2015年人教版中考数学总复习课件(含2014年中考)：第15课时二次函数的应用
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2015年河北中考数学总复习课件(第15课时_二次函数的应用)
解 析
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考点聚焦
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第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的图像与系数的关系
项目 字母 a b
字母的符号 a>0 a<0 b＝0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号)
图像的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧
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第15课时┃ 二次函数的应用
2．[2014· 柳州] 小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图像 如图 15－1，则关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解是 ( D )
图 15－1 A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1 或 x＝4
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第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
冀 考 解 读
考点梳理 常考题型 年份 2015 热度预测 y＝ax2＋bx＋c 的 ☆☆ 图像与 a，b，c 选择、填空 2013 之间的关系 二次函数与一元 选择、填空 ☆ 二次方程的关系 二次函数与直线 选择、填空、 2013 ☆☆☆☆☆ 的交点问题 解答 二次函数的 解答 2012 ☆☆☆☆☆ 实际应用
图 15－2 ①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当 x＞ －1 时，y 的值随 x 的值的增大而增大． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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第15课时┃ 二次函数的应用
b 根据，抛物线的对称轴为直线 x＝－ ＝2，则 2a 有 4a＋b＝0；观察函数图像得到当 x＝－3 时，函数值小于 0， 则 9a－3b＋c＜0，即 9a＋c＜3b；由于 x＝－1 时，y＝0，则 a －b＋c＝0，易得 c＝－5a，所以 8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a ＝－30a，再根据抛物线开口向下得 a＜0，于是有 8a＋7b＋2c ＞0；由于对称轴为直线 x＝2，根据二次函数的性质得到当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而减小．故正确的结论为①③.故选 B.
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第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的图像与系数的关系
项目 字母 a b
字母的符号 a>0 a<0 b＝0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号)
图像的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧
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第15课时┃ 二次函数的应用
2．[2014· 柳州] 小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图像 如图 15－1，则关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解是 ( D )
图 15－1 A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1 或 x＝4
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第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
冀 考 解 读
考点梳理 常考题型 年份 2015 热度预测 y＝ax2＋bx＋c 的 ☆☆ 图像与 a，b，c 选择、填空 2013 之间的关系 二次函数与一元 选择、填空 ☆ 二次方程的关系 二次函数与直线 选择、填空、 2013 ☆☆☆☆☆ 的交点问题 解答 二次函数的 解答 2012 ☆☆☆☆☆ 实际应用
图 15－2 ①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当 x＞ －1 时，y 的值随 x 的值的增大而增大． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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第15课时┃ 二次函数的应用
b 根据，抛物线的对称轴为直线 x＝－ ＝2，则 2a 有 4a＋b＝0；观察函数图像得到当 x＝－3 时，函数值小于 0， 则 9a－3b＋c＜0，即 9a＋c＜3b；由于 x＝－1 时，y＝0，则 a －b＋c＝0，易得 c＝－5a，所以 8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a ＝－30a，再根据抛物线开口向下得 a＜0，于是有 8a＋7b＋2c ＞0；由于对称轴为直线 x＝2，根据二次函数的性质得到当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而减小．故正确的结论为①③.故选 B.
