2019-2020学年河北省邢台市高二下学期期末考试数学试题 解析版

河北省邢台市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题解析版考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版选修2—3，必修1．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,3,4,7A =，{}270B x x =-+<则()A B =R（ ）A. {3,4}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {3,4,7}【答案】B 【解析】 【分析】先化简B ，再根据交集和补集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}72702B x x x x ⎧⎫=-+<=>⎨⎬⎩⎭，所以72R B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 又{}2,3,4,7A =， 所以(){2,3}RA B ⋂=．故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题型.2. 张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ） A. 7种 B. 12种 C. 14种 D. 24种【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求解即可.【详解】由分类计数原理可知，张先生从本地到上海的出行方案可以是坐动车前往，或者坐飞机前往， 共有437+=种． 故选：A.【点睛】本题考查分类加法计数原理，是基础题.3. 已知随机变量,X Y 满足Y aX b =+，且,a b 为正数，若()2,()8D X D Y ==，则（ ） A. 2b = B. 4a = C. 2a = D. 4b =【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由方差的性质可得，2()()()D Y D X b X a a D +==， 因为()2,()8D X D Y ==，所以282a =， 又a正数，所以2a =．故选：C .【点睛】本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型. 4. 已知0.5331log 4,5,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b <<B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用中间数0、1结合函数的单调性可得三者之间的大小关系. 【详解】因为0.5033331log 4log 31,0551,log log 102->=<<=<=， 所以c b a <<． 故选：D.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，一般利用函数的单调性和中间数来解决大小关系，本题属于基础题.5. 已知()32nx -的展开式的所有二项式系数之和为64，则n =（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理，根据二项式系数之和列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为()32nx -的展开式的所有二项式系数之和为64， 所以264n =，解得：6n =. 故选：D.【点睛】本题主要考查由二项展开式的二项式系数之和求参数，属于基础题型. 6. 函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,)e D. (,4)e【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，结合函数零点的存在性定理可得函数()f x 零点所在的大致区间．【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>， 故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)， 故选：B ．【点睛】本题主要考查用二分法求函数零点的近似值，函数零点的判定定理，属于基础题．7. 已知22⎛- ⎪⎝⎭nx x 的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（ ）A.1012B. 1012-C. 102D. 102-【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的第九项，令x 的指数为0，可以求出n ，再将1x =代入即可求出系数和. 【详解】882888220922n n n n n x x T C C x---⎛⎫⎛⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎭⎝=，所以2200n -=，则10n =, 令1x =，可得1021011221⎛-= ⎪⎝⎭，所以展开式中的各项系数之和为1012． 故选：A.【点睛】本题考查二项展开式的各项系数之和，属于基础题.8. 某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）A. 12B. 36C. 24D. 48【答案】C 【解析】 【分析】运用排列的定义进行求解即可.【详解】由题意可知：不同的涂色种数为：44432124A =⨯⨯⨯=，故选：C【点睛】本题考查了排列应用，属于基础题.9. 已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-，所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.10. 函数()(sin )cos f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法解决即可.【详解】解：函数的定义域为R ，由于()()()()()()sin cos sin cos sin cos f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=-+=-⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ， 又因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，故排除C ，A ． 