您的位置：360文档中心› 一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

合集下载

专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题(1)求直线CB的解析式；(2)点E在x轴上，【答案】(1)12y x =+(2)(4,0)、(16,0)-、当10BE AB ==时，1E 点的坐标为(4,0)，2E 点的坐标为当AB AE =时，点B 与点E 是关于y 轴对称，E 当EA EB =时，设点E 坐标为(,0)x ，则2228(6)x x +=+，解得：73x =4E 点的坐标为7(,0)3，(1)当点P 在线段BO 上时，①求证：AOP BOQ ≌△△；②若点P 为BO 的中点，求△(2)在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，的坐标；若不存在，请说明理由．当点P 在线段OB 上时，若OC OQ =，由于OP OQ =，则有在OCP △中，OPC AOP ∠=∠+OC OP ∴>，即OC OQ =不可能；若CQ OQ =，由于OP OQ =，则有过点C 作CH x ⊥轴于点H ，显然即CQ OQ =不可能，∴当COQ 是等腰三角形时，只有当点P在BO的延长线上时，同理可得：(0,424)P--，综上所述：(0,424)P-或P【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，图形是解题的关键．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交于点B、A，点P为y(1)求点A、B的坐标；(2)当点P在y轴负半轴上，且ABP的面积为6时，求点(3)是否存在点P使得ABP为等腰三角形?若存在，求出点设()()0,0P n n <，则2PA =-所以()22224PA n n n =-=-+所以224416n n n -+=+解得3n =-，所以此时点P 的坐标为(0,3-综上所述，存在点P 使得ABP 例．如图，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是OB 的中点．(1)求点C 的坐标：(2)在x 轴上找一点D ，使得ACD ABC S S = ，求点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得ABP 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2C (2)点D 的坐标为()4,0-或()0,0(3)存在，满足条件的P 点的坐标为()0,0或()8,0(1)填空：b =，m =，k =；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)8，2-，12-(2)①45；②点E 的坐标为()0,4219-；③点D 的坐标为()20，或()254,0-【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点A 作AH y ⊥轴于点H ，作AG x ⊥轴于点G ，根据勾股定理得到()222262480AE AC ==++=，于是得到结论；②利用勾股定理求出219HE =，可得2194OE =-，即可得答案；③分两种情况讨论，当90EDF ∠=︒时，求出135ADC ∠=︒，得45ADO ∠=︒，得DG AD ==得点D 坐标；当90DFE ∠=︒时，设DF x =，则8DE DC x ==-，由勾股定理得：()()2228454x x -=+-，求出DF ，得点D 坐标．【详解】（1）解：把()40B -，代入2y x b =+，∵()024b =⨯-+，∴8b =，∴直线AB ：28y x =+，把()4A m ，代入28y x =+，∴2m =-，∵ACD 翻折得到AED△∴()222262480AE AC ==++=，∴45AE =②当E 点落在y 轴上时，在Rt AHE △中，∵222AE AH HE -=∴222802HE AE AH =-=-=∴2194OE HE OH =-=-，∴点E 的坐标为()04219-，；③如下图，当90EDF ∠=︒时，由翻折得ADC ∠∴1359045ADO ∠︒︒=-=︒，∵4AG =，∴4DG AG ==，∴422OD DG OG =-=-=，∴点D 的坐标为()20，；如下图，当90DFE ∠=︒时，80AE AC ==设DF x =，则8DE DC x ==-，在Rt DEF △中，由勾股定理得：(解得：252x =-，∴254OD DF OF =-=-，∴点D 的坐标为()254,0-，综上，点D 的坐标为()20，或(2【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．(1)如图1，求出AOP 的面积；(2)如图2，已知点C 是直线85y x =上一点，若APC △是以AP 为直角边的等腰直角三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)AOP 的面积为40(2)点C 的坐标为()1016，或162,⎛⎫⎪∵直线l x ∥轴，点B ∴8PH OB ==，∴12AOP S OA PH == 故答案为：40；（2）设点(),8P n (n ≠过点P 作直线FE ，交APC 为等腰直角三角形，则90APE FPC ∴∠+∠=︒，APE FCP ∴∠=∠，90PEA CFP ∠=∠=︒ ，(AAS)PEA CFP ∴ ≌，同理可得：(AAS)AMP ANC ≌AM AM ∴=且MP NC =，8|10|m ∴=-或8105n m -=解得：2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与在直线CD 上存在点P ，使得A △的坐标．【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；如图，若以点P 为直角顶点时，过点同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点B '作B M CD '⊥轴于点M ，则4B M OF '==，OB MF '=，同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4824t t --=++，解得：163t =-，∴83PF =，∴此时点P 的坐标为84⎛⎫--，；(1)①A 的坐标是_____________②求直线AB 的表达式；(2)点P 是直线y =(3)当ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出【答案】(1)①(0,3【分析】（1）把x（3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作PE x ⊥轴，过点A 作AF 垂直于PE 的延长线于点F ，∵ABP 是等腰直角三角形，AP PB ∴=，APB ∠=90︒，=90FAP APF +∠︒ ，=90APF BPE ∠+∠︒，=FAP BPE ∴∠∠，在AFP 和PEB △中，F E FAP EPB AP PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFP PEB AAS ∴≅ ，AF PE ∴=，BE PF =，===90O F E ∠∠∠︒ ，∴四边形AOEF 是矩形，==AF PE OB BE ∴+，===AO FE FP PE BE PE ++，==2AO BE OB BE BE OB +++，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，21=3BE ∴+，=1BE ∴，==31=2PE AO BE --，==11=2OE OB BE ∴++，∴点P 的坐标为()2,2；如图2，当点B 为顶点时，过点P 作PG x ⊥轴，ABP 是等腰直角三角形，AB BP ∴=，=90ABO OAB ∠+∠︒ ，=90ABO PBG ∠+∠︒，=OAB PBG ∴∠∠，在AOB 和BGP 中，O PGB OAB PBG AB BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB BGP AAS ∴≅ ，=PG OB ∴，BG AO =，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，==13=4OG OB BE ∴++，=1PG ，∴点P 的坐标为()4,1；如图3，当点A 为顶点时，过点P 作PM y ⊥轴，PAB △是等腰直角三角形，PA AB ∴=，=90PAB ∠︒，90MAP OAB ∠+∠=︒ ，90MAP MPA ∠+∠=︒，=MPA OAB ∴∠∠，在PMA △和AOB 中，M O MPA OAB AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA AOB AAS ∴≅ ，=MP AO ∴，=MA OB ，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，3MP ∴=，==13=4OM MA AO ++，∴点P 的坐标为()3,4，故答案为：()2,2；()4,1；()3,4．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．类型四、全等问题(1)点A坐标为________，点B坐标为(2)当BOP△的面积是4时，求点(3)在y轴上是否存在点Q，使得以接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【答案】(1)(3,0)，(0,4)，12 5(2)4(2,)20(2,)125OM OQ ==，12(0,)5Q 或12(0,)5-，6(5P ，12)5或24(5，12)5-；②如图3，图4，当OMP PQO ≌△△时，125PQ OM ∴==，12(5P ∴-，36)5或12(5，4)5；综上所述：P 点坐标为(65，12)5或24(5，12)5-或12(5-，36)5或12(5，4)5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式训练1】如图，一次函数364y x =+的图象与于点C ，点P 在直线AB 上运动，点Q 在(1)求点A ，B 的坐标；(2)求OC 的长；(3)若以O ，P ，Q 为顶点的三角形与【答案】(1)()8,0A -，(B (3)Q 的坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝则OC PQ=，∴245PQ =，∴245m=-，∴33241266 4455m⎛⎫+=⨯-+=⎪⎝⎭，∵PQ OC=，∴245 PQ=．∴245=m，∴33244866 4455m+=⨯+=，∴48 0,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；则245 OQ OC==，∴240,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，Q的坐标为12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1)求点B 的坐标及直线BC 的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【答案】(1)点B 的坐标为(0，3)，33y x =-+；(2)图见解析，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【分析】（1）将点点(3A -，0)代入解析式得出3b =，继而得出点B 的坐标为(0，3)，根据:3:1OB OC =得出1OC =，即点C 的坐标为(1，0)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线AB ：y x b =+过点(3A -，0)，03b ∴=-+，3b ∴=．当0x =时，3y x b b =+==，∴点B 的坐标为(0，3)，即3OB =．OB ：3OC =：1，1OC ∴=．点C 在x 轴正半轴，∴点C 的坐标为(1，0)．设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将(0B ，3)、(1C ，0)代入y kx c =+，得：30c k c =⎧⎨+=⎩，解得：33k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的函数表达式为33y x =-+．（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况考虑：如图①：①当BAD ABC ≌时，3OA OB == ，45BAC ∴∠=︒．BAD ABC ≌，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，4BD AC ==，BD ∴∥AC ，∴点D 的坐标为(4-，3)；②当ABD ABC ≌时，45BAD BAC ∠=∠=︒，4AD AC ==，90DAC ∴∠=︒，∴点D 的坐标为(3-，4)．如图②当ABD BCA ≌时，4BD AC ==，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(0，1)-．综上所述，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练3】如图①，已知直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA OC ，为边在第一象限内作长方形OABC ．类型五、角度之间关系过点P 作EF y ⊥轴于点E ，过点H 作∴45POG ∠=︒，∵()3,1P ，∴1,3EP OE ==∵OA OB =，45AOB ∠=︒∴AOB 是等腰直角三角形，∵45APO EOP ∠+∠=︒，PQO APO∠=∠∴45PQO EOP ∠+∠=︒又∵9045EOP GOQ POG ∠+∠=︒-∠=∴GOQ GQO∠=∠∴GQ GO =，即点G 在OG 的垂直平分线上，∵90OEP PFH OPH ∠=∠=∠=︒，∴90OPE FPH PHF ∠=︒-∠=∠，(1)求直线AB的关系式；(2)连接PD，当线段PD AB⊥时，直线AD上有一点动M∴1284,2525S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵45,DKR DAO KT RK ∠=∠=︒⊥∴45DKR DKT ∠=︒=∠，∴KT KP =，∴P ，T 关于直线AD 对称，连接TS 交AD 于M ，交x 轴于N 4y x =-+12x =-得y =∵3,4OB OA ==，∴34PH PH AH HW==，设3PH t =，则4AH HW t ==∴5PW t OW ==，∵4OW HW AH OA ++==，∵12POA BAO ∠=∠，∴2POA APO POA ∠+∠=∠∴APO POA ∠=∠，∴4AO AP ==，∵34PF OB AF AF ==，∴165AF =36(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标．②连接BM ，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P ，使∠求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．则113(3)22PQ m m m =-+-+=，则PQB ∆的面积21122PQ BD m =⋅=故点M 的坐标为43(3，0)或4(-②如图，当点M 在y 轴的左侧时，点C 与点A 关于y 轴对称，AB BC ∴=，BAC BCA ∴∠=∠，BMP BAC ∠=∠ ，BMP BCA ∴∠=∠，90BMP BMC ∠+∠=︒ ，90BMC BCA ∴∠+∠=︒(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点(3)在y轴上是否存在点P，使以求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以A，当BA＝BP时，BP＝∴点P1的坐标为(0，当PB＝PA时，设OP ∴(2−x)2=1+x2，解得：∴点P3的坐标为(0，当AB＝AP时，OP＝∴点P4的坐标为(0，综上所述：y轴上存在点标为(0，2+5）或(0(1)填空：=a ______，b =______；(2)在射线CD 上有一动点E ，过点E 作EF 平行于y 轴交直线AB 时，求点E 的坐标；(3)点M 为直线AB 上一点，且45CDM ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】(1)1，2-1112132⎛⎫∴90QCP QPC ∠+∠=︒，∵CP CD ⊥，∴90QCP DCL ∠+∠=︒∴QPC DCL ∠=∠，∴QPC LCP ≌△△，∵()1,1C -，()0,2D -，∴CG HK =，GH KD =，∵()1,1C -，()0,2D -，设(,H c d ∴2c =-，1d =-，∴()2,1H --，可得直线DH 的解析式为联立12213y x ⎧=--⎪⎪⎨，解得721x ⎧=-⎪⎪⎨(1)求点C的坐标；∥轴交AB于点(2)如图2，过点C作直线CD x①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M DC≌△BDC时，当△1M和点B关于直线则点1M的坐标为：（-1∴点1M CD≌△BDC时，当△2。

