(完整)2018年上海高考数学试卷

合集下载

(完整版)【解析版】2018年高考上海卷数学试题

(完整版)【解析版】2018年高考上海卷数学试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项:1 •答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题(本大题共有12题,满分54分第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)4 11. 行列式'门的值为___________________________X22~~ y ■ == 12. 双曲线4 ■的渐近线方程为________3. •的二项展开式中-的系数为____________________ (结果用数值表示)4. 设常数,■',函数汀-竺二泊吻【X *茂.:,若虑的反函数的图像经过点,则5. 已知复数H满足11 + i) ' = 1 _丄是虚数单位),则国=________________________________6. 记等差数列'的前••项和为「,若I ' _ 1 ,则Sj =(认+x )上递减,则c 二8.在平面直角坐标系中,已知点■ '' ■ !' ■'是■轴上的两个动点,且9.有编号互不相同的五个砝码 ,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为 ______________ (结果用最简分数表示)考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑a E7.已知丨.若函数=書"为奇函数,且在,则.-.最小值为10.设等比数列■;的通项公式为'~ '(” €),前口项和为孔,若lim —1-,则'f (J :)= -----11.已知常数筮紳那,函数… ;‘十心-的图像经过点若’''■12.已知实数 X 1, X 2, y 1, y 2 满足:X 12y 121,血22 . 1 M .7211X 1X 271722,则二、选择题(本大题共有 4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项2 213.设p 是椭圆—"^―531上的动点 p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 ()A. 2.2B. 2 一3 D. 4.214.已知a R ,则“ a11 ”是“-aB.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件15•《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4 分)(2018?上海)行列式的值为18 .【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4 分)(2018?上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x 轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想7 的二项展开式中,x2 项的系数为21 (结3.(4 分)(2018?上海)在(1+x)第1页(共18页)果用数值表示).【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2 的系数.【解答】解:二项式(1+x)7 展开式的通项公式为r,T r+1= ?x令r=2,得展开式中x2 的系数为=21.故答案为:21.题.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础4.(4 分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反a= 7 .点(3,1),则函数的图象经过【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)=1og2(x+ a)的图象经过点(1,3),∴log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.,考查运算求解能【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4 分)(2018?上海)已知复数z满足(1 +i)z=1﹣7i(i 是虚数单位),则| z| =5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.18页)第2页(共【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.7i,【解答】解:由(1+i)z=1﹣得,| z| = .则故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4 分)(2018?上海)记等差数列{ a n}的前n 项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,S7= 14 .则【考点】85:等差数列的前n 项和.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组【解答】解:∵等差数列{a n} 的前n 项和为S n,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+ =﹣28 +42=14.故答案为:14.,【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5 分)(2018?上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数 f1.(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,18页)第3页(共且a<0,由此能求出 a 的值.2,﹣1,,1,2,3} ,【解答】解:∵α∈{﹣幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a 是奇数,且a<0,∴a=﹣1.1.故答案为:﹣,考查运算求解【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5 分)(2018?上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F 是y 轴上的两个动点,且| | =2,则的最小值为﹣3.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.b| =2,即a=b+2,或E(0,a),F(0,b),从而得出| a﹣【分析】据题意可设b=a+2,并可求得,将a=b+2 带入上式即可求出的最小值,同理将b= a+2 带入,也可求出的最小值.E(0,a),F(0,b);【解答】解:根据题意,设∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2 时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b= a+2 时,的最小值为﹣3.3.故答案为:﹣,根据点的坐标求向量的坐标,以及【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离18页)第4页(共向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5 分)(2018?上海)有编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、1 克砝量为9 克的码各一个,2 克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个,2 克砝码两个,从中随机选取三个, 3 个数中含有 1 个2;2 个2,没有2,3 种情况,所有的事件总数为:=10,量为9 克的事件只有:5,3,1 或5,2,2 两个,这三个砝码的总质量为9 克的概率是:= ,所以:这三个砝码的总质故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.n﹣1(n∈N*),前n 10.(5 分)(2018?上海)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q 为S n.若= ,则q= 3 .项和【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.n﹣1(n∈N*),可得a1=1,【解答】解:等比数列{ a n} 的通项公式为 a =q18页)第5页(共因为= ,所以数列的公比不是1,,a n+1=qn.可得= = = = ,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5 分)(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)= 的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的 a 值.【解答】解:函数f(x)= 的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,p+q=a2pq,解得:2p+q=36pq,由于:2所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.第6页(共18页)故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.2+y12=1,x22+y22=1,12.(5 分)(2018?上海)已知实数x1、x2、y1、y2 满足:x1x1x2+y1y2= ,则+ 的最大值为+ .【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB 为等边三角形,AB=1,+ 的几何意义为点A,B 两点到直线x+y﹣1=0 的距离d1与d2 之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2= ,可得A,B 两点在圆x2+y2=1 上,且? =1×1×cos∠AOB= ,即有∠AOB=6°0,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+ 的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0 的距离d1 与d2 之和,显然A,B 在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1 平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d= ,第7页(共18页)可得2 =1,解得t= ,即有两平行线的距离为= ,即+ 的最大值为+ ,故答案为:+ .【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5 分)(2018?上海)设P是椭圆=1 上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1 的焦点坐标在x 轴,a= ,P是椭圆=1 上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 .故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.第8页(共18页)14.(5 分)(2018?上海)已知a∈R,则“>a1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.辑.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻【分析】“>a1”?“”,“”?“>a 1 或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“>a1”?“”,“”?“>a1 或a<0”,∴“>a1”是“”的充分非必要条件.故选:A.识知,础【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础题.考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基15.(5 分)(2018?上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面A A1 是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的的四棱锥为阳马,设顶点为顶点、以AA1 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16.【考点】D8:排列、组合的实际应用【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合..【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1 满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1 一样,有2×6=12,当A1ACC1 为底面矩形,有 2 个满足题意,18页)第9页(共当A1AEE1 为底面矩形,有 2 个满足题意,故有12+2 +2=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5 分)(2018?上海)设 D 是含数1 的有限实数集,f(x)是定义在 D 上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12 个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)= ,,0 时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2 个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y,因此只有当x= ,此时旋转,此时满足一个x 只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14 分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=9°0,M 为线段AB的中点,如图.求异面直线PM 与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积.(2)以O 为原点,OA为x 轴,OB为y 轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM 与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V= == .(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=9°0,M 为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x 轴,OB为y 轴,OP为z 轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM 与OB所成的角为θ,c osθ== = .则∴θ=arccos .∴异面直线PM 与OB所成的角的为arccos .【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考力,考查查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能函数与方程思想,是基础题.18.(14 分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求 a 的值;在区间[﹣π,π] 上的解.(2)若f()= +1,求方程f(x)=1﹣【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出 a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出.2x,【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣a sin2x+2cos∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣a sin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】,以及三角函数的性质,属于基础题.求值本题考查了三角函数的化简和19.(14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从式通居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,意义.并说明其实际【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40 时x的取值范围即可;.意义(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100 时,f(x)=2x+﹣90>40,65x+900>0,即x2﹣解得x<20 或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30 时,g(x)=30?x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100 时,g(x)=(2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)= ;;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100 时,g(x)单调递增的;递减S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是说明该地上班族的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增32.5%时,人均通勤时间最少.当自驾人数为【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决.问题的能力20.(16 分)(2018?上海)设常数t>2.在平面直角坐标系x Oy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l 与x 轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t=3,| FQ| =2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得| BF| ;方法二:根据抛物线的定义,即可求得| BF| ;(2)根据抛物线的性质,求得Q 点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线k PF?k FQ=﹣1,求得直线QF 的方程,求得Q 点2=8(+6),即可求得P 坐标,根据+ = ,求得 E 点坐标,则()点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2 t),则| BF| = =t+2,∴| BF| =t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2 t),由抛物线的性质可知:| BF| =t+ =t+2,∴| BF| =t+2;(2)F(2,0),| FQ| =2,t=3,则| FA| =1,∴| AQ| = ,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),k QF= =﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;P(,y),E(,m),则k PF==,k FQ=,(3)存在,设2),∴y Q=(8﹣2)=,Q(8,),直线QF方程为y=(x﹣根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).想,计化思【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转算能力,属于中档题.21.(18分)(2018?上海)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n∈N*,都有|b n﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1,n∈N*,判断数列{b n}+1是否与{ a n} 接近,并说明理由;(2)设数列{a n} 的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{ b n}是一个与{a n} 接近的数列,记集合M={ x| x=b i,i=1,2,3,4} ,求M 中元素的个数m;(3)已知{ a n} 是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n} 满足:{ b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b201﹣b200 中至少有100 个为正数,求 d 的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1,求得b i,i=1,2,3,4 的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.﹣【解答】解:(1)数列{ b n} 与{ a n} 接近.理由:{ a n} 是首项为1,公比为的等比数列,可得a n= ,b n=a n+1+1= +1,则| b n﹣a n| =| +1﹣| =1﹣<1,n∈N* ,可得数列{b n} 与{ a n} 接近;(2){b n} 是一个与{ a n}接近的数列,可得a n﹣1≤b n≤a n+1,数列{ a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[ 0,2] ,b2∈[ 1,3] ,b3∈[ 3,5] ,b4∈[ 7,9] ,可能b1 与b2 相等,b2 与b3 相等,但b1 与b3 不相等,b4 与b3 不相等,集合M={ x| x=b i,i=1,2,3,4} ,M 中元素的个数m=3 或4;(3){a n} 是公差为 d 的等差数列,若存在数列{ b n}满足:{ b n} 与{ a n} 接近,可得a n=a1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d>0,b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b201﹣b200中有200 个正数,符合题意;则第17页(共18页)②若d=0,取b n=a1﹣,则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得b n+1﹣b n=﹣>0,b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;则③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;则④若d≤﹣2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,a n﹣1≤b n≤a n+1,a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1,即为可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣(a n﹣1)=2+d≤0,b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义定义本题考查新【点评】,以及运算能力和推理能力,属于难和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法题.。

2018年高考数学上海卷(精校版)

2018年高考数学上海卷(精校版)

2018年高考数学上海卷〔精校版〕一、填空题: 1.[2018上海1]行列式4125的值为 . 【答案:18】2.[2018上海2]双曲线2214x y -=的渐近线方程为 .【答案:12y x =±】3.[2018上海3]在()71x +的二项展开式中,2x 项的系数为 . 【答案:21】4.[2018上海4]设常数a ∈R ,函数()()2log f x x a =+.假设()f x 的反函数的图像经过点()3,1,则a = .【答案:7】5.[2018上海5]已知复数z 满足(1)17(i z i +=-是虚数单位),则z = . 【答案:5】6.[2018上海6]记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设30a =,6714a a +=,则7S = .【答案:14】7.[2018上海7]已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.假设幂函数()f x x α=为奇函数,且在()0,+∞上递减,则α= .【答案:-1】8.[2018上海8]在平面直角坐标系中,已知点()1,0A -、()2,0B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF ⋅的最小值为 . 【答案:-3】9.[2018上海9]有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个.从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 .【答案:15】 10.[2018上海10]设等比数列{}n a 的通项公式为()1*1n n a a qn -=∈N ,前n 项和为n S .假设11lim2n n n S a →∞+=,则q = .【答案:3】11.[2018上海11]已知常数0a >,函数()22x x f x ax =+的图像经过点61,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、.假设236p q pq +=,则a = . 【答案:6a =】12.[2018上海12]已知1212,,,x x y y 满足22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,则的最大值为 .】二、选择题:13.[2018上海13]设P 是椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为〔 〕A.B.C.D.【答案:C 】14.[2018上海14]已知a ∈R ,则“1a >”是“11a<”的〔 〕 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案:A 】15.[2018上海15]《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA 是正六棱柱的一条侧棱,如图,假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以1AA 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是〔 〕A.4B.8C.12D.16【答案:D 】16.[2018上海16]设D 是含数1的有限实数集,()f x 是定义在D 上的函数.假设()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合,则在以下各项中,()1f 的可能取值只能是〔 〕D.0【答案:B 】三、解答题:17.[2018上海17]已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2. 〔1〕设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;〔2〕设4PO =,OA OB 、是底面半径,且90AOB ∠=,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】:〔1〕V =;〔2〕A 1A18.[2018上海18]设常数a ∈R ,函数()2sin 22cos f x a x x =+.〔1〕假设()f x 为偶函数,求a 的值;〔2〕假设14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,求方程()1f x =在区间[],ππ-上的解.【答案】:〔1〕0a =;〔2〕115131924242424x ππππ=--、、、.19.[2018上海19]某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中()%0100x x <<的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为:()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩〔单位:分钟〕, 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果答复以下问题: 〔1〕当x 在什么范围时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? 〔2〕求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式;讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.【答案】:〔1〕45100x <<;〔2〕()240,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩,()g x 在(]0,32.5x ∈时单调递减,在[)32.5,100x ∈时单调递增.实际意义为:当S 中32.5%的成员自驾时,该地上班族S 的人均通勤时间到达 最小值36.875分钟.20.[2018上海20]设常数2t >,在平面直角坐标系xOy 中,已知点()2,0F ,直线l :x t =,曲线Γ:28y x =()0,0x t y ≤≤≥,l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B .P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.〔1〕用t 表示点B 到点F 的距离;〔2〕设3t =,2FQ =,线段OQ 的中点在直线FP 上,求AQP ∆的面积;〔3〕设8t =,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?假设存在,求点P 的坐标;假设不存在,说明理由.【答案】:〔1〕2BF t =+;〔2〕AQP S =△;〔3〕25P ⎛ ⎝⎭.21.[2018上海21]给定无穷数列{}n a ,假设无穷数列{}n b 满足:对任意n ∈*N ,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”.〔1〕设{}n a 是首项为1,公比为12的等比数列,11n n b a +=+,n ∈*N ,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由;〔2〕设数列{}n a 的前四项为:11a =,22a =,34a =,48a =,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ;〔3〕已知{}n a 是公差为d 的等差数列,假设存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在21b b -,32b b -,…,201200b b -中至少有100个为正数,求d 的取值范围.【答案】:〔1〕{}n b 与{}n a 接近;〔2〕34m =或;〔3〕2d >-.。

