流体力学第四章综述
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(完整版)流体力学重点概念总结
第一章绪论表面力：又称面积力，是毗邻流体或其它物体，作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面积成比例。
剪力、拉力、压力质量力：是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
重力、惯性力流体的平衡或机械运动取决于：1.流体本身的物理性质（内因）2.作用在流体上的力（外因）流体的主要物理性质：密度：是指单位体积流体的质量。
单位：kg/m3 。
重度：指单位体积流体的重量。
单位： N/m3 。
流体的密度、重度均随压力和温度而变化。
流体的流动性：流体具有易流动性，不能维持自身的形状，即流体的形状就是容器的形状。
静止流体几乎不能抵抗任何微小的拉力和剪切力，仅能抵抗压力。
流体的粘滞性：即在运动的状态下，流体所产生的阻抗剪切变形的能力。
流体的流动性是受粘滞性制约的，流体的粘滞性越强，易流动性就越差。
任何一种流体都具有粘滞性。
牛顿通过著名的平板实验，说明了流体的粘滞性，提出了牛顿内摩擦定律。
τ=μ(du/dy)τ只与流体的性质有关，与接触面上的压力无关。
动力粘度μ：反映流体粘滞性大小的系数，单位：N•s/m2运动粘度ν：ν=μ/ρ第二章流体静力学流体静压强具有特性1.流体静压强既然是一个压应力，它的方向必然总是沿着作用面的内法线方向，即垂直于作用面，并指向作用面。
2.静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。
静力学基本方程: P=Po+pgh等压面：压强相等的空间点构成的面绝对压强：以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强 Pabs相对压强：以当地大气压为基准起算的压强 PP=Pabs—Pa（当地大气压）真空度：绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值 PvPv=Pa-Pabs= -P测压管水头：是单位重量液体具有的总势能基本问题：1、求流体内某点的压强值：p = p0 +γh；2、求压强差：p – p0 = γh ；3、求液位高：h = （p - p0）/γ平面上的净水总压力：潜没于液体中的任意形状平面的总静水压力P，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
流体力学第四章
时均速度 u
脉动速度u’ u' u u
1 t0 T udt t 0 T
4-3 圆管内紊流流动规律
一、紊流的基本特征及时均分析法
时均分析法 时均压强与脉动压强 1 t0 T p' p p p pdt t 0 T 准定常流——紊流流场中，任意定点处的时均参数 (u ，p） 不随时
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
l c2 hf d 2g 64 层流流动，沿程阻力系数 Re f (Re) 紊流流动，沿程阻力系数不仅与雷诺数有关，还与相对粗糙度 d
f (Re， )
d
有关
尼古拉兹实验与实验曲线 人工粗糙管：在圆管内壁上涂胶，然后贴上具有相同半径的球形沙子， 造成不同粗糙度的圆管
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
莫迪图——确定工业实际管道“λ”的曲线图 莫迪根据尼古拉兹实验结果，结合经验公式及工业管道实验总结绘 出的“λ”随“Re”、“ε/d”而变化的关系曲线图 ' ”为当量绝对粗糙度 图中“
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
尼古拉兹实验与实验曲线 Re 2000 ），层 Ⅰ区（ab线， 流区λ=f（Re） 2000 Re 4000 ）， Ⅱ区（bc线， 过渡区λ=f（Re） 8 7 4000 Re 27 ( d / ) Ⅲ区（cd线， ), 紊流光滑区λ=f（Re） 8 .85 27(d / ) 7 Re 4160(d / 2 ) 0） Ⅳ区（cd、ef之间曲线族， , 紊流过渡区λ=f（Re，ε/d） Re 4160(d / 2 ) 0.85 ）,紊流粗糙区λ=f（ε/d） Ⅴ区（ef右侧水平的直线族 尼古拉兹实验曲线意义和不足 意义——揭示了管道流动中“λ”随 “Re”、“ε/d”的变化关系，为 计算“hf”奠定了基础。 不足——人工粗糙管与工业实际管道的粗糙情况不同，上面的结果不 便直接应用
流体力学第四章ppt课件
p
p d yd z(p pd x)d yd z pd xd yd z
x
x
y
理想流体，各面上无切应力,
dy A(x,y,z) dx dz
p p dx x
质量力在ｘ轴上的投影： z
x
ρX dx dy dz 加速度在ｘ方向的投影：精选a 课x件d d x t v txvx v x xvy v y xv3z v zx
Dt
即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。