(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题

(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。

1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。

初中八年级数学下册第十九章一次函数单元复习试题(含答案) (102)

初中八年级数学下册第十九章一次函数单元复习试题(含答案) (102)

初中八年级数学下册第十九章一次函数单元复习试题（含答案）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．易证：CE CF =．（1）在如图中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒．试猜想GE ，BE ，GD 三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图，在四边形ABCD 中90B D ==︒∠∠，BC CD =，点E ，点G 分别是AB 边，AD 边上的动点．若∠BCD =α，∠ECG =β，试探索当α和β满足什么关系时，如图中GE ，BE ，GD 三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图3)．设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？若不变，请直接写出结论．【答案】（1）GE BE GD =+，理由见解析；（2）①2αβ=时，GE BE GD =+；理由见解析；②在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化.【解析】 【分析】（1）由SAS 证得△EBC ≌△FDC ，再由SAS 证得△ECG ≌△FCG ，可得到EG=FG ，即可得出结果；（2）①延长AD 到F 点，使DF=BE ，连接CF ，可证△EBC ≌△FDC ，结合条件可证得△ECG ≌△FCG ，故EG=GF ，可得出结论；②延长BA 交y 轴于E 点，可证得△OAE ≌△OCN ，进一步可证得△OME ≌△OMN ，可求得MN=AM+AE ，易求出最终结果【详解】（1）GE BE GD =+，理由如下：四边形ABCD 是正方形，F 是AD 延长线上一点，BC DC ∴=，90FDC EBC ∠=∠=︒， 在EBC ∆和FDC ∆中，DF BE FDC EBC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EBC FDC SAS ∴∆≅∆，DCF BCE ∴∠=∠，CE CF =， 45GCE ∠=︒，904545BCE DCG ∴∠+∠=︒-︒=︒， 45DCG DCF ∴∠+∠=︒， ECG FCG ∴∠=∠，在ECG ∆和FCG ∆中，CG CG ECG FCG CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ECG FCG SAS ∴∆≅∆，EG GF ∴=，GE BE GD ∴=+；（2）①2αβ=时，GE BE GD =+；理由如下：延长AD 到F 点，使DF BE =，连接CF ，如图（2）所示：90B D ∠=∠=︒， 90B FDC ∴∠=∠=︒，在EBC ∆和FDC ∆中，DF BE FDC EBC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EBC FDC SAS ∴∆≅∆，DCF BCE ∴∠=∠，CE CF =， BCE DCG GCF ∴∠+∠=∠， 当2αβ=时，ECG FCG ∠=∠，在ECG ∆和FCG ∆中，CG CG ECG FCG CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ECG FCG SAS ∴∆≅∆，EG GF ∴=， GE BE GD ∴=+；②在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化； 延长BA 交y 轴于E 点，如图（3）所示：则45AOE AOM ∠=︒-∠，904545CON AOM AOM ∠=︒-︒-∠=︒-∠，AOE CON ∴∠=∠．又OA OC =，1809090OAE OCN ∠=︒-︒=︒=∠．在OAE ∆和OCN ∆中，90AOE CON OA OC EAO NCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()OAE OCN ASA ∴∆≅∆．OE ON ∴=，AE CN =．在OME ∆和OMN ∆中，45OE ON EOM NOM OM OM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()OME OMN SAS ∴∆≅∆．MN ME AM AE ∴==+． MN AM CN ∴=+，2P MN BN BM AM CN BN BM AB BC ∴=++=+++=+=．∴在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化．【点睛】本题是四边形综合题，考查了一次函数的综合运用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．102．某村为美化村道，计划在村道两旁种植A、B两种树木，需要购买这两种树苗共800棵.A、B两种树苗的相关信息如下表：设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了670棵，则绿化村道的总费用需要多少元？【答案】（1）50136000=-+；（2）绿化村道的总费用需要111000元.y x【解析】【分析】（1）根据“费用=树苗棵数⨯（单价+植树费）”求出树苗A、B的费用，两者求和即可得；（2）根据表中的成活率列出方程，求出树苗A的棵数，再代入（1）的结果即可.【详解】800x-棵（1）由题意得：购买A种树苗x棵，则购买B种树苗()∴(10020)(15020)(800)y x x =+++⨯- 整理得：50136000y x =-+故y 与x 之间的函数关系式为50136000y x =-+； （2）由题意得：()80%90%800670x x +-= 解得：500x =当500x =时，50500136000111000y =-⨯+= 答：绿化村道的总费用需要111000元. 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.错因分析：（1）不能根据题意找出y 与x 之间的关系；（2）不能找到正确的自变量x 的值代入关系式中求y 的值.103．已知ABC 的面积是12cm 2，BC=6cm ，在BC 边上有一动点P ，连接AP ，设BP 为xcm ，ABP △的面积为ycm 2，（1）求y 与x 之间的关系式（2）用表格表示当x 从1到6时（每次增加1），y 的对应值． （3）当x=0时，y 的值等于多少？此时说明了什么？【答案】（1）y=2x ；（2）见解析；（3）y=0，说明ABP △不存在 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积和BC的长，可以求出BC边上的高，进而利用三角形的面积公式可以表示出y与x之间的关系式；（2）分别求出当x＝1，2，3，4，5，6时，对应的y值，用表格表示即可；（3）当x＝0时，即BP＝0，此时点P与点B重合．【详解】解：（1）△ABC的面积是12cm2，BC＝6cm，则在BC边上的高为2×12÷6=4cm，∴△ABP的面积为：y＝12x×4＝2x，（0≤x≤6）；（2）用表格表示：（3）当x=0时，y=0，此时点P与点B重合，说明△ABP不存在．【点睛】本题考查了一次函数的意义和求一次函数的关系式，正确理解题意是解决问题的关键．104．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=kx在第一象限内的图像交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=kx 在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2.（1）求k的值；（2）求平移后的直线的函数解析式.【答案】(1) k=2（2）y=2x-4【解析】试题分析：（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．试题解析：(1)∵点A(m,2)在直线y=2x上，∴2=2m，∴m=1，∴点A(1,2)，∵点A(1,2)在反比例函数y=kx 上，∴k=2，(2)如图，设平移后的直线与y 轴相交于B ，过点P 作PM ⊥OA ，BN ⊥OA ，AC ⊥y 轴由(1)知,A(1,2)，∴∠BON=sin ∠AOC=AC OA =∵S △POA=12OA ×PM=12，∴PM=5， ∵PM ⊥OA ，BN ⊥OA ， ∴PM ∥BN ， ∵PB ∥OA ，∴四边形BPMN 是平行四边形，∴，∵sin ∠BON=55BNOB OB ==， ∴OB=4， ∵PB ∥AO ， ∴B(0,−4)，∴平移后的直线PB 的函数解析式y=2x −4.点睛：此题是反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，坐标与图形变化-平移，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线.105．如图，在平面直角坐标系中，过点()6,0B 的直线AB 与直线OA 相交于点()4,2A ．（1）直线OA 的关系式为 ；直线AB 的关系式为 （直接写出答案，不必写过程）．（2）求OAC ∆的面积．（3）若有一动点M 沿路线O A C →→运动，当3OCM S ∆=时，求点M 坐标．【答案】（1）y ＝12x ，y ＝﹣x +6；（2）12；（3）M 的坐标是：(1，12)或(1，5)【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；（2）先求出点C 的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设M 的横坐标为m ，根据S △OCM ＝3，得m ＝1，再分2种情况讨论：①当点M 在y ＝12x 上时，②当点M 在y ＝12x 上时，分别求出答案即可． 【详解】 （1）设直线OA 的关系式为：y ＝k x ，把()4,2A 代入y ＝k x ，得：2＝4k ，解得：k=12， ∴直线OA 的关系式为y ＝12x ； 设直线AB 的关系式是：y=kx+b ，把()4,2A ，()6,0B 代入y=kx+b ，得：4260k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的关系式是：y ＝﹣x +6；（2）在y ＝﹣x +6中，令x ＝0，解得：y ＝6，∴C （0，6），∴S △OAC ＝12×6×4＝12； （3）设M 的横坐标为m ，∵S △OCM ＝3，∴S △OCM ＝12×6m ＝3， ∴m ＝1，当点M 在y ＝12x 上时，把x ＝1代入y ＝12x ，得：y ＝12×1＝12，则M 的坐标是(1，12)； 当点M 在y ＝﹣x +6上时，把x ＝1代入y ＝﹣x +6，得：y ＝5，则M 的坐标是(1，5)．综上所述：M 的坐标是：(1，12)或(1，5)．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握三角形的面积公式和一次函数的性质，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法．106．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数情况；(2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的表达式．【答案】答案见解析【解析】整体分析：(1)二次函数y的图象与x轴的交点的个数即是一元二次方程x2－(2m－1)x ＋m2＋3m＋4=0的根的个数；(2)由x12＋x22＝5，结合根与系数的关系，确定m的值，得到点C，M的坐标，即可求出直线CM的解析式.解：（1）根据题意得，[－(2m－1)]2-4×1×(m2＋3m＋4)=-16m-15，当-16m-15＞0，即m<15-，有两个交点；16当-16m-15=0，即m＝15-，有一个交点；16当-16m-15＜0，即m>15-，无交点.16(2)由根与系数的关系得x1＋x2=2m－1，x1x2=m2＋3m＋4.因为x12＋x22＝(x1＋x2)2-2x1x2，所以(2m－1)2-2(m2＋3m＋4)=5，解得m1=6，m2=-1，因为m≤15-，所以m2=-1，16当m=-1时，二次函数的解析式为y=x 2+3x+2,则二次函数的解析式为y=x 2+3x+2的图象与y 轴的交点C （0，2），顶点M （32-，-14）. 设一次函数的解析式为y=kx+2，则32-=-124k +，解得x=32， 所以y ＝32x ＋2. 所以直线CM 的表达式为y ＝32x ＋2. 107．（2012秋•沙坪坝区校级期末）如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A （4，0），直线y=﹣3x+3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，且两直线交于点C （2，m ）．