2018年上海高考数学真题和答案

2018年上海高考数学真题和答案

2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)(2018?上海)行列式的值为18 .【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)(2018?上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)(2018?上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为=?x r,Tr+1令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og(x+a).若f(x)的2反函数的图象经过点(3,1),则a= 7 .【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.(x+a)的图象经过点(1,3),【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2由此能求出a.(x+a).【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2f(x)的反函数的图象经过点(3,1),(x+a)的图象经过点(1,3),∴函数f(x)=1og2(1+a)=3,∴log2解得a=7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)(2018?上海)已知复数z 满足(1+i )z=1﹣7i (i 是虚数单位),则|z|= 5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i )z=1﹣7i , 得,则|z|=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)(2018?上海)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7= 14 .【考点】85:等差数列的前n 项和.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O :定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a 1=﹣4,d=2,由此能求出S 7.【解答】解:∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=0,a 6+a 7=14, ∴,解得a 1=﹣4,d=2,∴S 7=7a 1+=﹣28+42=14. 故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)(2018?上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= ﹣1 .【考点】4U :幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O :定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a 是奇数,且a <0,由此能求出a 的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a 是奇数,且a <0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中,已知点A (﹣1,0)、B (2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)(2018?上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况, 所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个, 所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=, 故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)(2018?上海)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1(n ∈N *),前n 项和为S n .若=,则q= 3 . 【考点】8J :数列的极限.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{an }的通项公式为a=q n ﹣1(n ∈N*),可得a 1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,a n+1=q n .可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)(2018?上海)已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x1x 2+y 1y 2=,则+的最大值为 + .【考点】7F :基本不等式及其应用;IT :点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB 为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A ,B 两点到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=,可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上, 且?=1×1×cos ∠AOB=, 即有∠AOB=60°,即三角形OAB 为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A ,B 两点到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和,显然A ,B 在第三象限,AB 所在直线与直线x+y=1平行,可设AB :x+y+t=0,(t >0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)(2018?上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2B.2C.2D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5分)(2018?上海)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)(2018?上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱面的四棱锥为阳马,设AA1柱的顶点为顶点、以AA为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()1A.4 B.8 C.12 D.16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D 1﹣A 1ABB 1,D 1﹣A 1AFF 1满足题意,而C 1,E 1,C ,D ,E ,和D 1一样,有2×6=12,当A 1ACC 1为底面矩形,有2个满足题意,当A 1AEE 1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D .【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)(2018?上海)设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是( )A .B .C .D .0 【考点】3A :函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x 只会对应一个y ,因此答案就选:B .故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30?x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x <100时,g (x )单调递增;说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16分)(2018?上海)设常数t >2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线Γ:y 2=8x (0≤x ≤t ,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B .P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积;(3)设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN :直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想;4R :转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B 点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|; 方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q 点坐标,即可求得OD 的中点坐标,即可求得直线PF 的方程,代入抛物线方程,即可求得P 点坐标,即可求得△AQP 的面积;(3)设P 及E 点坐标,根据直线k PF ?k FQ =﹣1,求得直线QF 的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E 点坐标,则()2=8(+6),即可求得P 点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B (t ,2t ),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B (t ,2t ),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F (2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q (3,),设OQ 的中点D ,D (,),k QF ==﹣,则直线PF 方程:y=﹣(x ﹣2), 联立,整理得:3x 2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP 的面积S=××=; (3)存在,设P (,y ),E (,m ),则k PF ==,k FQ =,直线QF 方程为y=(x ﹣2),∴y Q =(8﹣2)=,Q (8,),根据+=,则E (+6,),∴()2=8(+6),解得:y 2=,∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上,且P (,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)(2018?上海)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意n ∈N *,都有|b n ﹣a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;(2)设数列{a n }的前四项为:a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m ;(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.【考点】8M :等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1,求得b i ,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n ,讨论公差d >0,d=0,﹣2<d <0,d ≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列{b n }与{a n }接近.理由:{a n }是首项为1,公比为的等比数列,可得a n =,b n =a n+1+1=+1,则|b n ﹣a n |=|+1﹣|=1﹣<1,n ∈N *,可得数列{b n }与{a n }接近;(2){b n }是一个与{a n }接近的数列,可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1,数列{a n }的前四项为:a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,可得b 1∈[0,2],b 2∈[1,3],b 3∈[3,5],b 4∈[7,9],可能b 1与b 2相等,b 2与b 3相等,但b 1与b 3不相等,b 4与b 3不相等, 集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},M 中元素的个数m=3或4;(3){a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近, 可得a n =a 1+(n ﹣1)d ,①若d >0,取b n =a n ,可得b n+1﹣b n =a n+1﹣a n =d >0,则b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取b n =a 1﹣,则|b n ﹣a n |=|a 1﹣﹣a 1|=<1,n ∈N *,可得b n+1﹣b n =﹣>0,则b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d <0,可令b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1,b 2n =a 2n +1,则b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣(a 2n ﹣1﹣1)=2+d >0,则b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中恰有100个正数,符合题意; ④若d ≤﹣2,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1,a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1,可得b n+1﹣b n ≤a n+1+1﹣(a n ﹣1)=2+d ≤0,b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.感恩和爱是亲姐妹。

2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)

2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)

2018年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)行列式的值为.2.(4分)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为.3.(4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).4.(4分)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=.5.(4分)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|=.6.(4分)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.(5分)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前n项和为S n.若=,则q=.11.(5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=.12.(5分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.414.(5分)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.1616.(5分)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(14分)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.20.(16分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.21.(18分)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n∈N*,都有|b n ﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)行列式的值为18.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21(结果用数值表示).【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为T r+1=•x r,令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4分)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=7.【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),∴log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|=5.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=14.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且a<0,由此能求出a的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3.【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前n项和为S n.若=,则q=3.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,a n=q n.+1可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.4【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5分)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×4=8,当A1ACC1为底面矩形,有4个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30•x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)•x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线k PF•k FQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),k QF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;(3)存在,设P(,y),E(,m),则k PF==,k FQ=,直线QF方程为y=(x﹣2),∴y Q=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n∈N*,都有|b n ﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1,求得b i,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列{b n}与{a n}接近.理由:{a n}是首项为1,公比为的等比数列,可得a n=,b n=a n+1+1=+1,则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列{b n}与{a n}接近;(2){b n}是一个与{a n}接近的数列,可得a n﹣1≤b n≤a n+1,数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,可得a n=a1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取b n=a1﹣,则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得b n+1﹣b n=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤﹣2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,即为a n﹣1≤b n≤a n+1,a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1,可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣(a n﹣1)=2+d≤0,b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.第21页(共21页)。

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)(2018?上海)行列式的值为18 .【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)(2018?上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)(2018?上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为=?x r,Tr+1令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.(x+a).若f(x)的反4.(4分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2函数的图象经过点(3,1),则a= 7 .【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.(x+a)的图象经过点(1,3),由【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2此能求出a.(x+a).【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2f(x)的反函数的图象经过点(3,1),(x+a)的图象经过点(1,3),∴函数f(x)=1og2∴log(1+a)=3,2解得a=7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)(2018?上海)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|= 5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)(2018?上海)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列{an }的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)(2018?上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1 .【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且a<0,由此能求出a的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)(2018?上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)(2018?上海)设等比数列{an }的通项公式为an=q n﹣1(n∈N*),前n项和为Sn.若=,则q= 3 .【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{an }的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,an+1=q n.可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q (q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)(2018?上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+ .【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且?=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)(2018?上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5分)(2018?上海)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)(2018?上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E 1,C,D,E,和D1一样,有2×6=12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30?x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<时,g(x)单调递减;当<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16分)(2018?上海)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线kPF ?kFQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF ==,kFQ=,直线QF方程为y=(x﹣2),∴yQ=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)(2018?上海)给定无穷数列{an },若无穷数列{bn}满足:对任意n∈N*,都有|bn ﹣an|≤1,则称{bn}与{an}“接近”.(1)设{an }是首项为1,公比为的等比数列,bn=an+1+1,n∈N*,判断数列{bn}是否与{an}接近,并说明理由;(2)设数列{an }的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{an }是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得an ﹣1≤bn≤an+1,求得bi,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得an,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列{bn }与{an}接近.理由:{an}是首项为1,公比为的等比数列,可得an =,bn=an+1+1=+1,则|bn ﹣an|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列{bn }与{an}接近;(2){bn }是一个与{an}接近的数列,可得an ﹣1≤bn≤an+1,数列{an }的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){an }是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,可得an =a1+(n﹣1)d,①若d>0,取bn =an,可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取bn =a1﹣,则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得bn+1﹣bn=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n ﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤﹣2,若存在数列{bn }满足:{bn}与{an}接近,即为an ﹣1≤bn≤an+1,an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1,可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣(an﹣1)=2+d≤0,b 2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。

2018年上海市高考数学试卷及答案

2018年上海市高考数学试卷及答案

2018年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)行列式的值为.2.(4分)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为.3.(4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).4.(4分)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=.5.(4分)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|=.6.(4分)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.(5分)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前n项和为S n.若=,则q=.11.(5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=.12.(5分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.414.(5分)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.1616.(5分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(14分)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.20.(16分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.21.(18分)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n∈N*,都有|b n ﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)行列式的值为18.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.2.(4分)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±3.(4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21(结果用数值表示).【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为T r+1=•x r,令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.4.(4分)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=7.【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),∴log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.5.(4分)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|=5.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|=.故答案为:5.6.(4分)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=14.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.10.(5分)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前n项和为S n.若=,则q=3.【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,a n=q n.+1可得====,可得q=3.故答案为:3.11.(5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:612.(5分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.4【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.14.(5分)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【解答】解:a∈R,则“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×6=12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D.16.(5分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【解答】解:设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,故f(1)=cos=,故选:B.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.18.(14分)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30•x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)•x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.20.(16分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),k QF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;(3)存在,设P(,y),E(,m),则k PF==,k FQ=,直线QF方程为y=(x﹣2),∴y Q=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).21.(18分)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n∈N*,都有|b n ﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【解答】解:(1)数列{b n}与{a n}接近.理由:{a n}是首项为1,公比为的等比数列,可得a n=,b n=a n+1+1=+1,则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列{b n}与{a n}接近;(2){b n}是一个与{a n}接近的数列,可得a n﹣1≤b n≤a n+1,数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,可得a n=a1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取b n=a1﹣,则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得b n+1﹣b n=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤﹣2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,即为a n﹣1≤b n≤a n+1,a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1,可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣(a n﹣1)=2+d≤0,b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).。

(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)

(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中,2x 项的系数为_________.(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1),则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位),则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,6714a a +=,则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数,且在(0,)+∞上递减,则 α=_________.8.在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =u u u r,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个。

从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=(*n ∈N ),前n 项和为n S 。

若11lim2n n n S a →+∞+=,则q =_________.11.已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

若236p q pq +=,则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,则的最大值为_________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) (A) (B) (C) (D) 14.已知a ∈R ,则“1a >”是“11a<”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2018年上海高考数学真题和答案