故选：D.【点睛】本题考查函数的图像性质，除了判断函数的奇偶性和单调性以外，最后确定选项常用的方法是赋值法，难点在于选取合适的点进行赋值，属于容易题 11. 已知随机变量X 的分布列为则当a 在要求范围内增大时，（ ） A. ()E X 增大，()D X 减小 B. ()E X 增大，()D X 增大 C. ()E X 减小，()D X 先增大后减小 D. ()E X 减小，()D X 先减小后增大【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分布列求出()E X ，然后判断其单调性，进一步求出()D X ，根据函数性质判断其单调性即可.【详解】解：由题意可得，201301a a ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩，20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 124()0242333E X a a a ⎛⎫=⨯+⨯-+=+ ⎪⎝⎭，在20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，222241424208()20222443333339D X a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯++-⨯-++-⨯=-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是关于a 的二次式，其开口朝下，对称轴56a =，所以()D X 在20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 故选：B ．【点睛】考查数学期望和方差公式的应用以及函数的单调性，基础题.12. 已知函数()f x ()R x ∈满足(2)(4)f x f x +=-，若函数261y x x =-+与()y f x =的图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,n n x y x y x y x y ，则123n x x x x ++++=（ ）A. 3nB. 2nC. nD. 0【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 和261y x x =-+的图象都关于3x =对称，可知它们的交点也关于3x =对称，进而分n 为奇数和n 为偶数两种情况，分别求出答案即可. 【详解】∵函数()f x ()R x ∈满足(2)(4)f x f x +=-，∴()f x 的对称轴为2432x xx ++-==，又函数261y x x =-+的对称轴也为3x =，∴两个函数图象的交点也关于3x =对称． 当n 为偶数时，123632n nx x x x n ++++=⨯=； 当n 为奇数时，123n x x x x ++++=16332n n -⨯+=． 综上，1233n x x x x n ++++=．故选：A.【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．13. 函数()f x 的定义域为R ，满足()()0f x f x +-=，且当0x >时，22()x f x x =-，则(1)=f -_______．【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，由已知解析式，可直接得出结果. 【详解】因为()()0f x f x +-=，所以函数为奇函数， 又当0x >时，22()xf x x =-， 所以(1)(1)(12)1f f -=-=--=． 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，属于基础题型. 14. 已知01122133331024n n n n nn n n n n C C C C C ---+++++=，则n =_____．【答案】5 【解析】 【分析】根据二项式定理，将原式进行化简，得到(31)1024n=+，求解，即可得出结果. 【详解】011100111111033331313131n n n n n n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C -----++++=⋅+⋅++⋅+⋅10(31)410242n n =+===，即21022n =，解得5n =．故答案为：5.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于常考题型.15. 已知函数22log (2),2,()32,2,x x f x x x x +>-⎧=⎨+--⎩则158f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】2- 【解析】 【分析】先根据分段函数和对数的性质求出158f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据其大小代入相应的解析式后可得所求的函数值.【详解】因为22log (2),2()32,2x x f x x x x +>-⎧=⎨+--⎩，1528->-，所以2151log (3)288f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：2-.【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算以及对数的性质，注意根据自变量所处的范围来计算相应的函数值，本题属于基础题.16. 十二生肖，又叫属相，是与十二地支相配以人出生年份的十二种动物，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，十二生肖的起源与动物崇拜有关．据湖北云梦睡虎地和甘肃天水放马滩出土的秦简可知，先秦时期即有比较完整的生肖系统存在．现有6名学生的属相均是龙、蛇、马中的一个，若每个属相至少有一人，则不同的情况共有_______种． 【答案】540 【解析】 【分析】先把6名学生分组，有3种分组方式，再就不同的分组方式有序分配3种属相，从而得到所求的不同情况的总数.【详解】首先将6名学生分成3组，3组的人数为2，2，2或1，2，3或1，1，4，这样无序分组的方法有222114123642654653323290C C C C C C C C C A A ++=种， 然后将3个小组与3个属相对应，又有33A 种，则共有3390540A ⨯=种不同的情况． 