（1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）求△ACD 的面积．【答案】（1）m=﹣3×2+3=﹣3；y=x ﹣6；（2）9．【解析】试题分析：（1）先把点C （2，m ）代入y=﹣3x+3得求得m=﹣3，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先确定直线y=﹣3x+3与x 轴的交点坐标，然后利用S △ACD =S △ABD +S △ABC 进行计算．解：（1）把C（2，m）代入y=﹣3x+3得m=﹣3×2+3=﹣3；把A（4，0），C（2，﹣3）代入y=kx+b得，解得．所以一次函数的解析式为y=x﹣6；（2）对于y=﹣3x+3，令y=0，则x=1，则B（1，0）；令x=0，则y=3，则D（0，3）．则AB=4﹣1=3，则S△ACD=S△ABD+S△ABC=×3×3+×3×3=9．考点：两条直线相交或平行问题．108．在三个完全相同的小球上分别写上-2，-1，2三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀，从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为m，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小球上的数字为n，组成一对数m n.(,)（1）请用列表或画树状图的方法，表示出数对(,)m n的所有可能的结果；=+不经过第一象限的概率.（2）求直线y mx n.【答案】（1）见解析；（2）49【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，表示出数对（m，n）的所有可能的结果即可；（2）由树状图求得所有等可能的结果与所得到的直线y=mx+n不经过第一象限的情况，再利用概率公式即可求解．【详解】解：（1）树状图如下：∴数对(),m n 的所有可能为()2,2--，()2,1--，()2,2-，()1,2--，()1,1--，()1,2-，()2,2-，()2,1-，()2,2；（2）直线y mx n =+不经过第一象限的概率为49P =. 故答案为：（1）见解析；（2）49 . 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比．109．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.（1）求甲种商品与乙种商品的销售单价；（2）设销售甲种商品a 万件.① 甲、乙两种商品的销售总收入为 万元（用含a 的代数式表示）；① 若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【答案】（1）甲、乙两种商品的销售单价分别为900元，600元；（2）∴ （300a +4800）；②至少销售甲种商品2万件.【解析】【分析】（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元.，根据题意列出二元一次方程组即可求解；（2）①销售总收入的定义即可列出代数式；∴根据题意列出不等式即可求解.【详解】（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元.根据题意，得23, 321500 x yx y=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得900,600. xy=⎧⎨=⎩答：甲、乙两种商品的销售单价分别为900元，600元．（2）①销售甲种商品a万件，则销售乙种商品为（8-a）万件∴甲、乙两种商品的销售总收入为900a+(8-a)×600=300a+4800，故甲、乙两种商品的销售总收入为（300a+4800）万元故答案为：（300a+4800）；∴根据题意，得300a+4800≥5400，解得a≥2.答：至少销售甲种商品2万件.【点睛】此题主要考查二元一次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解.110．综合与探究：如图，直线y=yy−2与y轴，y轴分别交于y，y两点，其中yy=1.(1)求y的值；(2)若点y(y,y)是直线y=yy−2上的一个动点，当点y仅在第一象限内运动时，试写出yyyy的面积y与y的函数关系式；(3)探索：①在(2)条件下，当点y运动到什么位置时，yyyy的面积是1；②在①成立的情况下，在y轴上是否存在一点y，使△yyyy是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有y点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)k=2；(2)S=x-1；(3)①当y的坐标为(2,2)时，yyyy的面积是1；②存在，点y坐标P1（-2√2，0），P2（2√2，0），P3（4，0），P4（2，0）．.【解析】【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；（3）①利用三角形的面积求出求出点A坐标；【详解】（1）∵OB=1，∴B（1，0），∵点B在直线y=kx-2上，∴k=2（2）由（1）知，k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，∴y=2x-2（x＞1），∴S=S△AOB=12×OB×|y A|=12×1×|2x-2|=x-1，（3）①如图，由（2）知，S=x-1，∵△AOB的面积是1；∴x=2，∴A（2，2），∴OA=2√2，②设点P（m，0），∵A（2，2），∴OP=|m|，AP=√(2−y)2+4，①当OA=OP时，∴m=±2√2，∴P1（-2√2，0），P2（2√2，0），②当OA=AP时，∴2√2=√(2−y)24，∴m=0或m=4，∴P3（4，0），③当OP=AP时，∴|m|=√(2−y)2+4，∴m=2，∴P4（2，0），即：满足条件的所有P点的坐标为P1（-2√2，0），P2（2√2，0），P3（4，0），P4（2，0）．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A的坐标．。

4.难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)

4.难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)

难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)◆类型一 一次函数与面积问题 一、由一次函数图象求面积1．(当涂县期末)直线y ＝2x －4与两坐标轴所围成的三角形面积等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．162．已知直线l 1：y 1＝2x ＋3与直线l 2：y 2＝kx －1交于A 点，A 点横坐标为－1，且直线l 1与x 轴交于B 点，与y 轴交于D 点，直线l 2与y 轴交于C 点．(1)求出A 点的坐标及直线l 2的解析式； (2)连接BC ，求出S △ABC .二、由面积求一次函数关系式3．若直线y ＝－2x ＋b (b >0)与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则该直线的解析式为__________．4．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点A (1，2)的直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点B ，且S △AOB ＝4.则该直线的解析式为____________________．三、一次函数上的动点与面积问题 5．(盐城中考)如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B )，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是( )6．如图所示，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，OB OC ＝12.(1)求B 点坐标和k 的值； (2)若点A (x ，y )是直线y ＝kx －1在第一象限内的部分上的一个动点，试写出在点A 运动过程中，三角形AOB 的面积S 与x 的函数表达式；(3)探索：当动点A (x ，y )可在直线y ＝kx －1上任意移动时，若S △AOB ＝14，试确定点A的位置．【易错4】◆类型二 一次函数与几何图形综合的探究性问题7．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1交于点A 2，得到第1个梯形A 1OC 1A 2；再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1交于点A 3得到第2个梯形A 2C 1C 2A 3；再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，延长C 3B 3，得到第3个梯形……则第2个梯形A 2C 1C 2A 3的面积是________；第n (n 是正整数)个梯形的面积是____________(用含n 的式子表示)．第7题图 第8题图8．★如图，直角坐标系中，点P (t ，0)是x 轴上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，分别与直线y ＝12x ，直线y ＝－x 交于A 、B 两点，以AB 为边向右侧作正方形ABCD .(1)当t ＝2时，正方形ABCD 的周长是________；(2)当点(2，0)在正方形ABCD 内部时，t 的取值范围是__________________．参考答案与解析1．C2．解：(1)当x ＝－1时，y 1＝－2＋3＝1，∴A 点的坐标为(－1，1)．∵直线l 2：y 2＝kx －1经过点A (－1，1)，∴1＝－k －1，∴k ＝－2，∴y 2＝－2x －1；(2)∵直线y 1＝2x ＋3与y 轴交于D (0，3)，直线y 2＝－2x －1与y 轴交于C (0，－1)，∴CD ＝4，∴S △ADC ＝12×4×1＝2.∵直线y 1＝2x ＋3与x 轴交于B ⎝⎛⎭⎫－32，0，∴S △BCD ＝12×4×32＝3，∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD ＝3－2＝1.3．y ＝－2x ＋24．y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85 解析：设B 点坐标为(m ，0)，则S △AOB ＝12·|m |·2＝|m |.又∵S △AOB＝4，∴|m |＝4，∴m ＝±4.当m ＝4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝83.此时该直线的解析式为y ＝－23x ＋83；当m ＝－4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (－4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝－4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝25，b ＝85.此时该直线的解析式为y ＝25x ＋85.综上所述，该直线的解析式为y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85.5．B 解析：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小；当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小．故选B.6．解：(1)设B 点坐标为(m ，0)．∵OB OC ＝12，∴C 点坐标为(0，－2m )．由直线y ＝kx －1与y 轴交于点C 可得C 点坐标为(0，－1)，∴－2m ＝－1，∴m ＝12，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.由12k －1＝0得k ＝2； (2)∵A (x ，y )在第一象限，且y ＝2x －1，∴S △AOB ＝12OB ·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14⎝⎛⎭⎫x >12； (3)由题意，得12OB ·|y |＝14.∵OB ＝12，∴y ＝±1.当y ＝1时，x ＝1；当y ＝－1时，x ＝0.∴A点坐标为(1，1)或(0，－1)． 7．6 (2n －1＋2n )·2n －28．(1)12 (2)t <－4或45<t <2解析：当t <0时，AB ＝－32t ，即正方形ABCD 的边长为－32t .∵点(2，0)在正方形ABCD 内部，∴－32t >2－t ，解得t <－4；当t >0时，AB ＝32t ，即正方形ABCD 的边长为32t ，则⎩⎪⎨⎪⎧t <2，t ＋32t >2，解得45<t <2.故当点(2，0)在正方形内部时，t <－4或45<t <2.。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