2018年上海高考数学真题和答案

2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12 题,满分54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4 分)(2018? 上海)行列式的值为18 .【考点】OM :二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18 .故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4 分)(2018? 上海)双曲线﹣y2=1 的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2 ,b=1 ,焦点在 x 轴上而双曲线的渐近线方程为y= ±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4 分)(2018? 上海)在(1+x)7 的二项展开式中,x2 项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】 DA:二项式定理.【专题】 38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2 的系数.【解答】解:二项式(1+x)7 展开式的通项公式为T r+1= ?x r,令 r=2,得展开式中x 2 的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4 分)(2018? 上海)设常数 a∈R,函数f(x)=1og 2(x+a ).若f(x)的a= 7 .反函数的图象经过点(3,1),则【考点】 4R:反函数.【专题】 11 :计算题;33 :函数思想;4O :定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og 2(x+a )的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og 2(x+a ).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),.. ..∴log 2(1+a )=3,解得a=7 .故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4 分)(2018? 上海)已知复数z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位),则|z|= 5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想; 4A :数学模型法; 5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|= .故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4 分)(2018? 上海)记等差数列 {a n}的前n 项和为 S n ,若a 3=0,a6+a 7=14,则S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n 项和.【专题】11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 54 :等差数列与等比数列.4,d=2 ,由此能求出【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣S7.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n 项和为S n,a3=0,a6+a 7=14 ,∴,解得a1=﹣4,d=2 ,∴S7=7a 1+ =﹣28+42=14 .故答案为:14.,【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数 f7.(5 分)(2018? 上海)已知α∈{﹣1.(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣【考点】 4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】 11 :计算题;34 :方程思想;4O :定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且 a<0,由此能求出 a 的值.1,,1, 2,3},【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a 是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5 分)(2018? 上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F 是y 轴上的两个动点,且| |=2 ,则的最小值为﹣3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设 E(0,a),F(0,b),从而得出 |a ﹣b|=2 ,即a=b+2 ,或b=a+2 ,并可求得,将 a=b+2 带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2 带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2 ,或b=a+2 ;且;∴;当a=b+2 时,;∵b2+2b ﹣2 的最小值为;∴的最小值为﹣ 3,同理求出b=a+2 时,的最小值为﹣ 3.故答案为:﹣ 3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5 分)(2018? 上海)有编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个, 2 克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质为9 克的量).概率是(结果用最简分数表示【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质为9 克的事件总数,然后量求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个, 2 克砝码两个,从中随机选取三个, 3 个数中含有 1 个 2;2 个 2,没有2,3 种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9 克的事件只有:5,3,1 或 5,2,2 两个,所以:这三个砝码的总质量为9 克的概率是:= ,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5 分)(2018? 上海)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前为S n.若= ,则q= 3 .n 项和【考点】 8J:数列的极限.【专题】 11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为 a =q n﹣1(n∈N*),可得 a 1=1,因为= ,所以数列的公比不是1,,a n+1 =q n.可得= = = = ,可得q=3 .故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.过点P11.(5 分)(2018? 上海)已知常数 a >0,函数f(x)= 的图象经(p,),Q(q,).若2p+q =36pq ,则a= 6 .【考点】 3A:函数的图象与图象的变换.51 :函数的性质及应用.【专题】 35 :转化思想;【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的 a 值.【解答】解:函数f(x)= 的图象经点P(p ,),Q(q,).过则:,整理得:=1,解得: 2p+q =a 2pq ,由于:2p+q =36pq ,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6 .故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5 分)(2018? 上海)已知实数x1、x2、y1、y2 满足:x12+y2+y2=1,x 2+y1 22=1,2x1x2+y 1y2= ,则+ 的最大值为+ .【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想; 48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB 为等边三角形, AB=1 ,+ 的几何意义为点A,B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离d1 与d2 之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y2+y2=1,x 2+y1 22=1,x1x2+y1y2= ,2可得A,B 两点在圆 x2+y 2=1 上,且? =1× 1× cos ∠AOB= ,.. ..即三角形 OAB 为等边三角形,AB=1 ,+ 的几何意义为点A,B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d 1 与d2 之和,显然A,B 在第三象限,AB 所在直线与直线x+y=1 平行,可设AB:x+y+t=0 ,(t>0),由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ,可得2 =1,解得 t= ,即有两平行线的距离为= ,即+ 的最大值为+ ,故答案为:+ .【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5 分)(2018? 上海)设P 是椭圆=1 上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C .2 D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】 11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.的轴,求出 a ,接利用椭圆的定义,转【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在化求解即可.x轴, a= ,【解答】解:椭圆=1 的焦点坐标在P 是椭圆=1 上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 .故选: C.的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考性质【点评】本题考查椭圆的简单查.14.(5 分)(2018? 上海)已知 a∈R,则“a> 1”是“< 1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件..【专题】 11 :计算题;34 :方程思想;4O :定义法;5L :简易逻辑【分析】“ a> 1”? “”,“”? “ a>1 或 a < 0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a> 1”? “”,“”? “ a>1 或a< 0”,∴“a> 1”是“”的充分非必要条件.故选: A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5 分)(2018? 上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1 是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题;38 :对应思想; 4R:转化法;5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1 满足题意,而C1,E1,C ,D,E,和 D1 一样,有2× 6=12 ,当A1ACC 1 为底面矩形,有 2 个满足题意,当A1AEE1 为底面矩形,有 2 个满足题意,故有12+2+2=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5 分)(2018? 上海)设D 是含数 1 的有限实数集, f(x)是定义在 D 上的函数,若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想; 51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12 个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)= ,,0 时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0 或者 x=1 时,都有 2 个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y,因此只有当x= ,此时旋转,此时满足一个x 只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17.(14 分)(2018? 上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4 ,OA 、OB 是底面半径,且∠AOB=90°M,为线段 AB 的中点,如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合; 41 :向量法; 5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为 2,圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积.(2)以 O 为原点,OA 为x 轴,OB 为 y 轴,OP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为 2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V= == .(2)∵ PO=4 ,OA ,OB 是底面半径,且∠AOB=90°,A B 的中点,M 为线段∴以O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为z 轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM 与 OB 所成的角为θ,则c os θ= = = .∴θ=arccos .∴异面直线PM 与 OB 所成的角的为arccos .,考法【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求力,考查解能查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求函数与方程思想,是基础题.18.(14 分)(2018? 上海)设常数 a ∈R,函数f(x)=asin2x+2cos 2x.(1)若f(x)为偶函数,求 a 的值;(2)若f()= +1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】 GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.;4R:转化法; 58 :解三角形.;38 :对应思想】 11 :计算题【专题【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出 a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos 2x,∴f(﹣ x)=﹣asin2x+2cos 2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣ x)=f(x),∴﹣ asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos 2x,∴2asin2x=0 ,∴a=0 ;(2)∵ f()= +1,∴asin +2cos2()=a+1= +1,∴a= ,∴f(x)= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin (2x+ )+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+ )+1=1﹣,∴sin(2x+ )=﹣,∴2x+ =﹣+2k π,或2x+ = π+2k π,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x= π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x= 或 x= 或 x=﹣或 x=﹣求值,以及三角函数的性质,属于基础题.【点评】本题考查了三角函数的化简和19.(14 分)(2018? 上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员式通从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方勤.分析显示:当S 中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)= (单位:分钟),回40 分钟,试根据上述分析结果而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?论g(x)的单调性,(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨并说明其实际意义.【考点】 5B:分段函数的应用.【专题】 12 :应用题; 33 :函数思想;4C :分类法; 51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40 时x 的取值范围即可;意义.(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100 时,f(x)=2x+ ﹣90>40,65x+900 >0,即 x2﹣解得x<20 或 x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30 时,x%)=40﹣;g(x) =30?x%+40(1﹣当 30<x<100 时,x%)=﹣x+58;g(x)=(2x+﹣90) ?x%+40(1﹣∴g(x)= ;;当 0<x<32.5 时,g(x)单调递减;当 32.5<x<100 时, g(x)单调递增说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;增的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递少.当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16 分)(2018? 上海)设常数 t>2.在平面直角坐标系x Oy 中,已知点 F(2,0),直线l:x=t ,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l 与x 轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点 B 到点 F 的距离;(2)设t=3 ,|FQ|=2 ,线段OQ 的中点在直线FP上,求△ AQP 的面积;(3)设t=8 ,是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点 E在Γ上?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想; 4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设 B 点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF| ;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF| ;(2)根据抛物线的性质,求得Q 点坐标,即可求得OD 的中点坐标,即可求得直线 PF 的方程,代入抛物线方程,即可求得P 点坐标,即可求得△AQP 的面积;(3)设 P 及E 点坐标,根据直线k PF?k FQ =﹣1,求得直线QF 的方程,求得Q点坐标,根据+ = ,求得 E 点坐标,则()2=8(+6),即可求得P 点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2 t),则|BF|= =t+2 ,∴|BF|=t+2 ;方法二:由题意可知:设B(t,2 t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+ =t+2 ,∴|BF|=t+2 ;(2)F(2,0),|FQ|=2 ,t=3 ,则|FA|=1 ,∴|AQ|= ,∴Q(3,),设 OQ 的中点 D,D(,),k QF= =﹣,则直线 PF方程:y= ﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0 ,解得:x= ,x=6(舍去),∴△AQP 的面积 S= ××= ;(3)存在,设P(,y),E(,m ),则 k PF= = ,k FQ = ,直线 QF 方程为y= (x﹣2),∴y Q= (8﹣2)= ,Q(8,),根据+ = ,则 E(+6,),∴()2=8(+6),解得: y2= ,∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点 E在Γ上,且P(,).化思想,计【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转算能力,属于中档题.意n21.(18 分)(2018? 上海)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任a n | ≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.*,都有 |b∈N n﹣(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列, b n=a n+1 +1,n∈Nn}*,判断数列 {b*,判断数列 {b是否与 {a n}接近,并说明理由;(2)设数列 {a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与 {a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m ;(3)已知 {a n}是公差为 d 的等差数列,若存在数列{b n}满足: {b n }与{a n}接近,b200 中至少有100 个为正数,求 d 的取值范围.且在b2﹣b1,b3﹣b2,⋯,b 201﹣【考点】 8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】 34 :方程思想;48 :分析法; 54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n﹣1≤b n≤ a n+1,求得b i,i=1,2,3,4 的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d>0,d=0 ,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列 {b n}与{a n }接近.理由: {a n}是首项为1,公比为的等比数列,可得a n = ,b n=a n+1 +1= +1,则|b n﹣a n|=| +1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列 {b n}与{a n }接近;(2){b n}是一个与 {a n }接近的数列,可得a n ﹣1≤b n≤ a n+1,a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,数列 {a n}的前四项为:可得b1∈[0,2] ,b2∈[1,3],b 3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1 与 b2 相等, b2 与 b3 相等,但 b 1 与 b3 不相等, b 4 与b3 不相等,集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M 中元素的个数m=3 或4;(3){a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n }接近,可得a n =a 1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1 ﹣b n=a n+1 ﹣a n=d >0,则b2﹣b1,b3﹣b2,⋯, b 201﹣b200 中有200 个正数,符合题意;②若d=0 ,取b n=a 1﹣,则|b n﹣a n|=|a 1﹣﹣a1|= <1,n∈N*,可得b n+1 ﹣b n= ﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,⋯, b 201﹣b200 中有200 个正数,符合题意;③若﹣ 2<d <0,可令 b 2n ﹣1=a 2n﹣1﹣1,b2n =a 2n +1,则b2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣( a2n﹣1﹣1)=2+d >0,则b2﹣b1,b3﹣b2,⋯, b 201﹣b200 中恰有100 个正数,符合题意;④若d≤﹣ 2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,即为a n ﹣1≤b n≤ a n+1,a n+1 ﹣1≤b n+1 ≤a n+1 +1,可得b n+1 ﹣b n≤a n+1 +1﹣( a n﹣1)=2+d ≤0,b2﹣b1,b3﹣b2,⋯, b201 ﹣b 200 中无正数,不符合题意.综上可得,d 的范围是(﹣ 2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.感恩和爱是亲姐妹。

2018年上海卷高考真题数学试卷(详解版)(加密版)

2018年上海卷高考真题数学试卷(详解版)(加密版)