精选课件
4
该方程适用条件: 理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是 不可压缩均适用。
方程（4-2）有三个分量式，再加上连续方 程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可 求解四个未知函数ｖx ,ｖy ,ｖz和ｐ。
若要使所求的ｖx ,ｖy ,ｖz ,ｐ是某个实 际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，
2g
这样就可解出小孔理想出流的速度公式：
U 2gh （15） 实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度 小于此值，一般用一个流速系数来修正，则
Ｕ实际 ＝Ｕ 由实验确定， = 0.96～１
流量Q = 平均流速Ｕ精σ选课c件
（16）
33
收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处 汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水 平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。
三个高度（水头）之和称为总水头。
其端点的连线——总水头线为一条水平线 。如
下图所示。
精选课件
25
V
2 1
总水头线
2g
V
2 2
2g
p1
压力水头线
H
p2
精选课件
26
二、能量意义(物理意义)
z ：代表单位重量流体的位能，记为 e z
流体力学学习课件第四章流体动力学
x y z
dt
dt
dt
1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即
p 0, u 0 ux uy uz 0
t
t
t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
dux dt
dx
duy dt
y dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐 标轴上分量
Z 1 p duz
z dt
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加
速度。 （2）适用条件：a.无粘性流体。
b.可压缩流体及不可压缩流体 c.恒定流及非恒定流
二、粘性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）方程推导依据：
g 2g
g
h pA pB u2
g g 2g
理论流速： u 2 pA pB 2gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
四、实际液体元流能量方程
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
dy
duz dt
dz uxdux
uyduy
uz duz
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p dx p dy p dz dp
x y z
（3）
则（1）式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz)
流体力学 第四章 流体动力学基础 (3)
令 ( x, y) C ，或
d 0
积分
( x, y )
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线 等势线方程式
例题2：已知某二维液流流速场为
ux U uy 0
要求：（1）证明该平面流动为势流； （2）求其等势线方程式。
1 u y ux )0 解：（1） z ( 2 x y
若平面流动是无旋流（亦即有势流）时，有
1 u y ux z ( )0 2 x y
即
ux
u y x
ux 0 y
将
y 代入上式，得： uy x
2 2 2 0 2 x y
拉普拉斯方程
三、恒定平面势流的流速势函数及等势线
无旋流
例题1：已知某二维液流流速场为
解：由 d uy dx ux dy Udy 积分得： Uy C1
ux U uy 0
y
求其流线方程式
5 4 2
令 C2，即得流线方程式
y C2 C1 C U U
1
0
x
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于该两
p p ( ) 2 r
（ b）
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图b所示。最后，上式中C的确定： 由单位深度（z=1）的流量
2 2 C Q ur rd rd 2C 0 0 r Q C 2 称为平面点源（汇）强度。
ux y uy x
其中
（二）流函数的性质 流函数的性质之一：同一流线上各点的流函数值为常数。
值相等的点连
等流函数线——某一时刻，把流函数 接起来所得的曲线
等流函数线方程式为 C或d 0 即有 d uy dx ux dy 0 恰好为流线方程式
d 0
积分
