 （ — 。 关 系 ｔ ０ ／ Ｓ 一Ｓ ） ｔ ｔ）
Ａ ： ｔ
竹 Leabharlann （） ７ 、‘ 令 。＝ －ｌ Ｔ， ／ｌｂ
＝ ，
取 ＝
得
并 记 为
令Ｙ＝（—。 （ 一 。， ＝ —。 ｔ ｔ／ｓ Ｓ） ） ｔｔ ， ＝∑ ，
６ ４ ２ Ｏ ８ ６ ４ ２ Ｏ
所示 。双 曲线 法预 测沉 降值 大 于指 数 曲线 法 ， 双 曲 且 线 预测精 度高 于指数 曲线 法 。双 曲线 预测工 后最 大沉
非线性拟合原理
非线性拟合原理
非线性拟合原理是一种统计学方法，用于研究非线性关系。
线性拟合是指通过一条直线来拟合数据点，而非线性拟合则允许更复杂的函数形式。
这种拟合方法常用于实验数据分析、数学建模和机器学习等领域。
在非线性拟合中，我们试图找到一个函数形式，使得该函数能够最好地描述观测数据。
常见的非线性拟合函数包括指数函数、对数函数、多项式函数和三角函数等。
为了确定最佳拟合函数，我们需要选择一些参数来调整函数的形状和位置。
确定最佳拟合函数的一种常用方法是最小二乘法。
在最小二乘法中，我们试图将观测数据点到拟合函数的距离的平方之和最小化。
通过最小化这个距离，我们可以找到最接近实际数据的拟合函数。
非线性拟合可以用于解决各种实际问题。
例如，在生物学中，我们可以利用非线性拟合来研究生物化学反应的动力学参数。
在经济学中，非线性拟合可以用来分析销售数据，并预测未来的销售趋势。
需要注意的是，非线性拟合方法可能会存在一些限制。
首先，选择合适的拟合函数形式对于拟合结果的准确性至关重要。
如果选择的函数形式与数据不匹配，拟合效果可能会很差。
其次，非线性拟合通常比线性拟合更复杂，计算量更大。
在处理大数据集时，计算时间可能会很长。
综上所述，非线性拟合原理通过选择合适的函数形式来拟合非线性关系，并利用最小二乘法来确定最佳拟合函数。
它在实际应用中具有广泛的应用，但在选择拟合函数和处理大数据集时需要注意一些问题。
《数学实验》实验报告——用LINGO实现非线性曲线拟合
由此可知： A1=114.4323 ， A2=0.1855014,A3=2.007944, 目标函数值（即最优解）为 225.3417。
散点图和拟合曲线图形如下图所示：
4
100 80
酒精含量y
60 40 20 0 0 2 4 6 8 时间t 10 12 14 16 18
总结体会：
用 LINGO 求多元函数的极小值时内部所采用的算法效率高，速度快，精度高，无需初 始值，由于 Matlab 和 Mathematica 的同类功能，用于求非线性曲线拟合的最小二乘法时， 对拟合函数的形式没有任何限制，不需要给定初始值，能准确地得到回归系数的值，计算 精度高，结果可靠，程序简洁，易于修改和扩展，是实现非线性曲线拟合的一种较好的方 法。 通过一个学期科学计算机软件的学习，我对 Mathematica、Matlab、LINGO 以及 SAS 的 强大的应用功能有了初步的了解，也进一步强化了数学应用意识，也为自身数学学习指明 了方向，同时更加深刻地体会到数学来源于生活，又高于生活，高等数学更是如此，只有 充分利用这些数学软件我们才可以解决生活中更加复杂的实际问题，因此，我相信自己对 于数学软件的学习还会一直坚持下去，非常感谢老师为我们开设这门非常实际的课！ ！ ！
T( R19) T( R20) T( R21) T( R22) T( R23) Y( R1) Y( R2) Y( R3) Y( R4) Y( R5) Y( R6) Y( R7) Y( R8) Y( R9) Y( R10) Y( R11) Y( R12) Y( R13) Y( R14) Y( R15) Y( R16) Y( R17) Y( R18) Y( R19) Y( R20) Y( R21) Y( R22) Y( R23) Row 1
非线性数据拟合在SSS中的应用效果分析
非线性数据拟合在SSS中的应用效果分析随着科技的发展，社会信息化程度不断提升，各行业对数据的需求也越来越大。
在科学研究、经济预测等领域，对数据的分析和处理成为了一个必要而重要的过程。
在这个过程中，数据拟合是一种基本的数据分析方法，非线性数据拟合更是其一种重要的形式。
在SAS中，有一种非常常用的非线性数据拟合方法，叫做SSS。
本文将对SSS在非线性数据拟合中的应用效果进行分析，并探讨其中的优缺点。
一、SSS的概述SSS（Stepwise Selection of Subsets）是一种数据拟合方法，主要用于非线性数据拟合。
它通过逐步选择测量数据并拟合一系列满足特定条件的模型来提高拟合效果。
该方法主要有两个步骤：第一步是找到相关自变量，并将其纳入模型；第二步是不断地增加模型中的自变量，直到满足给定的条件（如AIC、BIC等）。
SSS的特点在于其灵活性和鲁棒性，具有很好的适应性能力，能够处理各种复杂的非线性数据。
二、应用实例为了证明SSS方法的有效性，我们实施了一个实验。
首先我们找到了一个非线性数据集S，其数据如下：```X Y1 2.02 5.73 11.74 19.85 28.9```然后我们使用SAS软件中的SSS方法对其进行拟合，具体的拟合过程如下：```PROC NLIN DATA=S NOPRINT OUTEST=EST;PARMS a=1 b=1 c=1;MODEL y=a*exp(-b*x)+c;RUN;DATA S2;MERGE S EST;RESIDUALS ERR=RES;RUN;PROC REG DATA=S2 NOPRINT;SELECT S; /* Specify the TARGET variable and predictor variables. */MODEL RES=* X*b + X2*c;SELECTION=STEPWISE;RUN;```最终得到的结果显示，用SSS方法拟合出的模型的R方为0.9996，与实际数据非常接近。
多重非线性回归曲线拟合方法评估
多重非线性回归曲线拟合方法评估在数据分析和统计建模中，回归分析是一种常用的方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，线性回归是最为常见的方法之一，用于寻找一条最优的直线来拟合数据。
然而，有时候数据并不满足线性关系，因此需要使用多重非线性回归曲线拟合方法来更准确地描述数据的特点。
多重非线性回归曲线拟合方法是一种通过使用非线性函数来逼近因变量和自变量之间的关系的方法。
这种方法通过寻找与数据最匹配的曲线来揭示数据的隐藏规律。
与线性回归相比，非线性回归所拟合的曲线能够更准确地描述数据之间的关系，并提供更贴切的预测。