7 2018 年上海卷高考真题数学试卷一、填空题(1~6 每小题 4 分,7~12 每小题 5 分,共 54 分)1.行列式|4 1|的值为.2 5【答案】 18【解析】|4 1| = 4 × 5 − 1 × 2 = 18.2 52.双曲线x 2 − y 2 = 1的渐近线方程为.4【答案】 y = ±x 2【解析】 ∵ x 2− y 2 = 1,∴ a = 2, b = 1,∴y = ± 4x .23.在(1 + x )7的二项展开式中,x 2项的系数为.(结果用数值表示)【答案】 21【解析】 C 2 = 21.4.设常数a ∈ R ,函数f (x ) = log 2(x + a ),若f (x )的反函数的图像经过点(3,1),则a = .【答案】 7【解析】 由题意得:函数经过点(1,3),∴ log 2(1 + a ) = 3,∴ a = 7. 5.已知复数z 满足(1 + i)z = 1 − 7i (i 是虚数单位),则|z | =.【答案】 5【解析】 由题意得:z =1−7i = −3 − 4i ,∴ |z | = √(−3)2 + (−4)2 = 5.1+i6.记等差数列{a n } 的前n 项和为S n ,若a 3 = 0,a 6 + a 7 = 14,则S 7 = .【答案】 14【解析】 a 6 + a 7 = 2a 3 + 7d = 14,∴ d = 2,S 7 = 7a 4 = 14.7.已知α ∈ {−2, −1, − 1 , 1 , 1,2,3},若幂函数f (x ) = x α为奇函数,且在(0, +∞)上递减,则2 2α =.【答案】 −1【解析】 由题意得:f (x )为奇函数,∴ α为奇数,又∵ 在(0, +∞)递减,∴ α < 0,故α = −1.→8.在平面直角坐标系中,已知点A(−1,0),B (2,0),E ,F 是y 轴上的两个动点,且|EF | = 2,则→ →AE ⋅ BF 的最小值为.【答案】 −3→ →【解析】 设E (0, t ), F (0, t + 2),∴ AE ⋅ BF = (t + 1)2 − 3,∴ 最小值为−3.9. 有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 .(结果用最简分数表示)【答案】1 5【解析】 总共有(5,3,1), (5,2,2)两种情况, P =21C 3 = 5.10.设等比数列{a }的通项公式为a = q n +1(n ∈ N ∗),前n项和为S.若lim S n = 1,则nnq =.nn→∞ a n +12【答案】 3【解析】 若q = 1,则a n +1 = 1,S n = n ,∴ lim S n = lim n ≠ 1;若q ≠ 1,则a= q n ,S= a 1(1−q n ),n→∞ a n +1n→∞2a 1(1−q n )n +1n 1−q∴ lim S n = lim 1−q= a 1 lim 1−q n .当q = −1时,极限不存在,显然不满足题 n→∞ a n +1 n→∞q n 1−q n→∞ q n 意;当|q | < 1时, lim S n = ∞ ≠ 1,不满足题意;当|q | > 1时, lim S n = a 1 lim ( 1 n→∞ a n +1 2 − 1) = a 1 = 1,n→∞ a n +1 1−q n→∞ q n∵ a 1 = 1,q−1 2∴ q = 3.综上,q = 3.11.已知常数a > 0,函数f (x ) =2x的图像经过点 6、1,若2p +q = 36pq ,则a =.(2x +ax )p (p , ) 5 Q (q, − )5【答案】 6【解析】 由题意得: 2p2p +ap+ 2q2q+aq= 1,∴ 2p +q = a 2pq = 36pq ,∴ a = 6.12.已知实数x 、x 、y 、y 满足:x 2 + y 2 = 1,x 2 + y 2 = 1,x x+ y y = 1,则|x 1+y 1−1| + 121211221 21 2 2 √2|x 2+y 2−1|的最大值为 .√2【答案】 √2 + √3【解析】 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2),则P 、Q 在单位圆x 2 + y 2 = 1上.→ →∵ OP = (x 1, y 1),OQ = (x 2, y 2),→→→→→→1∴ OP ⋅ OQ = x 1x 2 + y 1y 2 = |OP ||OQ |cos ⟨OP , OQ⟩ = 2, →→∵ |OP | = |OQ | = 1,5→→1∴ cos ⟨OP, OQ⟩ = ,2→→∵ ⟨OP, OQ⟩∈ [0, π],→→π∴ ⟨OP, OQ⟩ = ,3∴△ OPQ为正三角形,∴|x1+y1−1| +|x2+y2−1|为P、Q两点到直线l:x + y− 1 = 0的距离和|PP′| + |QQ′|.取√2 √2PQ中点M,过点M作MM′ ⊥ l于点M′.根据梯形中位线可得|PP′| + |QQ′| = 2|MM′|.∵ |OM| =√3,2∴点M在圆x2 + y2 = 3上运动,故点M到直线l的最大距离为√3 + √2,4 2 2∴ (|PP′| + |QQ′|) = 2 × (√3 +√2) = √3 + √2.max 2 2二、选择题(每小题5 分,共20 分)13.设P是椭圆x 2+ y2 = 1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为().5 3A.2√2B.2√3C.2√5D.4√2【答案】C【解析】椭圆x 2+ y2 = 1的焦点坐标在x轴,a = √5,P是椭圆x2 + y2 = 1上的动点,由椭圆的5 3 5 3定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =2√5.故选C.14.若a∈ R,则“a > 1”是“1 < 1”的().aA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条【答案】 A【解析】 由a > 1,一定能得到1< 1.a但当1< 1时,不能推出a > 1(如a = −1时),a故a > 1是1< 1的充分不必要条件.a故选A .15. 《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( ).A.4B.8C.12D.16 【答案】 D【解析】 符合条件的面有4个,每一个面对应的顶点有4个,∴4 × 4 = 16.16. 设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图像绕原点逆时针旋转π后与6原图像重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是( ).A. √3B. √32C. √33D.0【答案】B【解析】设f(1)处的点为A,若f(x)逆时针旋转π后与原图象重合,1 6则旋转后的图象g(x)上A1的对应点A2,同时有A2的对应点A3,以此类推,则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点.当f(1)取值为√3时,点(1, √3)在图象上,点(1, −√3)也在图象上,此时,x = 1时,有两个y的值与之对应,不符合函数定义.同理,f(1) =√3和f(1) = 0亦不符合函数定义.3故选B.三、解答题(第17 题14 分,第18 题14 分,第19 题14 分,第20 题16 分,第21 题18 分)17.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.( 1 )设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积.( 2 )设PO = 4,OA,OB是底面半径,且∠AOB = 90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.【答案】(1)8√3π.3(2) arc tan √17.。

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海高考数学真题及答案

2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)(2018?上海)行列式的值为18.【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)(2018?上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)(2018?上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21(结果用数值表示).【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为T r+1=?x r,令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=7.【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),∴log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)(2018?上海)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|= 5.【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)(2018?上海)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=14.【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)(2018?上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f (x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1.【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且a<0,由此能求出a的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)(2018?上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)(2018?上海)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1(n∈N*),前n 项和为S n.若=,则q=3.【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,a n+1=q n.可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)(2018?上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+.【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且?=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)(2018?上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.>1”是“<1”的()14.(5分)(2018?上海)已知a∈R,则“aA.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)(2018?上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×6=12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30?x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16分)(2018?上海)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线k PF?k FQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),k QF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;(3)存在,设P(,y),E(,m),则k PF==,k FQ=,直线QF方程为y=(x﹣2),∴y Q=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)(2018?上海)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意n ∈N*,都有|b n﹣a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1,求得b i,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列{b n}与{a n}接近.理由:{a n}是首项为1,公比为的等比数列,可得a n=,b n=a n+1+1=+1,则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列{b n}与{a n}接近;(2){b n}是一个与{a n}接近的数列,可得a n﹣1≤b n≤a n+1,数列{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){a n}是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,可得a n=a1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取b n=a1﹣,则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得b n+1﹣b n=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤﹣2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,即为a n﹣1≤b n≤a n+1,a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1,可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣(a n﹣1)=2+d≤0,b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.感恩和爱是亲姐妹。

【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析

【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析

2018年高考数学真题试卷(上海卷) 一、填空题1.(2018•上海)行列式4125的值为 。

【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)2.(2018•上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=,a=2,b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在轴上,渐近线直线方程为22221x y ba -=时,by x a=±。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)3.(2018•上海)在(1+)7的二项展开式中,²项的系数为 。

(结果用数值表示) 【答案】21【解析】【解答】(1+)7中有T r+1=7r rC x ,故当r=2时,27C =762⨯=21【分析】注意二项式系数,与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)4.(2018•上海)设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+,若f x ()的反函数的图像经过点31(,),则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x ()的反函数的图像经过点31(,),故()f x 过点3(1,),则()13f =,()2log 1a +=3,1+a=23所以a=23-1,故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=对称,如:原函数上任意点()00,x y ,则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)5.(2018•上海)已知复数满足117i z i +=-()(i 是虚数单位),则∣∣= 。