( x, y )
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线 等势线方程式
例题2：已知某二维液流流速场为
ux U uy 0
要求：（1）证明该平面流动为势流； （2）求其等势线方程式。
1 u y ux )0 解：（1） z ( 2 x y
若平面流动是无旋流（亦即有势流）时，有
1 u y ux z ( )0 2 x y
即
ux
u y x
ux 0 y
将
y 代入上式，得： uy x
2 2 2 0 2 x y
拉普拉斯方程
三、恒定平面势流的流速势函数及等势线
无旋流
例题1：已知某二维液流流速场为
解：由 d uy dx ux dy Udy 积分得： Uy C1
ux U uy 0
y
求其流线方程式
5 4 2
令 C2，即得流线方程式
y C2 C1 C U U
1
0
x
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于该两
p p ( ) 2 r
（ b）
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图b所示。最后，上式中C的确定： 由单位深度（z=1）的流量
2 2 C Q ur rd rd 2C 0 0 r Q C 2 称为平面点源（汇）强度。
ux y uy x
其中
（二）流函数的性质 流函数的性质之一：同一流线上各点的流函数值为常数。
值相等的点连
等流函数线——某一时刻，把流函数 接起来所得的曲线
等流函数线方程式为 C或d 0 即有 d uy dx ux dy 0 恰好为流线方程式
流体力学 第4章 第3节
应分别满足柯西—黎曼条件
2 2 2 2 , ; 2 0, 2 0 2 2 x y y x x y x y
由上述条件可以证明 , 在 平面内也满足拉氏方程，
2 2 0 2 2
R 1 1 R2 2
2
2
2c
2c
z c2
1 2 2v1 v2
平面上的两条线的夹角在 z 平面上变换为原夹角的2倍。
4.13
茹柯夫斯基变换
平面通过 c 点的光滑曲线在 z 平面变换为尖角
1 2
（参阅《Fundamental Mechanics of Fluids》， pp.92-97）
4.12 保角变换
保角变换 f z 把
z 平面中的拉氏方程转换为 平面中 的拉氏方程，即如果 x, y 在 z 平面内是调和函数， ,
在 平面内也必然是调和函数。
4.12 保角变换
4.11
镜像法
镜像法
a2 z0
z0
当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡 等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复 位势，其作法是在物体内部适当位置也布置 奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及 其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一 条流线
a
如欲求圆柱外一位于 z0 点，强度为 的点涡的复位势，可在圆柱内 z0 点 添加一强度为 的点涡，在原点添加一强度为 的点涡，三个奇点在圆柱 外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。 请注意圆内 a 点即对于圆外一点 z0 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于 a2 z0 z0 a 2 ； 它们的圆心处于同一条直线上，即 z 0 和 圆半径的平方， 2 a z0 有相同的幅角。 z
流体力学第四章
3.8 105
故为紊流
0.11(
d
68 Re
)0.25
0.11( 0.2 100
68 3.8 105
)0.25
0.0238
或查莫迪图，当 Re = 3.8×105 ， 0.2 0.002 时，查得：
d 100
λ = 0.024
管路的沿程损失： hf
l d
v2 2g
雷诺实验发现影响流体流态的四个因素是v、d、μ、。
由该四个参数组成的无量纲数Re （称为雷诺数），决定着流
态，即：
Re vd vd
与临界流速对应的雷诺数为临界雷诺数（用Rek表示），即：
Rek
v k d
vkd
圆管流动： Rek ≈ 2000
Re 2000 为层流； Re 2000
m/s
vd 0.96 0.01
Re 1.802104 53.3 2000
故为层流
64 64 1.2
Re 53.3
所以：
hf
l d
v2 2g
3 0.962
1.2
16.91
0.01 2 9.81
m（油柱）
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§4-4 紊流运动的特征与紊流阻力
紊流阻力：
τ = τ1 +τ2
= μ du + ρl 2 ( du )2
dy
dy
当雷诺数很大时，粘性阻力起的作用很小，可以忽略。
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紊流的速度分布
圆管紊流，可证明断面上流速分布规律为 ：
流体力学第四章参考答案