一次函数与几何综合

一次函数与几何综合

一次函数与几何综合例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形纸片ABCO 的顶点AC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若34OC OB'=则直线CD 的表达式为____________． 【思路分析】1. 由折叠性质得，△BCD ≌△B′CD ，则B′C =BC =OA =15，=2. 设AD =t ，则B′D =BD =9-t ，在Rt △B′AD 中利用勾股定理可求出t =4，故D (15，4)；3. 由C (0，9)，D (15，4)，可通过k ，b 的几何意义得到直线CD 的表达式：193y x =-+．例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线122y x =-+上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为_____________．【思路分析】1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短；2. 因为AB ⊥l ，所以1()12AB k ⋅-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(-一、知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为____________，BM 即为____________，则=AM k BM．②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．MAB2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1_____l 2； ②若k 1·k 2=_________，则直线l 1_____l 2．3. 一次函数与几何综合解题思路①要求坐标，______________________________________； ②要求函数表达式，________________________________； ③要研究几何图形，________________________________．二、精讲精练1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，A ，D 是x轴上的两点，若四边形ABCD 是正方形，则k 的值为________．第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，已知直线l：y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线AC 的表达式为__________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中放入一张长方形纸片ABCO ，点D 在AB 边上，将纸片沿CD4. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．5. 如图，直线483y x =-+分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．坐标几何图形一次函数6. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：若已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．7. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点DE 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________．8. 如图，已知点A 的坐标为(2，0)，点B 在直线y =-x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A ．(-1，1)B ． ，C ．(1，-1)D ．( 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方的一点，且PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．1. 点B ，C 分别在直线y =2x 和直线y =kx 上，A ，D 是x 轴上的两点．若四边形ABCD 是长方形，且AB :AD =1:2，则k 的值为____________．2. 如图，一次函数y =-2x +4的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，把线段AB绕着点A 沿逆时针方向旋转90°，点B 落在点B ′处，则直线AB ′的表达式为______________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为AB 边上一点，沿CP 折叠正方形，折叠后的点B 落在平面_____________，直线CP 的表达式为___________________．第3题图 第4题图4. 如图，点A 的坐标是(-2，0)，点B 的坐标是(6，0)，点C 在第一象限内，且△OBC 为等边三角形，直线BC 交y 轴于点D ，过点A 作直线AE ⊥BD ，垂足为点E ，交OC 于点F ，则点C 的坐标为_______，直线AE 的表达式为______________．5. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =-x 的图象l 是第二、四象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A (0，2)关于直线l 的对称点A ′的坐标为(-2，0)，请在图中分别标出B (-5，-3)，C (-2，5)关于直线l 的对称点B ′，C ′的位置，并写出它们的坐标：B ′_________，C ′_________． 归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (m ，n )关于第二、四象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为______________． 运用与拓广：已知两点D (0，-3)，E (1，-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D ，E 两点的距离之和最小，并求出点Q 的坐标．。

一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解

一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解

1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。

分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

专题20.2 一次函数的图像与性质(第1课时)(解析版)

专题20.2 一次函数的图像与性质(第1课时)(解析版)

第二十章一次函数专题20.2 一次函数的图像与性质（第1课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（）A．（﹣4，0）B．（0，3）C．（3，﹣4）D．（﹣4，3）【答案】C【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y＝kx﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入y＝kx﹣4中，﹣3k﹣4＝0，解得：k＝﹣，所以直线y＝kx的解析式为：y＝﹣x，当x＝3时，y＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝，当x＝0时，y＝0，故选：C．【知识点】一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征2.一个正比例函数的图象经过点（1，﹣2），它的表达式为（）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x【答案】C【分析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），把（1，﹣2）代入得﹣2＝k×1，解得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．故选：C．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式3.已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≥﹣C．m＜﹣D．m＞【答案】C【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，解得m＜﹣．故选：C．【知识点】一次函数图象与系数的关系4.下列四点中，在函数y＝3x+2的图象上的点是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，0）D．（0，﹣1.5）【答案】B【分析】只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边＝右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．【解答】解：A、把（﹣1，1）代入y＝3x+2得：左边＝1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边≠右边，故A 选项错误；B、把（﹣1，﹣1）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边＝右边，故B选项正确；C、把（2，0）代入y＝3x+2得：左边＝0，右边＝3×2+2＝8，左边≠右边，故C选项错误；D、把（0，﹣1.5）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1.5，右边＝3×0+2＝2，左边≠右边，故D选项错误．故选：B．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征5.小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y＝|x|﹣2的四条性质，其中错误的是（）A．当x＝0时y具有最小值为﹣2B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞0C．当﹣2＜x＜2时，y＜0D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4【答案】B【分析】画出函数y═|x|﹣2的大致图象，即可求解．【解答】解：函数y═|x|﹣2的大致图象如下：A．当x＝0时y具有最小值为﹣2，正确；B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣2，故B错误；C．当﹣2＜x＜2时，y＜0，正确；D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积＝×4×2＝4，正确，故选：B．【知识点】一次函数的性质、两条直线相交或平行问题6.如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点A（﹣3，0），B（0，2），则不等式kx+b＞2的解集是（）A．x＞﹣3B．x＜2C．x＞0D．x＜2【答案】C【分析】根据图象和B的坐标得出即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是B（0，2），∴不等式kx+b＞2的解集是x＞0，故选：C．【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式二、填空题（共8小题）7.已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【知识点】一次函数的性质8.已知一次函数y＝﹣x+3，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是．【分析】由﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1≤x≤4，即可求出y的最大值．【解答】解：∵﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣1≤x≤4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值＝﹣×（﹣1）+3＝．故答案为：．【知识点】一次函数的性质9.如图直线a，b交于点A，则以点A的坐标为解的方程组是．【分析】先利用待定系数法求出直线a、b的解析式，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：直线a的解析式为y＝kx+m，把（0，1）和（1，2）代入得，解得，∴直线a的解析式为y＝x+1，易得直线b的解析式为y＝﹣x+3，∵直线a与直线b相交于点A，∴以点A的坐标为解的方程组为．故答案为（答案不唯一）．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）10.一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象如图，则﹣x﹣1＞x+4的解集是．【答案】x＜-2【分析】结合函数图象，写出一次函数y1＝﹣x﹣1图象在函数y2＝x+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象的交点的横坐标为﹣2，∴当x＜﹣2时，y1＞y2，∴﹣x﹣1＞x+4的解集为x＜﹣2．故答案为x＜﹣2．【知识点】一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式11.一次函数y＝kx+3的图象过点A（1，4），则这个一次函数的解析式．【答案】y=x+3【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于系数k的方程k+3＝4，通过解该方程可以求得k的值．【解答】解：由题意，得k+3＝4，解得，k＝1，所以，该一次函数的解析式是：y＝x+3，故答案为y＝x+3【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征12.已知一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，则k的取值范围为．【答案】-3≤k≤2且k≠0【分析】解不等式kx﹣2＜2x+3，根据题意得出k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解此不等式即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，∴kx﹣2＜2x+3，∴kx﹣2x＜5，∴k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解得﹣3≤k＜2且k≠0；当k＝2时，也成立，故k的取值范围是：﹣3≤k≤2且k≠0．故答案为：﹣3≤k≤2且k≠0．【知识点】一次函数与一元一次不等式13.在一次函数y＝（k﹣5）x+2中，y随x的增大而减小，则k的取值范围为．【答案】k＜5【分析】根据已知条件“一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小”知，k﹣5＜0，然后解关于k 的不等式即可．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小，∴k﹣5＜0，解得，k＜5；故答案是：k＜5．【知识点】一次函数图象与系数的关系14.一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，那么一次函数表达式是．【答案】y=-x+3【分析】一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，则一次项系数相等，设一次函数的表达式是y＝﹣x+b，代入（0，3）即可求得函数解析式．【解答】解：设一次函数的表达式是y＝﹣x+b．则3把（0，3）代入得b＝3，则一次函数的解析式是y＝﹣x+3．故答案是：y＝﹣x+3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题拓展提升三、解答题（共6小题）15.正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），求a的值．【分析】由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a的方程组，解之即可求出a的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），∴，∴．答：a的值为﹣．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征16.已知y与x+2成正比例，且当x＝1时，y＝6；（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）当x＝﹣3时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x+2），然后把已知的对应值代入求出k即可；（2）把x＝﹣3代入（1）中的解析式中可计算出对应的函数值．【解答】解：（1）设y＝k（x+2），把x＝1，y＝6代入得6＝3k，解得k＝2，∴y＝2（x+2）＝2x+4，即y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；（2）当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）+4＝﹣2．【知识点】一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式17.已知一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1）．（1）求k的值；（2）在图中画出这个函数的图象；（3）若该图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，试确定△OBC的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求出k的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，连接点A，C并双向延长，即可画出一次函数y＝kx+5的图象；（3）由点B，C的坐标可得出OB，OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△OBC的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1），∴2k+5＝﹣1，∴k＝﹣3．（2）当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）；当y＝0时，﹣3x+5＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0）．由点A，C可画出一次函数y＝kx+5的图象，如图所示．（3）∵点B的坐标为（，0），点C的坐标为（0，5），∴OB＝，OC＝5，∴S△OBC＝OB•OC＝．【知识点】一次函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征18.已知：如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B．（1）点A坐标是，点B的坐标是；（2）△AOB的面积＝；（3）当y＞0时，x的取值范围是．【答案】【第1空】（-6，0）【第2空】（0，3）【第3空】9【第4空】x＞-6【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；（2）根据三角形面积公式求解；（3）根据图象直接求解．【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0）；当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3）；故答案为（﹣6，0），（0，3）；（2）△AOB的面积＝×6×3＝9，故答案为9；（3）由图象得：当y＞0时，x的取值范围是x＞﹣6，故答案为x＞﹣6．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质19.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝1，解得y＝2，则B的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则一次函数的解析式是y＝﹣x+3；（2）当a＝4时，y＝﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y＝﹣x+3中令y＝0，解得：x＝3，则D的坐标是（3，0）．则S△BOD＝OD×2＝×3×2＝3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征20.已知一次函数y＝﹣2x﹣2．（1）根据关系式画出函数的图象．（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，（3）求A、B两点间的距离．（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．【分析】（1）根据函数解析式，可以画出相应的函数图象；（2）令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值，即可得到点A和点B的坐标；（3）根据（2）中点A和点B的坐标，即可得到A、B两点间的距离；（4）根据题意，可以得到点C的坐标．【解答】解：（1）函数图象如右图所示；（2）∵y＝﹣2x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2）；（3）∵点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，即A、B两点间的距离是；（4）由（3）知，AB＝，∵点C在坐标轴上，AB＝AC，∴当C在x轴上时，点C的坐标为（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0），当点C在y轴上时，点C的坐标为（0，2），由上可得，点C的坐标为：（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）或（0，2）．原11 【知识点】一次函数的性质、一次函数的图象。

