导热问题的数值解法
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传热学导热问题的数值解法
导热问题的数值解法1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。
不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。
由此可见：1 ）物理模型简化成数学模型是基础；2 ）建立节点离散方程是关键；3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
一数值求解的步骤如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：1 建立控制方程及定解条件控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，x=H 时，当y=0 时，当y=W 时，区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
导热问题的数值解法-PPT精选文档
例：一圆形金属棒，长L=0.5m，横截面积为A=0.01m2，其 导热系数为常数1000W/m.℃，无内热源，金属棒两端温度 已给定，分别为100℃、500℃，且不随时间变化，金属棒 径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。 解：
t t t q t V 2 2 2 x y z c
导
差分方程的建立－热平衡法 j n
t Q qF F n t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j j y x t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j x
x V y 1 2
n 1
Q t t y 1 f i , j f i , j
Q Q Q Q 0 i 1 , j i , j f i , j i , j 1 i , j i , j 1 i , j
Q i ,j 1 i ,j t t i ,j 1 i ,j y x 1
热
y
m 1 n 1
i, j1 i1 , j
i1 , j i, j1
y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
i1 , j i, j1
y
稳态导热的有限差分方法
j y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
2t 2t 2 0 2 x y
0,0
ix
i m
d2t ti 2 ti ti 1 1 2 2 dx x i
2 2 2
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
第4章 热传导问题的数值解法
( m,n+1)
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
导热问题的数值解法简介
热平衡法示意图
i , j+1 i-1, j n i-1,j w s i, j-1 x e i+1, j
y
节点温差方程的建立
内部节点温度差分方程 对于二维稳态导热问题，内部节点（i , j）所代表的 控制容积在导热过程中的热平衡可表示为：从周围 相邻控制容积导入的热流量之和为零：
w e s n 0
其中aij、bi为常数，且aii 0
简单迭代法
1 t1 b1 a12t2 ... a1 jt j ... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ... a2 jt j ... a2ntn a22 1 tn bn an1t1 ... anj t j ... an n 1tn 1 ann
求解域的离散化
2、节点的选择
y
步长
x
每个节点代表以它为中心的子区域（或称为控制容积），节 点的温度就是子区域的温度。
求解域的离散化
2、节点的选择
i, j+1
i-1, j i, j i+1,的建立
建立节点温度差分方程的方法有两种：泰勒级数展 开法与控制容积热平衡法 控制容积热平衡法的基本思路是，根据节点所代表 的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立温度差 分方程。
节点温差方程组的求解
简单迭代法 设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 ... a1 j t j ... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ... a2 j t j ... a2 ntn b2 a t a t ... a t ... a t b nj j nn n n n1 1 n 2 2
罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。
这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
物理模型在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。
四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。
因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。
建立数学模型描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为：22220t t xy∂∂+=∂∂ （1）其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。
区域离散化用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
相邻两节点的距离称为步长，记为x ∆、y ∆。
本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。
节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。
为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。
数学模型离散化它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。
泰勒级数展开法以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。
对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式：2233441,,,,,,2342624m n m n m nm nm nm nt x t x t xtt t xx xxx +∂∆∂∆∂∆∂=+∆++++∂∂∂∂ （2）2233441,,,,,,2342624m n m n m n m nm nm nt x t x t xtt t xxxxx-∂∆∂∆∂∆∂=-∆+-++∂∂∂∂ （3）将式（2）、（3）相加得24421,1,,,,24212m n m n m n m nm nt xtt t t x xx+-∂∆∂+=+∆++∂∂ （4） 将（4）式改写成2,2m n t x∂∂的表达式，有21,,1,2,222()m n m n m n m nt t t t O x xx+--+∂=+∆∂∆ （5）这是用三个离散点上的值来计算二阶导数2,2m nt x∂∂的严格的表达式，其中符号2()O x ∆表示未明确写出的级数余项中x ∆的最低阶数为2。
导热问题的数值解法
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
tm1,n
tm,n
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概
括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的Δ X
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2 迭代法目前应用较多的是：
1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算， 均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用 上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组：
a11t1 a12t2 a13t3 b1 a21t1 a22t2 a23t3 b2 a31t1 a32t2 a33t3 b3
其中 ai, j （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及bi
是已知的系数（均不为零）及常数。
V4-第四章-导热数值解法-2014
为什么要建立边界节点的离散方程？
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
第4章-热传导问题的数值解法(1)
y 2
y 2
m,n
将差分表达式代入控制方程
2t x 2
2t y 2
0
得:
tm1,n
tm1,n x2
2tm,n
tm,n1
tm,n1 y 2
2tm,n
0
如果 x y 则有:
tm,n
1 4
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
第4章 热传导问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想 4.2 内节点离散方程的建立方法 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想 4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
返回
4.1.1 基本思想
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡
y
2
tm1,n tm,n x
x tm,n1 tm,n 2 y
xy 4
.
