2015年人教版中考数学总复习课件(含2014年中考)：第15课时二次函数的应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数求最值的应用
依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合 方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数 自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求 ，结合图象进行理解．
图 15－2
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)根据题意知，这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF＝ 2a＝2x(cm)， ∴x＋2x＋x＝24，x＝6，a＝6 2， V＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为 y cm，高为 h cm， 24－2x 则 y＝ 2x，h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x ＝－6(x－8)2＋384. ∵0<x<12，∴当 x＝8 时，S 取得最大值 384 cm2.
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
考点3
建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问 题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐 标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式， 通过解析式解决一些测量问题或其他问题． [注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系 是关键．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF
＝ 2a＝2x(cm)，再利用 AB＝24 cm，求出 x，进而可得出这 个包装盒的体积 V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数的最 值求出即可．
方法点析 二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进 行互相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识 结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过 程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
(2)由题意得，y1 是关于 x 的一次函数， 设 y1＝kx＋b，∵当 x＝4 时，y＝11；当 x＝8 时，y＝10. 1 4 k ＋ b ＝ 11 ， k＝－ ， 1 4 ∴ 解得 ∴y1＝－ x＋12. 4 8k＋b＝10， b＝12， 设第 x 个月每千克水果所获得的利润为 w 元，则 1 1 2 63 w＝y1－y2＝－ x＋12－( x －x＋ ) 4 8 8 1 2 3 33 1 21 2 ＝－ x ＋ x＋ ＝－ (x－3) ＋ . 8 4 8 8 4 1 ∵－ <0，∴当 x＝3 时，w 最大值＝5.25 元． 8 答：第 3 个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大， 最大利润是 5.25 元.
图 15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)当 h＝2.6 时，则 y＝a(x－6)2＋2.6. 因为点(0，2)在该抛物线上，则 2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ . 60 1 则 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当 x＝9 时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45>2.43. 60 所以球能越过球网． 1 当 x＝18 时， y＝－ (18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2>0， 60 所以球出界了．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．利用二次函数解决导弹问题、铅球问题、喷水池问题、抛 球问题、跳水问题等抛物线形问题； 2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 1 如图 15－1，排球运动员站在 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， 把球看成点， 其运行的高度 y(单位： 米)与运行的水平距离 x(单位：米)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已 知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球场的边界 距点 O 的水平距离为 18 米． (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明 理由．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 (1)利用 h＝2.6， 并将点(0， 2)代入关系式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9 时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当 60 1 y＝0 时，－ (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点聚焦 归类探究 回归教材
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 3 如图 15－2， 在边长为 24 cm 的正方形纸片 ABCD 上， 剪 去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形， 再沿图中的虚线折 起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D 四个顶点正好重 合于上底面上一点)．已知点 E，F 在 AB 边上，是被剪去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是一个正方体， 试求这个包装盒的体积 V； (2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S 最大，试问 x 应取何值？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
(3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件，其利 润y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250 元．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题， 不能直接建立函 数模型， 需要分情况讨论， 建立函数解析式， 在不同的情况下， 必须注意自变量的取值范围， 以便在这个取值范围内， 利用函 数最值解决问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随 x 变化的关系式为 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自 变量 x 的取值范围是 0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000 ＝－10(x－5)2＋6250. 因此当 x＝5 时，y 取得最大值为 6250 元． (2)设每件降价 x 元， 每星期售出商品的利润 y 随 x 变化 的关系式为 y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量 x 的取值范 围是 0≤x≤20， ∴y＝－20x2＋100x＋6000 ＝－20(x－2.5)2＋6125. 因此当 x＝2.5 时，y 取得最大值为 6125 元．
