运用勾股定理证明与计算

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勾股定理的证明与应用

勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

本文将对勾股定理的证明方法进行探讨，并结合实际应用场景进行具体分析。

一、勾股定理的证明勾股定理最早可以追溯到中国古代。

相传，公元前11世纪的周朝时期，中国古代数学家祖冲之发现了勾股定理，并给出了一种证明方法。

他的证明方法基于图形的几何性质，被称为“割弦法”。

具体来说，首先假设有一个直角三角形，三边分别为a、b、c。

利用割弦法，我们可以得到如下等式：sin A = a / ccos A = b / c根据三角函数的定义，我们可以将上述两个等式相加：sin^2 A + cos^2 A = (a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2由于在直角三角形中，sin A 和 cos A 的平方和等于1，即 sin^2 A + cos^2 A = 1，因此可以得到：1 = (a^2 + b^2) / c^2进一步变换得：c^2 = a^2 + b^2因此，勾股定理得证。

二、勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面将以几个实际场景为例，介绍勾股定理的应用。

1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。

假设我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以利用勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2= 9 + 16= 25因此，斜边的长度为5。

2. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题中有重要作用。

例如，我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果三条边的长度满足勾股定理的条件，即c^2 = a^2 + b^2，那么该三角形就是直角三角形。

3. 工程应用勾股定理在工程中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们需要确保房间的角度为直角。

通过测量房间的两个边长，可以利用勾股定理来判断是否满足直角条件。

第01讲勾股定理-—计算与证明(教案)

4.在小组合作交流中，提高沟通表达、团队协作的能力，培养合作精神；
5.感受数学文化的魅力，增强对数学学科的兴趣与热爱，提升数学审美与人文素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的概念、证明方法及其应用。
-重点讲解：
a.勾股定理的表述及其含义，强调直角三角形三边关系；
b.勾股定理的证明方法，特别是面积法、割补法的详细步骤和原理；
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出浓厚的兴趣。他们对于如何运用定理解决实际问题感到好奇，这让我很欣慰。但在教学过程中，我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，我在讲授勾股定理的证明方法时，发现部分学生对面积法的理解存在困难。在今后的教学中，我需要更加耐心地解释和演示，通过更多的实例让学生直观感受割补过程，以便他们能更好地理解这一证明方法。
第01讲勾股定理-—计算与证明（教案）
一、教学内容
第01讲勾股定理—计算与证明（教案）
本讲教学内容选自《数学》八年级上册第12章第1节。主要包括以下内容：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（面积法、割补法、向量法等）；
3.勾股定理的应用：直角三角形的边长计算、斜边上的Байду номын сангаас、中线、角平分线等；
4.勾股定理的拓展：勾股数、勾股数列、广义勾股定理等；
5.相关实际问题的解决方法。
二、核心素养目标
本讲核心素养目标遵循新教材要求，致力于培养学生以下能力：
1.理解并掌握勾股定理及其证明方法，提升数学推理与逻辑思维能力；
2.能够运用勾股定理解决实际问题，增强数学应用意识与解决实际问题的能力；
3.通过勾股定理的探究与拓展，培养数学抽象、数学建模的核心素养；

勾股定理的简单证明与应用

勾股定理的简单证明与应用勾股定理，又称直角三角形定理，是三角学中最基础和重要的定理之一。

它描述了直角三角形斜边的长度与两条直角边长度的关系。

在这篇文章中，我们将简要介绍勾股定理的证明以及一些实际应用。

一、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几种方法进行，其中最著名的是毕达哥拉斯的几何证明和代数证明。

这里我们将介绍一种简单的几何证明方法。

假设有一个直角三角形，其中较短的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。

根据勾股定理，我们要证明的是：a² + b² = c²首先，以边长a和b为邻边，画两个正方形，如下图所示：（插入图片1）正方形的边长分别为a和b，通过连接这两个正方形的顶点和斜边的两个顶点，形成一个大正方形。

根据几何知识，我们可以知道大正方形的边长为：（a+b）（1）然后，我们将这个大正方形分成四个小三角形，同时将直角三角形从大正方形中取出，如下图所示：（插入图片2）根据几何知识，我们可以知道四个小三角形的面积和等于大正方形的面积，即：a² + b² = （a+b）²（2）将式（1）代入式（2），得到：a² + b² = a² + 2ab + b²化简后得：0 = 2ab由于直角三角形的两条直角边长度不可能为0，所以上式不可能成立。