m,n
x y 2
qw
0
如 x y ，则有：
在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：
返回
4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
n
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
在空间-时间坐标系中对所研究的空间区域 和时间区域进行离散
第5章-导热数值解法
M-1, m, m+1,
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
导热问题的数值解法一
d dT λ dx dx
T5 = Tr
2 = 0 = λ 1 W / m ⋅K) (
一维稳态常物性导热问题
有限容积积分(内点)
∆x x i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1
∫
xi +1/ 2
xi −1/ 2
d dT λ dx dx
dT 0⇒λ dx = dx
对所求变量给出预估值，然后根据离 散方程对其不断改进，直至求得收敛解。
一维稳态常物性导热问题
Jacobi迭代法： 任意点上未知量的更新都用上一轮迭代中 所获得的值来计算
1 (I ) (I ) Ti aiTi + c T = + 1 i i −1 bi
( I +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
(
)
Gauss-Seidel迭代法： 每一步计算取邻点的最新值
界面导热系数的计算方式
λ= i +1/ 2 λ= i −1/ 2
1 ( λi + λi +1 ) 2 1 ( λi + λi −1 ) 2
算术平均
哪种好？
∆x x i-1 i i-1/2 i+1/2 i+1
λi +1/ 2 =
2 1
λi λi −1/ 2 =
1
+
1
λi +1
1
2
调和平均
λi
+
λi −1
Ti +1 − Ti ⇒ = 1 Ti +1 − Ti 2 ⇒λ = i +1/ 2 1 1 1 1 + + 2λi +1 2λi λi +1 λi
T5 = Tr
2 = 0 = λ 1 W / m ⋅K) (
一维稳态常物性导热问题
有限容积积分(内点)
∆x x i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1
∫
xi +1/ 2
xi −1/ 2
d dT λ dx dx
dT 0⇒λ dx = dx
对所求变量给出预估值，然后根据离 散方程对其不断改进，直至求得收敛解。
一维稳态常物性导热问题
Jacobi迭代法： 任意点上未知量的更新都用上一轮迭代中 所获得的值来计算
1 (I ) (I ) Ti aiTi + c T = + 1 i i −1 bi
( I +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
(
)
Gauss-Seidel迭代法： 每一步计算取邻点的最新值
界面导热系数的计算方式
λ= i +1/ 2 λ= i −1/ 2
1 ( λi + λi +1 ) 2 1 ( λi + λi −1 ) 2
算术平均
哪种好？
∆x x i-1 i i-1/2 i+1/2 i+1
λi +1/ 2 =
2 1
λi λi −1/ 2 =
1
+
1
λi +1
1
2
调和平均
λi
+
λi −1
Ti +1 − Ti ⇒ = 1 Ti +1 − Ti 2 ⇒λ = i +1/ 2 1 1 1 1 + + 2λi +1 2λi λi +1 λi
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
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3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
t m 1,n t m,n
x
w m 1, n
tm1,n tm,n
n m, n 1
m, n
m 1, n
w e n s 0
y
t m1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n
y
x
tm,n1 tm,n
sБайду номын сангаас
0
4）不规则边界的处理 • 折线法 • 坐标变换
2. 代数方程的求解
• 直接求解 • 矩阵求逆 • 消元法 • 迭代法 迭代法 • 使用较多 直接求解法
• 内存大
• Gauss—Seidel迭代
• 点迭代 • 线迭代 • 块迭代
Gauss---Seidel 迭代
线性方程组: 可以写成:
A t
j 1
第四章 导热问题 的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
t c (t ) 0 t f ( x, y.z )
导热问题一般为:
边界条件 上述问题的解法有以下两种:
n
ij j
Bi
Aij t j Bi j i 1
N
i 1 Aiiti Aij t j j 1
ti
(n)
x const
y const
节点编号: 从小往大排
3. 代数方程的建立 （1）Taylor 级数展开法 对点(m,n)作Taylor 展开:
m 1, n
m, n 1
m, n
m 1, n
m, n 1