部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案

部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案

专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP=　165　；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　85　；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是　(2-5)或(5-2，)　；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　32　；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=　22　；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。

一次函数与几何图形结合的问题习题

一次函数与几何图形结合的问题习题

一次函数与几何图形的综合问题类型一 一次函数与面积问题1.如图，一次函数y =- x +m 的图象和y 轴交于点B ,与正比例函数y =12x 的图象交于点P (2,n ).(1)求m 和n 的值;(2)求APOB 的面积.2.如图,把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内,其中∠CAB =90°,BC =5,点A ,B 的坐标分别为(1,0),(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x -6上时,线段BC 扫过的面积为 .3.如图,直线y =-2x +3与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B .[易错7](1)求A ,B 两点的坐标；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于点P ,且使OP =2OA ,求△ABP 的面积.4.如图,直线y =-x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ,C ,点A 的坐标为(8,0)，点P (x ,y )是在第一象限内直线y =-x +10上的一个动点.(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围；(2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标.图类型二一次函数与几何图形的规律探究问题1. (2017●安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3，..在直线l上,点B1,B2,B3,...在x轴的正半轴上，若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,...依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBn-1Bn,顶点Bn的横坐为.2.(2016●潍坊中考)在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,.. ,正方形AnBnCnC n-1,使得点A1,A2,A3…在直线l上,点C1 ,C2,C3,...在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是.类型三一次函数与新定义几何图形的探究1.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2, y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”.下图①为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0)，①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积；②点B在直线x=3上.若点A,B的“相关矩形”面积是4,求点B的坐标；(2)一次函数y=-2x+b的图象经过点A，交y轴于点C，若在线段AC上存在一点D，使得点D、B的对角矩形是正方形，求m的取值范围；(3)一次函数y=k x+4的图象交y轴于点C，点A、B的对角矩形且面积是12，且m>0，要使得一次函数y=k x+4的图象与该对角矩形有交点，求k的取值范围．图①。

一次函数与几何图形综合题

一次函数与几何图形综合题

一次函数与几何图形1、平面直角坐标系中，点A的坐标为（4, 0），点P在直线y=-x-m上，且AP=0P=4则m 的值是多少？2、如图，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，试求点B的坐标。

3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC勺顶点B的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分，试求4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x轴、y轴分别相7、已知一次函数的图象经过点（2, 20）,它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。

8、正方形ABCD勺边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1 , 0）,（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD勺面积；(2)若直线L经过点Eb的值。

“y在x轴上，若△ ABC是等腰三角形，试求点5、在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、为多少时，AP+BP取最小值，最小值为多少值为多少？6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交△ AOB的面积为15，且AB=A0求正比例函数和一次函数的解析式。

/C的坐标。

B（3，1），P是坐标轴上一点?当P的坐标为多少时，Ap-BP取最大值,A最大轴于点B（-6，0），且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。

9、在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4 交于A B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD勺面积为10,若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式10、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB 求这个一次函数解析式11、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P ( 2, m)在第一象限，直线PA 交y轴于点C (0, 2),直线PB交y轴于点D, S OF=6.求：(1 )△ COP的面积(2)求点A的坐标及m的值；(3)若S BOP=S DOP，求直线BD的解析式12、一次函数y=- x+1的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,以AB为边在第一象限内做3等边△ ABC(1 )求厶ABC的面积和点C的坐标；1(2)如果在第二象限内有一点P (a,-)，试用含a的代数式表示四边形ABPO勺面积。

初中数学解题技巧专题---一次函数与几何图形的综合问题

初中数学解题技巧专题---一次函数与几何图形的综合问题

第2页共3页
参考答案与解析 ．1 16 解析：如图，∵点 ，A B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，
＝＝BC24＝x×－54，6＝上∴16，在.即∴R线2t△x段－AB6B＝CC扫4中，过，解的由得面勾x积股＝为定5.即理16得O. AA′＝C＝5，∴BCC2C－′＝AABA2＝′＝45，－∴1＝A′C4.′＝∴4S.▱∵BCC点′B′C＝′在C直C′线·CAy
9
Hale Waihona Puke AP OP OA 2 AP OP OA 2
S△ABP
1 2AP·OB
1 2
9 2
3
27 4
S△ABP
1 2AP·OB
＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为247或94. 3．解：(1)∵点 P 在直线 y＝－x＋10 上，且点 P 在第一象限内，∴x>0 且 y>0，即－x
＋10>0，解得 ∵点 0<x<10. A(8，0)，∴OA＝8，∴S＝12OA·|yP|＝12×8×(－x＋10)＝－4x＋ ． 40(0<x<10)
＝ ，∴ ， ， ， ， ， … ∵ ＝ － ， ＝ － ， ＝ － ，…∴ B2B3 8 B1(2 0) B2(6 0) B3(14 0) . 2 22 2 6 23 2 14 24 2
Bn
的横坐标为 － 故答案为 － 2n＋1 2.
2n＋1 2.
B直∴形3(线点2A217，ByB．＝212C的(3x21－－On坐－111是标)，，上正为2…，n－方(2∴，，1形)点∴3，)点A，解∴2同B析的An1理：坐的B1∵可标坐＝y得为标O＝A点为(x21＝－，(B21113n－，)的与．1，∴坐∵x2点标四轴n－为边交B11()形于4的．，点坐A72)B标A．21C，为∵2∴C(B11，1点是(210正A)，．1方的2∵1形－坐C，1标1A)∴，为2∥AB(2x12B(，2轴21＝0，，)．A2点22∵C－1A四＝12)边在2，，

一次函数与几何图形综合题(含答案)

一次函数与几何图形综合题(含答案)

,专题训练：一次函数与几何图形综合1．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

图①第2题图②第2题图③2、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。

（6分）3 .如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．4o .如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。

一次函数与几何综合(题型齐全)

一次函数与几何综合(题型齐全)

一次函数与几何图形综合考点一、面积问题一次函数求面积的常用方法：（1）直接法（公式法）适用于规则图形，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时，常用直接法求面积；（2）割补法（分割求和、补形作差）适用于不规则四边形，将四边形分割成两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。