2015届湘教版中考数学复习课件(第15课时_二次函数的图象和性质二)
考点聚焦 归类探究 回归教材
图15－4
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
解 析
(1)将点A的坐标代入抛物线的函数表
达式，求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的函数表达式中，令x＝0求出y的 值，即求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝ 0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可 求出梯形COBD的面积．
探究四
二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用．
例4 [2013· 温州] 如图15－4，抛物 线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线 的对称轴于点D，连接BD，已知点A的 坐标为(－1，0)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD的面积．
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
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第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2－4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
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图15－4
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
解 析
(1)将点A的坐标代入抛物线的函数表
达式，求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的函数表达式中，令x＝0求出y的 值，即求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝ 0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可 求出梯形COBD的面积．
探究四
二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用．
例4 [2013· 温州] 如图15－4，抛物 线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线 的对称轴于点D，连接BD，已知点A的 坐标为(－1，0)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD的面积．
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
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第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2－4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
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【中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威15二次函数的应用PPT课件
第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
考点聚焦
考点一 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，
这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题．
考点二 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象
解决实际问题
考点聚焦
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第15课时┃ 二次函数的应用
例2 [2013·盐城 ]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一 种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现 原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数 关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为 多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收 入－进货金额)
考点聚焦
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图15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)依题意得：y＝1x(20－x)＝－1x2＋10x(0<x<20)，
坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原 点 对 称 求 出 D 点 坐 标 ， 然 后 根 据 S△BCD ＝ S△BOD＋S△BOC求出面积即可．
图15－1
考点聚焦
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4，
∴B(4，0)，
把 B 点坐标代入解析式得 16a－4＝0，解得 a＝1. 4
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转 化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等 知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
第15课时┃ 二次函数的应用
考点聚焦
考点一 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，
这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题．
考点二 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象
解决实际问题
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第15课时┃ 二次函数的应用
例2 [2013·盐城 ]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一 种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现 原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数 关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为 多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收 入－进货金额)
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图15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)依题意得：y＝1x(20－x)＝－1x2＋10x(0<x<20)，
坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原 点 对 称 求 出 D 点 坐 标 ， 然 后 根 据 S△BCD ＝ S△BOD＋S△BOC求出面积即可．
图15－1
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4，
∴B(4，0)，
把 B 点坐标代入解析式得 16a－4＝0，解得 a＝1. 4
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转 化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等 知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
2014年中考数学一轮复习课件：二次函数的应用
【解析】(1) 用每亩地每年发放种粮补贴金额乘以今年种 粮面积即可求出今年老王种粮可获得的补贴；(2)设出一
次函数关系式，结合图象中给出的两点坐标，用待定系
数法求出一次函数关系式；(3)根据每亩的售粮收入加每 亩地的种粮补贴减去每亩种粮成本，再乘以种粮面积x亩 ，可得关于x的二次函数关系式，然后利用二次函数的性 质，即可求出当种粮面积为多少亩时总利润最高及最高
总利润．