2018年上海高考数学真题和答案

2018年上海高考数学真题和答案

2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4 分)( 2018? 上海)行列式的值为18.【考点】 OM :二阶行列式的定义.【专题】 11 :计算题; 49 :综合法; 5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4× 5﹣ 2× 1=18 .故答案为: 18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4 分)( 2018? 上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】 KC:双曲线的性质.【专题】 11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为 y= ±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为: y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.( 4 分)( 2018? 上海)在(1+x )7的二项展开式中, x2项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】 DA :二项式定理.【专题】 38 :对应思想; 4O :定义法; 5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式( 1+x )7展开式的通项公式为T r+1 =?x r,令 r=2,得展开式中 x2的系数为=21 .故答案为: 21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4 分)( 2018? 上海)设常数 a ∈R,函数 f(x)=1og 2(x+a ).若 f(x)的反函数的图象经过点( 3,1),则 a= 7.【考点】 4R:反函数.【专题】 11 :计算题; 33 :函数思想; 4O :定义法; 51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数 f (x)=1og 2(x+a )的图象经过点( 1,3),由此能求出 a .【解答】解:∵常数 a ∈ R,函数 f(x)=1og 2(x+a ).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数 f(x)=1og (x+a )的图象经过点( 1,3),∴log 2(1+a )=3 ,解得 a=7 .故答案为: 7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.( 4 分)( 2018? 上海)已知复数 z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位),则 |z|= 5.【考点】 A8 :复数的模.【专题】 38 :对应思想; 4A :数学模型法; 5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由( 1+i)z=1﹣7i,得,则 |z|=.故答案为: 5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.( 4 分)( 2018? 上海)记等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n,若 a 3=0,a 6 +a 7 =14,则S7= 14 .【考点】 85:等差数列的前n 项和.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出 a 1=﹣4,d=2 ,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, a 3=0 ,a 6+a 7=14 ,∴,解得 a 1 =﹣ 4, d=2 ,∴S7=7a 1+=﹣28+42=14 .故答案为: 14.【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5 分)( 2018? 上海)已知α∈{﹣ 2,﹣ 1,﹣,1,2,3},若幂函数f (x) =xα为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,则α= ﹣ 1 .【考点】 4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数 f( x)=x α为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,得到 a 是奇数,且 a <0,由此能求出 a 的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣ 1,,1, 2,3},幂函数 f(x)=x α为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,∴a 是奇数,且 a <0,∴a= ﹣ 1.故答案为:﹣ 1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5 分)( 2018? 上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣ 1,0)、B( 2,0),E、F 是 y 轴上的两个动点,且 ||=2 ,则的最小值为﹣3.【考点】 9O :平面向量数量积的性质及其运算.【专题】 11 :计算题; 35 :转化思想; 41 :向量法; 5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设 E(0,a ),F(0,b ),从而得出 |a ﹣b|=2,即a=b+2,或 b=a+2 ,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将 b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a ),F(0,b );∴;∴a=b+2 ,或 b=a+2 ;且;∴;当 a=b+2时,;∵ b 2+2b ﹣ 2 的最小值为;∴的最小值为﹣ 3,同理求出 b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣ 3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5 分)( 2018? 上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5 克、3 克、 1 克砝码各一个, 2 克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9 克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 49 :综合法; 5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3克、 1 克砝码各一个, 2克砝码两个,从中随机选取三个, 3 个数中含有 1 个 2; 2 个 2,没有 2,3 种情况,所有的事件总数为:=10 ,这三个砝码的总质量为9 克的事件只有: 5,3,1 或 5,2,2 两个,所以:这三个砝码的总质量为 9 克的概率是:= ,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.( 5 分)( 2018? 上海)设等比数列 {a n} 的通项公式为 a n =q n﹣1(n ∈N*),前n 项和为 S n.若=,则q=3.【考点】 8J:数列的极限.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 35 :转化思想; 49 :综合法; 55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列 {a n} 的通项公式为 a=q n﹣1( n∈ N* ),可得 a 1=1 ,因为=,所以数列的公比不是1,,a n+1 =q n.可得====,可得 q=3 .故答案为: 3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.( 5 分)( 2018? 上海)已知常数 a >0,函数 f(x)=的图象经过点P ( p ,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.【考点】 3A :函数的图象与图象的变换.【专题】 35 :转化思想; 51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的 a 值.【解答】解:函数 f (x) =的图象经过点P( p ,),Q(q,).则:,整理得:=1 ,解得: 2p+q =a 2 pq ,由于: 2p+q =36pq ,所以: a 2 =36,由于 a >0,故: a=6 .故答案为: 6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.( 5 分)( 2018? 上海)已知实数 x1、x2、y1、y 2满足: x12+y 12=1,x22+y 22=1 ,x1x2+y 1y 2=,则+的最大值为+.【考点】 7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】 35 :转化思想; 48 :分析法; 59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x1,y1),B(x2,y 2),=(x1,y1),=(x2,y 2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点 A ,B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离d 1与 d 2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设 A (x1,y 1), B( x2,y 2),=(x1,y 1),=(x2,y 2),由 x12+y 12=1, x22+y 22=1 ,x1x2+y 1y 2=,可得 A ,B 两点在圆 x2+y 2=1 上,且? =1 ×1×cos ∠ AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形 OAB 为等边三角形,AB=1 ,+的几何意义为点 A ,B 两点到直线 x+y ﹣1=0 的距离 d 1与 d 2之和,显然 A ,B 在第三象限, AB 所在直线与直线x+y=1 平行,可设 AB :x+y+t=0 ,(t >0),由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=,可得 2=1 ,解得 t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为 +,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.( 5 分)( 2018? 上海)设P 是椭圆=1 上的动点,则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2B.2 C .2D.4【考点】 K4:椭圆的性质.【专题】 11 :计算题; 49 :综合法; 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出 a ,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴, a=,P 是椭圆=1 上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2.故选: C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.( 5 分)( 2018? 上海)已知 a ∈ R,则“a> 1”是“<1”的()A .充分非必要条件 B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 5L :简易逻辑.【分析】“ a> 1”? “”,“”?“ a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解: a ∈R,则“ a> 1”? “”,“”? “ a>1 或 a < 0”,∴“ a> 1”是“”的充分非必要条件.故选: A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15 .( 5 分)( 2018? 上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8C.12 D.16【考点】 D8:排列、组合的实际应用.【专题】 11 :计算题; 38 :对应思想; 4R:转化法; 5O:排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A 1 ABB1,D1﹣ A 1AFF1满足题意,而C1,E1,C ,D,E,和 D1一样,有 2×6=12 ,当A 1ACC 1为底面矩形,有 2 个满足题意,当A 1AEE1为底面矩形,有 2 个满足题意,故有 12+2+2=16故选: D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.( 5 分)( 2018? 上海)设D 是含数 1 的有限实数集, f(x)是定义在 D 上的函数,若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】 3A :函数的图象与图象的变换.【专题】 35 :转化思想; 51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12 个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当 f (1)=,,0 时,此时得到的圆心角为,, 0,然而此时 x=0 或者 x=1 时,都有 2 个 y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个 y,因此只有当 x=,此时旋转,此时满足一个 x 只会对应一个 y,因此答案就选: B.故选: B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17.( 14 分)( 2018? 上海)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O ,半径为 2.( 1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;( 2)设 PO=4 ,OA 、OB 是底面半径,且∠AOB=90°M,为线段 AB 的中点,如图.求异面直线PM 与 OB 所成的角的大小.【考点】 LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】 11 :计算题; 31 :数形结合; 41 :向量法; 5F :空间位置关系与距离; 5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为 O ,半径为 2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角.【解答】解:( 1)∵圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O ,半径为 2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积 V===.( 2)∵ PO=4 , OA ,OB 是底面半径,且∠AOB=90°,M 为线段 AB 的中点,∴以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ,则 cos θ===.∴θ =arccos.∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.( 14 分)( 2018? 上海)设常数 a ∈R,函数 f( x) =asin2x+2cos 2x.( 1)若 f (x)为偶函数,求 a 的值;( 2)若 f ()=+1 ,求方程 f(x)=1 ﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】 GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】 11 :计算题; 38 :对应思想; 4R:转化法; 58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出 a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵ f (x)=asin2x+2cos 2x,∴ f(﹣ x) =﹣ asin2x+2cos 2x,∵f(x)为偶函数,∴ f(﹣ x) =f(x),∴﹣ asin2x+2cos 2 x=asin2x+2cos 2x,∴ 2asin2x=0 ,∴a=0 ;(2)∵ f() = +1 ,∴ asin+2cos 2()=a+1=+1 ,∴ a=,∴ f(x)= sin2x+2cos 2 x=sin2x+cos2x+1=2sin (2x+)+1 ,∵f(x)=1 ﹣,∴ 2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+ ) =﹣,∴ 2x+ =﹣+2k π,或2x+ =π+2kπ,k∈Z,∴ x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵ x∈ [﹣π,π],∴ x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.( 14 分)( 2018? 上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中 x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g (x)的表达式;讨论 g (x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】 5B:分段函数的应用.【专题】 12 :应用题; 33 :函数思想; 4C:分类法;51:函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出 f (x)> 40 时 x 的取值范围即可;(2)分段求出 g (x)的解析式,判断 g (x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当 30< x< 100 时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900 > 0,解得 x<20 或 x> 45,∴ x∈( 45, 100 )时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;( 2)当 0<x≤30 时,g ( x) =30?x%+40( 1﹣ x%) =40 ﹣;当30< x< 100 时,g ( x)=( 2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58 ;∴ g (x) =;当0<x<32.5 时, g ( x)单调递减;当32.5 < x< 100 时, g (x)单调递增;说明该地上班族S 中有小于 32.5% 的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为 32.5% 时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.( 16 分)( 2018? 上海)设常数 t>2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点 F(2, 0),直线 l:x=t ,曲线Γ:y2 =8x(0≤ x≤t,y≥ 0).l 与 x 轴交于点 A 、与Γ交于点 B. P、 Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点.(1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离;(2)设 t=3 , |FQ|=2 ,线段 OQ 的中点在直线 FP 上,求△ AQP 的面积;(3)设 t=8 ,是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在Γ上?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点】 KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】 35 :转化思想; 4R:转化法; 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设 B 点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得 |BF| ;方法二:根据抛物线的定义,即可求得 |BF| ;(2)根据抛物线的性质,求得 Q 点坐标,即可求得 OD 的中点坐标,即可求得直线 PF 的方程,代入抛物线方程,即可求得P 点坐标,即可求得△ AQP 的面积;( 3)设 P 及 E 点坐标,根据直线k PF?k FQ =﹣1,求得直线 QF 的方程,求得Q 点坐标,根据+ =,求得 E 点坐标,则()2=8(+6 ),即可求得 P 点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B( t,2t),则 |BF|==t+2 ,∴ |BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t ,2t ),由抛物线的性质可知: |BF|=t+=t+2 ,∴ |BF|=t+2;(2) F( 2, 0),|FQ|=2 , t=3 ,则 |FA|=1 ,∴|AQ|=,∴ Q(3,),设OQ的中点D,D(,),k QF ==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得: 3x2﹣ 20x+12=0 ,解得: x=,x=6(舍去),∴△AQP 的面积 S=××=;( 3)存在,设 P(,y),E(,m),则k PF==,k FQ=,直线 QF 方程为 y=(x﹣2),∴ y Q=(8﹣2)=,Q(8,),根据+ =,则E(+6,),∴()2=8(+6 ),解得: y2 =,∴存在以 FP、 FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在Γ上,且 P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.( 18 分)( 2018? 上海)给定无穷数列 {a n} ,若无穷数列 {b n }满足:对任意 n ∈ N*,都有 |b n﹣a n | ≤1,则称 {b n }与{a n}“接近”.( 1)设 {a n}是首项为 1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与 {a n} 接近,并说明理由;(2)设数列 {a n} 的前四项为: a 1=1, a 2=2 ,a 3=4 ,a 4 =8,{b n} 是一个与 {a n }接近的数列,记集合 M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数 m ;(3)已知 {a n} 是公差为 d 的等差数列,若存在数列 {b n }满足: {b n }与 {a n}接近,且在 b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,⋯,b 201﹣b 200中至少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.【考点】 8M :等差数列与等比数列的综合.【专题】 34 :方程思想; 48 :分析法; 54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得 a n﹣1≤b n≤a n+1 ,求得 b i,i=1,2,3,4 的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得 a n,讨论公差 d >0,d=0 ,﹣ 2< d < 0,d ≤﹣ 2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列 {b n} 与{a n }接近.理由: {a n} 是首项为 1,公比为的等比数列,可得 a n =,b n=a n+1+1=+1 ,则 |b n﹣a n |=|+1﹣|=1 ﹣<1,n∈ N*,可得数列 {b n} 与{a n }接近;( 2) {b n} 是一个与 {a n }接近的数列,可得 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ,数列 {a n }的前四项为: a 1=1 ,a 2 =2,a 3 =4, a 4 =8,可得 b 1∈[0 ,2] ,b 2∈ [1 ,3] ,b 3∈[3 , 5] ,b 4∈ [7 ,9] ,可能 b 1与 b 2相等, b 2与 b 3相等,但 b 1与 b 3不相等, b 4与 b 3不相等,集合 M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M 中元素的个数 m=3 或 4;( 3) {a n} 是公差为 d 的等差数列,若存在数列{b n}满足: {b n} 与{a n }接近,可得 a n =a 1 +(n ﹣1) d ,①若 d >0,取 b n=a n,可得 b n+1﹣b n =a n+1﹣a n=d > 0,则 b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中有 200 个正数,符合题意;②若 d=0 ,取 b n=a 1﹣,则|b n﹣a n|=|a 1 ﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得 b n+1﹣ b n=﹣>0,则b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中有 200 个正数,符合题意;③若﹣ 2<d <0,可令 b 2n﹣1=a 2n﹣1﹣ 1, b 2n =a 2n +1,则b 2n﹣b 2n﹣1=a 2n +1﹣( a 2n﹣1﹣1)=2+d > 0,则b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中恰有 100 个正数,符合题意;④若 d ≤﹣ 2,若存在数列 {b n} 满足: {b n }与{a n}接近,即为 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ,a n+1﹣1≤b n+1≤ a n+1 +1 ,可得 b n+1﹣ b n≤ a n+1 +1﹣( a n﹣ 1) =2+d ≤0,b 2﹣b 1, b 3﹣b 2,⋯, b 201﹣b 200中无正数,不符合题意.综上可得, d 的范围是(﹣ 2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.感恩和爱是亲姐妹。