或者将四边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线），此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的规则图形面积；（3）铅锤法（底相同，高运算）适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）；（4）平行线面积转化适用于存在平行线的情况下，利用平行线的性质，平行线间的距离处处相等做高；题型一：直接求图形面积1、正比例函数()110y k x k =≠与一次函数()220y k x b k =+≠的图象的交点坐标为()43A ，，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为()03B -，．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．2、如图，一次函数5y x =-+和1y kx =-的图象与x 轴分别交于A 、C 两点，与y 轴分别交于B 、D 两点，两个函数图象的交点为点E ，且E 点的横坐标为2．(1)求k 的值；(2)不解方程组，请直接写出方程组51x y kx y +=⎧⎨-=⎩的解；(3)求两函数图象与x 轴所围成的ACE △的面积．3、如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求ABC 的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，直线132x m l y =+：与直线2l 交于点()23A -，，直线2l 与x 轴交于点()40C ，，与y 轴交于点B ，将直线l 2向下平移8个单位长度得到直线3l ，3l 与y 轴交于点D ，与1l 交于点E ，连接AD ．(1)求直线2l 的解析式；(2)求△ADE V 的面积；5、如图，直线l 1：y ＝x +m 与y 轴交于点B ，与x 轴相交于点F ．直线l 2：y ＝kx ﹣9与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，两条直线相交于点D ，连接AB ，且OA ：OC ：AB ＝1：3：．（1）求直线l 1、l 2的解析式；（2）过点C 作l 3∥l 1交x 轴于点E ，连接BE 、DE ．求△BDE 的面积．5、如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，5OB =，点A 的纵坐标为4．(1)求一次函数的解析式；(2)点D 和点B 关于x 轴对称，将直线2y x =-沿y 轴向上平移8个单位后分别交x 轴，y 轴于点,M N ，与直线()0y kx b k =+≠交于点E ，连接DE ，DC ，求ECD 的面积．题型二：已知面积求点的坐标1、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数a y x=的图象在第一象限交于点()4,3A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA OB =．(1)求一次函数y kx b =+与反比例函数a y x =的表达式；(2)已知点C 在x 轴上，且ABC 的面积是8，求此时点C 的坐标；2、如图，在平面直角坐标系中直线13:2l x m +与直线2l 交于点()2,3A -，直线2l 与x 轴交于点()4,0C ，与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线3l y ⊥轴．(1)求直线2l 的解析式和m 的值；(2)点P 在直线1l 上，当6PBC S = 时，求点P 坐标；。

专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)

专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)