解：(1)120×150＝18000(元)． 答：今年老王种粮可获得补贴 18000 元． (2)由图象知，y 与 x 之间的函数是一次函数．设所求关系式 为：y ＝ kx ＋b(k≠0)．将(205 ， 1000) ， (275 ，1280) 两点坐标代 入，这样所求的 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋180. 2 (3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x ＋ 2080x. b 2080 因为－4 ＜0，所以当 x ＝－ ＝－ ＝260(亩)时，W 2a 2×（－4） 4ac－b 0－2080 ＝ ＝ 270400(元)． 最大＝ 4a 4×（－4） 答： 当种粮面积为 260 亩时， 总利润最高， 最高总利润为 270400 元．
解）与价格x（元/件） 之间满足一次函数关系 一 若每件5元销售，每月能 卖出3万件，若每件6元销 售，每月能卖出2万件
整理后信息
设y=kx+b
������������������������������ = ������������ + ������ ������������������������������ = ������������ + ������
（１）和实际生活相结合的最大（小）值问题；
人教版数学九年级上册第15课时 二次函数的综合性问题-课件
故可将其分割为Rt△ADE与直角梯形OBDE，分别求出其
面积再相加，即可得到四边形AOBD的面积． 解：∵点A(－3，0)，点B(0，3)，点C(1，0)，
∴AO＝3，OC＝1，OB＝3，∴AC＝4，
∵BO⊥AC，
∴S△ABC＝
1 2
AC·BO＝
1 2
×4×3＝6；
连接AD、DB，如解图②，∵点D(－1， 4)，DE⊥x轴
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴点C的坐标为(1，0)；
(2)已知M是y轴上一点，连接AM、DM，若 AM＝DM，且AM⊥DM，求点M的坐标；
【思维教练】由于点M是y轴上的坐标，则yM＝ OM，又由于AM⊥DM，可过D作y轴垂线DE， △AOM和△MED构成“一线三等角”的全等三角 例1题图② 形，即可得到OM长度，从而得到点M的坐标．
1
∴ 2×4×(－g2－2g＋3)＝2，解得g1＝－1
＋ 3 ，g2 ＝－1－ 3 ，满足题意的点G有两个，坐标为(
－1＋ 3，1)，(－1－ 3 ，1)；
(5)在x轴上是否存在一点P，使得PB＋PD的值
最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
【思维教练】作D关于x轴的对称点D′，连接
•
解：如解图①，过点D作DE⊥y轴交于点E，
∵AM⊥DM，∴∠AMO＋∠DME＝90°，
∵∠MAO＋∠AMO＝90°，∴∠MAO＝∠DME，
∵AM＝MD，∠AOM＝∠DEM＝90°， ∴Rt△AMO≌Rt△MDE(AAS)，
例1题解图①
∴MO＝DE＝1，
∴点M的坐标为(0，1)；
(3)求△ABC的面积及四边形AOBD的面积； 【思维教练】要求△ABC的面积，可以以AC 为底，BO为高来计算；对于求不规则图形 的面积，常将所求图形分割成几个可以直接 利用面积公式计算的规则图形，通过规则图 例1题图③ 形的面积和或差计算求解．如本题中求四边 形AOBD的面积，因其形状不规则
2015年中考数学一轮复习《第14讲二次函数》课件(
2.对称轴为x=h；顶点坐标为(h，k).
3. 增减性：当 a>0 时，当 x>h时， y 随 x 的增大而增大，当x<h时，
y随x的增大而减小；当a<0时，当x>h时，y随x的增大而减小，
当x<h时，y随x的增大而增大.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【真题专练】 1.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的
图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)
确的个数是 A.1 ( B.2 ) C.3 D.4
【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)根据a确定开口方向， 顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口方向， 分对称轴左右两部分来考虑.
【自主解答】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，
∴c=0，故①正确；∵二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和 (0，0)，∴对称轴是直线x=-1，故②正确；∵ － b 1 ，
2a 2a
增大 y随x的增大而_____. (5)最值：当x= b
2a
4ac b 2 时，y最小值=__________. 4a
2.当a<0时
2 4ac b b (1)开口方向：向下.(2)顶点坐标：（ 2a ， ______ 4a ） .(3)对 b x 称轴：直线________. 2a
1 2 y x mx 对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b， 2
c恰好是一个三角形的三边长，且当a<b<c时，都有y1<y2<y3， 则实数m的取值范围是 .
【解析】∵正整数 a ， b ， c 恰好是一个三角形的三边长，且
人教版九年级数学上册《二次函数复习》PPT (1)
y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 左平移 1 个单位，再向 上 平移 2个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y =2(x+1)2+2
练习： 平移在配方化为顶点式的基础上变化
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
5.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c
⑵二次函数y=2x2的图象先向 左平移 1 个单位，再向 上 平移 2个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y =2(x+1)2+2
练习： 平移在配方化为顶点式的基础上变化
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
5.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c
【数学课件】2015年人教版中考数学总复习：一元二次方程
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第6课时┃ 一元二次方程
－b± b2－4ac 解：(1)四 x＝ 2a (2)方程 x2－2x－24＝0 变形，得 x2－2x＝24. x2－2x＋1＝24＋1. (x－1)2＝25. x－1＝± 5. x＝1± 5. 所以 x＝－4 或 x＝6.
考点聚焦
归类探究
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2
2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
考点聚焦 归类探究 回归教材
第6课时┃ 一元二次方程
解
析
可用因式分解Leabharlann 或公式法．失分盲点 解一元二次方程易漏根 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知 数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果 约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零 ，则方程会失去一个根，出现漏根错误，所以对于此类问 题应通过移项，利用提取公因式的方法求解．
解 析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的 值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得 到 k 的取值范围； (2)找出 k 的取值范围中的正整数解， 确定出 k 可能的取 值，经检验即可得到满足题意的 k 值．
考点聚焦
归类探究
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第6课时┃ 一元二次方程
探究四
第6课时┃ 一元二次方程
探究三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
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第6课时┃ 一元二次方程
例 4 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k －4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
第6课时┃ 一元二次方程
－b± b2－4ac 解：(1)四 x＝ 2a (2)方程 x2－2x－24＝0 变形，得 x2－2x＝24. x2－2x＋1＝24＋1. (x－1)2＝25. x－1＝± 5. x＝1± 5. 所以 x＝－4 或 x＝6.