因此，我们得出结论：a² + b² = c²这就完成了勾股定理的证明。

二、勾股定理的应用勾股定理作为数学中的基础定理，广泛应用于各个领域。

下面我们将介绍一些勾股定理的实际应用。

1. 测量直角三角形的边长和角度勾股定理可以用于测量直角三角形的边长和角度。

通过测量两条直角边的长度，可以计算出斜边的长度。

反过来，如果已知斜边的长度和一条直角边的长度，也可以计算出另一条直角边的长度。

此外，勾股定理还可以用于计算三角形的角度，通过已知的边长可以借助三角函数求解。

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

2证法 1】（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即证法 2】（邹元治证明）∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c 2.∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于∠HEF = 90 o.EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直线上，把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上b 2 4 12 abc 24 1 ab2整理得c 21 4 ab 2c 2a 2b 2c 2【证法 3】（赵爽证明）以 a 、 b 为直角边（ b>a ），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba1 2 24 ab b a c 2.2 2 2a b c .证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上 . 把这两个直角三∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，12 c 它的面积等于 2 .又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD ∥ BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 12 1 12a b 2 2 ab c 2 2 2 2 2 2a b c .【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、 E 、F 在一条直线上 , 且Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o ― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .a 、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则 2 21 ab 2 S2 ab,2 2S21 cab 2, ∴a2b 2c 2.【证法 6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （ b>a ）形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 C 三点在一条直线上 .，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方过点 Q 作 QP ∥ BC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM ⊥ PQ ，垂足为 M ；再过点 F 作 FN ⊥ PQ ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90 o ，QP ∥ BC ， ∴ ∠MPC = 90o ， ∵ BM ⊥ PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠ MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90 o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt Δ BMQ ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 Rt Δ QNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、 BF 、CD. 过 C 作 CL ⊥ DE ，交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ Δ FAB 的面积等于 2 ， Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， B 三点在一条直线上，连结GK F bB 2∴ 矩形 ADLM 的面积 = a . = b 2同理可证，矩形 MLEB 的面积 ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 +2 2 2 ∴ c a b ，即【证法 8】（利用相似三角形性质证明）矩形 MLEB 的面积 2 2 2 a b c . b MAL如图，在 Rt Δ ABC 中，设直角边 AC 、在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AC 2AD ?AB Δ CDB ∽ Δ ACB ，从而有 BC 2 AD（杨作玫证明） BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D.同理可证， ∴ AC 2 【证法 9】做两个全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的多边形与 CB 的延长线垂直，垂足为∵ ∠BAD = 90 o ，∠ PAC = 90o ，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o ，∠ BCA = 90o ， AD = AB = c ， ∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . DB ?AB BC 2 BD ?AB . AB 2 ，即 a 2 b 2c 2设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b>a ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . . 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于 R. 过 B 作BP ⊥AF ，垂足为 P. 过 D 作DEE ，DE 交 AF 于 H. b 9 2 A由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即 PB = CA = b ，AP= a ，从而 PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠ DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形 .∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b ―a ，下底 BP= b ，高 FP=a +（b ―a ）用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为c 2S 1S 2S 3 S 4 S 5①S 8S 3S 41b b a ? a b ab 2 1ab 2= 2S 5 S 8S 9，∴S 3S 421S8=b 2 S 1 S 8 .b 2ab 2②把②代入①，得c 2S 1S 2 2 b S 1S 8 S 8 S 9 =b 2S 2 S 9 = b 2 a 2.222a b c .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、 b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为成如图所示形状，使 A 、E 、 G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） .∠TBE = ∠ABH = 90o ，∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90 o ， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o ， ∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 S7 S2 .过Q 作 QM ⊥AG ，垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90 o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以 Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM. 