1专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数3知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB=①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，5①OD ＝AD ＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO 时，①ADC ＝①AOB ＝90°，AD ＝OB ＝2，①OD ＝OA ＋AD ＝1＋2＝3． 综上所述，OD 的长为31． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（ ） A ．4 B ．6C ．D ．12【答案】A 【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案． 【详解】解：设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k ）＝3x+3k ．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k ，0）、（0，3k ） 所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：12k •3k ＝24， 解得：k ＝4或﹣4（舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键． 7．已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ） A ．y=1.5x+3 B ．y=1.5x -3 C ．y=-1.5x+3 D ．y=-1.5x -3【答案】C 【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0），根据三角形的面积公式即可求得a 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0）， ①一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，3）， ①b=3，①这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3， ①12×3×|a|=3， 解得：a=2，把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x 轴的交点坐标是解题的关键．8．如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（ ）7A ．﹣2B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得到M （1，3），求得l 2的解析式为y=3x ，根据l 1，l 2，l 3能围成三角形，l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3），于是得到结论． 【详解】解：把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1， ①M （1，3），设l 2的解析式为y=ax ， 则3=a ， 解得a=3，①l 2的解析式为y=3x ， ①l 1，l 2，l 3能围成三角形，①l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3）， ①k≠3，k≠-2，k≠1， ①k 的值能取的是2， 故选C ． 【点睛】本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，一次函数26y x =-+与坐标轴围成的三角形面积是：（ ） A ．6 B ．9 C ．15 D ．18【答案】B 【分析】根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】根据题中的关系式，可画出函数图像当0x =时，6y =，所以点A 的坐标为()06， 当0y =时，3x =，所以点B 的坐标为()30，12OABS OB OA =⨯ 1362=⨯⨯ 9=故答案为B. 【点睛】解题的关键是能够根据函数关系式求出函数与坐标轴的交点坐标．10．如图，在Rt①ABO 中，AB①OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分 的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S=t (0＜t ≤3)B ．S=12t 2 (0＜t ≤3) C ．S=t 2 (0＜t ≤3) D ．S=12t 2 -1(0＜t ≤3)【答案】B 【分析】由AB 、OB 的长度求出点A 、点B 的坐标，进而求出OA 所在直线的解析式，令x =t ，求出y ，确定t 的范围，利用三角形面积公式表示出S 即可. 【详解】 ①AB =OB =3， ①A （3，3），①OA 所在直线解析式为y =x ， 当0＜t ≤3时，令x =t ，则y =t ， ①S =12t 2（0＜t ≤3）.故选B.9【点睛】本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解. 二、填空题11．直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积为__________． 【答案】2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式可求出直线与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：当0x =时，4044y =⨯-=-，①直线44y x =-与y 轴的交点坐标为()0,4-； 当0y =时，440x -=，解得：1x =， ①直线44y x =-与x 轴的交点坐标为()1,0．①直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积14122=⨯⨯=．故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是把求线段的长的问题转化为求函数的交点．12．已知点A （7，0），B （0，m ），且直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28，则m 的值是__________． 【答案】8± 【分析】先分别求出点A 、点B 到坐标轴的距离即OA 、OB ，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：①点A （7，0），B （0，m ）， ①OA =7，OB =｜m ｜，①直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28， ①12×7×｜m ｜=28， 解得：m =±8， 故答案为：±8． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．13．已知直线1l ：23y x =-+，和直线2l ：6y x =-，若直线3l ：2y kx =-与1l 、2l 不能围成三角形，则k =_________．【答案】2-或1或13-【分析】由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线123,,l l l 不能围成三角形，有三种情况：①l 1①l 3，①l 2①l 3，①三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案． 【详解】解：若l 1①l 3则2k =-； 若l 2①l 3，则1k =； 若三条直线交于一点，236y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， 即1l 与2l 交于一点(3,3)-， 则3l 过该点，代入： 332k -=-，解得13k =-，综上所述，k 为2-或1或13-，故填：2-或1或13-．【点睛】本题考查一次函数图像和性质，两直线平行k 相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法．14．已知一次函数4y kx =-的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k 的值为________． 【答案】43±【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的周长列出方程求得k 即可． 【详解】解：令x ＝0，有y ＝0−4＝−4， 令y ＝0，有kx −4＝0，x ＝4k，①直线4y kx =-与坐标轴的交点坐标为（0，−4）和（4k，0），①一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的周长等于12，①|−4|+|4 k①k＝43±，经检验：k＝43±是方程的解，故答案是：43±．【点睛】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据三角形的周长列出方程是解答此题的关键．15．将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y轴分别交于点,,A B那么ABO为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x=-+的坐标轴三角形的面积是_____．【答案】16【分析】求出点A，点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：对于142y x=-+，当x=0时，y=4，当y=0时，x=8①A（8，0）B（0，4），所以OA=8，OB=4，①S①AOB＝12×8×4＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．三、解答题1116．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标分别()2,0A -，()2,0B ，(0,C ，直线l 过点B ，且与x 轴的正半轴成60︒角，将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．解答下列问题：（1）填空：ABC 为________三角形（选择“等腰”或“等边”一种），直线l 的函数表达式为_______；（2）若0180α<<︒，在ABC 的旋转过程中，当ABC 的一边与直线l 互相垂直时，记A 点的对应点为A '，求点A '的坐标；（3）当210α︒=时，记旋转后顶点A ，C 的对应点分别为M ，N PQ 在直线l 上移动，连结MQ ，NP ，试求四边形MQPN 周长的最小值．【答案】（1）等边，y -（2）A ´（2-2）或（2，4）或（2）；（3）．【分析】（1）利用点的坐标，求出OA =OB =2，OC ，利用勾股定理得出边长即可；设l ：y =kx +b ，把B 、E 点的坐标代入即可；（2）分'A B l ⊥，''A C l ⊥，'BC l ⊥三种情况分别画出符合的图形，然后再分别求解即可；（3）由题意先确定出点N 坐标，在四边形MQPN 中，MN=4，则只需要MQ +PN 的值最小即可，如图，过点M 作MH //BE ，然后取MF =PQ 作出点M 、F 关于直线l 的对称点M ′，F ′，再分别过点M ′、F ′作x 轴、y 轴的垂线，两垂线交于点G ，连接NF ′，则NF ′的长就是MQ +PN 长的最小值，求出NF ′的长即可． 【详解】（1）①x 轴①y 轴，13①OC ①AB ，又①A （-2，0），B （2，0），C （0，）， ①OA =OB =2，OC， ①OC 是AB 的垂直平分线， ①BC =BA ，在Rt OBC 中，BC4= ， AB =OA +OB ， ①AB =BC =AC =4， ①ABC 为等边三角形；设直线l 与y 轴的交点为E ，在Rt OBE 中，①OBE =60°，OB =2 ①OE. ①E （0，-， 设l ：y=kx +b ，代入B (2，0)，E （0，-，① 20k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，①y-(2)如图，当'A B l ⊥时，过点'A 作'A F x ⊥轴于点F ，①'90A BE ∠=︒，'90A FB ∠=︒， ① ①OBE =60°，①α=①A′BF =90°-60°=30°， ①A′F =1'22A B =，BF=， ①OF =BF -OB =A´B -OB-2，①A ´（2-2）；如图，当''A C l ⊥时，垂足为F ，①1'''302A BF A BC ∠=∠=︒，'90A FB ∠=︒，① ①OBE =60°，①α=①A′BA =180°-30°-60°=90°， ①'A B AB ⊥，即'A B x ⊥轴， ①A ´（2，4）；如图，当'BC l ⊥时，''A C 交x 轴于点F ，①'90EBC ∠=︒， ① ①OBE =60°，①①FBC ′=180°-90°-60°=30°，①①A′BF =①A′BC ′-①FBC ′=60°-30°=30°， ①α=①A′BA =180°-30°=150°，①A′FB =90°， ①''A C AB ⊥，即''A C x ⊥轴，①A′F =2，BF =①OF=OB+BF①A´（2）；综上，A′的坐标为：（2-2）或（2，4）或（2）；（3）α=210°时，①ABM=360°-210°=150°，①①ABN=①ABM-①MBN=90°，①N（2，-4）在四边形MQPN中，MN=4，MQ+PN的值最小即可，如图，过点M作MH//BE，然后取MF=PQ分别作出点M、F关于直线l的对称点M′，F′，再分别过点M′、F′作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点G，连接NF′，则NF′的长就是MQ+PN长的最小值，①''M F=由对称性可知点①M′BA=30°，又（1）可知M′（2-2），在①M′F′G中，1'''2F G M F==3'4M G=，①3'224F⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，即5'24F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，①'F N①15【点睛】本题考查了旋转，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：43y x =与直线2l ：y kx b =+相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴负半轴于点B ，且OB OA =． （1）求点B 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）过点B 作31//l l 交x 轴于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．【答案】（1）35y x =-；（2）758【分析】（1）利用直线1l 的解析式求出点A 的坐标，再根据勾股定理求出OA 的长度，从而可以得到OB 的长度，根据图象求出点B 的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线2l 的函数表达式；（2）根据题意易求得直线3l 为453y x =-，即可求得15(4C ，0)，根据直线2l 的解析式求得与x 轴的交点D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】解：（1）点A 的横坐标为3， ①将x ＝3代入43y x =，得：4343y =⨯=，∴点A 的坐标是(3,4)，5OA ∴=，OA OB =，5OB OA ∴==，17∴点B 的坐标是(0,5)-，把A 、B 的坐标代入y kx b =+得：345k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得35k b =⎧⎨=-⎩，∴直线2l 的函数表达式是35y x =-；（2）①31//l l 且点B 的坐标是(0,5)-，∴直线3l 为453y x =-， 令0y =，则154x =， 15(4C ∴，0)，设直线2l 与x 轴的交点为D ， 将y ＝0代入35y x =-，得：53x =，5(3D ∴，0)，155254312CD ∴=-=， ABC ∴的面积12575(45)2128=⨯⨯+=．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．18．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知ABC ，请用尺规作出ABC 的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上、OC 在y 轴的正半轴上，6,4OA OC ==． ①请判断直线4833y x =-是否为矩形OABC 的面积等分线，并说明理由； ①若矩形OABC 的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在ABC 中，点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3，点C 的坐标为()2,0，点D 的坐标()0,2-，求过点D 的一条ABC 的面积等分线的解析式．（4）在ABC 中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()0,1，直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线，请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线；①y =2x −4或y =29x +43；（3）22y x =-；（4）01b ＜＜ 【分析】（1）作出线段BC 的垂直平分线，找到BC 中点D ，连接AD ，AD 即所求的ABC 的一条面积等分线．（2）①连接AC ，OB 交于点M ，根据6,4OA OC ==求出点M 的坐标，然后由矩形性质可知形OABC 的面积等分线必过点M ，将M 点的坐标代入4833y x =-判断M 点不在一次函数图像上，即可判断出直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可； （3）根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线AB 的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可； （4）根据图像结合面积等分线的性质即可求出b 的取值范围．19【详解】解：（1）如图1所示，作出BC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ， ①AD 是三角形ABC 的中线，①AC 所在直线即要求的ABC 的一条面积等分线．（2）①如图2所示，连接AC ，OB 交于点M ．①OA =6，OC =4， ①()6,0A ，()0,4C ， ①()3,2M ，①四边形OABC 是矩形，①矩形OABC 的面积等分线必过点M ， 将x =3代入4833y x =-中，得： 48432333y =⨯-=≠，①直线4833y x =-不过点M ， ①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①如图所示，由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，①3k+b=2，①b=2−3k，①矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2−3k，令x=0，y=2−3k，①F(0，2−3k)，①OF=|2−3k|，令y=0，①x=32kk-，①E(32kk-，0)，①OE=32kk-，①矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，①142OE OF•=，①OE①OF=8，①|2−3k|①|32kk-|=8，①k=2或k=29，①矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x−4或y=29x+43．（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为y kx b=+，交x轴于点F，交AB 于点E．21①三角形ABC 面积的等分线y kx b =+过点D ， ①将D ()0,2-代入表达式得：b =-2， ①表达式为2y kx =-．将y =0代入2y kx =-得：x =2k ，①F 20k ⎛⎫⎪⎝⎭，． ①AF =22k+． ①点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3， 利用待定系数法可得AB 的表达式为112y x =+， ①DE 和AB 交于点E ， ①联立表达式得：1122y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：6216221x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩．①14362ACB S =⨯⨯=△，①132AEF ACB S S ==△△， ①132E AF y ⨯⨯=， 代入得：126223221k k k ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 整理得：24720k k --=，解得：12124k k ==-，（舍去），①三角形ABC 面积的等分线的表达式为22y x =-． （4）如图所示，①直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线， 由图像可知，当1b ≥或0b ≤时，无论a 取何值，直线()0y ax b a =+>都不能把ABC 的面积平分， ①01b ＜＜． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解．19．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2）且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴正半轴交于点C ． （1）求直线n 的函数表达式；（2）若①ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若①ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC ，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝423x -；（2）C （0，4）；（3）y ＝463x -+．【分析】（1）用待定系数法求直线n 的函数解析式；23（2）根据①ABC 的面积为9可求得AC 的长，可得出结论；（3）过点B 作BD ①y 轴于点D ，则CD ＝AD ＝4，得C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ，将B ，C 代入即可． 【详解】解：（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，①直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2），点B （3，2），①232b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①直线n 的函数解析式为：y ＝423x -； （2）①若①ABC 的面积为9， ①9＝132AC ， ①AC ＝6， ①OA ＝2，①点C 在y 轴正半轴， ①C （0，4）；（3）当AB ＝BC 时，过点B 作BD ①y 轴于点D ，①CD ＝AD ＝4， ①C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ， 将B （3，2），C （0，6）代入得：326k b b +=⎧⎨=⎩， 解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①直线l 的解析式为：y ＝463x -+．【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． 20．如图，直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点，连接OA 、OB ．（1）求m 、n 、k 的值； （2）求AOB 的面积；（3）直接写出12y y <时，x 的取值范围．【答案】（1）11,,33m n k ==-=；（2）356；（3）02x << 或13x <-【分析】（1）根据题意可先出m ，n ，可得()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，再代入反比例函数解析式求出即可；（2）先求出直线与y 轴的交点坐标，可得AOB 的面积AODBODSS=+，即可求解；（3）观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x 的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点， ①当2x = 时，2351m =⨯-= ，当6y =- 时，635n -=- ，解得：13n =- ，①()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，将()2,1A 代入反比例函数21k y x -=，得：112k -=， 解得：3k = ，（2）设直线AB 与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ，25当0x = ，15y =- ， ①()0,5D - ， 即OD =5， ①AOB 的面积1112223AODBODSSOD OD =+=⨯⨯+⨯⨯ 111352552236=⨯⨯+⨯⨯= ； （3）①直线135y x =-与反比例函数21k y x -=的图象交于点()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ， ①由图象可知，当12y y <时，02x << 或13x <- ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，利用反比例函数与一次函数的交点解答是解题的关键． 21．如图直线l 1＝kx +5与y 轴交于点A 直线l2＝﹣x +1与直线l 1交于B ，与y 轴交于C ，已知点B 的纵坐标为2．（1）确定直线l 1的解析式；（2）直线l 1、l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 ；（3）垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于M 、N ，若线段MN 的长为2，求a 的值．【答案】（1）35y x ==；（2）2；（3）12a =-或32a =-【分析】（1）根据B 点的纵坐标为2且B 是两直线的交点，先把B 纵坐标代入l 2求出B 点坐标，然后代入l 1解析式即可求解；（2）分别求出A 、C 两点的坐标，然后求解面积即可得到答案；（3）把x a =代入两直线解析式分别求出M 、N 的坐标，然后根据MN =2求解即可得到答案. 【详解】解：（1）解：把2y =代入1y x =-+中 得1x =-①B 点坐标为（-1，2）把1x =-时2y =代入5y kx =+中 得25k =-+3k =直线l 1的解析式为35y x =+（2）①直线l 1的解析式为35y x =+ 与y 轴交于A 点 ①A （0，5）①直线l 2的解析式为1y x =-+ 与y 轴交于C 点 ①C （0，1）27①两直线与y 轴围成的面积=14122⨯⨯=（3）把x a =分别代入21y x =-+，和135y x =+中 得21y a =-+ 135y a =+①M （a ，3a +5），N （a ，-a +1） ①1352a a -+--= 112a +=①12a =-或32a =-【点睛】本题主要考查了两一次函数的交点问题，与坐标轴围成的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识点.22．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数12y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求①AOB 的面积．【答案】（1）y＝-x-1；（2）7 2【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）把x＝3代入12yx=-，得y＝-4，故A（3，-4），把y＝3代入12yx=-，得x＝-4，故B（-4，3），把A，B点代入y＝kx+b得：34 43k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得：11kb=-⎧⎨=-⎩，故直线解析式为：y＝-x-1；（2）由（1）知：当y＝0时，x＝-1，故C点坐标为：（-1，0），则①AOB的面积为：12×1×3+12×1×4＝72．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键．23．已知直线L1为y1＝x+1，直线L2为y2＝ax+b（a≠0），两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线L2与x轴的交点B的坐标为（2，0）．（1）求a、b的值．（2）求使y1、y2的值都大于0的x的取值范围．（3）求这两条直线与x轴所围成的①ABC的面积．【答案】（1）a＝12-，b=1；（2）-1＜x＜2；（3）32【分析】（1）首先根据直线l1的解析式可求得C点的坐标，进而可由B、C的坐标，利用待定系数法确定a、b的值．（2）根据两个函数的图象以及A、B点的坐标进行解答即可．（也可通过解不等式来求得）（3）根据（1）得到的直线l1的解析式，可求得点A的坐标，以AB为底、OC为高即可求得①ABC的面积．【详解】解：（1）由直线l1的解析式为y1=x+1，可求得C（0，1）；则依题意可得：201a bb+=⎧⎨=⎩，解得：a＝12-，b=1；（2）由（1）知，直线l2：112y x=-+，①y1=x+1＞0，①x＞-1；①y2＝112x-+＞0，①x＜2；①-1＜x＜2．（3）由题意知A（-1，0），则AB=3，且OC=1；①S①ABC=12AB•OC=12×3×1＝32．【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与一元一次不等式的联系以及三角形面积29的计算方法，难度适中．。