流体力学第四章参考答案流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，它在工程学、物理学和地球科学等领域中具有重要的应用价值。
第四章是流体力学中的一个重要章节，主要讨论了流体的运动方程和流体的动力学性质。
在本文中，将对流体力学第四章的参考答案进行详细的论述和解释。
首先，我们来讨论流体的运动方程。
流体的运动方程是描述流体运动的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
连续性方程描述了流体的质量守恒，即单位时间内通过某一截面的质量流量等于该截面内质量的减少量。
动量方程描述了流体的动量守恒，即单位时间内通过某一截面的动量流量等于该截面内动量的减少量。
能量方程描述了流体的能量守恒，即单位时间内通过某一截面的能量流量等于该截面内能量的减少量。
其次，我们来讨论流体的动力学性质。
流体的动力学性质包括粘性、密度、压力和速度等。
粘性是流体的一种性质，它描述了流体内部分子之间的摩擦力。
密度是流体的另一种性质，它描述了单位体积内的质量。
压力是流体的一种性质，它描述了单位面积上受到的力的大小。
速度是流体的运动状态，它描述了单位时间内流体通过某一截面的体积。
在解答流体力学问题时，我们需要根据具体情况选择合适的运动方程和动力学性质。
首先，我们可以根据问题中给出的条件和要求选择适当的运动方程。
例如，如果问题中要求求解流体的速度分布，则我们可以选择动量方程。
其次，我们可以根据问题中给出的条件和要求选择适当的动力学性质。
例如，如果问题中给出了流体的密度和压力分布，则我们可以选择密度和压力作为动力学性质。
在解答流体力学问题时，我们还需要运用一些基本的解题方法和技巧。
首先，我们可以利用物理规律和数学方法建立数学模型。
例如，我们可以利用连续性方程、动量方程和能量方程建立流体的运动方程。
其次，我们可以利用数学工具和计算方法求解数学模型。
例如，我们可以利用微积分和偏微分方程求解流体的运动方程。
最后，我们可以利用实验和观测数据验证数学模型和解题结果。
流体力学第四章动力学优秀课件
整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz则得
X 1 p dux
x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
§3-5 理想流体微元流束的伯努利方程
一、理想流体微元流束的伯努利方程 1.公式推导 理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下
才能求解。在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
g
2. 方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该 方程的物理意义和几何意义。
1）物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即
第一项z表示单位重量流体所具有的位势能； 第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能； 第三项u2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运 动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g) 即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具 有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作 定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具 有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但 位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方 程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
2）几何意义图
Xdxdydz Ydxdydz Zdxdydz
处于运动状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：
Fma
例如，对于x方向，则为
《高等流体力学》第4章 理想流体运动的基本特征
∇ϕ ∂′ϕ − ve ⋅∇′ϕ + +P +U = f ( t ) ∂t 2
2
上式即为动坐标系的柯西-拉格朗日积分。
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 若 ve = i′ue , ∇′ϕ = i′ + j′ + k′ ∂x′ ∂y′ ∂z ′ ∂ϕ ′ 相乘可得：ve ⋅∇ ϕ = ue ∂x′
dp
dl
o
曲线L一定时 仅为p的函数
于是在L曲线上，压力函数沿l的变化率为：
∂P ∂P ∂p dP ∂p 1 ∂p = = = ∂l ∂p ∂l dp ∂l ρ ∂l