又 Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以 Rt Δ HBT ≌ RtΔQAM. 即 S8 S5.由 Rt Δ ABE ≌ Rt ΔQAM ，又得 QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠ BAE + ∠CAR = 90 o ，∠ AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ， QM = AR = a ，∴ Rt Δ QMF ≌ Rt ΔARC. 即 S4 S6 .S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1S 6 b 2S 3 S 7 S 8a 、b 、c 的正方形，把它们拼 b8 D61 3ME 45c7 F2C【证法 11】（利用切割线定理证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D 、E ，则 BD = BE = BC = a . 因为∠ BCA = 90o ，点 C 在⊙B 上，所以 AC 是⊙B 的切线 . 由切割线定理，得AC 2 AE? AD= AB BE AB BD = c a c a22= c a ，即 b 2 c 2 a 2 ，2 2 2∴ a b c .【证法 12】（利用多列米定理证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC?BD ，∵ AB = DC = c ， AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴AB 2 BC 2 AC 2 ，即 c 2 a 2 b 2 ， ∴ a 2 b 2 c 2 .设⊙ O 的半径为 r.又∵ S 72aS 2 b 2S 8S 5 ，S 4S6，S 1S 6 S 3 S 7 S 8=S 1S 4 S 3 S 2 S 52=cb 2c 212r c c r 2= 2= r24 r rc4S ABCrcB 作 BD ∥ CA ，则 ACBD【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = AbC c. 作 Rt ΔABC 的内切圆⊙ O ，切点分别为 D 、 E 、F （如图），AC BC AB AE CE BD CD=C ECD = r + r = 2r,即 ab c 2r ，ab 2rc .ab22r 2 c，即2a b22ab4r2rc2 c，S ABC12ab，2ab4S ABC ，又∵ S ABC S AOB S BOC1 111 S AOC =cr ar br a b c r2 2 2 =2AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 AD ∥CB ，过点 ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，【证法 16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为拼成如图所示形状，使 E 、 H 、M 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图）在 EH = b 上截取 ED = a ，连结 DA 、 DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = b a ―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o ， CM = a ， ∠AED =90o ， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ，∴4 r 2 rc 2ab ，∴，∴a 2b 2 2ab 2abc 2 ，【证法 14】（利用反证法证明）如图，在 Rt ΔABC 中，设直角边 AC 、 2 2 2 2假设 a b c ，即假设 ACAB 2 AB?AB = AB AD 可知AC AB ? AD ，或者 BC 在Δ ADC 和Δ ACB 中，∵ ∠A = ∠ A ，∴ 若 AD ： AC ≠ AC ：AB ，则 ∠ ADC ≠∠ ACB. 在Δ CDB 和Δ ACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若 BD ：BC ≠ BC ：AB ，则 ∠ CDB ≠∠ ACB. 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ ADC ≠ 90o ，∠ CDB ≠ 90o.2这与作法 CD ⊥ AB 矛盾. 所以， AC2 b 2a 2b 2c 2a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D. BC 2 AB 2，则由 BD = AB ?AD BC 的长度分别为 AB ?BD . 即 AD ： BC 2证法 AB ?BDAC ≠AC ：AB ，或者 BD ： BC ≠BC ：AB.2 AB 2的假设不能成立 .2c.设直角三角形两直角边的长分别为方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为b ，斜边的长为 abc. 2 作边长是 a 2 b 2 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 b 2几个部分，则正方形 ABCD 的面积为a 2b 2 2ab 2abc 2b 2 1ab 22c . c 2=2ab c 2a 、b b>a ），斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a 、 b 的正方形（ b>a ），把它们辛卜松证明）15】 a 、 C∴ ∠ ADC = 90o.∴ 作 AB ∥DC ，CB ∥DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 . ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90 o ， ∴ ∠BAF=∠ DAE.连结 FB ，在Δ ABF 和Δ ADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠ BAF=∠ DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90 o ， BF = DE = a . ∴ 点 B 、F 、G 、 H 在一条直线上 . 在 Rt Δ ABF 和 Rt ΔBCG 中，AB = BC = c ， BF = CG = a ， Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.2cS 2 S 3 S 4S5，bS 1 S 2 S 6 ，a S 3 S 7S 1S 5S 4S 6 S 72ab 2S 3S 7S 1S 2S 6=S 2 S 3 S 1 S 6 S 7=S 2S 3 S 4S 5=c 22ab 2c 2勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。

勾股定理的证明及其应用

勾股定理的证明及其应用第一章前言勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人研究，反复被人论证。

1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367 种不同的证明方法。

实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

这是任何定理的证明无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580 －公元前500 ）．实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000 多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M •克莱因教授曾经指出：我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5 的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000 年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30 个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6 个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5 三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1 到15 的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15 组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。