2 3 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。 2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
数值求解的基本步骤
1. 数学描述
y t m 1,1 t m,1 y t m,1 t m 1,1 2 x 2 x
x t m,1 t m , 2
y
hx(t t m,1 ) 0
当 x y 时,上式为: t m1,1 tm1,1 hx 2t m,1 tm, 2 (t t m,1 ) 0 2
e m, n 1
x
y
x
y
说明: <1> 用此方法所得的边界方程是有O(x2)精 度 <2>解析解是温度（物理量）的连续函数 <3>数值解得出离散点上的数值
§ 4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 1. 边界上离散方程的建立
对于边界节点要根据边界条件来确定。 1) 第一类边界条件, y=b 处将边界温度直接代入即可,方 程封闭。 2)对于第三类边界条件, y=0对控 制体直接应用热力学第一定律
边界元法 boundary element
有限分析法 finite analysis
网格划分 grid
节点(node): 网格线交点. 控制容积(control volume): 节点代表的区域 ,其边界位于两 点之间. 界面(interface): 控制容积的边界. 网格划分方法: practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 均分网格:
代入微分方程得: tm1,n tm1,n 2tm,n tm,n1 tm,n1 2tm,n 0 2 2 x y 对于正方形网格 x y 则有:
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
（2）热平衡法（热力学第一定律）
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
t m 1,n t m,n
x
w m 1, n
tm1,n tm,n
n m, n 1
m, n
m 1, n
w e n s 0
y
t m1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n
y
x
tm,n1 tm,n
sБайду номын сангаас
0
4）不规则边界的处理 • 折线法 • 坐标变换
2. 代数方程的求解
• 直接求解 • 矩阵求逆 • 消元法 • 迭代法 迭代法 • 使用较多 直接求解法
• 内存大
• Gauss—Seidel迭代
• 点迭代 • 线迭代 • 块迭代
Gauss---Seidel 迭代
线性方程组: 可以写成:
A t
j 1
第四章 导热问题 的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
t c (t ) 0 t f ( x, y.z )
导热问题一般为:
边界条件 上述问题的解法有以下两种:
n
ij j
Bi
Aij t j Bi j i 1
N
i 1 Aiiti Aij t j j 1
ti
(n)
x const
y const
节点编号: 从小往大排
3. 代数方程的建立 （1）Taylor 级数展开法 对点(m,n)作Taylor 展开:
m 1, n
m, n 1
m, n
m 1, n
m, n 1
2 3 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。 2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
数值求解的基本步骤
1. 数学描述
y t m 1,1 t m,1 y t m,1 t m 1,1 2 x 2 x
x t m,1 t m , 2
y
hx(t t m,1 ) 0
当 x y 时,上式为: t m1,1 tm1,1 hx 2t m,1 tm, 2 (t t m,1 ) 0 2
e m, n 1
x
y
x
y
说明: <1> 用此方法所得的边界方程是有O(x2)精 度 <2>解析解是温度（物理量）的连续函数 <3>数值解得出离散点上的数值
§ 4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 1. 边界上离散方程的建立
对于边界节点要根据边界条件来确定。 1) 第一类边界条件, y=b 处将边界温度直接代入即可,方 程封闭。 2)对于第三类边界条件, y=0对控 制体直接应用热力学第一定律
边界元法 boundary element
有限分析法 finite analysis
网格划分 grid
节点(node): 网格线交点. 控制容积(control volume): 节点代表的区域 ,其边界位于两 点之间. 界面(interface): 控制容积的边界. 网格划分方法: practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 均分网格:
代入微分方程得: tm1,n tm1,n 2tm,n tm,n1 tm,n1 2tm,n 0 2 2 x y 对于正方形网格 x y 则有:
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
（2）热平衡法（热力学第一定律）