Biblioteka Baidu
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题 ，这类问题通常是先求出两个变量之间的一次函数关系， 再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
探究三
二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
回 归 教 材
如何定价利润最大 教材母题——人教版九上 P50 探究 2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场 调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每 降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
探究二
二次函数在销售问题中的应用
命题角度： 二次函数在销售问题中的应用．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 2 [2014· 常州] 某小商场以每件 20 元的价格购进一种服 装， 先试销一周， 试销期间每天的销量 t(件)与每件的销售价 x(元 /件)如下表所示： x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26 t(件 ) 4 8 12 16 20 24 28 假定试销中每天的销售量 t(件)与销售价 x(元/件)之间 满足一次函数关系． (1)试求 t 与 x 之间的函数解析式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的 销售定价为多少时， 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最 大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润＝ 每件服装的销售价－每件服装的进货价)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
考点2
利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．
考点聚焦
考点聚焦
归类探究
回归教材 图 15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解： (1)由图②可知抛物线 y2＝mx2－8mx＋n 经过 点(3，6)，(7，7)， 1 m＝ ， 9 m － 24 m ＋ n ＝ 6 ， 8 ∴ 解得 49m－56m＋n＝7， n＝63， 8 1 2 63 ∴y2＝ x －x＋ . 8 8
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 个 月至第 12 个月，这种水果每千克售价 y1(单位：元)与销售时间 第 x 个月之间存在如图 15－3①所示(一条线段)的变化趋势， 每 千克成本 y2(单位：元)与销售时间第 x 个月满足函数关系式 y2 ＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图 15－3②所示． (1)求 y2 的解析式； (2)第几个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最 大利润是多少？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设 t 与 x 之间的函数解析式为 t＝kx＋b.因为其图 象经过(38，4)和(36，8)两点，
4＝38k＋b， k＝－2， ∴ 解得 故 8＝36k＋b， b＝80，
t＝－2x＋80，经验证，
题中其他点也在该函数图象上，∴t＝－2x＋80. (2)设该小商场销售这种服装每天获得的毛利润为 w 元， 每件服装销售的毛利润为 (x－20)元，每天售出(80－2x)件， 则 w＝(x－20)(80－2x)＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋ 200，当 x＝30 时，每天获得的毛利润最大，最大毛利润为 200 元．
第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数求最值的应用
依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合 方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数 自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求 ，结合图象进行理解．
图 15－2
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)根据题意知，这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF＝ 2a＝2x(cm)， ∴x＋2x＋x＝24，x＝6，a＝6 2， V＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为 y cm，高为 h cm， 24－2x 则 y＝ 2x，h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x ＝－6(x－8)2＋384. ∵0<x<12，∴当 x＝8 时，S 取得最大值 384 cm2.
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
考点3
建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问 题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐 标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式， 通过解析式解决一些测量问题或其他问题． [注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系 是关键．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm， EF
＝ 2a＝2x(cm)，再利用 AB＝24 cm，求出 x，进而可得出这 个包装盒的体积 V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数的最 值求出即可．
方法点析 二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进 行互相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识 结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过 程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
(2)由题意得，y1 是关于 x 的一次函数， 设 y1＝kx＋b，∵当 x＝4 时，y＝11；当 x＝8 时，y＝10. 1 4 k ＋ b ＝ 11 ， k＝－ ， 1 4 ∴ 解得 ∴y1＝－ x＋12. 4 8k＋b＝10， b＝12， 设第 x 个月每千克水果所获得的利润为 w 元，则 1 1 2 63 w＝y1－y2＝－ x＋12－( x －x＋ ) 4 8 8 1 2 3 33 1 21 2 ＝－ x ＋ x＋ ＝－ (x－3) ＋ . 8 4 8 8 4 1 ∵－ <0，∴当 x＝3 时，w 最大值＝5.25 元． 8 答：第 3 个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大， 最大利润是 5.25 元.