勾股定理的证明及简单计算

小结
通过本节课的学习，我们学到了哪些知识？ 1．本节课你有哪些收获？ 2．你学到哪些解决问题的方法，哪些数学思想？
作业布置
1、课本70页第2、3题 2、有条件的同学上网搜搜有关勾股定理的证明
美国总统的证明
• 茄菲尔德（James A.
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
证明三 “总统”证法
a
bc
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2×½ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
a
c
a2 + b2 = c2
b
课中
如图，一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO
探上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑
究 0.5m,那么梯子底端B也外移动多少m?
A
在Rt△AOB中，
OB2= AB2 AO2 32 2.5，2
O
OB= 2.75 1.658.
B
C
O
D
在Rt△COD中，
OD2= CD2 CO2 32 22，OD= 5 2.236 .
一
(2) c
c
(3)
(a-b)2
=
c2－4×
1
ab
2
a2+b2－2ab = c2－2ab
(4)
可得： a2 + b2 = c2
b
证
明a
二
c
c b
a
a
c
b
(a+b)2 =

八年级数学《勾股定理》教案8篇

八年级数学《勾股定理》教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

21勾股定理及证明

初中数学勾股定理及其证明编稿老师蔡宝霞一校杨雪二校黄楠审核隋冬梅【考点精讲】知识点1 勾股定理如果直角三角形中两条直角边为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2。

注意：勾股定理应用的前提条件必须是直角三角形，解题时，只能是在同一直角三角形中，才能利用它求第三边的长。

知识点2 勾股定理的证明对于勾股定理的内容，世界上几个文明古国相继发现和研究过这个定理，并给出了勾股定理的许多证明，有人统计，现在世界上已找出370多种运用图形的割、补、移、拼表示出方法指导思想手段目的拼图法数形转换图形的拼补各部分面积和等于整体面积，整理变形推导出勾股定理。

【典例精析】例题1如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。

利用这个图试说明勾股定理。

思路导航：根据大正方形面积＝四个相同直角三角形面积＋小正方形面积，得c2＝4×12ab＋（a－b）2即得c2＝a2＋b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理。

点评：应用图形的面积关系证明勾股定理内容时，通常是根据图形的面积和差之间的关系建立等式，从而推导得出勾股定理的内容。

例题2 观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD沿逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC'′。

设AB＝b，BC＝a，AC ＝c。

（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2－b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2。

思路导航：（1）根据题意作出长为（a＋b），宽为（a－b）的长方形图形；（2）四边形BCC′D′的面积从大的方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式即为所求，如图所示。

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 .【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.222c b a =+ab 21∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ .【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.()2b a +()22214c ab b a +⨯=+222c b a =+ab 21∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED ，()2a b -()22214c a b ab =-+⨯222c b a =+ab 21221c ()221b a +()222121221c ab b a +⨯=+222c b a =+∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则, ∴ .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=222c b a =+∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =.同理可证，矩形MLEB 的面积 =.∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积221a 2a 2b∴ ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABCa 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD ∶AC = AC ∶AB ，即 .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 .∴ ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.222b ac +=222c b a =+AB AD AC ∙=2AB BD BC ∙=2()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+222c b a =+∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为①∵=，，∴ = . ②把②代入①，得= = .∴ .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.543212S S S S S c ++++=()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438abb 212-985S S S +=824321S ab b S S --=+812S S b --98812212S S S S b S S c ++--++=922S S b ++22a b +222c b a =+∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 .过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 .由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，27S S =58S S =64S S =543212S S S S S c ++++=612S S a +=8732S S S b ++=27S S =58S S =64S S =∴ ==，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴ .【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c ，AC = BD = b ，∴ ，即 8736122S S S S S b a++++=+52341S S S S S ++++2c 222c b a =+ADAE AC ∙=2()()BD AB BE AB -+()()a c a c -+22a c -222a cb -=222c b a =+BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙222AC BC AB +=22b ac +=a b aa B ACD c∴ .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r.∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ = = r + r = 2r,即，∴ .∴ ，即，∵ ，∴ ，又∵ = = == ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ .【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设，即假设，则由==可知，或者 . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：222c b a =+()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+CD CE +r c b a 2=-+c r b a +=+2()()222c r b a +=+()222242c rc r ab b a ++=++ab S ABC 21=∆ABC S ab ∆=42AOC BOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=br ar cr 212121++()r c b a ++21()r c c r ++221rc r +2()ABC S rc r ∆=+442()ab rc r 242=+22222c ab ab b a +=++222c b a =+222c b a ≠+222AB BC AC ≠+AB AB AB ∙=2()BD AD AB +BDAB AD AB ∙+∙AD AB AC ∙≠2BD AB BC ∙≠2c b a r r r O F D B ABC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，的假设不能成立.∴ .【证法15】（辛卜松证明）222AB BC AC ≠+222c b a =+ab 21ab 21ab 21ab 212c2b 2a B C b a b a b a b a b ac c c cb ab ab b a b a设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 =.∴ ,∴ .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ―a = b.又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，()ab b a b a 2222++=+()22214c ab b a +⨯=+22c ab +22222c ab ab b a +=++222c b a =+()a b +∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ ，，，，∴ ===∴ .勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数54322S S S S c +++=6212S S S b ++=732S S a +=76451S S S S S +===6217322SS S S S b a ++++=+()76132S S S S S ++++5432SS S S +++2c222c b a =+量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。