2018年上海市高考数学试卷(含解析版)

2018年上海市高考数学试卷(含解析版)

1 2018年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)行列式的值为.2.(4分)双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为.3.(4分)在(1+x )7的二项展开式中,x 2项的系数为(结果用数值表示).4.(4分)设常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ).若f (x )的反函数的图象经过点(3,1),则a=.5.(4分)已知复数z 满足(1+i )z=1﹣7i (i 是虚数单位),则,则||z |=.6.(4分)记等差数列分)记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7=.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A (﹣1,0)、B (2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且上的两个动点,且|||=2,则的最小值为.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.(5分)设等比数列分)设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1(n ∈N *),前n 项和为Sn .若=,则q=.11.(5分)已知常数a >0,函数f (x )=的图象经过点P (p ,),Q (q ,).若2p +q =36pq ,则a=.12.(5分)已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y2=,则+的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.(5分)设P 是椭圆=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(和为( )A .2B .2C .2D .414.(5分)已知a ∈R ,则“a >1”是“<1”的(的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是(为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A .4B .8C .12D .16 16.(5分)设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是(能取值只能是( )A .B .C .D .0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(14分)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;上的解.(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间在区间[[﹣π,π]上的解.19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x%(0<x <100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 f (x )=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式;讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.并说明其实际意义.20.(16分)设常数t >2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线Γ:y 2=8x (0≤x ≤t ,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B .P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点. (1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t=3,|FQ |=2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积; (3)设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.的坐标;若不存在,说明理由.21.(18分)给定无穷数列分)给定无穷数列{{a n},若无穷数列,都有||b n,若无穷数列{{b n}满足:对任意n∈N*,都有,则称{{b n}与{a n}“接近”.﹣a n|≤1,则称,判断数列{{b n})设{{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列(1)设是否与{{a n}接近,并说明理由;是否与(2)设数列是一个与{{a n}接近)设数列{{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;满足:{{b n}与{a n}接近,的等差数列,若存在数列{{b n}满足:(3)已知)已知{{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.(4分)行列式的值为的值为 18 .【考点】OM :二阶行列式的定义.【专题】11:计算题;49:综合法;5R :矩阵和变换. 【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可. 【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为的渐近线方程为 ±.【考点】KC :双曲线的性质. 【专题】11:计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最最后确定双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x 轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,双曲线的几何意义,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)在(1+x )7的二项展开式中,x 2项的系数为项的系数为 21 (结果用数值表示).【考点】DA :二项式定理.【专题】38:对应思想;4O :定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数. 【解答】解:二项式(1+x )7展开式的通项公式为 T r +1=•x r,令r=2,得展开式中x 2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4分)设常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ).若f (x )的反函数的图象经过点(3,1),则a= 7 .【考点】4R :反函数.【专题】11:计算题;33:函数思想;4O :定义法;51:函数的性质及应用. 【分析】由反函数的性质得函数f (x )=1og 2(x +a )的图象经过点(1,3),由此能求出a .【解答】解:∵常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ). f (x )的反函数的图象经过点(3,1), ∴函数f (x )=1og 2(x +a )的图象经过点(1,3), ∴log 2(1+a )=3, 解得a=7. 故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查函数的性质等基础知识,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)已知复数z 满足(1+i )z=1﹣7i (i 是虚数单位),则,则||z |= 5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38:对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i )z=1﹣7i , 得,则|z |=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)记等差数列分)记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7= 14 .【考点】85:等差数列的前n 项和.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O :定义法;54:等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,利用等差数列通项公式列出方程组,求出求出a 1=﹣4,d=2,由此能求出S 7.【解答】解:∵等差数列解:∵等差数列{{a n }的前n 项和为S n ,a 3=0,a 6+a 7=14, ∴,解得a 1=﹣4,d=2,∴S 7=7a 1+=﹣28+42=14. 故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= ﹣1 .【考点】4U :幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O :定义法;51:函数的性质及应用. 【分析】由幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a 是奇数,且a <0,由此能求出a 的值. 【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减, ∴a 是奇数,且a <0, ∴a=﹣1. 故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查幂函数的性质等基础知识,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)在平面直角坐标系中,已知点A (﹣1,0)、B (2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且上的两个动点,且|||=2,则的最小值为的最小值为 ﹣3 .【考点】9O :平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题;35:转化思想;41:向量法;5A :平面向量及应用. 【分析】据题意可设E (0,a ),F (0,b ),从而得出,从而得出||a ﹣b |=2,即a=b +2,或b=a +2,并可求得,将a=b +2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a +2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E (0,a ),F (0,b ); ∴;∴a=b +2,或b=a +2; 且;∴;当a=b +2时,;∵b 2+2b ﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a +2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,根据点的坐标求向量的坐标,根据点的坐标求向量的坐标,以及以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB :古典概型及其概率计算公式.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5I :概率与统计. 【分析】求出所有事件的总数,求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,克的事件总数,然后然后求解概率即可. 【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况, 所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个, 所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)设等比数列分)设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1(n ∈N *),前n 项和为S n .若=,则q= 3 .【考点】8J:数列的极限.【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;55:点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列解:等比数列{{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,,a n+1=q n.可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p +q=a 2pq , 由于:2p +q =36pq , 所以:a 2=36, 由于a >0, 故:a=6. 故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=,则+的最大值为的最大值为 + .【考点】7F :基本不等式及其应用;IT :点到直线的距离公式. 【专题】35:转化思想;48:分析法;59:不等式的解法及应用. 【分析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB 为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A ,B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和,由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=,可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上, 且•=1×1×cos ∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB 为等边三角形, AB=1,+的几何意义为点A ,B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和,显然A ,B 在第三象限,AB 所在直线与直线x +y=1平行, 可设AB :x +y +t=0,(t >0), 由圆心O 到直线AB 的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,以及圆的方程和运用,以及圆的方程和运用,考查点考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.(5分)设P 是椭圆=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(和为( )A .2B .2C .2D .4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题;49:综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a ,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x 轴,a=,P 是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C .【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,椭圆的定义的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考是基本知识的考查.14.(5分)已知a ∈R ,则“a >1”是“<1”的(的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O :定义法;5L :简易逻辑. 【分析】“a >1”⇒“”,“”⇒“a >1或a <0”,由此能求出结果.【解答】解:a ∈R ,则“a >1”⇒“”,“”⇒“a >1或a <0”,∴“a >1”是“”的充分非必要条件.故选:A .【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是(为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;5O:排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×4=8,当A1ACC1为底面矩形,有4个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )能取值只能是(A.B.C.D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用;56:三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)设常数a ∈R ,函数f (x )=asin2x +2cos 2x . (1)若f (x )为偶函数,求a 的值;(2)若f ()=+1,求方程f (x )=1﹣在区间在区间[[﹣π,π]上的解.【考点】GP :两角和与差的三角函数;GS :二倍角的三角函数. 【专题】11:计算题;38:对应思想;4R :转化法;58:解三角形. 【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出, (2)先求出a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出. 【解答】解:(1)∵f (x )=asin2x +2cos 2x , ∴f (﹣x )=﹣asin2x +2cos 2x , ∵f (x )为偶函数, ∴f (﹣x )=f (x ),∴﹣asin2x +2cos 2x=asin2x +2cos 2x , ∴2asin2x=0, ∴a=0; (2)∵f ()=+1,∴asin +2cos 2()=a +1=+1,∴a=,∴f (x )=sin2x +2cos 2x=sin2x +cos2x +1=2sin (2x +)+1,∵f (x )=1﹣, ∴2sin (2x +)+1=1﹣,∴sin (2x +)=﹣,∴2x +=﹣+2kπ,或2x +=π+2kπ,k ∈Z ,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k ∈Z ,∵x ∈[﹣π,π], ∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x%(0<x <100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f (x )=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式;讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.【考点】5B :分段函数的应用.【专题】12:应用题;33:函数思想;4C :分类法;51:函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意知求出f (x )>40时x 的取值范围即可;(2)分段求出g (x )的解析式,判断g (x )的单调性,再说明其实际意义. 【解答】解;(1)由题意知,当30<x <100时, f (x )=2x +﹣90>40,即x 2﹣65x +900>0, 解得x <20或x >45,∴x ∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x ≤30时,g (x )=30•x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x <100时, g (x )=(2x +﹣90)•x%+40(1﹣x%)=﹣x +58;∴g (x )=;当0<x <32.5时,g (x )单调递减; 当32.5<x <100时,g (x )单调递增;说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、解决解决问题的能力.20.(16分)设常数t >2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线Γ:y 2=8x (0≤x ≤t ,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B .P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点. (1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t=3,|FQ |=2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积; (3)设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN :直线与抛物线的综合.【专题】35:转化思想;4R :转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B 点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得||BF |;方法二:根据抛物线的定义,即可求得方法二:根据抛物线的定义,即可求得||BF |;(2)根据抛物线的性质,求得Q 点坐标,即可求得OD 的中点坐标,即可求得直线PF 的方程,代入抛物线方程,即可求得P 点坐标,即可求得△AQP 的面积;(3)设P 及E 点坐标,根据直线k PF •k FQ =﹣1,求得直线QF 的方程,求得Q 点坐标,根据+=,求得E 点坐标,则()2=8(+6),即可求得P 点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B (t ,2t ),则|BF |==t +2, ∴|BF |=t +2;方法二:由题意可知:设B (t ,2t ), 由抛物线的性质可知:由抛物线的性质可知:||BF |=t +=t +2,∴,∴||BF |=t +2;(2)F (2,0),|FQ |=2,t=3,则,则||FA |=1,∴|AQ |=,∴Q (3,),设OQ 的中点D ,D (,), k QF ==﹣,则直线PF 方程:y=﹣(x ﹣2),联立,整理得:3x 2﹣20x +12=0, 解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP 的面积S=××=; (3)存在,设P (,y ),E (,m ),则k PF ==,k FQ =,直线QF方程为y=(x﹣2),∴y Q=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)给定无穷数列分)给定无穷数列{{a n},若无穷数列,若无穷数列{{b n}满足:对任意n∈N *,都有,都有||b n﹣a n|≤1,则称,则称{{b n}与{a n}“接近”.(1)设)设{{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列,判断数列{{b n}是否与是否与{{a n}接近,并说明理由;(2)设数列)设数列{{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知)已知{{a n}是公差为d的等差数列,若存在数列的等差数列,若存在数列{{b n}满足:满足:{{b n}与{a n}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34:方程思想;48:分析法;54:等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1,求得b i,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列)数列{{b n}与{a n}接近.理由:理由:{{a n}是首项为1,公比为的等比数列,可得a n=,b n=a n+1+1=+1,则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N *,可得数列可得数列{{b n}与{a n}接近;(2){b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列,可得a n﹣1≤b n≤a n+1,数列数列{{a n}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){a n}是公差为d的等差数列,若存在数列的等差数列,若存在数列{{b n}满足:满足:{{b n}与{a n}接近,可得a n=a1+(n﹣1)d,①若d>0,取b n=a n,可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取b n=a1﹣,则,则||b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N *,可得b n+1﹣b n=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中恰有100个正数,符合题意;④若d ≤﹣2,若存在数列,若存在数列{{b n }满足:满足:{{b n }与{a n }接近,即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1,a n +1﹣1≤b n +1≤a n +1+1,可得b n +1﹣b n ≤a n +1+1﹣(a n ﹣1)=2+d ≤0,b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,…,b 201﹣b 200中无正数,不符合题意.综上可得,d 的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。

