导热问题的数值解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
t m 1,n t m,n
x
w m 1, n
tm1,n tm,n
n m, n 1
m, n
m 1, n
w e n s 0
y
t m1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n
y
x
tm,n1 tm,n
sБайду номын сангаас
0
4）不规则边界的处理 • 折线法 • 坐标变换
2. 代数方程的求解
• 直接求解 • 矩阵求逆 • 消元法 • 迭代法 迭代法 • 使用较多 直接求解法
• 内存大
• Gauss—Seidel迭代
• 点迭代 • 线迭代 • 块迭代
Gauss---Seidel 迭代
线性方程组: 可以写成:
A t
j 1
第四章 导热问题 的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
t c (t ) 0 t f ( x, y.z )
导热问题一般为:
边界条件 上述问题的解法有以下两种:
n
ij j
Bi
Aij t j Bi j i 1
N
i 1 Aiiti Aij t j j 1
ti
(n)
x const
y const
节点编号: 从小往大排
3. 代数方程的建立 （1）Taylor 级数展开法 对点(m,n)作Taylor 展开:
m 1, n
m, n 1
m, n
m 1, n
m, n 1
2 3 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。 2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
数值求解的基本步骤
1. 数学描述
y t m 1,1 t m,1 y t m,1 t m 1,1 2 x 2 x
x t m,1 t m , 2
y
hx(t t m,1 ) 0
当 x y 时,上式为: t m1,1 tm1,1 hx 2t m,1 tm, 2 (t t m,1 ) 0 2
e m, n 1
x
y
x
y
说明: <1> 用此方法所得的边界方程是有O(x2)精 度 <2>解析解是温度（物理量）的连续函数 <3>数值解得出离散点上的数值
§ 4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 1. 边界上离散方程的建立
对于边界节点要根据边界条件来确定。 1) 第一类边界条件, y=b 处将边界温度直接代入即可,方 程封闭。 2)对于第三类边界条件, y=0对控 制体直接应用热力学第一定律
边界元法 boundary element
有限分析法 finite analysis
网格划分 grid
节点(node): 网格线交点. 控制容积(control volume): 节点代表的区域 ,其边界位于两 点之间. 界面(interface): 控制容积的边界. 网格划分方法: practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 均分网格:
代入微分方程得: tm1,n tm1,n 2tm,n tm,n1 tm,n1 2tm,n 0 2 2 x y 对于正方形网格 x y 则有:
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
（2）热平衡法（热力学第一定律）
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
t m 1,n t m,n
x
w m 1, n
tm1,n tm,n
n m, n 1
m, n
m 1, n
w e n s 0
y
t m1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n
y
x
tm,n1 tm,n
sБайду номын сангаас
0
4）不规则边界的处理 • 折线法 • 坐标变换
2. 代数方程的求解
• 直接求解 • 矩阵求逆 • 消元法 • 迭代法 迭代法 • 使用较多 直接求解法
• 内存大
• Gauss—Seidel迭代
• 点迭代 • 线迭代 • 块迭代
Gauss---Seidel 迭代
线性方程组: 可以写成:
A t
j 1
第四章 导热问题 的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
t c (t ) 0 t f ( x, y.z )
导热问题一般为:
边界条件 上述问题的解法有以下两种:
n
ij j
Bi
Aij t j Bi j i 1
N
i 1 Aiiti Aij t j j 1
ti
(n)
x const
y const
节点编号: 从小往大排
3. 代数方程的建立 （1）Taylor 级数展开法 对点(m,n)作Taylor 展开:
m 1, n
m, n 1
m, n
m 1, n
m, n 1
2 3 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。 2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
数值求解的基本步骤
1. 数学描述
y t m 1,1 t m,1 y t m,1 t m 1,1 2 x 2 x
x t m,1 t m , 2
y
hx(t t m,1 ) 0
当 x y 时,上式为: t m1,1 tm1,1 hx 2t m,1 tm, 2 (t t m,1 ) 0 2
e m, n 1
x
y
x
y
说明: <1> 用此方法所得的边界方程是有O(x2)精 度 <2>解析解是温度（物理量）的连续函数 <3>数值解得出离散点上的数值
§ 4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 1. 边界上离散方程的建立
对于边界节点要根据边界条件来确定。 1) 第一类边界条件, y=b 处将边界温度直接代入即可,方 程封闭。 2)对于第三类边界条件, y=0对控 制体直接应用热力学第一定律
边界元法 boundary element
有限分析法 finite analysis
网格划分 grid
节点(node): 网格线交点. 控制容积(control volume): 节点代表的区域 ,其边界位于两 点之间. 界面(interface): 控制容积的边界. 网格划分方法: practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 均分网格:
代入微分方程得: tm1,n tm1,n 2tm,n tm,n1 tm,n1 2tm,n 0 2 2 x y 对于正方形网格 x y 则有:
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
（2）热平衡法（热力学第一定律）