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2
2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
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第6课时┃ 一元二次方程
解
析
可用因式分解Leabharlann 或公式法．失分盲点 解一元二次方程易漏根 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知 数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果 约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零 ，则方程会失去一个根，出现漏根错误，所以对于此类问 题应通过移项，利用提取公因式的方法求解．
解 析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的 值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得 到 k 的取值范围； (2)找出 k 的取值范围中的正整数解， 确定出 k 可能的取 值，经检验即可得到满足题意的 k 值．
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第6课时┃ 一元二次方程
探究四
第6课时┃ 一元二次方程
探究三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
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第6课时┃ 一元二次方程
例 4 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k －4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
《二次函数》中考总复习PPT课件
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定
a b c 2a+b
开口方向、大小: 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 : 左侧ab同号 右侧ab异号
与y轴交点 : 交于正半轴c>o 负半轴c<0，过原点c=0. -
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
b 与1比较 2a b 与-1比较 2a
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
2 2 y x 变式 2 ：若抛物线y ax2 的图象如图，则 4 3x x 3 a 1 变式 1 ：若抛物线 的图象如图，
△ ABC的面积是 则 a= .
。
2、下列各图中可能是函数 y ax c a 与 y (a 0, c 0 )的图象的是( ) x
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
典型例题1. 如图 , 是抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图像， 则①a < 0;②b < 0;c > 0;a+b+c < 0; a-b+c > 0;b2-4ac > 0;2a-b = 0;
四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定
a b c 2a+b
开口方向、大小: 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 : 左侧ab同号 右侧ab异号
与y轴交点 : 交于正半轴c>o 负半轴c<0，过原点c=0. -
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
b 与1比较 2a b 与-1比较 2a
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
2 2 y x 变式 2 ：若抛物线y ax2 的图象如图，则 4 3x x 3 a 1 变式 1 ：若抛物线 的图象如图，
△ ABC的面积是 则 a= .
。
2、下列各图中可能是函数 y ax c a 与 y (a 0, c 0 )的图象的是( ) x
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
典型例题1. 如图 , 是抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图像， 则①a < 0;②b < 0;c > 0;a+b+c < 0; a-b+c > 0;b2-4ac > 0;2a-b = 0;
中考数学考前冲刺——《二次函数》复习课件(19张PPT)
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
课后作业
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
4、a，b，c符号的确定
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
y
2）、当x=-1时， y= a-b+c =０ x -2 -1 o 1 2
3）、当x=2时，y= 4a+2b+c ＞０
练习 左加右减，上加下减
⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得
到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移3 个单位可得到
y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的
图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
６、二次函数与一元二次方程的关系
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
b2-4ac=0 与交x点轴有( 唯b 一,0)个
2a
图象
y
O
x y Ox
一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
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归类探究
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随 x 变化的关系式为 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自 变量 x 的取值范围是 0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000 ＝－10(x－5)2＋6250. 因此当 x＝5 时，y 取得最大值为 6250 元． (2)设每件降价 x 元， 每星期售出商品的利润 y 随 x 变化 的关系式为 y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量 x 的取值范 围是 0≤x≤20， ∴y＝－20x2＋100x＋6000 ＝－20(x－2.5)2＋6125. 因此当 x＝2.5 时，y 取得最大值为 6125 元．
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题 ，这类问题通常是先求出两个变量之间的一次函数关系， 再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值．
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归
探究三
二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设 t 与 x 之间的函数解析式为 t＝kx＋b.因为其图 象经过(38，4)和(36，8)两点，
4＝38k＋b， k＝－2， ∴ 解得 故 8＝36k＋b， b＝80，
t＝－2x＋80，经验证，
题中其他点也在该函数图象上，∴t＝－2x＋80. (2)设该小商场销售这种服装每天获得的毛利润为 w 元， 每件服装销售的毛利润为 (x－20)元，每天售出(80－2x)件， 则 w＝(x－20)(80－2x)＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋ 200，当 x＝30 时，每天获得的毛利润最大，最大毛利润为 200 元．
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第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 (1)利用 h＝2.6， 并将点(0， 2)代入关系式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9 时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当 60 1 y＝0 时，－ (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