一般情况下，在任意给定的曲线L上，函数关系 ρ ( p, L ) 是不知道的，只有在某些特定情况下能够确定： p = p ( ρ ) 或 ρ = ρ ( p ) 且与所选曲线无关。 1、正压流体：
ρ
2、完全气体绝热可逆定常流动中的压力函数：
Ds 绝热可逆： = 0 Dt
定常流动：迹线和流线重合，熵不变。 热力学第一定律用于理想气体的可逆方程：
= Tds c p dT − 1
dp d ρ 1 dp d ρ dT dp dp = cp − = cp − d = cp s − R −R T p p ρ p γ p ρ d ρ 1 dp ds ∴ = − sL是曲线L上 ρ γ p cp
ρ
dp
积分得：
的熵，为常数
p p s1 − s2 s1 − s2 ρ ∴ ln = ln + ⇒ = = ρ ( p, sL ) ρ ρ1 exp ρ1 cp cp p1 p1
1γ
1γ
由此可得，沿同一条流线的压力函数：
P ( p, L ) = ∫ dp
2
上式即为动坐标系的柯西-拉格朗日积分。
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 若 ve = i′ue , ∇′ϕ = i′ + j′ + k′ ∂x′ ∂y′ ∂z ′ ∂ϕ ′ 相乘可得：ve ⋅∇ ϕ = ue ∂x′
dp
dl
o
曲线L一定时 仅为p的函数
于是在L曲线上，压力函数沿l的变化率为：
∂P ∂P ∂p dP ∂p 1 ∂p = = = ∂l ∂p ∂l dp ∂l ρ ∂l
一般情况下，在任意给定的曲线L上，函数关系 ρ ( p, L ) 是不知道的，只有在某些特定情况下能够确定： p = p ( ρ ) 或 ρ = ρ ( p ) 且与所选曲线无关。 1、正压流体：
ρ
2、完全气体绝热可逆定常流动中的压力函数：
Ds 绝热可逆： = 0 Dt
定常流动：迹线和流线重合，熵不变。 热力学第一定律用于理想气体的可逆方程：
= Tds c p dT − 1
dp d ρ 1 dp d ρ dT dp dp = cp − = cp − d = cp s − R −R T p p ρ p γ p ρ d ρ 1 dp ds ∴ = − sL是曲线L上 ρ γ p cp
ρ
dp
积分得：
的熵，为常数
p p s1 − s2 s1 − s2 ρ ∴ ln = ln + ⇒ = = ρ ( p, sL ) ρ ρ1 exp ρ1 cp cp p1 p1
1γ
1γ
由此可得，沿同一条流线的压力函数：
P ( p, L ) = ∫ dp
流体力学第四章
除以ρg ，即
由此可见，对于液体总流来说，压强p1,p2不论是绝对 压强，还是相对压强，能量方程的形式不变。
2.能量的输入与输出 的伯努利方程
在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风 机），则能量方程形式为：
（4-28）
式中：+Hs——输入流体的能量， Np——泵输入功率（轴功率） ，单位：N· m；ηp——泵效率。 -Hs——输出流体的能量 Np——水轮机输出功率，单位：N· m；η——水轮机效率。
式中pa为z1处的大气压， 压，代入式（4-25）整理得 （4-26） 为z2高程处的大气
这里p1，p2称为静压； 称为动压。（ρa-ρ）g为单位
体积气体所受有效浮力，（z2-z1）为气体沿浮力方向升 高的距离，乘积（ρa-ρ）g（z2-z1）为1-1断面相对于2-2 断面单位体积气体的位能，称为位压。
由牛顿第二运动定律 x方向有：
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可 压缩流体。 若加速度 =0则上式就可转化为欧拉平 衡微分方程
4.1.2 N—S方程（略）
4.2理想流体运动微分方程的伯努利积分 由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程 组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘 积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条 件下积分。 4.2.1伯努利积分 该积分是对理想流体运动微分方程的积分，其限定条 件是： 1）理想流体； 2）作用在流体上的质量力是有势力； 3）为不可压缩流体（其密度为常量）； 4）为恒定流； 5）沿流线积分。
由理想流体运动微分方程式出发 因限定为恒定流，故上式中的量均与 时间无关，只是位移坐标xyz的函数。 将上式中各式分别乘以沿流线的坐标增量 dx，dy，dz，然后相加得：
流体力学第四章
消公共因子 : 2 4 R' ' r R' r 4 ( R ) P' (1) 2 2 1 ' ' ' 2 ( R ) P (2),' 表示对R微商 r r r R' 2 ( R ) 0 (3) r
流体力学第四章
总32页
10
代边界条件 : R ( ) U , c3 U , c4 0 ( ) U , c3 U , c4 0 c1 c2 R(a ) 3 U 0 a a c1 c2 ( a ) 3 U 0 2a 2a 3 c1 2 aU 1 3 c2 a U 2