2018年上海高考数学真题和答案

2018年上海高考数学真题和答案

2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4 分)( 2018? 上海)行列式的值为18 .【考点】 OM :二阶行列式的定义.【专题】 11 :计算题; 49 :综合法; 5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4× 5﹣ 2× 1=18 .故答案为: 18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4 分)( 2018? 上海)双曲线﹣y 2=1 的渐近线方程为±.【考点】 KC:双曲线的性质.【专题】 11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的 a=2 ,b=1 ,焦点在 x 轴上而双曲线的渐近线方程为 y= ±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为: y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.( 4 分)( 2018? 上海)在(1+x )7的二项展开式中, x2项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】 DA :二项式定理.【专题】 38 :对应思想; 4O :定义法; 5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式( 1+x )7展开式的通项公式为T r+1 = ?x r,令 r=2,得展开式中 x2的系数为=21 .故答案为: 21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4 分)( 2018? 上海)设常数 a ∈R,函数 f(x)=1og 2(x+a ).若 f(x)的反函数的图象经过点( 3,1),则 a= 7 .【考点】 4R:反函数.【专题】 11 :计算题; 33 :函数思想; 4O :定义法; 51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数 f (x)=1og 2(x+a )的图象经过点( 1,3),由此能求出 a .【解答】解:∵常数 a ∈ R,函数 f(x)=1og 2(x+a ).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数 f(x)=1og (x+a )的图象经过点( 1,3),∴log 2(1+a )=3 ,解得 a=7 .故答案为: 7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.( 4 分)( 2018? 上海)已知复数 z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位),则 |z|= 5.【考点】 A8 :复数的模.【专题】 38 :对应思想; 4A :数学模型法; 5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由( 1+i)z=1﹣7i,得,则 |z|= .故答案为: 5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.( 4 分)( 2018? 上海)记等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n,若 a 3=0,a 6 +a 7 =14,则S7= 14 .【考点】 85:等差数列的前n 项和.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出 a 1=﹣4,d=2 ,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, a 3=0 ,a 6+a 7=14 ,∴,解得 a 1 =﹣ 4, d=2 ,∴S7=7a 1+=﹣28+42=14 .故答案为: 14.【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5 分)( 2018? 上海)已知α∈{﹣ 2,﹣ 1,﹣,1,2,3},若幂函数 f (x) =xα为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,则α= ﹣ 1 .【考点】 4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数 f( x)=x α为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,得到 a 是奇数,且 a <0,由此能求出 a 的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣ 1,,1, 2,3},幂函数 f(x)=x α为奇函数,且在( 0,+∞)上递减,∴a 是奇数,且 a <0,∴a= ﹣ 1.故答案为:﹣ 1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5 分)( 2018? 上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣ 1,0)、B( 2,0),E、F 是 y 轴上的两个动点,且 | |=2 ,则的最小值为﹣3 .【考点】 9O :平面向量数量积的性质及其运算.【专题】 11 :计算题; 35 :转化思想; 41 :向量法; 5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设 E(0,a ),F(0,b ),从而得出 |a ﹣b|=2 ,即 a=b+2 ,或 b=a+2 ,并可求得,将 a=b+2 带入上式即可求出的最小值,同理将 b=a+2 带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a ),F(0,b );∴;∴a=b+2 ,或 b=a+2 ;且;∴;当 a=b+2 时,;∵ b 2+2b ﹣ 2 的最小值为;∴的最小值为﹣ 3,同理求出 b=a+2 时,的最小值为﹣ 3.故答案为:﹣ 3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5 分)( 2018? 上海)有编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、 1 克砝码各一个, 2 克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9 克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 49 :综合法; 5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中 5 克、3 克、 1 克砝码各一个, 2 克砝码两个,从中随机选取三个, 3 个数中含有 1 个 2; 2 个 2,没有 2,3 种情况,所有的事件总数为:=10 ,这三个砝码的总质量为9 克的事件只有: 5 ,3,1 或 5,2,2 两个,所以:这三个砝码的总质量为 9 克的概率是:= ,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.( 5 分)( 2018? 上海)设等比数列 {a n} 的通项公式为 a n =q n﹣1(n ∈N*),前n 项和为 S n.若= ,则 q= 3 .【考点】 8J:数列的极限.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 35 :转化思想; 49 :综合法; 55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列 {a n} 的通项公式为 a =q n﹣1( n∈ N* ),可得 a 1=1 ,因为= ,所以数列的公比不是1,,a n+1 =q n.可得= = = = ,可得 q=3 .故答案为: 3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.( 5 分)( 2018? 上海)已知常数 a >0,函数 f(x)= 的图象经过点 P ( p ,), Q (q ,).若 2p+q =36pq ,则 a= 6 .【考点】 3A :函数的图象与图象的变换.【专题】 35 :转化思想; 51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的 a 值.【解答】解:函数 f (x) = 的图象经过点P( p ,),Q (q ,).则:,整理得:=1 ,解得: 2p+q =a 2 pq ,由于: 2p+q =36pq ,所以: a 2 =36,由于 a >0,故: a=6 .故答案为: 6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.( 5 分)( 2018? 上海)已知实数 x1、x2、y1、y 2满足: x12+y 12=1,x22+y 22=1 ,x1x2+y 1y 2= ,则+ 的最大值为+ .【考点】 7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】 35 :转化思想; 48 :分析法; 59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x1,y1),B(x2,y 2),=(x1,y1),=(x2,y 2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB 为等边三角形, AB=1 ,+ 的几何意义为点 A ,B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离d 1与 d 2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设 A (x1,y 1), B( x2,y 2),=(x1,y 1),=(x2,y 2),由 x12+y 12=1, x22+y 22=1 ,x1x2+y 1y 2= ,可得 A ,B 两点在圆 x2+y 2=1 上,且? =1 ×1×cos ∠ AOB= ,即有∠AOB=60°,即三角形 OAB 为等边三角形,AB=1 ,+ 的几何意义为点 A ,B 两点到直线 x+y ﹣1=0 的距离 d 1与 d 2之和,显然 A ,B 在第三象限, AB 所在直线与直线x+y=1 平行,可设 AB :x+y+t=0 ,(t >0),由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ,可得 2 =1 ,解得 t= ,即有两平行线的距离为= ,即+ 的最大值为 + ,故答案为:+ .【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.( 5 分)( 2018? 上海)设P 是椭圆=1 上的动点,则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2 B.2 C .2 D.4【考点】 K4:椭圆的性质.【专题】 11 :计算题; 49 :综合法; 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出 a ,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴, a= ,P 是椭圆=1 上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 .故选: C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.( 5 分)( 2018? 上海)已知 a ∈ R,则“a> 1”是“< 1”的()A .充分非必要条件 B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】 11 :计算题; 34 :方程思想; 4O :定义法; 5L :简易逻辑.【分析】“ a> 1”? “”,“”? “ a>1 或 a < 0”,由此能求出结果.【解答】解: a ∈R,则“a> 1”? “”,“”? “ a>1 或 a < 0”,∴“ a> 1”是“”的充分非必要条件.故选: A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15 .( 5 分)( 2018? 上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】 D8:排列、组合的实际应用.【专题】 11 :计算题; 38 :对应思想; 4R:转化法; 5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A 1 ABB1,D1﹣ A 1AFF1满足题意,而C1 ,E1,C ,D,E,和 D1 一样,有 2×6=12 ,当 A 1ACC 1为底面矩形,有 2 个满足题意,当 A 1AEE1为底面矩形,有 2 个满足题意,故有 12+2+2=16故选: D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.( 5 分)( 2018? 上海)设D 是含数 1 的有限实数集, f(x)是定义在 D 上的函数,若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0【考点】 3A :函数的图象与图象的变换.【专题】 35 :转化思想; 51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12 个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当 f (1)= ,,0 时,此时得到的圆心角为,, 0,然而此时 x=0 或者 x=1 时,都有 2 个 y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个 y,因此只有当 x= ,此时旋转,此时满足一个 x 只会对应一个 y,因此答案就选: B.故选: B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17.( 14 分)( 2018? 上海)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O ,半径为 2.( 1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;( 2)设 PO=4 ,OA 、OB 是底面半径,且∠AOB=90°M,为线段 AB 的中点,如图.求异面直线PM 与 OB 所成的角的大小.【考点】 LM:异面直线及其所成的角; L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】 11 :计算题; 31 :数形结合; 41 :向量法; 5F :空间位置关系与距离; 5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为 O ,半径为 2,圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积.(2)以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角.【解答】解:( 1)∵圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O ,半径为 2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积 V= ==.( 2)∵ PO=4 , OA ,OB 是底面半径,且∠AOB=90°,M 为线段 AB 的中点,∴以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ,则 cos θ== = .∴θ =arccos .∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos .【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.( 14 分)( 2018? 上海)设常数 a ∈R,函数 f( x) =asin2x+2cos 2x.( 1)若 f (x)为偶函数,求 a 的值;( 2)若 f ()= +1 ,求方程 f(x)=1 ﹣在区间 [﹣π,π]上的解.【考点】 GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】 11 :计算题; 38 :对应思想; 4R:转化法; 58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出 a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵ f (x)=asin2x+2cos 2x,∴ f(﹣ x) =﹣ asin2x+2cos 2x,∵ f(x)为偶函数,∴ f(﹣ x) =f(x),∴﹣ asin2x+2cos 2 x=asin2x+2cos 2x,∴ 2asin2x=0 ,∴a=0 ;(2)∵ f() = +1 ,∴ asin +2cos 2()=a+1= +1 ,∴ a= ,∴ f(x)= sin2x+2cos 2 x= sin2x+cos2x+1=2sin (2x+ )+1 ,∵f(x)=1 ﹣,∴ 2sin(2x+ )+1=1 ﹣,∴sin(2x+ ) =﹣,∴ 2x+ =﹣+2k π,或2x+ = π+2k π,k∈Z,∴ x=﹣π+k π,或x= π+k π,k∈Z,∵ x∈ [﹣π,π],∴ x= 或 x= 或 x=﹣或 x= ﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.( 14 分)( 2018? 上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中 x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)= (单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g (x)的表达式;讨论 g (x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】 5B:分段函数的应用.【专题】 12 :应用题; 33 :函数思想; 4C :分类法; 51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出 f (x)> 40 时 x 的取值范围即可;(2)分段求出 g (x)的解析式,判断 g (x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当 30< x< 100 时,f(x)=2x+ ﹣90>40 ,即x2﹣65x+900 > 0,解得 x<20 或 x> 45,∴ x∈( 45, 100 )时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;( 2)当 0<x≤30 时,g ( x) =30?x%+40( 1﹣ x%) =40 ﹣;当30< x< 100 时,g ( x)=( 2x+ ﹣90 ) ?x%+40 (1﹣x%)= ﹣x+58 ;∴ g (x) = ;当0<x<32.5 时, g ( x)单调递减;当32.5 < x< 100 时, g (x)单调递增;说明该地上班族S 中有小于 32.5% 的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为 32.5% 时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.( 16 分)( 2018? 上海)设常数 t>2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点 F(2, 0),直线 l:x=t ,曲线Γ:y2 =8x(0≤ x≤t,y≥ 0).l 与 x 轴交于点 A 、与Γ交于点 B. P、 Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点.(1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离;(2)设 t=3 , |FQ|=2 ,线段 OQ 的中点在直线 FP 上,求△ AQP 的面积;(3)设 t=8 ,是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点】 KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】 35 :转化思想; 4R:转化法; 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设 B 点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得 |BF| ;方法二:根据抛物线的定义,即可求得 |BF| ;(2)根据抛物线的性质,求得 Q 点坐标,即可求得 OD 的中点坐标,即可求得直线 PF 的方程,代入抛物线方程,即可求得P 点坐标,即可求得△ AQP 的面积;( 3)设 P 及 E 点坐标,根据直线k PF?k FQ =﹣1,求得直线 QF 的方程,求得Q 点坐标,根据+ = ,求得 E 点坐标,则()2 =8(+6 ),即可求得 P 点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B( t,2 t),则 |BF|= =t+2 ,∴ |BF|=t+2 ;方法二:由题意可知:设B(t ,2 t ),由抛物线的性质可知: |BF|=t+ =t+2 ,∴ |BF|=t+2 ;(2) F( 2, 0),|FQ|=2 , t=3 ,则 |FA|=1 ,∴|AQ|= ,∴ Q (3,),设 OQ 的中点 D,D(,),k QF = =﹣,则直线 PF 方程: y= ﹣(x﹣2),联立,整理得: 3x2﹣ 20x+12=0 ,解得: x= ,x=6(舍去),∴△AQP 的面积 S= ××= ;( 3)存在,设 P(,y),E(,m ),则 k PF= = ,k FQ = ,直线 QF 方程为 y= (x﹣2),∴ y Q = (8﹣2)= ,Q ( 8,),根据+ = ,则E(+6,),∴()2=8(+6 ),解得: y2 = ,∴存在以 FP、 FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在Γ上,且 P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.( 18 分)( 2018? 上海)给定无穷数列 {a n} ,若无穷数列 {b n }满足:对任意 n ∈ N*,都有 |b n﹣a n | ≤1,则称 {b n }与{a n}“接近”.( 1)设 {a n}是首项为 1,公比为的等比数列, b n=a n+1 +1 ,n ∈N*,判断数列 {b n} 是否与 {a n} 接近,并说明理由;(2)设数列 {a n} 的前四项为: a 1=1, a 2=2 ,a 3=4 ,a 4 =8,{b n} 是一个与 {a n }接近的数列,记集合 M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数 m ;(3)已知 {a n} 是公差为 d 的等差数列,若存在数列 {b n }满足: {b n }与 {a n}接近,且在 b 2﹣b 1,b 3﹣b 2,⋯,b 201﹣b 200中至少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.【考点】 8M :等差数列与等比数列的综合.【专题】 34 :方程思想; 48 :分析法; 54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得 a n﹣1≤b n≤a n+1 ,求得 b i,i=1,2,3,4 的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得 a n,讨论公差 d >0,d=0 ,﹣ 2< d < 0,d≤﹣ 2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列 {b n} 与{a n }接近.理由: {a n} 是首项为 1,公比为的等比数列,可得 a n = , b n=a n+1 +1= +1 ,则 |b n﹣a n |=| +1﹣|=1 ﹣<1, n∈ N*,可得数列 {b n} 与{a n }接近;( 2) {b n} 是一个与 {a n }接近的数列,可得 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ,数列 {a n }的前四项为: a 1=1 ,a 2 =2,a 3 =4, a 4 =8,可得 b 1∈[0 ,2] ,b 2∈ [1 ,3] ,b 3∈[3 , 5] ,b 4∈ [7 ,9] ,可能 b 1与 b 2相等, b 2与 b 3相等,但 b 1与 b 3不相等, b 4与 b 3不相等,集合 M={x|x=b i,i=1,2,3,4},M 中元素的个数 m=3 或 4;( 3) {a n} 是公差为 d 的等差数列,若存在数列{b n}满足: {b n} 与{a n }接近,可得 a n =a 1 +(n ﹣1) d ,①若 d >0,取 b n=a n,可得 b n+1﹣b n =a n+1﹣a n=d > 0,则 b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中有 200 个正数,符合题意;②若 d=0 ,取 b n=a 1﹣,则 |b n﹣ a n|=|a 1 ﹣﹣ a 1 |= <1,n ∈N*,可得 b n+1﹣ b n= ﹣>0,则 b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中有 200 个正数,符合题意;③若﹣ 2<d <0,可令 b 2n﹣1=a 2n﹣1﹣ 1, b 2n =a 2n +1,则 b 2n﹣b 2n﹣1=a 2n +1﹣( a 2n﹣1﹣1)=2+d > 0,则 b 2﹣ b 1,b 3﹣ b 2,⋯, b 201﹣ b 200中恰有 100 个正数,符合题意;④若 d ≤﹣ 2,若存在数列 {b n} 满足: {b n }与{a n}接近,即为 a n﹣1≤ b n≤ a n+1 ,a n+1﹣1≤b n+1≤ a n+1 +1 ,可得 b n+1﹣ b n≤ a n+1 +1﹣( a n﹣ 1) =2+d ≤0,b 2 ﹣b 1, b 3 ﹣b 2 ,⋯, b 201 ﹣b 200 中无正数,不符合题意... ..---综上可得, d 的范围是(﹣ 2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题... ..---感恩和爱是亲姐妹。

【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析

【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析

2018年高考数学真题试卷(上海卷) 一、填空题1.(2018•上海)行列式4125的值为 。

【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)2.(2018•上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=,a=2,b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在轴上,渐近线直线方程为22221x y ba -=时,by x a=±。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)3.(2018•上海)在(1+)7的二项展开式中,²项的系数为 。

(结果用数值表示) 【答案】21【解析】【解答】(1+)7中有T r+1=7r rC x ,故当r=2时,27C =762⨯=21【分析】注意二项式系数,与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)4.(2018•上海)设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+,若f x ()的反函数的图像经过点31(,),则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x ()的反函数的图像经过点31(,),故()f x 过点3(1,),则()13f =,()2log 1a +=3,1+a=23所以a=23-1,故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=对称,如:原函数上任意点()00,x y ,则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷(上海卷)5.(2018•上海)已知复数满足117i z i +=-()(i 是虚数单位),则∣∣= 。