故答案为：540.【点睛】本题考查排列、组合的应用，对于有特殊要求的分配问题，可以根据要求先分组，再分配，本题属于中档题.三、解答题：本题共δ大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知()f x 是一次函数，且2(21)(2)65f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式．【答案】（1）()23f x x =-；（2）2()23f x x x =++.【解析】 【分析】（1）先由题意，设()f x kx b =+，根据题中条件，列出方程求解，即可得出结果； （2）根据换元法，令3t x =-，得到3x t =+，代入题中所给式子，化简整理，即可得出结果.【详解】解：（1）因为()f x 是一次函数，所以可设()f x kx b =+则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465f x f x k x b k x b kx k b x +--=++--+=++=+，所以3645k k b =⎧⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩， 所以()23f x x =-．（2）令3t x =-，则3x t =+．因为2(3)46f x x x -=-+，所以2()(3)4(3)6f t t t =+-++223t t =++．故2()23f x x x =++．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型. 18. 某土特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元旦期间的购买情况进行随机抽样并统计，得到如下数据：（1）估计游客平均购买金额（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）； （2）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．附：参考公式和数据：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++．附表：【答案】（1）46.5；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【解析】【分析】（1）利用组中值可计算游客平均购买金额；（2）先完成二联表，再算出2K的值，最后根据临界值表可得相应的结论.【详解】解：（1）1(7.51022.51537.52052.52567.52082.510)46.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）22⨯列联表如下：22100(12304018)225 2.7063070524891K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，因此没有90%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．【点睛】本题考查频数分布表的应用、独立性检验及其应用，利用前者计算样本均值时可利用组中值来进行计算，后者可根据二联表来计算2K 的值，再结合临界值进行判断，本题属于基础题.19. 2019年，中华人民共和国成立70周年，为了庆祝建国70周年，某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：答对题数Y 近似服从正态分布()81N μ，，μ为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）估计答对题数在(]1248，内的人数（精确到整数位）. （2）学校为此次参加竞赛的学生制定如下奖励方案：每名同学可以获得2次抽奖机会，每次抽奖所得奖品的价值与对应的概率如下表所示.用X （单位：元）表示学生甲参与抽奖所得奖品的价值，求X 的分布列及数学期望. 附：若()2ZN μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=.【答案】（1）954（2）详见解析 【解析】【分析】（1）由题意计算平均值，根据()8~1Y N μ，计算()1248P Y ≤≤；（2）由题意知X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）根据题意，可得510151852526535400451155525301000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，则()1~8Y N 30，又123029=-⨯，483029=+⨯，所以()12480.9544P Y ≤≤=，所以10000.9544954⨯≈人.故答对题数在(]1248，内的人数约为954. （2）由条件可知，X的可能取值为0，10，20，30，40.()239010100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭；()123131010210P X C ==⨯⨯=； ()21213137202105100P X C ⎛⎫==+⨯⨯=⎪⎝⎭；()1211130255P X C ==⨯⨯=； ()21140525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. X 的分布列为9337110102030401810010100525EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 【点睛】本题考查正态分布的概率问题，离散型随机变量的分布列的应用，属于中档题. 20. 在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，每名优秀员工仅有一次抽奖机会.若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元 （1）求优秀员工小张获得2000元的概率；（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）115；（2）分布列见详解，数学期望为32003元. 【解析】 【分析】（1）优秀员工小张获得2000元，说明取出的都是红色，简单计算即可.（2）列出X 的所有可能取值，并计算相应的概率，然后列出分布列，最后根据数学期望的公式计算即可.