P [( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]d
[( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]2a sin ad
0
4 ga 3 6Ua 浮力 阻力，其中阻力p 6Ua 3
1 vr r 2 sin 2、存在流函数 (r , )， 1 v r sin r 3 a 1 a3 求积可得 : a (r , ) Ur 3 sin 2 ( ) 3 4r 4r
流体力学第四章 总32页 13
§3、流体对小球的Stokes阻力
总32页 3
p 2 v 0
流体力学第四章
性质：
1 不可压、小数 Re 流动， 压力p为调和函数， 即 2 p 0 、 对方程 : 1
p 2 v p 2 v两边取散度
p 2 p 2 v 2 ( v ) 0 2、 若流动为二维， 则流函数满足双调和方程 2 ( 2 ) 0 引ς v, (ς 涡度矢) ( v ) ( v ) 2 v 2 v 即 2 v ς p ς
流体力学第四章
总32页
10
代边界条件 : R ( ) U , c3 U , c4 0 ( ) U , c3 U , c4 0 c1 c2 R(a ) 3 U 0 a a c1 c2 ( a ) 3 U 0 2a 2a 3 c1 2 aU 1 3 c2 a U 2
P [( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]d
[( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]2a sin ad
0
4 ga 3 6Ua 浮力 阻力，其中阻力p 6Ua 3
1 vr r 2 sin 2、存在流函数 (r , )， 1 v r sin r 3 a 1 a3 求积可得 : a (r , ) Ur 3 sin 2 ( ) 3 4r 4r
流体力学第四章 总32页 13
§3、流体对小球的Stokes阻力
总32页 3
p 2 v 0
流体力学第四章
性质：
1 不可压、小数 Re 流动， 压力p为调和函数， 即 2 p 0 、 对方程 : 1
p 2 v p 2 v两边取散度
p 2 p 2 v 2 ( v ) 0 2、 若流动为二维， 则流函数满足双调和方程 2 ( 2 ) 0 引ς v, (ς 涡度矢) ( v ) ( v ) 2 v 2 v 即 2 v ς p ς
章 4 流体力学基本知识
-沿程阻力系数
局部阻力损失
c2 h j 阻力系数
总阻力h=hf +h j.................(4 30)
3.流体运动要素压力P、流速u 流量一定，管子粗处P大u小，管 子细处P小u大。 4.稳定流动、非稳定流动 据P、u随时间变化否区分
二.连续性方程
研究管道横断面与流体流速的关系 依据流体不灭原理（质量一定）和不可压缩性 （密度一定）推出
q m1 =q m2即1c1A1 = 2c2 A 2 c1 A 2 c2 A1 （4 16）
gZ1 +P1
2 c1
2 2 gh12 —两断面流体压力损失
gZ2 +P2
2 c2
gh12 ...................(4 20)
管道通常等直径，则速度能头不变，（4-20）变为
P1 P2 Z1 + Z2 + h12 ...................(4 21) g g
4.实际流体的伯努利方程
2 2 P1 c1 P2 c2 Z1 + Z2 + h12 ...................(4 19) g 2g g 2g
h1-2 损失能头，单位：m 粘性，产生能量损失。 c—平均流速 注意问题： （1）采用同一压力基准，单位要统一； （2）所选取横断面要位于等径直管段部分，不能选在管 子转弯、突变部分； （3）所选基准应以简化方程为准则 水平管段——选取基准面应通过管子中心线 非水平管—— 应通过较低断面的中心点
二、水击
流体在压力管道中流动时，由于阀门的突然关闭、开启或水泵突 然停止而造成管道中水压力反复急剧变化并迅速衰减的现象。 有害——正水压造成爆管，负水压引起管路振动 措施：延长阀门开闭时间；缩短管长；装设安全阀或空气室；避免 断电事故的发生
流体力学第四章
2
k 0 .4
2
u
*2
du 2 ( k y) ( ) dy
u* du dy ky
积分有
u* u ln y C k
y
速度分布的 指数形式
u u max
y n ( ) a
1
a (a-y) d x
0
Re 410 2.3
4
104
1.1 105
1.1 106
2.0 106
8Lu 32 Lu h f P 2 R d2
范宁摩擦因子 f （Fanning friction factor）
摩擦因子的定义：流体在壁面处的剪应力与管内单位体积流 体的平均动能之比
1 d P f 2 u / 2 4 L u2/ 2
s
L u2 L u2 P 4 f λ d 2 d 2
普朗特混合 长度假说
y
du u c1l dy v c2 u c1c2 l du dy
u
l
y
b A a 0
u l y
u
v u
x 涡体
l
b a
l 称为混合长度
2 ( c1l
2 l 2 c1 c2l 2