勾股定理及证明

cba HG FEDCBAbacbac cabcabc baE D A勾股定理及证明【知识回顾】知识点1：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c +=说明：勾股定理说明了三角形的三边关系，这个定理的前提条件是：三角形必须是直角三角形。

其结论是：两直角边的平方的和等于斜边的平方。

由于2222c a b a =+>所以c a >。

同理可证c b >，即直角三角形的斜边长于每一条直角边。

知识点2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以 222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得222a b c +=【知识点一】利用勾股定理求三角形的边长问题。

例1、已知直角三角形中两直角边512a b ==，。

求斜边c 的长度。

【变式练习】1、已知直角三角形的两边长分别为13和12，求第三边。

2、已知如图Rt △ABC 中，AB=12，AC+BC=18，求AC 与BC 的长。

例2、（1）在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．（2）在△ABC 中，AB=AC=13，S △ABC =65，求BC 的长。

勾股定理证明(7种方法)

证明一图一在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中Ð A 为直角。

我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。

过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。

不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。

所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。

类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。

即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。

由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。

不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。

这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。

他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。

《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。

而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。

设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2化简得 a2 + b2 = c2由此得知勾股定理成立。

运用勾股定理证明与计算

运用勾股定理证明与计算勾股定理学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。

导学过程一、忆一忆A1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）D（1）两锐角之间的关系：（2）若D为斜边中点，则斜边中线是C（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系是：二、学一学 1、（1）、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长B问题：你是否发现32+42与52，52+122和132的关系，即32+4252，52+122132，命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么。

三、合作探究：方法1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证： a2?b2?c2 证明：4S△+S小正=S大正accbbaaabcac bc根据的等量关系：由此我们得出勾股定理ab的内容是方法2、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

AD a根据如图所示，利用面积法证明勾股定理 bcEcBbCaabcbabDCbAcaB四、练一练：1、在Rt△ABC，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c。

（2）已知a=1,c=2, 求b。

（3）已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c2、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的长为。

3．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56B、48C、40D、326、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.勾股定理（二）3m 4m20m学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。

勾股定理的证明与应用

勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中一条经典的几何定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。