【详解】（1）由题可知：优秀员工小张获得2000元的概率为22261=15=C P C（2）每名优秀员工没有奖励的概率为112426815=C C C ， 每名优秀员工获得1000元奖励的概率为242625=C CX 的所有可能取值为0，1000，2000，3000，4000()88640=1515225==⋅P X ，()1282321000=15575==⋅⋅P X C ()12822522000=1555225115==⋅⋅⋅+P X C ()12243000=571155==⋅⋅P X C()111514000=22515⋅==P X所以X 的分布列为数学期望为643252410+1000+2000+3000+40002257522575225=⨯⨯⨯⨯⨯EX 所以3200=3EX （元）【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，关键在于审清题意，细心计算，考查阅读理解能力以及分析能力，属基础题.21. 已知0m >，函数()lg(2)f x x m =-． （1）当1m =时，解不等式()0f x ；（2）若对于任意31,,()2t f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在区间[,2]t t 上的最大值与最小值的和不大于1，求m 的取值范围． 【答案】（1）1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）[1,2). 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数单调性列不等式210,211,x x ->⎧⎨-⎩，求解即可；（2）先由对数型函数单调性求得最值，构建不等式20,lg(2)lg(4)1m t m t m ->⎧⎨-+-⎩，即转化成一元二次不等式2286100t mt m -+-恒成立问题，再根据二次函数单调性列关系max ()0g t ≤，求得参数范围即可.【详解】解：（1）因为1m =，所以()lg(21)0f x x =-，则210,211,x x ->⎧⎨-⎩解得1,21,x x ⎧>⎪⎨⎪⎩ 不等式的解集为1,12⎛⎤⎥⎝⎦； （2）由题易知：()f x 为增函数，则()f x 在区间[,2]t t 上的最大值与最小值分别为(2),()f t f t ．对于任意31,,()2t f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在区间[,2]t t 上的最大值与最小值的和不大于1，等价于20,lg(2)lg(4)1m t m t m ->⎧⎨-+-⎩对于任意31,2t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 即222,86100m t mt m <⎧⎨-+-⎩对于任意31,2t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立． 设223()8610,1,2g t t mt m t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦， 因为2m <，所以()g t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2max 3()982g t g m m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，令2980m m -+，解得18m ． 综上，m 的取值范围为[1,2)．【点睛】本题考查了利用对数函数单调性解不等式的问题和不等式恒成立问题，忘记考虑真数大于零是学生的易错点，本题属于中档题.22. 近年来，我国电子商务快速发展，快递行业的市场规模逐渐扩大．国家邮政局数据显示，2013~2019年，中国快递量持续增长，2019年，我国快递量达到635.2亿件，比前一年增长25.3%，人均使用快递45件左右．某快递公司为预测本公司下一年的快递量，以便提前增加设备和招聘工人，该快递公司对近5年本公司快递量的数据进行对比分析，并对这些数据做了初步处理，得到了下表数据及一些统计量的值，其中2,ln (1,2,3,4,5)i i i i x v y i μ===．（1）设{}i μ和{}i y 的相关系数为{}1,i r x 和{}i v 的相关系数为2r，请从相关系数的角度，确定2y ax b =+或mx n y e +=（其中,,,a b m n 均为常数，e 为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），并预测2020年度的快递量（单位：百万件，精确到0.01）．附：①相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑． 1060019.34,3.310637≈≈≈．【答案】（1）模型2y ax b =+的拟合程度更好；（2）2ˆ0.570.56yx =+． 21.08百万件． 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的计算公式分别计算出12,r r ，比较大小即可判断；（2）根据线性回归方程的求法计算出即可求出回归方程，代入6x =可以预计2020年的快递量.【详解】解：（1）令2x μ=，则2y ax b =+可化为y a b μ=+，()()1212106000.99719.341110637niiyy r μμ--==≈=≈⨯∑，令ln v y =，则mx ny e+=可化为ln y mx n =+，即v mx n =+，因为()52110ii x x =-=∑，所以()()2650.98566niix x v v r --==≈≈∑，则12r r >，因此从相关系数的角度来看，模型2y ax b =+的拟合程度更好；（2）由（1）知，用模型2y ax b =+比较合适，令2x μ=，则2y ax b =+可化为y a b μ=+，所以()()()51521106ˆ0.57187ii i ii y y aμμμμ==--==≈-∑∑， 因为11, 6.8y μ==，所以106ˆˆ 6.8110.56187by a μ=-=-⨯≈， 所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.570.56yx =+， 当6x =时，2ˆ0.5760.5621.08y=⨯+=， 故预计2020年的快递量为21.08百万件．【点睛】本题考查相关系数的计算，并利用相关系数判断拟合程度，考查了线性回归方程的求法.。