du du du 2 2 ) 2 )( )( c1c2l (c1 c2l ) dy dy dy 2 du 2 2 l ( ) dy
伯金汉（Buckingham）定理
一个物理方程可以变换为无因次准数方程，独立准数的个数 N 等于原方程变量数 n 减去基本因次数 m。
N nm
根据实验结果，直管层流摩擦阻力损失与管长成正比，指数 b=1
du d P 2 K d L u
k 0 .4
2
u
*2
du 2 ( k y) ( ) dy
u* du dy ky
积分有
u* u ln y C k
y
速度分布的 指数形式
u u max
y n ( ) a
1
a (a-y) d x
0
Re 410 2.3
4
104
1.1 105
1.1 106
2.0 106
8Lu 32 Lu h f P 2 R d2
范宁摩擦因子 f （Fanning friction factor）
摩擦因子的定义：流体在壁面处的剪应力与管内单位体积流 体的平均动能之比
1 d P f 2 u / 2 4 L u2/ 2
s
L u2 L u2 P 4 f λ d 2 d 2
普朗特混合 长度假说
y
du u c1l dy v c2 u c1c2 l du dy
u
l
y
b A a 0
u l y
u
v u
x 涡体
l
b a
l 称为混合长度
2 ( c1l
2 l 2 c1 c2l 2
du du du 2 2 ) 2 )( )( c1c2l (c1 c2l ) dy dy dy 2 du 2 2 l ( ) dy
伯金汉（Buckingham）定理
一个物理方程可以变换为无因次准数方程，独立准数的个数 N 等于原方程变量数 n 减去基本因次数 m。
N nm
根据实验结果，直管层流摩擦阻力损失与管长成正比，指数 b=1
du d P 2 K d L u
流体力学第4章
r 0 r0
27
这个式子说明在圆管均匀流的过流断面上，切应力的变化规律为 线性。 在推导过程中，并没有考虑流态，所以，不管什么流态都是适用的。
第三节 圆管中的层流运动
二、沿程阻力系数的计算
在任意的r处，取一个微环， 写出牛顿内摩擦力公式：
du dr
负号表示u 随r的增大而减小。
6
第一节 沿程损失和局部损失
三、能量损失的计算公式
一个管道不可能只有沿程损失或局部损失，一般都会由几段沿程损失和几个 局部损失组成。因此，总的能量损失就需要把各个损失加起来。 总的损失用hl表示：hl
hf hm
在工程上为了列能量方程时比较方便、直观，往往把损失的大小用速度水头 的倍数（或动压的倍数）再加上一些几何参数来表示。
二、局部阻力和局部损失
在过流断面的大小、形状和方位沿程发生急剧变化的地方，其流速的分布也 要产生急剧的变化，发生典型的不均匀流动。这种流动往往局限在比较小的 区域当流体通过这个区域后又会变成渐变流或均匀流。比如：流体通道的突 然扩张或突然收缩、弯管、阀门等附近都会是这种情况。这种阻力，由于发 生在局部区域，因此，我们称之为局部阻力。由局部阻力引起的损失我们称 之为局部损失，用 hm 表示。 在工程上一般认为：局部损失与管段的长度无关，与局部的形状有关。
事物的变化总是要从量变到质变的，对于一根管道，在管壁上由于粘性力 的作用，速度为0，紧挨管壁的一层速度一定很小，因此，在管壁的附近 存在一个层流底层，在层流和紊流之间存在一个过渡层，中间是紊流核心。
层流底层的存在对流动损失的分析是非常重要的。
23
第三节 圆管中的层流运动
将圆管中层流可看作
许多无限薄同心圆筒层一个套一个地运动 r r0
流体力学总结
流体力学总结第一章 流体及其物理性质1. 流体：流体是一种受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质，只要这种力继续作用，流体就将继续变形，直到外力停止作用为止。
流体一般不能承受拉力，在静止状态下也不能承受切向力，在任何微小切向力的作用下，流体就会变形，产生流动 2. 流体特性：易流动(易变形)性、可压缩性、粘性 3. 流体质点：宏观无穷小、微观无穷大的微量流体。
4. 流体连续性假设：流体可视为由无数连续分布的流体质点组成的连续介质。
稀薄空气和激波情况下不适合。
5. 密度0limV m m V V δδρδ→== 重度0lim V G Gg V Vδδγρδ→=== 比体积1v ρ=6. 相对密度：是指某流体的密度与标准大气压下4︒C 时纯水的密度（1000）之比w wS ρρρ=为4︒C 时纯水的密度 13.6Hg S = 7. 混合气体密度1ni ii ρρα==∑8. 体积压缩系数：温度不变，单位压强增量引起的流体体积变化率。
体积压缩系数的倒数为体积模量1P PK β=1p V p V δβδ=-110 1.4p p T Q ppβγβγ→====9. 温度膨胀系数：压强不变，单位温升引起的流体体积变化率。
1T V T V δβδ=1T p Tβ→=10. 不可压缩流体：流体受压体积不减少，受热体积不膨胀，密度保持为常数，液体视为不可压缩流体。
气体流速不高，压强变化小视为不可压缩流体 11. 牛顿内摩擦定律： du dyτμ= 黏度du dyτμ= 流体静止粘性无法表示出来，压强对黏度影响较小，温度升高，液体黏度降低，气体黏度增加 μυρ= 。