本文将就勾股定理的证明以及其在实际应用中的意义进行阐述。

1. 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，其中一种经典的证明方法是使用几何图形。

假设有一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

根据勾股定理，有a² + b² = c²。

证明勾股定理时，可以利用平面几何的知识。

首先，画出一个正方形，边长为a+b。

然后，根据直角三角形的性质，将正方形的四个角分别连接成四个直角三角形。

这四个直角三角形的两条直角边分别为a、b和b、a，斜边分别为c。

根据几何知识可知，这四个直角三角形的面积之和等于正方形的面积。

而正方形的面积为(a+b)²，即(a+b)² = 2ab + c²。

同时，这四个直角三角形的面积之和也等于a² + b² + a² + b² = 2(a² + b²)。

因此，得到等式2(a² + b²) = 2ab + c²，即a² + b² = c²。

证明完毕。

2. 勾股定理的应用勾股定理在实际应用中具有广泛的意义。

以下将介绍几个常见的应用领域。

2.1. 测量与导航勾股定理在测量与导航领域中被广泛应用。

例如，在三角测量中，勾股定理能够帮助测量人们无法直接测量的距离。

通过测量两个已知距离和一个已知角度，可以利用勾股定理计算出未知距离。

此外，在导航系统中，勾股定理也用于计算航空和航海中的飞行距离和航程。

2.2. 工程建设勾股定理在工程建设中起到关键作用。

例如，在建筑设计中，根据勾股定理可以计算建筑物的对角线长度，从而确保建筑结构的稳定性。

此外，勾股定理还常用于计算电线杆、铁路轨道等工程中的距离和角度。

2.3. 三角学与物理学勾股定理是三角学的基础，广泛应用于物理学中的力学、光学等领域。

勾股定理的应用

详细描述
在计算机图形学中，勾股定理被用于计算两点之间的距离，以实现图形的测量和比较。同时，勾股定理还可以用于计算角度和面积，以实现图形的旋转、缩放和平移等变换。此外，勾股定理在三维图形学中也被用于计算深度和阴影等效果，以提高图形的真实感和立体感。
案例三：利用勾股定理解决物理学中的问题
总结词
THANK YOU
风险管理
在衡量投资组合的风险时，利用勾股定理可以计算投资组合的波动率，从而更好地评估和降低投资风险。
03
估值模型
基于勾股定理的估值模型可以更准确地评估公司的价值，尤其是在考虑
公司未来的增长率和折现率时。
利用勾股定理在环境科学中的应用
地理信息系统（GIS）
在环境科学领域，勾股定理被广泛应用于地理信息系统中，以帮助研究人员更好地了解地球表面形态、地形地貌以及植被分布等信息。
利用勾股定理解决实际问题
01
02
03
建筑学
在建筑设计中，勾股定理被用来确定角度、长度等参数，以确保建筑物的稳定性和美观。
航空航天
在航空航天领域，勾股定理被用来计算飞行器的路径、高度等，以确保飞行器的安全和高效。
地理学
在地理学中，勾股定理被用来确定两点之间的距离、高度差等，以便更好地了解地球的形状和大小。
空间计量经济学
空间计量经济学是研究空间自相关和空间异质性的学科，利用勾股定理可以更好地理解和分析空间数据的结构和特征。
人类行为研究
在研究人类行为和社会现象时，利用勾股定理可以帮助解释人类行为和决策的背后逻辑，例如人类的迁移、聚集和社会分层等现象。
05
勾股定理的应用前景与挑战
勾股定理的应用前景

勾股定理500种证明方法

勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形的特殊关系。

在本文中，我将为您探讨勾股定理的500种证明方法。

通过这些证明方法，我们可以从多个角度深入理解勾股定理的本质和意义。

1. 证明方法一：几何法1.1 利用直角三角形的定义，假设三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边的长度为c。

1.2 利用勾股定理的定义，即a² + b² = c²。

1.3 通过绘制图形和证明几何命题，可得出结论。

2. 证明方法二：代数法2.1 假设a和b分别代表直角三角形的两条直角边长。

2.2 在等式a² + b² = c²两边同时开方，得到c = √(a² + b²)。

2.3 将a、b和c的值代入等式，验证等式的成立性。

3. 证明方法三：相似三角形法3.1 假设两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3.2 通过相似三角形的性质，得出AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为正常数。

3.3 利用勾股定理，可得AB² + BC² = AC²，DE² + EF² = DF²。

3.4 将相似三角形的性质代入等式，验证等式的成立性。

4. 证明方法四：三角恒等式法4.1 通过引入三角函数，将直角三角形的边长表示为三角函数的形式。

4.2 利用三角函数的基本性质和三角恒等式，将勾股定理的等式转化为三角恒等式的等式。

4.3 通过验证三角恒等式，证明等式的成立性。

5. 证明方法五：向量法5.1 假设向量a和b分别代表直角三角形两条直角边的向量表示。

5.2 通过向量的内积和模长的性质，得出a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间夹角。

5.3 通过向量的定义和勾股定理，将a·b和|a||b|cosθ的值代入等式，验证等式的成立性。