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回归教材 图 15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解： (1)由图②可知抛物线 y2＝mx2－8mx＋n 经过 点(3，6)，(7，7)， 1 m＝ ， 9 m － 24 m ＋ n ＝ 6 ， 8 ∴ 解得 49m－56m＋n＝7， n＝63， 8 1 2 63 ∴y2＝ x －x＋ . 8 8
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第15课时┃ 二次函数的应用
回 归 教 材
如何定价利润最大 教材母题——人教版九上 P50 探究 2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场 调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每 降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
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第15课时┃ 二次函数的应用
考点3
建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问 题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐 标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式， 通过解析式解决一些测量问题或其他问题． [注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系 是关键．
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第15课时┃ 二次函数的应用
(2)由题意得，y1 是关于 x 的一次函数， 设 y1＝kx＋b，∵当 x＝4 时，y＝11；当 x＝8 时，y＝10. 1 4 k ＋ b ＝ 11 ， k＝－ ， 1 4 ∴ 解得 ∴y1＝－ x＋12. 4 8k＋b＝10， b＝12， 设第 x 个月每千克水果所获得的利润为 w 元，则 1 1 2 63 w＝y1－y2＝－ x＋12－( x －x＋ ) 4 8 8 1 2 3 33 1 21 2 ＝－ x ＋ x＋ ＝－ (x－3) ＋ . 8 4 8 8 4 1 ∵－ <0，∴当 x＝3 时，w 最大值＝5.25 元． 8 答：第 3 个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大， 最大利润是 5.25 元.
图 15－2
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)根据题意知，这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF＝ 2a＝2x(cm)， ∴x＋2x＋x＝24，x＝6，a＝6 2， V＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为 y cm，高为 h cm， 24－2x 则 y＝ 2x，h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x ＝－6(x－8)2＋384. ∵0<x<12，∴当 x＝8 时，S 取得最大值 384 cm2.
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第15课时┃ 二次函数的应用
例 3 如图 15－2， 在边长为 24 cm 的正方形纸片 ABCD 上， 剪 去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形， 再沿图中的虚线折 起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D 四个顶点正好重 合于上底面上一点)．已知点 E，F 在 AB 边上，是被剪去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是一个正方体， 试求这个包装盒的体积 V； (2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S 最大，试问 x 应取何值？
第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数求最值的应用
依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合 方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数 自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求 ，结合图象进行理解．
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第15课时┃ 二次函数的应用
归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．利用二次函数解决导弹问题、铅球问题、喷水池问题、抛 球问题、跳水问题等抛物线形问题； 2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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第15课时┃ 二次函数的应用
例 1 如图 15－1，排球运动员站在 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， 把球看成点， 其运行的高度 y(单位： 米)与运行的水平距离 x(单位：米)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已 知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球场的边界 距点 O 的水平距离为 18 米． (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明 理由．
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第15课时┃ 二次函数的应用
考点2
利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．
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图 15－1
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)当 h＝2.6 时，则 y＝a(x－6)2＋2.6. 因为点(0，2)在该抛物线上，则 2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ . 60 1 则 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当 x＝9 时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45>2.43. 60 所以球能越过球网． 1 当 x＝18 时， y＝－ (18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2>0， 60 所以球出界了．
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第15课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 个 月至第 12 个月，这种水果每千克售价 y1(单位：元)与销售时间 第 x 个月之间存在如图 15－3①所示(一条线段)的变化趋势， 每 千克成本 y2(单位：元)与销售时间第 x 个月满足函数关系式 y2 ＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图 15－3②所示． (1)求 y2 的解析式； (2)第几个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最 大利润是多少？
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第15课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF
＝ 2a＝2x(cm)，再利用 AB＝24 cm，求出 x，进而可得出这 个包装盒的体积 V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数的最 值求出即可．
方法点析 二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进 行互相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识 结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过 程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解.
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