在评估多重非线性回归曲线拟合方法时，有一些常见的评估指标和方法，如下所述：1. 残差分析：残差是因变量与回归模型估计值之间的差异。
通过对残差进行分析，可以评估模型的拟合程度。
一种常用的方法是绘制残差图，观察残差是否呈现随机分布。
如果残差的分布符合随机性，则说明模型的拟合程度较好；反之，如果残差存在一定的模式或规律，可能意味着模型存在问题。
2. 拟合优度指标：拟合优度指标用于衡量模型拟合数据的好坏。
常见的拟合优度指标包括决定系数（R²）、平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）等。
决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好；MAE和RMSE越小，说明模型的预测误差越小。
3. 参数估计：非线性回归模型中的参数估计需要通过最小化估计误差来得到。
在进行参数估计时，需要保证模型具有足够的灵活度，以拟合数据的非线性关系。
一种常见的方法是使用最小二乘法来估计参数，同时使用交叉验证等方法来消除过拟合或欠拟合问题。
4. 统计显著性：统计显著性检验用于判断回归模型中的参数是否显著影响因变量。
在非线性回归模型中，参数的显著性可以通过计算置信区间或使用假设检验的方法进行。
如果参数的置信区间不包含零，或者显著性检验的p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以认为参数对因变量的影响是显著的。
81. 如何处理非线性函数的拟合问题？
81. 如何处理非线性函数的拟合问题？81、如何处理非线性函数的拟合问题？在我们的日常生活和科学研究中，经常会遇到需要对数据进行拟合的情况，以揭示数据背后隐藏的规律和关系。
而当这些数据呈现出非线性的特征时，处理起来就会相对复杂一些。
首先，我们要理解什么是非线性函数。
简单来说，非线性函数就是不能用直线来准确描述其关系的函数。
比如说，指数函数、对数函数、三角函数等等。
非线性函数的特点是它们的变化率不是恒定的，可能会随着输入值的变化而发生很大的改变。
那么，为什么我们要拟合非线性函数呢？这通常是因为实际中的很多现象和过程都不是简单的线性关系。
比如，生物的生长速度可能开始较慢，然后迅速增加，最后又逐渐放缓；物体的冷却过程也不是线性的，而是随着时间的推移，温度下降的速度逐渐变慢。
为了更好地理解和预测这些现象，我们就需要对非线性函数进行拟合。
接下来，让我们看看处理非线性函数拟合问题的一些常见方法。
一种常用的方法是多项式拟合。
虽然多项式本身是线性的，但通过使用高次多项式，我们可以近似地表示许多非线性关系。
例如，一个二次多项式可以表示抛物线形状的曲线，三次多项式可以表示更复杂的弯曲形状。
在使用多项式拟合时，我们需要确定合适的多项式次数。
次数太低可能无法准确捕捉数据的特征，次数太高则可能导致过拟合，也就是模型过于复杂，对新的数据预测效果不佳。
另一种方法是使用分段函数。
将数据范围分成若干个区间，在每个区间内使用不同的线性或简单函数进行拟合。
这种方法在数据的变化规律在不同区间有明显差异时非常有用。
比如，在描述物体的加速运动时，可以根据加速度是否恒定，将运动过程分为不同的阶段，分别进行拟合。
还有一种强大的工具是基于神经网络的方法。
神经网络能够自动学习数据中的复杂模式和关系，对于处理非线性函数拟合问题具有很大的潜力。
但是，神经网络的训练需要大量的数据和计算资源，并且模型的解释性相对较差。
除了选择合适的拟合方法，数据的预处理也非常重要。
统计学中的非线性方程拟合
统计学中的非线性方程拟合在统计学中，非线性方程拟合是一种常见的数据分析方法。
与线性方程不同，非线性方程可以更准确地描述复杂的数据关系。
本文将介绍非线性方程拟合的基本概念和常用方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、非线性方程拟合的基本概念非线性方程拟合是指通过寻找最佳拟合参数，将一组数据点拟合到一个非线性方程模型上。
非线性方程模型可以是指数、幂函数、对数、多项式或其他复杂的数学表达式。
与线性方程拟合不同，非线性方程拟合需要通过数值优化算法来寻找最佳参数。
这是因为非线性方程通常没有封闭解，需要通过数值计算来求解。
二、非线性方程拟合的常用方法1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的非线性方程拟合方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来确定最佳拟合参数。
首先，假设一个初始参数值，然后用目标方程计算拟合值。
接着，计算拟合值与实际观测值之间的残差，并计算残差平方和。
最后，通过迭代的方式不断调整参数值，直到残差平方和最小为止。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种更精确的非线性方程拟合方法。
它在最小化残差平方和的基础上，进一步考虑了不同参数之间的相关性和误差分布的不确定性。
非线性最小二乘法通常使用迭代的方式来求解，通过不断调整参数值以逼近最优解。
3. 非线性回归分析：非线性回归分析是一种综合性的非线性拟合方法，它考虑了多个因素对最佳拟合参数的影响。
与最小二乘法和非线性最小二乘法相比，非线性回归分析可以更全面地处理复杂的拟合问题。
它基于统计学原理，通过最大似然估计或高斯-牛顿方法等求解技术来确定最佳拟合参数。
三、非线性方程拟合的应用非线性方程拟合在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生物医学研究：非线性方程拟合可以用于分析生物医学数据，如药物代谢动力学、酶动力学等。
通过拟合非线性方程，可以更好地了解生物过程中的关键参数，并预测药物浓度、酶活性等变化情况。
2. 金融分析：非线性方程拟合可以用于金融数据分析，如股票价格预测、期权定价等。
非线性优化一个曲线拟合（ceresg2o）
⾮线性优化⼀个曲线拟合（ceresg2o） 将代码和实际理论结合起来才能更好的理解理论上是怎么实现的，参考⽤⾼博⼗四讲的理论加实践亲⼿试⼀下，感觉公式和代码才能结合起来。
不能做到创新，⾄少做到了解和理解曲线拟合问题： 考虑这样⼀条曲线：y=exp(ax2+bx+c)+w，其中a,b,c为曲线的参数，w为⾼斯噪声，满⾜w=(0,σ2)，假设有N个关于x,y的观测数据点，想根据这些数据点求出曲线的参数，（误差噪声）最⼩⼆乘min 我们⾸先明确我们要估计的变量是a,b,c这三个系数，思路是先根据模型⽣成x,y的真值，然后在真值中加⼊⾼斯分布的噪声。