一次函数综合题1

一次函数综合题1

⇔⇔⇔⇔一次函数与几何图形变换直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2y1与y2相交；② K 1≠ K 2, b1=b2y1与y2相交于y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③ K 1 : K 2=b 1 : b 2 k 1≠ k 2y 1与y 2相交于x 轴上同一点（-，0）④ K 1 = K 2, b 1 ≠b 2y 1与y 2互相平行 ⑤ K 1 = K 2 b 1=b 2 y 1与y 2互相重合⑥ K 1 K 2=-1 Y 1与Y 2互相垂直 ⑦ K 1 = - k 2 b 1 = b 2y 1与y 2关于y 轴对称 ⑧ K 1= - k 2 b 1 = -b 2y1与y2关于x 轴对称 ⑨ K 1= k 2 b 1 = - b 2y 1与y 2关于原点对称⑩直线y=kx+b 关于直线y ＝x 对称直线解析式为直线y=kx+b 关于直线y ＝-x 对称，直线解析式为〖方法〗：直线的对称问题可通过点的对称解决，所以可在已知直线上取两点，求得对称点的坐标后，再运用待定系数法求其解析式．例填空⑴若直线l 与直线y ＝2x －1关于x 轴对称，则直线l 的解析式为⑵若直线l 与直线y ＝2x －1关于y 轴对称，则直线l 的解析式为 ⑶若直线l 与直线y ＝2x －1关于原点对称，则直线l 的解析式为 __________ ． ⑷若直线l 与直线y ＝2x －1关于直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为________ ． ⑸若直线l 与直线y ＝2x －1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 的解析式为__________．⑹直线y=k 1x-3与y=k 2x+4相交于x 轴上一点则k 1：k 2=___ ⑺直线y=k 1x-b 1与y=k 2x+4相交于y 轴上一点则b 1=___ ⑻直线y=x+b 1与y=2x+b 2相交于x 轴上一点则b 1：b 2= ⑼函数y 1=x +b 图象与一次函数y 2=kx +4的图象关于y 轴对称，求k 、b 的值⑽函数y 1=x +b 图象与一次函数y 2=kx +4互相垂直则k=------------⑾函数y 1=x +b 图象与一次函数y 2=kx +4互相平行则k= --------- 练习1.已知直线b kx y +=平行于直线y=-3x+4，且与直线y=2x-6的交点在x 轴上，求此一次函数的解析式。

一次函数与几何图形综合题10及答案

一次函数与几何图形综合题10及答案

一次函数与几何图形综合题10及答案1、1) AC的解析式为y=-x-2；2) 设BP与PQ的交点为R，由相似三角形可得BP/PQ=OB/OQ，即BP/PQ=1/2，故BP=2PQ。

证明如下：设BP=x，PQ=y，则由OC=OB可得AC=-x-2，又由直线AC和BP的垂线PQ相似可得y/x=(x+2)/(y+2)，解得y=2x，代入AC 的解析式可得BP=2PQ，结论得证。

3) 正确结论为①(MQ+AC)/PM的值不变。

证明如下：由(2)可得BP=2PQ，又由相似三角形可得MQ/PM=OB/OQ，即MQ/PM=1/3，代入AC的解析式可得(MQ+AC)/PM=-2/3，为定值。

而(MQ-AC)/PM=(MQ+AC)/PM-2AC/PM=-2/3-2x/(x+2)，不是定值。

故正确结论为①。

2、1) 直线L的解析式为y=-x+5；2) 由相似三角形可得MN/BN=AM/AB=4/(4+3)，即MN=12/7；3) 猜想PB的长为定值，其值为2.证明如下：设点B在y轴上的坐标为h，则BP=h，由△OBF和△ABE相似可得BE=BF=h/2，EF=AB-BE=5-h/2，由相似三角形可得FP/EF=BP/BE=h/(5-h/2)，所以FP=5h/(5-h/2)，由于P在y轴上，故FP=2h，解得h=2，即PB=2，结论得证。

3、1) 直线l2的解析式为y=-x+1；2) 画图如下，由相似三角形可得BE/BC=AB/AC，即BE/(BE+CF)=(AB+BC+AC)/AC，代入AB=1，BC=3，AC=4可得BE/(BE+CF)=5/4，即BE=5CF/3，代入△BEC的勾股定理可得CF=3/2，BE=5/2，故BE+CF=8/2=4=EF，结论得证。

3) 正确结论为①OM为定值，其值为1/2.证明如下：设△ABC沿y轴向下平移的距离为h，则BP=CQ=h，由相似三角形可得OM/AB=OC/AC，即OM/1=(h+2)/(h+4)，解得OM=(2h+4)/(h+4)，为定值。

2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析

2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析

专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。

新人教版八年级数学下册考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题

新人教版八年级数学下册考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题

考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.【易错7】(1)求A，B两点的坐标；(2)过B点作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．3．如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，点P(x，y)是在第一象限内直线y＝－x＋10上的一个动点．(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．第4题图第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x －6上，∴2x －6＝4，解得x ＝5.即OA ′＝5，∴CC ′＝AA ′＝5－1＝4.∴S ▱BCC ′B ′＝CC ′·CA ＝4×4＝16.即线段BC 扫过的面积为16.2．解：(1)令y ＝0，则－2x ＋3＝0，解得x ＝32；令x ＝0，则y ＝3，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)．(2)由(1)得点A ⎝⎛⎭⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94. 3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，52.4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。

(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PMxy的值不变；②(MQ －AC )/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1)当OA =OB 时，试确定直线L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =4，BN =3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，xyo BACPQM第2题图①第2题图②若不是，说明理由。

考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定． 专题：代数几何综合题．分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由OA =OB 得到启发，证明∴△AMO ≌△ONB ，用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长．解答：解：（1）∵直线L ：y =mx +5m ，∴A （－5，0），B （0，5m ）， 由OA =OB 得5m =5，m =1， ∴直线解析式为：y =x +5．（2）在△AMO 和△OBN 中OA =OB ，∠OAM =∠BON ，∠AMO =∠BNO ， ∴△AMO ≌△ONB ． ∴AM =ON =4， ∴BN =OM =3．（3）如图，作EK ⊥y 轴于K 点．CB Al 1xy先证△ABO ≌△BEK ， ∴OA =BK ，EK =OB ． 再证△PBF ≌△PKE ， ∴PK =PB ． ∴PB =21BK =21OA =25． 点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题． 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ,过点C作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。

（6分）考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据题意先求直线l 1与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线l 2的上点C 的坐标，用待定系数CBAxy QM PCB Axy法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．解答：解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，－3）∴直线l2的解析式为：y=－x－3；（2）如图1．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=BC，∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）①对，OM=3过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM∴HM=OM∴OM=BC－（OB+CM）=BC－（CH+CM）=BC－OM1BC=3．∴OM=2点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为－1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D 点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．解答：解：（1）要使b=有意义，必须（a－2）2=0，4-b=0，∴a=2，b=4，∴A（2，0），B（0，4），设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=－2，b=4，∴函数解析式为：y=－2x+4，答：直线AB的解析式是y=－2x+4．（2）如图2，分三种情况：①如图（1）当BM ⊥BA ，且BM =BA 时，过M 作MN ⊥Y 轴于N ， △BMN ≌△ABO （AAS ），MN =OB =4，BN =OA =2，∴ON =2+4=6，∴M 的坐标为（4，6 ）， 代入y =mx 得：m =23， ②如图（2）当AM ⊥BA ，且AM =BA 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2），m =31， ③当AM ⊥BM ，且AM =BM 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，MH ⊥Y 轴于H ，则△BHM ≌△AMN ，∴MN =MH ，设M （x ，x ）代入y =mx 得：x =mx ，（2） ∴m =1， 答：m 的值是23或31或1． （3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，设NM 与x 轴的交点为H ，分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ，HD 交MP 于D 点， 由y =2k x －2k与x 轴交于H 点，∴H （1，0）， 由y =2k x －2k与y =kx －2k 交于M 点， ∴M （3，K ）， 而A （2，0）， ∴A 为HG 的中点， ∴△AMG ≌△ADH （ASA ），又因为N 点的横坐标为－1，且在y =2k x －2k上， ∴可得N 的纵坐标为－K ，同理P 的纵坐标为－2K ， ∴ND 平行于x 轴且N 、D 的横坐标分别为－1、1 ∴N 与D 关于y 轴对称， ∵△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC ， ∴PN =PD =AD =AM ， ∴AMPN-PM =2．点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．5.如图，直线AB ：y =－x －b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。

相关文档
最新文档