满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。
12. 理想流体：黏度为0，即0μ=。
完全气体：热力学中的理想气体第二章 流体静力学1. 表面力：流体压强p 为法向表面应力，内摩擦τ是切向表面应力（静止时为0）。
2. 质量力（体积力）：某种力场对流体的作用力，不需要接触。
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p1 p2 z1 z2 hf g g
p1 p2 hf z1 g z2 g
流动为均匀流，惯性力为零，列平衡方程
p1 A p2 A gAl cos 0l 2r0 0
p1 p2 2 0l z1 g z2 g gr h f 0
z1 z2
r0 h f r0 0 g g J 2 l 2
J——单位长度的沿程损失 （水力坡度） 同理 g
r J 2
r 0 r0
2.断面流速分布
du 牛顿内摩擦定律 dr r 又 g J 2
gJ du rdr 2
gJ rdr 积分 0 du r0 2
x
d ux 1 dy
b.脉动流动—— 2 （附加切应力、惯性切应力、雷诺切应力）
' ' 2 ux uy
c.切应力
1 2
Re数较小时，1 占主导地位 Re数很大时， 2 1
4.混合长度理论—— 2 的计算 普朗特混合长度理论的要点（假设） （1）流体质点因脉动横向位移l1到达新的空间点， 才同周围点发生动量交换，失去原有特征，l1称混合 长度
l v2 hf d 2g
l v2 pf d 2
达西-魏斯巴赫公式
λ——沿程阻力系数
2.局部阻力——局部损失
v2 hj 2g
v2 p j 2
ζ——局部阻力系数
3.总能量损失
hw hf hj
惯性力 ma L3 v2 L vL Re 粘性力 Adu dn L2 v L
惯性力与粘性力作用之比——判断流态
圆管中的层流运动
1.沿程损失与切应力的关系 列1-1和2-2断面的能量方程
流体运动阻力与损失
安徽建筑工业学院环境工程系流体的两种流态 • 圆管中的层流运动 • 紊流运动 • 圆管紊流的沿程损失 • 非圆管中的流动 • 局部阻力及损失的计算 • 绕流运动
流动阻力的两种类型
hw（pw）——流体粘性引起 1.沿程阻力——沿程损失(长度损失、摩擦损失)
4.例：应用细管式粘度计测油的粘度，细管d=6mm，
l=2m，Q=77cm3/s，水银压差计读值h=30cm，水银密 度ρm=13600kg/m3，油的密度ρ=900kg/m3，求油的运动 粘度υ 解：h f
m h 4.23m
4Q v 2 2.73m / s d
设为层流
d ux u x y l1 u x y l1 dy d ux u x u x y l1 u x y l1 dy
d ux （2） u c1l1 dy
' x
2 2 1 2 1
d ux u c2l1 dy
' y
2
d ux 2 d ux 2 c c l dy l dy
64 l v 2 hf Re d 2 g
解得运动粘度
2 gd 2 hf 8.54106 m 2 / s 64lv
校核流态
Re
vd
1918 2000
计算成立
紊流运动
1.紊流的微观分析
涡体的产生
2.紊流运动的时均化 脉动性
（1）瞬时速度u
（2）时均速度 u
1 t0 T u t udt T 0
层流 紊流
h f k1v1.0 v1.0 hf k2v1.75~2.0 v1.75~2.0
结论：流态不同，沿程损失规律不同 ab段 ef段 be段 层流 紊流 临界状态
1 45
m1 1.0 m2 1.75 ~ 2.0
2 6015'6325'
m3 2.0
u r
gJ 2 2 r0 r （a） u 4
——旋转抛物面
gJ 2 umax r0 4
（b）平均速度
Q udA v A A
0
r0
u 2rdr
r02
g 2 1 Jr0 umax 8 2
——测量圆管层流平均速度的方法
（c）层流动能修正系数
3.雷诺数
vc d
Rec vc d
vc Rec d
vc d
Rec——临界雷诺数（2000左右） Re=vd/υ——雷诺数（无量纲） Re<Rec Re>Rec 层流 紊流（包括层流向紊流的临界区2000~4000） 结论：用雷诺数判断流态
4.用量纲分析说明雷诺数的物理意义
3 u dA A
v A
2 u dA A
3
2
层流动量修正系数
v A
2
1.33
3.沿程损失系数
8vl 32vl 1.0 h f Jl v gr02 gd 2
l v2 又 hf d 2g
比较
64 f Re Re
注意：v↑→λ↓，但hf∝v↑
4.用水头线表示
p
w
p f p j
粘性流体的两种流态
1.雷诺实验（1883年） 请看雷诺实验动画演示
（a）层流 （b）临界状态 （c）紊流 上临界流速vc’ 下临界流速vc——临界流速
vc vc '
2.分析雷诺实验
lg h f lg k m lg v
h f kvm
（3）脉动速度u’
u' u u
1 u' T
t 0 T
t0
u ' dt 0
（4）断面平均速度v
1 v u dA A A
3.紊流的切应力 （1）紊流运动的分解 y
ux u 'y
' ux
ux f y
ux ux
' ux
u 'y
（2）紊流的切应力 a.时均流动—— 1 （粘性切应力） 符合牛顿内摩擦定律