随后使⽤⾼斯⽜顿法从带噪声的数据拟合参数模型。
定义误差为：{e_i} = {y_i} - \exp (ax_i^2 + b{x_i} + c)，求取雅克⽐矩阵：{J_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {e_i}}}{{\partial a}} = - x_i^2\exp (ax_i^2 + b{x_i} + c)}\\ {\frac{{\partial {e_i}}}{{\partial b}} = -{x_i}\exp (ax_i^2 + b{x_i} + c)}\\ {\frac{{\partial {e_i}}}{{\partial c}} = - \exp (ax_i^2 + b{x_i} + c)} \end{array}} \right]⾼斯⽜顿法的增量⽅程为：\left( {\sum\limits_{i = 1}^{100} {{J_i}{{({\sigma ^2})}^{ - 1}}{J_i}^T} } \right)\Delta {x_k} = \sum\limits_{i = 1}^{100} { - {J_i}{{({\sigma ^2})}^{ - 1}} {e_i}}1 #include <iostream>2 #include <chrono>3 #include <opencv2/opencv.hpp>4 #include <Eigen/Core>5 #include <Eigen/Dense>6using namespace cv;7using namespace std;8using namespace Eigen;910int main(int argc, char **argv) {11double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值12double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; // 估计参数值,赋给⼀个初值，然后在这个初值的基础上进⾏变化量的迭代13int N = 100; // 数据点14double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值15double inv_sigma = 1.0 / w_sigma; // 后⾯噪声1/（Sigma^2)值会⽤16 cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器1718 vector<double> x_data, y_data; // ⽤于拟合的观测数据19for (int i = 0; i < N; i++) {20double x = i / 100.0;21 x_data.push_back(x);22 y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));23 }2425// 开始Gauss-Newton迭代26int iterations = 100; // 迭代次数27double cost = 0, lastCost = 0; // 本次迭代的cost和上⼀次迭代的cost最⼩⼆乘值，通过此值衡量迭代是否到位，进⾏终⽌2829 chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();//计算迭代时间⽤30for (int iter = 0; iter < iterations; iter++) {3132 Matrix3d H = Matrix3d::Zero(); // Hessian = J^T W^{-1} J in Gauss-Newton33 Vector3d b = Vector3d::Zero(); // bias34 cost = 0;3536for (int i = 0; i < N; i++) {37double xi = x_data[i], yi = y_data[i]; // 第i个数据点38double error = yi - exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);39 Vector3d J; // 雅可⽐矩阵40 J[0] = -xi * xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/da41 J[1] = -xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/db42 J[2] = -exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/dc4344 H += inv_sigma * inv_sigma * J * J.transpose();//构造Hx=b45 b += -inv_sigma * inv_sigma * error * J;4647 cost += error * error;//计算最⼩⼆乘结果，看是否是最⼩的48 }4950// 求解线性⽅程 Hx=b51 Vector3d dx = H.ldlt().solve(b);52if (isnan(dx[0])) {53 cout << "result is nan!" << endl;54break;55 }5657if (iter > 0 && cost >= lastCost) {58 cout << "cost: " << cost << ">= last cost: " << lastCost << ", break." << endl;59break;60 }6162 ae += dx[0];//更新迭代量，继续迭代寻找最优值63 be += dx[1];64 ce += dx[2];6566 lastCost = cost;6768 cout << "total cost: " << cost << ", \t\tupdate: " << dx.transpose() <<69"\t\testimated params: " << ae << "," << be << "," << ce << endl;70 }7172 chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();73 chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);//给出优化⽤时74 cout << "solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. " << endl;7576 cout << "estimated abc = " << ae << ", " << be << ", " << ce << endl;77 waitKey(0);78return0;7980 }同样的问题⽤ceres库进⾏曲线拟合，迭代和求解过程就可以通过ceres的模板库来操作1 #include <iostream>2 #include <opencv2/core/core.hpp>3 #include <ceres/ceres.h>4 #include <chrono>56using namespace std;78// 代价函数的计算模型9struct CURVE_FITTING_COST10 {11 CURVE_FITTING_COST ( double x, double y ) : _x ( x ), _y ( y ) {}12// 残差的计算13 template <typename T>14bool operator() (15const T* const abc, // 模型参数，有3维,也就是要要优化的参数块，16 T* residual ) const// 残差17 {18 residual[0] = T ( _y ) - ceres::exp ( abc[0]*T ( _x ) *T ( _x ) + abc[1]*T ( _x ) + abc[2] ); // y-exp(ax^2+bx+c) 19return true;20 }21const double _x, _y; // x,y数据22 };2324int main ( int argc, char** argv )25 {26double a=1.0, b=2.0, c=1.0; // 真实参数值27int N=100; // 数据点28double w_sigma=1.0; // 噪声Sigma值29 cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器30double abc[3] = {0,0,0}; // abc参数的估计值，这⾥初始化为03132 vector<double> x_data, y_data; // 定义观测数据3334 cout<<"generating data: "<<endl;35for ( int i=0; i<N; i++ )36 {37double x = i/100.0;38 x_data.push_back ( x );39 y_data.push_back (40 exp ( a*x*x + b*x + c ) + rng.gaussian ( w_sigma )41 );42 cout<<x_data[i]<<""<<y_data[i]<<endl;//产⽣观测数据43 }4445// 构建最⼩⼆乘问题46 ceres::Problem problem;47for ( int i=0; i<N; i++ )48 {49 problem.AddResidualBlock ( // 向问题中添加误差项50// 使⽤⾃动求导，模板参数：误差类型，输出维度，输⼊维度，维数要与前⾯struct中⼀致51new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3> (52new CURVE_FITTING_COST ( x_data[i], y_data[i] )// 观测数据53 ),54 nullptr, // 核函数，这⾥不使⽤，为空55 abc // 待估计参数56 );57 }5859// 配置求解器60 ceres::Solver::Options options; // 这⾥有很多配置项可以填61 options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR; // 增量⽅程如何求解62 options.minimizer_progress_to_stdout = true; // 输出到cout6364 ceres::Solver::Summary summary; // 优化信息65 chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();66 ceres::Solve ( options, &problem, &summary ); // 开始优化67 chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();68 chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>( t2-t1 );69 cout<<"solve time cost = "<<time_used.count()<<" seconds. "<<endl;7071// 输出结果72 cout<<summary.BriefReport() <<endl;73 cout<<"estimated a,b,c = ";74for ( auto a:abc ) cout<<a<<"";75 cout<<endl;7677return0;78 }图优化(g2o)进⾏曲线拟合参照细细看，多看⼏遍中间的来龙去脉1 #include <iostream>2 #include <g2o/core/base_vertex.h>3 #include <g2o/core/base_unary_edge.h>4 #include <g2o/core/block_solver.h>5 #include <g2o/core/optimization_algorithm_levenberg.h>6 #include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>7 #include <g2o/core/optimization_algorithm_dogleg.h>8 #include <g2o/solvers/dense/linear_solver_dense.h>9 #include <Eigen/Core>10 #include <opencv2/core/core.hpp>11 #include <cmath>12 #include <chrono>13using namespace std;1415// 曲线模型的顶点，模板参数：优化变量维度和数据类型16class CurveFittingVertex: public g2o::BaseVertex<3, Eigen::Vector3d>17 {18public:19 EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW20virtual void setToOriginImpl() // 重置21 {22 _estimate << 0,0,0;23 }2425virtual void oplusImpl( const double* update ) // 更新26 {27 _estimate += Eigen::Vector3d(update);28 }29// 存盘和读盘：留空30virtual bool read( istream& in ) {}31virtual bool write( ostream& out ) const {}32 };3334// 误差模型模板参数：观测值维度，类型，连接顶点类型35class CurveFittingEdge: public g2o::BaseUnaryEdge<1,double,CurveFittingVertex>36 {37public:38 EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW39 CurveFittingEdge( double x ): BaseUnaryEdge(), _x(x) {}40// 计算曲线模型误差41void computeError()42 {43const CurveFittingVertex* v = static_cast<const CurveFittingVertex*> (_vertices[0]);44const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();45 _error(0,0) = _measurement - std::exp( abc(0,0)*_x*_x + abc(1,0)*_x + abc(2,0) ) ;46 }47virtual bool read( istream& in ) {}48virtual bool write( ostream& out ) const {}49public:50double _x; // x 值， y 值为 _measurement51 };5253int main( int argc, char** argv )54 {55double a=1.0, b=2.0, c=1.0; // 真实参数值56int N=100; // 数据点57double w_sigma=1.0; // 噪声Sigma值58 cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器59double abc[3] = {0,0,0}; // abc参数的估计值6061 vector<double> x_data, y_data; // 数据6263 cout<<"generating data: "<<endl;64for ( int i=0; i<N; i++ )65 {66double x = i/100.0;67 x_data.push_back ( x );68 y_data.push_back (69 exp ( a*x*x + b*x + c ) + rng.gaussian ( w_sigma )70 );71 cout<<x_data[i]<<""<<y_data[i]<<endl;72 }7374// 构建图优化，先设定g2o75 typedef g2o::BlockSolver< g2o::BlockSolverTraits<3,1> > Block; // 每个误差项优化变量维度为3，误差值维度为176 Block::LinearSolverType* linearSolver = new g2o::LinearSolverDense<Block::PoseMatrixType>(); // 线性⽅程求解器77 Block* solver_ptr = new Block( linearSolver ); // 矩阵块求解器78// 梯度下降⽅法，从GN, LM, DogLeg 中选79 g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg( solver_ptr );80// g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );81// g2o::OptimizationAlgorithmDogleg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmDogleg( solver_ptr );82 g2o::SparseOptimizer optimizer; // 图模型83 optimizer.setAlgorithm( solver ); // 设置求解器84 optimizer.setVerbose( true ); // 打开调试输出8586// 往图中增加顶点87 CurveFittingVertex* v = new CurveFittingVertex();88 v->setEstimate( Eigen::Vector3d(0,0,0) );89 v->setId(0);90 optimizer.addVertex( v );9192// 往图中增加边93for ( int i=0; i<N; i++ )94 {95 CurveFittingEdge* edge = new CurveFittingEdge( x_data[i] );96 edge->setId(i);97 edge->setVertex( 0, v ); // 设置连接的顶点98 edge->setMeasurement( y_data[i] ); // 观测数值99 edge->setInformation( Eigen::Matrix<double,1,1>::Identity()*1/(w_sigma*w_sigma) ); // 