图 15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)当 h＝2.6 时，则 y＝a(x－6)2＋2.6. 因为点(0，2)在该抛物线上，则 2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ . 60 1 则 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当 x＝9 时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45>2.43. 60 所以球能越过球网． 1 当 x＝18 时， y＝－ (18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2>0， 60 所以球出界了．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．利用二次函数解决导弹问题、铅球问题、喷水池问题、抛 球问题、跳水问题等抛物线形问题； 2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 1 如图 15－1，排球运动员站在 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， 把球看成点， 其运行的高度 y(单位： 米)与运行的水平距离 x(单位：米)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已 知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球场的边界 距点 O 的水平距离为 18 米． (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明 理由．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 (1)利用 h＝2.6， 并将点(0， 2)代入关系式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9 时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当 60 1 y＝0 时，－ (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点聚焦 归类探究 回归教材
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 3 如图 15－2， 在边长为 24 cm 的正方形纸片 ABCD 上， 剪 去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形， 再沿图中的虚线折 起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D 四个顶点正好重 合于上底面上一点)．已知点 E，F 在 AB 边上，是被剪去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是一个正方体， 试求这个包装盒的体积 V； (2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S 最大，试问 x 应取何值？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
(3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件，其利 润y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250 元．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题， 不能直接建立函 数模型， 需要分情况讨论， 建立函数解析式， 在不同的情况下， 必须注意自变量的取值范围， 以便在这个取值范围内， 利用函 数最值解决问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随 x 变化的关系式为 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自 变量 x 的取值范围是 0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000 ＝－10(x－5)2＋6250. 因此当 x＝5 时，y 取得最大值为 6250 元． (2)设每件降价 x 元， 每星期售出商品的利润 y 随 x 变化 的关系式为 y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量 x 的取值范 围是 0≤x≤20， ∴y＝－20x2＋100x＋6000 ＝－20(x－2.5)2＋6125. 因此当 x＝2.5 时，y 取得最大值为 6125 元．
Biblioteka Baidu
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题 ，这类问题通常是先求出两个变量之间的一次函数关系， 再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
探究三
二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
回 归 教 材
如何定价利润最大 教材母题——人教版九上 P50 探究 2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场 调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每 降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
探究二
二次函数在销售问题中的应用
命题角度： 二次函数在销售问题中的应用．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 2 [2014· 常州] 某小商场以每件 20 元的价格购进一种服 装， 先试销一周， 试销期间每天的销量 t(件)与每件的销售价 x(元 /件)如下表所示： x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26 t(件 ) 4 8 12 16 20 24 28 假定试销中每天的销售量 t(件)与销售价 x(元/件)之间 满足一次函数关系． (1)试求 t 与 x 之间的函数解析式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的 销售定价为多少时， 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最 大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润＝ 每件服装的销售价－每件服装的进货价)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
考点2
利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．
考点聚焦
考点聚焦
归类探究
回归教材 图 15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解： (1)由图②可知抛物线 y2＝mx2－8mx＋n 经过 点(3，6)，(7，7)， 1 m＝ ， 9 m － 24 m ＋ n ＝ 6 ， 8 ∴ 解得 49m－56m＋n＝7， n＝63， 8 1 2 63 ∴y2＝ x －x＋ . 8 8
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 个 月至第 12 个月，这种水果每千克售价 y1(单位：元)与销售时间 第 x 个月之间存在如图 15－3①所示(一条线段)的变化趋势， 每 千克成本 y2(单位：元)与销售时间第 x 个月满足函数关系式 y2 ＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图 15－3②所示． (1)求 y2 的解析式； (2)第几个月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最 大利润是多少？
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设 t 与 x 之间的函数解析式为 t＝kx＋b.因为其图 象经过(38，4)和(36，8)两点，
4＝38k＋b， k＝－2， ∴ 解得 故 8＝36k＋b， b＝80，
t＝－2x＋80，经验证，
题中其他点也在该函数图象上，∴t＝－2x＋80. (2)设该小商场销售这种服装每天获得的毛利润为 w 元， 每件服装销售的毛利润为 (x－20)元，每天售出(80－2x)件， 则 w＝(x－20)(80－2x)＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋ 200，当 x＝30 时，每天获得的毛利润最大，最大毛利润为 200 元．