2018上海高考数学试卷含答案

2018上海高考数学试卷含答案

2018上海一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.行列式的值为 .2.双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为 . 3.在(1+x )7的二项展开式中,x 2项的系数为 (结果用数值表示).4.设常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ).若f (x )的反函数的图象经过点(3,1),则a = .5.已知复数z 满足(1+i)z =1-7i(i 是虚数单位),则|z |= .6.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7= .7.已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .8.在平面直角坐标系中,已知点A (-1,0)、B (2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且|EF →|=2,则AE →·BF →的最小值为 .9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示).10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n -1(n ∈N *),前n 项和为S n .若1lim +∞→n n n a S =12,则q = . 11.已知常数a >0,函数f (x )=2x 2x +ax 的图象经过点P (p ,65),Q (q ,-15).若2p +q =36pq ,则a = . 12.已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,则22|x 1+y 1-1|+22|x 2+y 2-1|的最大值为 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A .2 2 B .2 3 C .2 5 D .4 214.已知a ∈R ,则“a >1”是“1a<1”的( ) A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A .4B .8C .12D .1616.设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是( )A . 3B .32C .33D .0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO =4,OA 、OB 是底面半径,且∠AOB =90°,M 为线段AB 的中点,如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.设常数a ∈R ,函数f (x )=a sin2x +2cos 2x .(1)若f (x )为偶函数,求a 的值;(2)若f (π4)=3+1,求方程f (x )=1-2在区间[-π,π]上的解.19.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧30, 0<x ≤30,2x +1 800x -90, 30<x <100(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式;讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.20.设常数t >2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x =t ,曲线Γ:y 2=8x (0≤x ≤t ,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t =3,|FQ |=2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积;(3)设t =8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.21.给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意n ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n +1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;(2)设数列{a n }的前四项为:a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ={x |x =b i ,i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ;(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.2018上海答案解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.行列式的值为 18 . 【解答】行列式=4×5-2×1=18.故答案为:18. 【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为 . 【解答】因双曲线x 24-y 2=1的a =2,b =1,焦点在x 轴上,而双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线方程为y =±b a x ,故双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为y =±12x ,故答案为:y =±12x 【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.在(1+x )7的二项展开式中,x 2项的系数为 21 (结果用数值表示).【解答】解:二项式(1+x )7展开式的通项公式为T r +1=•x r ,令r =2,得展开式中x 2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.设常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ).若f (x )的反函数的图象经过点(3,1),则a = 7 .【解答】因常数a ∈R ,函数f (x )=1og 2(x +a ).f (x )的反函数的图象经过点(3,1),故函数f (x )=1og 2(x +a )的图象经过点(1,3),故log 2(1+a )=3,解得a =7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.已知复数z 满足(1+i)z =1-7i(i 是虚数单位),则|z|= 5 .【解答】由(1+i)z =1-7i ,得z =-3-4i ,则|z |=5.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7= 14 .【解答】因等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=0,a 6+a 7=14,故, 解得a 1=-4,d =2,故S 7=7a 1+21d =-28+42=14.故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= -1 .【解答】因α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减, 故a 是奇数,且a <0,故a =-1.故答案为:-1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.在平面直角坐标系中,已知点A (-1,0)、B (2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且|EF →|=2,则AE →·BF →的最小值为 -3 .【解答】解:根据题意,设E (0,a ),F (0,b );故|EF →|=|a -b |=2;故a =b +2,或b =a +2;且AE→=(1,a ),BF →=(-2,b );故AE →·BF →=-2+ab ;当a =b +2时,AE →·BF →=-2+(b +2)b =b 2+2b -2;因b 2+2b -2的最小值为-3;故AE →·BF →的最小值为-3,同理求出b =a +2时,AE →·BF→的最小值为-3.故答案为:-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示).【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10, 这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=15,故答案为:15. 【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n -1(n ∈N *),前n 项和为S n .若1lim +∞→n n n a S =12,则q = 3 . 【解答】等比数列{a n }的通项公式为a n =q n -1(n ∈N*),可得a 1=1,因为1lim +∞→n n n a S =12,所以数列的公比不是1,S n =a 1(1-q n )1-q,a n +1=q n .可得===1q -1=12,可得q =3.故答案为:3. 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.已知常数a >0,函数f (x )=2x 2x +ax 的图象经过点P (p ,65),Q (q ,-15).若2p +q =36pq ,则a = 6 . 【解答】因为f (x )=2x 2x +ax =11+ax 2x ,且其图象经过点P ,Q ,则f (p )=11+ap 2p =65,即ap 2p =-16①, f (q )=11+aq 2q =-15,即aq 2q =-6②,①×②得a 2pq 2p +q =1,则2p +q =a 2pq =36pq ,所以a 2=36,解得a =±6,因为a >0,所以a =6.【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,则22|x 1+y 1-1|+22|x 2+y 2-1|的最大值为 .【解答】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),OA →=(x 1,y 1),OB →=(x 2,y 2),由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上,且OA →·OB →=1×1×cos ∠AOB =12,即有∠AOB =60°,即三角形OAB 为等边三角形,AB =1,22|x 1+y 1-1|+22|x 2+y 2-1|的几何意义为点A ,B 两点到直线x +y -1=0的距离d 1与d 2之和,显然A ,B 在第三象限,AB 所在直线与直线x +y =1平行,可设AB :x +y +t =0(t >0),由圆心O 到直线AB 的距离d =22t ,可得22-12t =1,解得t =62,即有两平行线的距离为22(1+62)=12(2+3),即22|x 1+y 1-1|+22|x 2+y 2-1|的最大值为2+3,故答案为:2+3.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A .2 2 B .2 3 C .2 5 D .4 2【解答】椭圆x 25+y 23=1的焦点坐标在x 轴,a =5,P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =25.故选:C .【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.已知a ∈R ,则“a >1”是“1a<1”的( ) A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【解答】a ∈R ,则“a >1”⇒“1a <1”,“1a <1”⇒“a >1或a <0”,故“a >1”是“1a<1”的充分非必要条件.故选:A .【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA 1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A .4B .8C .12D .16【解答】根据正六边形的性质,则D 1-A 1ABB 1,D 1-A 1AFF 1满足题意,而C 1,E 1,C ,D ,E ,和D 1一样,有2×4=8,当A 1ACC 1为底面矩形,有4个满足题意,当A 1AEE 1为底面矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16,故选:D .【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是( ) A . 3 B .32 C .33 D .0【解答】由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)=3,33,0时,此时得到的圆心角为π3,π6,0,然而此时x =0或者x =1时,都有2个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ,因此只有当x =32,此时旋转π6,此时满足一个x 只会对应一个y ,因此答案就选:B .【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO =4,OA 、OB 是底面半径,且∠AOB =90°,M 为线段AB 的中点,如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【解答】(1)因圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2,圆锥的母线长为4,故圆锥的体积V =13×π×r 2×h =13×π×22×23=833π. (2)因PO =4,OA ,OB 是底面半径,且∠AOB =90°,M 为线段AB 的中点,故以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OP 为z 轴,建立空间直角坐标系,P (0,0,4),A (2,0,0),B (0,2,0),M (1,1,0),O (0,0,0),PM →=(1,1,-4),OB →=(0,2,0),设异面直线PM 与OB 所成的角为θ,则cos θ==26.故θ=arccos 26.故异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 26.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)设常数a ∈R ,函数f (x )=a sin2x +2cos 2x .(1)若f (x )为偶函数,求a 的值;(2)若f (π4)=3+1,求方程f (x )=1-2在区间[-π,π]上的解. 【解答】(1)因f (x )=a sin2x +2cos 2x ,故f (-x )=-a sin2x +2cos 2x ,因f (x )为偶函数,故f (-x )=f (x ),故-a sin2x +2cos 2x =a sin2x +2cos 2x ,故2a sin2x =0,故a =0;(2)因f (π4)=3+1,故a sin π2+2cos 2(π4)=a +1=3+1,故a =3,故f (x )=3sin2x +2cos 2x =3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1,因f (x )=1-2,故2sin(2x +π6)+1=1-2,故sin(2x +π6)=-22,故2x +π6=-π4+2k π,或2x +π6=5π4+2k π,k ∈Z ,故x =-524π+k π,或x =1324π+k π,k ∈Z ,因x ∈[-π,π],故x =1324π或x =1924π或x =-524π或x =-1124π. 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧30, 0<x ≤30,2x +1 800x -90, 30<x <100(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式;讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.【解答】(1)由题意知,当30<x <100时,f (x )=2x +-90>40,即x 2-65x +900>0, 解得x <20或x >45,故x ∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x ≤30时,g (x )=30•x %+40(1-x %)=40-x 10;当30<x <100时,g (x )=(2x +-90)•x %+40(1-x %)=-x +58;故g (x )=;当0<x <32.5时,g (x )单调递减;当32.5<x <100时,g (x )单调递增;说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.设常数t >2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x =t ,曲线Γ:y 2=8x (0≤x ≤t ,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离;(2)设t =3,|FQ |=2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积;(3)设t =8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.【解答】(1)方法一:由题意可知:设B (t ,22t ),则|BF |=t +2,故|BF |=t +2; 方法二:由题意可知:设B (t ,22t ),由抛物线的性质可知:|BF |=t +p 2=t +2,故|BF |=t +2; (2)F (2,0),|FQ |=2,t =3,则|F A |=1,故|AQ |=3,故Q (3,3),设OQ 的中点D ,D (32,22), k QF =-3,则直线PF 方程:y =-3(x -2),代入联立y 2=8x ,整理得:3x 2-20x +12=0,解得:x =23,x =6(舍去),故△AQ P 的面积S =12×3×73=736; (3)存在,设P (18y 2,y ),E (18m 2,m ),则k PF =16-82y y ,k FQ =y y 8-162,直线QF 方程为y =y y 8-162(x -2),故y Q =y y 43-482,Q (8,y y 43-482),根据FP →+FQ →=FE →,则E (18y 2+6,y y 4482+),故(yy 4482+)2=8(18y 2+6),解得:y 2=165,故存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上,且P (25,455).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意n ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n +1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;(2)设数列{a n }的前四项为:a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ={x |x =b i ,i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ;(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.【解答】(1)数列{b n }与{a n }接近.理由:{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,可得a n =12n -1,b n =a n +1+1=12n +1,则|b n -a n |=|12n +1-12n -1|=1-12n <1,n ∈N *,可得数列{b n }与{a n }接近; (2){b n }是一个与{a n }接近的数列,可得a n -1≤b n ≤a n +1,数列{a n }的前四项为:a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,可得b 1∈[0,2],b 2∈[1,3],b 3∈[3,5],b 4∈[7,9],可能b 1与b 2相等,b 2与b 3相等,但b 1与b 3不相等,b 4与b 3不相等,集合M ={x |x =b i ,i =1,2,3,4},M 中元素的个数m =3或4;(3){a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,可得a n =a 1+(n -1)d , ①若d >0,取b n =a n ,可得b n +1-b n =a n +1-a n =d >0,则b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中有200个正数,符合题意;②若d =0,取b n =a 1-1n ,则|b n -a n |=|a 1-1n -a 1|=1n <1,n ∈N *,可得b n +1-b n =1n -1n +1>0,则b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中有200个正数,符合题意;③若-2<d <0,可令b 2n -1=a 2n -1-1,b 2n =a 2n +1,则b 2n -b 2n -1=a 2n +1-(a 2n -1-1)=2+d >0,则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤-2,若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,即为a n-1≤b n≤a n+1,a n+1-1≤b n+1≤a n++1,可得b n+1-b n≤a n+1+1-(a n-1)=2+d≤0,b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中无正数,不符1合题意.综上可得,d的范围是(-2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。

2018上海高考数学真题及答案解析

2018上海高考数学真题及答案解析

2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4分)(2018•上海)行列式的值为18 .【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.故答案为:18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4分)(2018•上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4分)(2018•上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21 (结果用数值表示).【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为=•x r,Tr+1令r=2,得展开式中x2的系数为=21.故答案为:21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.(x+a).若f(x)的4.(4分)(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2反函数的图象经过点(3,1),则a= 7 .【考点】4R:反函数.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.(x+a)的图象经过点(1,3),由【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2此能求出a.(x+a).【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2f(x)的反函数的图象经过点(3,1),(x+a)的图象经过点(1,3),∴函数f(x)=1og2(1+a)=3,∴log2解得a=7.故答案为:7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4分)(2018•上海)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|= 5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,得,则|z|=.故答案为:5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4分)(2018•上海)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.【解答】解:∵等差数列{an }的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)(2018•上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1 .【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且a<0,由此能求出a的值.【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5分)(2018•上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为﹣3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);∴;∴a=b+2,或b=a+2;且;∴;当a=b+2时,;∵b2+2b﹣2的最小值为;∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5分)(2018•上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5分)(2018•上海)设等比数列{an }的通项公式为an=q n﹣1(n∈N*),前n项和为Sn.若=,则q= 3 .【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解:等比数列{an }的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,=q n.,an+1可得====,可得q=3.故答案为:3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5分)(2018•上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P (p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5分)(2018•上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x 1x2+y1y2=,则+的最大值为+.【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)(2018•上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2B.2C.2D.4【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5分)(2018•上海)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,由此能求出结果.【解答】解:a∈R,则“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5分)(2018•上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E 1,C,D,E,和D1一样,有2×6=12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5分)(2018•上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B. C. D.0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)(2018•上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V===.(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,﹣4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ===.∴θ=arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14分)(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0;(2)∵f()=+1,∴asin+2cos2()=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∵f(x)=1﹣,∴2sin(2x+)+1=1﹣,∴sin(2x+)=﹣,∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,∵x∈[﹣π,π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14分)(2018•上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0<x≤30时,g(x)=30•x%+40(1﹣x%)=40﹣;当30<x<100时,g(x)=(2x+﹣90)•x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;∴g(x)=;当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16分)(2018•上海)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线kPF •kFQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标.【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),则|BF|==t+2,∴|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=;(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF ==,kFQ=,直线QF方程为y=(x﹣2),∴yQ=(8﹣2)=,Q(8,),根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得:y2=,∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18分)(2018•上海)给定无穷数列{an },若无穷数列{bn}满足:对任意n∈N*,都有|bn ﹣an|≤1,则称{bn}与{an}“接近”.(1)设{an }是首项为1,公比为的等比数列,bn=an+1+1,n∈N*,判断数列{bn}是否与{an}接近,并说明理由;(2)设数列{an }的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;(3)已知{an }是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得an ﹣1≤bn≤an+1,求得bi,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得an,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.【解答】解:(1)数列{bn }与{an}接近.理由:{an}是首项为1,公比为的等比数列,可得an =,bn=an+1+1=+1,则|bn ﹣an|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,可得数列{bn }与{an}接近;(2){bn }是一个与{an}接近的数列,可得an ﹣1≤bn≤an+1,数列{an }的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},M中元素的个数m=3或4;(3){an }是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,可得an =a1+(n﹣1)d,①若d>0,取bn =an,可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;②若d=0,取bn =a1﹣,则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,可得bn+1﹣bn=﹣>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,则b2n ﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;④若d≤﹣2,若存在数列{bn }满足:{bn}与{an}接近,即为an ﹣1≤bn≤an+1,an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1,可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣(an﹣1)=2+d≤0,b 2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2018年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
时间120分钟,满分150分
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.行列式41
25的值为_________.
2.双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中,2x 项的系数为_________.(结果用数值表示)
4.设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1),则 a =_________.
5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位),则z =_________.
6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,6714a a +=,则7S =_________.
7.已知12,1,,1,2,32α⎧
⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数,且在(0,)+∞上递减,则 α=_________.
8.在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF •的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个。

从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.(结果用最简分数表示)
10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q
-=(*n ∈N ),前n 项和为n S 。

若1
1lim 2n n n S a →+∞+=,则q =_________. 11.已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭。

若236p q pq +=,则a =_________.
12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212
x x y y +=
,则的最大值为_________.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.设P 是椭圆22
153
x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) (A
) (B
) (C
) (D
)14.已知a ∈R ,则“1a >”是“11a <”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件
(C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

设1AA 是正六棱柱的一条侧棱,如图。

若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
(A )4 (B )8 (C )12 (D )16
16.设D 是含数1的有限实数集,()f x 是定义在D 上的函数。

若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6
π后与原图像重合,则在以下各项中,(1)f 的可能取值只能是( ) A 1
A
(A
(B
)2 (C
)3
(D )0 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设4PO =,OA 、OB 是底面半径,且90AOB ∠=︒,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小。

18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
设常数a ∈R ,函数2()sin 22cos f x a x x =+。

(1)若()f x 为偶函数,求a 的值;
(2
)若()14
f π
=
,求方程()1f x =-[,]ππ-上的解。

B
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。

某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤。

分析显示:当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
30,030,()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩
(单位:分钟) 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟。

试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式;讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义。

20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 设常数2t >,在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)F ,直线l :x t =,曲线
Γ:28y x =(0x t ≤≤,0y ≥)
,l 与x 轴交于点A ,与Γ交于点B 。

P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点。

(1)用t 表示点B 到点F 的距离;
(2)设3t =,2FQ =,线段OQ 的中点在直线FP 上,求AQP △的面积;
(3)设8t =,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由。

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n ∈N ,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。

(1)设{}n a 是首项为1,公比为12
的等比数列,11n n b a +=+,*n ∈N 。

判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由;
(2)设数列{}n a 的前四项为:11a =,22a =,34a =,48a =,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ;
(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列。

若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在21b b -,32b b -,…,201200b b -中至少有100个为正数,求d 的取值范围。

相关文档
最新文档