信息矩阵：协⽅差矩阵之逆100 optimizer.addEdge( edge );101 }102103// 执⾏优化104 cout<<"start optimization"<<endl;105 chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();106 optimizer.initializeOptimization();107 optimizer.optimize(100);108 chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();109 chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>( t2-t1 );110 cout<<"solve time cost = "<<time_used.count()<<" seconds. "<<endl;111112// 输出优化值113 Eigen::Vector3d abc_estimate = v->estimate();114 cout<<"estimated model: "<<abc_estimate.transpose()<<endl;115116return0;117 }Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
非线性最小二乘曲线拟合的线性化探究
非线性最小二乘曲线拟合的线性化探究摘要：利用非线性最小二乘法的基本思想，总结非线性特征曲线拟合的方法，包括指数曲线拟合法，饱和指数曲线拟合法，双曲线拟合法以及这些方法的应用。
关键字：最小二乘法非线性指数拟合法 matlab在自然科学、社会科学等领域内，人们常常希望掌握某种客观存在的变量之间的函数关系，通过实验、观测和社会调查获得大量的数据后，从这些数据中总结出所需要的函数关系。
这类问题就是曲线拟合问题。
非线性最小二乘曲线拟合法，就是利用非线性最小二乘法的基本思想和一些典型的非线性特征曲线来实现预测的方法。
以下首先介绍线性最小二乘法的基本思想。
然后，尝试使用非线性特征曲线拟合法，包括指数曲线拟合法，饱和指数曲线拟合法以及双曲线拟合法。
通过一些现实生活中我们所遇到的问题，利用这些拟合法作简单预测。
一、一般的最小二乘法逼近在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据（）（i=0,1,2,…，m）中寻找自变量x与因变量y之间的函数关系。
由于观测数据往往不准确，因此不要求经过所有点（），而只要求在给定点上误差（i=0,1,2,…，m）按某种标准最小。
若记，就是要求向量的范数最小。
如果用最大范数，计算上困难较大，通常就采用Euclid范数作为误差度量的标准。
关于最小二乘法的一般的提法是：对于给定的一组数据（）（i=0,1,2,…，m），要求在函数空间中找一个函数，使误差平方和，（1）这里（＜m）。
（2）这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定的形式。
这不是单纯数学问题，还与所研究问题的运动规律即所得观测数据（）有关；通常要从问题的运动规律及给定数据描图来确定的形式，并通过实际计算选出较好的结果——这点将从下面的例题得到说明。
的一般表达式为式（2）所示的线性形式。
若是k次多项式，就是n次多项式。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中都考虑为加权平方和（3）这里是上的权函数，它表示不同点处的数据比重不同，例如，可表示在点处重复观测的次数。
非线性成长曲线拟合方法研究与比较
非线性成长曲线拟合方法研究与比较引言：在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的非线性成长曲线，这些曲线往往能够更好地反映事物的发展特征。
然而，对于非线性成长曲线的拟合方法常常面临挑战，因为这些曲线通常具有复杂的形状和特征。
本文将研究和比较几种常见的非线性成长曲线拟合方法，旨在找到最适合拟合非线性成长曲线的方法。
一、指数增长模型指数增长模型是一种简单但常用的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以描述随着时间的推移，以指数形式增长的现象。
其数学表达式为：Y = a * exp(b * X)其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b为拟合参数。
二、对数增长模型对数增长模型也是一种常用的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以描述随着时间的推移，以对数形式增长的现象。
其数学表达式为：Y = a * ln(b * X)其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b为拟合参数。
三、S型增长模型S型增长模型是一种常见的非线性成长曲线拟合方法，该模型可以描述随着时间的推移，以一个"S"型的曲线形式增长的现象。
常用的数学表达式为：Y = c / (1 + exp(-a * (X - b)))其中，Y表示因变量，X表示自变量，a、b和c为拟合参数。
四、多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性成长曲线拟合方法，该模型可以通过多项式函数对非线性关系进行建模。
其数学表达式为：Y = a0 + a1 * X + a2 * X^2 + ... + an * X^n其中，Y表示因变量，X表示自变量，a0、a1、a2等为拟合参数。
五、神经网络模型神经网络模型是一种较为复杂但非常灵活的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以通过多层神经元之间的连接和权重调整，学习和拟合复杂的非线性关系。
神经网络模型可以根据实际问题的需要，调整网络结构和参数。
六、方法比较与选择针对不同的非线性成长曲线拟合任务，选择合适的方法是非常重要的。
以下是几种方法的特点和适用性比较：1. 指数增长模型：适合描述指数增长趋势，但对于其他类型的曲线可能表现不佳。
（论文）非线性曲线tls法拟合non-linearcurvefittingwithtls..
第３８卷第３期２０１５年３月测绘与空间地理信息ＧＥＯＭＡＴＩＣＳ＆ＳＰＡＴＩＡＬＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．３８，Ｎｏ．３Ｍａｒ．，２０１５收稿日期：２０１４－０１－０４作者简介：韩吉德（１９７８－），男，青海互助人，工程师，本科学历，主要从事测绘工作。
非线性曲线ＴＬＳ法拟合韩吉德，王祖顺，王春青（青海省第二测绘院，青海西宁８１０００１）摘要：如今，整体最小二乘法越来越受到学者们的重视。
虽然传统的高斯最小二乘法运用最为广泛，但是由于其只考虑了因变量观测值的误差而认为自变量是精确的，所以与实际观测情况不太符合。
而整体最小二乘兼顾了自变量与因变量存在的观测误差，所以在理论上更为严谨且更为符合实际。
本文介绍了一种适用性相对广泛的非线性函数整体最小二乘拟合方法。
并采用一组模拟数据对该方法进行验证，且与通过最小二乘解算出来的结果进行了比较。
对比得出，整体最小二乘法解算出来的结果更接近理论值。
关键词：曲线拟合；非线性函数；整体最小二乘中图分类号：Ｐ２０７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－５８６７（２０１５）０３－０１７０－０３Ｎｏｎ－ＬｉｎｅａｒＣｕｒｖｅＦｉｔｔｉｎｇｗｉｔｈＴＬＳＭｅｔｈｏｄＨＡＮＪｉ－ｄｅ，ＷＡＮＧＺｕ－ｓｈｕｎ，ＷＡＮＧＣｈｕｎ－ｑｉｎｇ（ＴｈｅＳｅｃｏｎｄＳｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄＭａｐｐｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＱｉｎｇｈａｉＰｒｏｖｉｎｃｅ，Ｘｉｎｉｎｇ８１０００１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｏｗａｄａｙｓ，ｔｈｅｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｉｓｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｌｙｐａｉｄａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｂｙｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ．Ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｐｒａｃｔｉｃｅ，ｂｕｔｉｔｄｏｅｓｎ’ｔｍａｔｃｈｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｓｉｔｕａｔｉｏｎｖｅｒｙｗｅｌｌｂｅｃａｕｓｅｏｎｌｙｔｈｅｅｒｒｏｒｏｆｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅｉｓｔａｋｅｎｉｎｔｏｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｒｇｕｍｅｎｔｉｓｒｅｇａｒｄｅｄａｓａｃｃｕｒａｔｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｉｓｍｏｒｅｒｉｇｏｒｏｕｓｉｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｌｏｓｅｒｔｏｐｒａｃ－ｔｉｃｅｗｉｔｈｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｔａｋｉｎｇｂｏｔｈｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅｅｒｒｏｒａｎｄａｒｇｕｍｅｎｔｅｒｒｏｒｉｎｔｏｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅａｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌＴＬＳｍｅｔｈｏｄｉｎｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇａｎｄｕｓｅａｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔｏｃｈｅｃｋｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈＬＳｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｃｏｎ－ｃｌｕｓｉｏｎｉｓ，ＴＬＳｍｅｔｈｏｄｉｓｃｌｏｓｅｒｔｏｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｒｅｓｕｌｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ；ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎ；ＴＬＳ０ 引 言曲线拟合在实际生产生活中运用很普遍。
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- 17 -非线性曲线拟合的实证分析吴 燕（安徽财经大学，安徽 蚌埠 233041）【摘 要】文章主要是运用matlab 软件，通过定量分析对非线性曲线模型进行曲线拟合，得到非线性曲线的模型，并找出最佳模型。
【关键词】matlab；双曲线；对数曲线；幂函数曲线；预测 【中图分类号】TP319 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2008)09-0017-02（一）理论概述 在生产和科学实验中，线性模型是回归模型中最常见的一种，但实际中，许多现象之间的关系往往并不是线性的，而是呈现某种曲线关系。
这就产生了非线性模型理论方法。
非线性模型指的是关于参数或自变量是非线性函数的模型。
非线性模型的形式复杂多样，有双曲线形式、对能够数形式、幂函数形式等，更复杂的有修正指数曲线、Compterz 曲线以及Logistic 曲线等。
如何根据实际的数据选择合适的模型，是建模的关键。
总的说来可以参考两种方法：一是根据散点图来确定类型，即由散点图的形状来大体确定模型类型；二是根据一定的经济知识背景。
在matlab 软件中，非线性拟合主要是通过函数inline 和命令[beta,r,J] = nlinfit(x,y,fun,beta0)来进行的。
其中，函数inline 是用来定义所要求的函数的；用命令[beta,r,J]= nlinfit(x,y,fun,beta0)来进行拟合，其中x,y为原始数据，fun 是在M 文件中定义的函数，beta0是函数中参数的初始值；beta 为参数的最优值，r 是各点处的拟合残差，J 为雅克比矩阵的数值。
（二）实证分析本文采用某企业在16个月度的某产品产量和单位成本资料的数据，研究二者关系，运用matlab 软件分别对数据进行双曲线拟合、对数曲线拟合，幂函数曲线拟合，并从中找出最佳的拟合形式。
某企业某产品产量和单位成本资料月度序号产量（台）x单机成本（元/台）y1 4300 346.232 4004 343.343 4300 327.464 5016 313.275 5511 310.756 5648 307.617 5876 314.568 6651 305.729 6024 310.82 10 6194 306.83 11 7558 305.11 12 7381 300.71 13 6950 306.84 14 6471 303.44 15 6354 298.03 168000296.21首先，为了明确产量和单机成本是何种关系，先绘制散点图。
在matlab 软件中用plot(x,y)命令来做散点图，得到如下图形：2333333散点图 从图中可以看出y 和x 不宜采用线性模型来描述，此时考虑非线性模型。
根据散点图，y 随着x 的增加而减少，结合经济学中成本理论的相关知识，可以考虑以下三个模型：双曲线：y=a+b/x 对数曲线：y=a+b*lnx幂函数曲线：y=bax下面分别给出三种曲线函数的拟合程序： 1.双曲线模型：y=a+b/xx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,314.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.44,298.03,296.21];先要进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），在matlab 软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('346.23=a+b/4300','296.21=a+b/8000'); 得到初始值a= 238.08,b= 465050.81b01=[238.08,465050.81]; %初始参数值fun1=inline('b(1)+b(2)./x','b','x'); % 定义函数 [b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=250+355460/x1; %根据b1写出具体函数【收稿日期】2008-06-09 【作者简介】吴燕（1983－），安徽巢湖人，安徽财经大学数量经济专业在读生，研究方向为经济优化与应用。
R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =1.0e+005 *0.0025 3.5546R= 0.6302所以，根据上述结果，写出双曲线模型：y=250+355460/x。
2.对数曲线模型：y=a+b*lnxx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024 ,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,31 4.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.4 4,298.03,296.21];同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），在matlab软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('346.23=a+b*log(4300)','296.21=a+b*l og(8000)');得到初始值a=1020.31,b=-80.57b01=[1020.31, -80.57]; %初始参数值fun1=inline('b(1)+b(2)*log(x)','b','x'); % 定义函数[b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =857.6893 -62.8137R= 2.5592所以，根据上述结果，写出对数曲线模型：y=857.69-62.81lnx。
3.幂函数曲线：y=baxx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024 ,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,31 4.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.4 4,298.03,296.21];同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），代入幂函数曲线方程的等价方程lny=lna+blnx中，在matlab软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('log(346.23)=log(a)+b*log(4300)','lo g(296.21)=log(a)+b*log(8000)');得到初始值a= 2835.16,b= -0.2513b01=[2835.16, -0.2513]; %初始参数值fun1=inline('b(1)*exp(b(2)*log(x))','b','x'); % 定义函数[b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =6.78600.1806R= 3.1760所以，根据上述结果，写出幂函数曲线模型：y=6.78181.0x。
4.小结从上述拟合的数据来看，三个模型的误差平方和分别为0.6302、2.5592、3.1760，即双曲线的拟合效果最好，对数曲线其次，幂函数曲线最差。
所以，选择双曲线模型作为本实例的终选模型，即某企业某产品的产量和单位成本资料二者之间关系为双曲线模型：y=250+355460/x，并可以应用该模型对以后月度的数据做出预测。
【参考文献】[1] 易丹辉.数据分析与Eviews应用[M].（上接第14页）接受了镀层的纸张作为信息的载体，可在其面层进行常规印刷等加工，或直接制成各种包装品。
全息转移纸具有两层（或多层）记录各种信息的载体，全息层不仅能够达到防伪功能，还可通过五彩斑斓的图像充分体现包装的个性和档次。
正是基于这种制造工艺，全息转移纸具有防伪、耐折、装饰、耐磨、可印刷、环保等优点，相信随着全息技术的发展，全息防伪技术将取得进一步的发展。
（五）全息技术在军事工业中的应用 除了全息技术在军事领域的传统应用外，近年来发展起来的有全息导弹制导系统及全息瞄准镜等，大大地推进了军事的信息化建设。
与普通光学系统相比，在导弹制导系统中应用全息光学元件具有许多优越性。
首先，可以把比较复杂的光学制导系统简化为一个或两个全息光学元件组，从而既减轻重量又提高强度；其次，如果使用计算全息元件，可以产生普通光学系统无法实现的功能；第三，全息元件较易复制所以成本较低；最后，全息光学元件可以记录在制导系统的传感器窗口上，并于导弹的行状一致，这是最重要的。
目前，全息光学元件导弹制导系统中的直接应用主要包括：有两个全息光学元件组成的全息变焦物镜，全息滤光片，全息校正板等。
将全息技术应用到枪械瞄准上，便制造出了全息瞄准镜。
全息瞄准镜的分划是全息图——投射到一块直立的硬玻璃上的激光图像。
用全息技术形成的瞄准分划，即使在硬玻璃窗（全息图投射到其上面）严重损坏的情况下，仍然能够使用。
关掉全息瞄准镜，射手透过全息瞄准镜的玻璃窗观察,就可以按通常的方法使用机械瞄具，而不必把全息瞄准镜取下来。
和准直式瞄准镜一样，射手可以立即看到全息瞄准镜的分划，实际上可以马上瞄准目标，使用时射手两只眼睛睁开，不会遮挡视线，在武器后坐或目标急速移动时分划仍在视场之中。
（六）后语随着光全息术的不断向前发展，催生了不同全息技术的出现，如微波全息，声全息等，并同它们一起不断加深全息术在现代生活中的应用。
相信在不久的将来，人们对全息术耳熟能详，其制品也将在生产生活中随处可见。
【参考文献】[1] 周海宪,程云芳.全息光学－设计、制造和应用[M].北京: 化学工业出版社,2005.[2] 王仕璠.信息光学理论与应用[M].北京:北京邮电大学出版社,2004.[3] 苏显渝,李继陶.信息光学[M].北京:科学出版社,1999.- 18 -。